Polígono

Figura plana delimitada por segmentos de recta

Para otros usos, consulte Polígono (desambiguación) .

Algunos polígonos de diferentes tipos: abiertos (excluyendo su límite), solo límite (excluyendo el interior), cerrados (incluyendo tanto el límite como el interior) y auto-intersectantes.

En geometría , un polígono ( / p ɒ l ɪ ɡ ɒ n / ) es un plano de la figura que se describe mediante un número finito de rectas segmentos de línea conectados para formar una cerrada línea poligonal o circuito poligonal . La región del plano sólido, el circuito delimitador o los dos juntos, se pueden llamar polígono.

Los segmentos de un circuito poligonal se denominan aristas o lados , y los puntos donde se unen dos aristas son los vértices del polígono (singular: vértice) o esquinas . El interior de un polígono sólido a veces se denomina cuerpo . Un n -gon es un polígono con n lados; por ejemplo, un triángulo es un 3 gon.

Un polígono simple es aquel que no se cruza. Los matemáticos a menudo se preocupan solo por las cadenas poligonales delimitadoras de polígonos simples y, a menudo, definen un polígono en consecuencia. Se puede permitir que un límite poligonal se cruce sobre sí mismo, creando polígonos en estrella y otros polígonos que se intersecan por sí mismos .

Un polígono es un ejemplo bidimensional del politopo más general en cualquier número de dimensiones. Hay muchas más generalizaciones de polígonos definidos para diferentes propósitos.

Etimología

La palabra polígono deriva del adjetivo griego πολύς ( polús ) 'mucho', 'muchos' y γωνία ( gōnía ) 'esquina' o 'ángulo'. Se ha sugerido que γόνυ ( gónu ) 'rodilla' puede ser el origen de gon . ^[1]

Clasificación

Algunos tipos diferentes de polígono

Numero de lados

Los polígonos se clasifican principalmente por el número de lados. Consulte la tabla siguiente .

Convexidad y no convexidad

Los polígonos pueden caracterizarse por su convexidad o tipo de no convexidad:

• Convexo : cualquier línea trazada a través del polígono (y no tangente a un borde o esquina) se encuentra con su límite exactamente dos veces. Como consecuencia, todos sus ángulos interiores son inferiores a 180 °. De manera equivalente, cualquier segmento de línea con puntos finales en el límite pasa solo por puntos interiores entre sus puntos finales.
• No convexo: se puede encontrar una línea que se encuentra con su límite más de dos veces. De manera equivalente, existe un segmento de línea entre dos puntos límite que pasa fuera del polígono.
• Simple : el límite del polígono no se cruza. Todos los polígonos convexos son simples.
• Cóncavo : No convexo y simple. Hay al menos un ángulo interior superior a 180 °.
• En forma de estrella : todo el interior es visible desde al menos un punto, sin cruzar ningún borde. El polígono debe ser simple y puede ser convexo o cóncavo. Todos los polígonos convexos tienen forma de estrella.
• Auto-intersección : el límite del polígono se cruza a sí mismo. El término complejo se usa a veces en contraste con simple , pero este uso corre el riesgo de confusión con la idea de un polígono complejo como uno que existe en el plano complejo de Hilbert que consta de dos dimensiones complejas .
• Polígono de estrella : un polígono que se auto-interseca de forma regular. Un polígono no puede tener forma de estrella y de estrella.

Igualdad y simetría

• Regular : el polígono es tanto isogonal como isotoxal . De manera equivalente, es cíclico y equilátero , o equilátero y equiangular . Un polígono regular no convexo se denomina polígono en estrella regular .
• Isogonal o vértice-transitivo : todas las esquinas se encuentran dentro de la misma órbita de simetría . El polígono también es cíclico y equiangular.
• Isotoxal o de borde transitivo : todos los lados se encuentran dentro de la misma órbita de simetría . El polígono también es equilátero y tangencial.
• Cíclico : todas las esquinas se encuentran en un solo círculo , llamado circuncírculo .
• Equilátero : todas las aristas tienen la misma longitud. No es necesario que el polígono sea convexo.
• Equiangular : todos los ángulos de las esquinas son iguales.
• Tangencial : todos los lados son tangentes a un círculo inscrito .

Diverso

• Rectilíneo : los lados del polígono se encuentran en ángulos rectos, es decir, todos sus ángulos interiores son de 90 o 270 grados.
• Monótono con respecto a una línea L dada : cada línea ortogonal a L interseca el polígono no más de dos veces.

Propiedades y fórmulas

Partición de un n -gon en n-2 triángulos

Se asume geometría euclidiana en todo momento.

Anglos

Cualquier polígono tiene tantas esquinas como lados. Cada esquina tiene varios ángulos. Los dos más importantes son:

• Ángulo interior : la suma de los ángulos interiores de un n -gonsimplees ( n - 2) π radianes o ( n - 2) × 180 grados . Esto se debe a quese puede considerar quecualquier n -gonsimple(que tenga n lados) esté formado por ( n - 2) triángulos, cada uno de los cuales tiene una suma de ángulos de π radianes o 180 grados. La medida de cualquier ángulo interior de un n -gonconvexo regularesradianes ogrados. Los ángulos interiores de polígonos estelares regulares.${\displaystyle \left(1-{\tfrac {2}{n}}\right)\pi }$${\displaystyle 180-{\tfrac {360}{n}}}$Fueron estudiados por primera vez por Poinsot, en el mismo artículo en el que describe los cuatro poliedros de estrellas regulares : para un -gon regular (un p -gon con densidad central q ), cada ángulo interior es radianes o grados. ^[2]${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$${\displaystyle {\tfrac {\pi (p-2q)}{p}}}$${\displaystyle {\tfrac {180(p-2q)}{p}}}$
• Ángulo exterior: el ángulo exterior es el ángulo suplementario al ángulo interior. Trazando alrededor de un n -gonconvexo, el ángulo "girado" en una esquina es el ángulo exterior o externo. Trazar todo el contorno del polígono da un giro completo, por lo que la suma de los ángulos exteriores debe ser 360 °. Este argumento se puede generalizar a polígonos simples cóncavos, si los ángulos externos que giran en la dirección opuesta se restan del total girado. Trazando alrededor de un n -gon en general, la suma de los ángulos exteriores (la cantidad total que uno rota en los vértices) puede ser cualquier número entero d de 360 ​​°, por ejemplo, 720 ° para un pentagrama y 0 ° para un "ocho" angular oantiparalelogramo , donde d es la densidad o número de giro del polígono. Véase también órbita (dinámica) .

Área

Coordenadas de un pentágono no convexo.

En esta sección, los vértices del polígono en consideración se toman en orden. Por conveniencia en algunas fórmulas, también se utilizará la notación ( x _n , y _n ) = ( x ₀ , y ₀ ) .${\displaystyle (x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})}$

Si el polígono no se interseca automáticamente (es decir, simple ), el área con signo es

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\quad {\text{where }}x_{n}=x_{0}{\text{ and }}y_{n}=y_{0},}$

o, usando determinantes

${\displaystyle 16A^{2}=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}{\begin{vmatrix}Q_{i,j}&Q_{i,j+1}\\Q_{i+1,j}&Q_{i+1,j+1}\end{vmatrix}},}$

donde es la distancia al cuadrado entre y ^{[3] [4]}${\displaystyle Q_{i,j}}$${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$${\displaystyle (x_{j},y_{j}).}$

El área firmada depende del orden de los vértices y de la orientación del plano. Por lo general, la orientación positiva se define por la rotación (en sentido antihorario) que asigna el eje x positivo al eje y positivo . Si los vértices se ordenan en sentido antihorario (es decir, de acuerdo con la orientación positiva), el área con signo es positiva; de lo contrario, es negativo. En cualquier caso, la fórmula del área es correcta en valor absoluto . Esto se denomina comúnmente fórmula de cordones de zapatos o fórmula de agrimensor. ^[5]

El área A de un polígono simple también se puede calcular si se conocen las longitudes de los lados, a ₁ , a ₂ , ..., a _n y los ángulos exteriores , θ ₁ , θ ₂ , ..., θ _n , de:

${\displaystyle {\begin{aligned}A={\frac {1}{2}}(a_{1}[a_{2}\sin(\theta _{1})+a_{3}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+a_{2}[a_{3}\sin(\theta _{2})+a_{4}\sin(\theta _{2}+\theta _{3})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+\cdots +a_{n-2}[a_{n-1}\sin(\theta _{n-2})]).\end{aligned}}}$

La fórmula fue descrita por Lopshits en 1963. ^[6]

Si el polígono se puede dibujar en una cuadrícula igualmente espaciada de modo que todos sus vértices sean puntos de cuadrícula, el teorema de Pick da una fórmula simple para el área del polígono basada en el número de puntos de cuadrícula interior y límite: el primer número más la mitad del último. número, menos 1.

En cada polígono con perímetro py área A , se cumple la desigualdad isoperimétrica . ^[7]${\displaystyle p^{2}>4\pi A}$

Para dos polígonos simples de igual área, el teorema de Bolyai-Gerwien afirma que el primero se puede cortar en piezas poligonales que se pueden volver a ensamblar para formar el segundo polígono.

Las longitudes de los lados de un polígono no determinan en general su área. ^[8] Sin embargo, si el polígono es cíclico entonces los lados qué determinar el área. ^[9] De todos los n- gones con longitudes de lado dadas, el que tiene el área más grande es cíclico. De todos n -gons con un perímetro dado, el uno con el área más grande es regular (y por lo tanto cíclico). ^[10]

Polígonos regulares

Muchas fórmulas especializadas se aplican a las áreas de polígonos regulares .

El área de un polígono regular está dada en términos del radio r de su círculo inscrito y su perímetro p por

${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\cdot p\cdot r.}$

Este radio también se denomina apotema y a menudo se representa como a .

El área de un n -gon regular en términos del radio R de su círculo circunscrito se puede expresar trigonométricamente como: ^{[11] [12]}

${\displaystyle A=R^{2}\cdot {\frac {n}{2}}\cdot \sin {\frac {2\pi }{n}}=R^{2}\cdot n\cdot \sin {\frac {\pi }{n}}\cdot \cos {\frac {\pi }{n}}}$

El área de un ordinario n -gon inscrito en un círculo unidad de radio, con el lado de s y el ángulo interior también se puede expresar como trigonométricamente:${\displaystyle \alpha ,}$

${\displaystyle A={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\alpha }{n-2}}=n\cdot \sin {\frac {\alpha }{n-2}}\cdot \cos {\frac {\alpha }{n-2}}.}$

Auto-intersección

El área de un polígono que se interseca a sí mismo se puede definir de dos formas diferentes, dando diferentes respuestas:

• Usando las fórmulas para polígonos simples, permitimos que regiones particulares dentro del polígono puedan tener su área multiplicada por un factor que llamamos densidad de la región. Por ejemplo, el pentágono convexo central en el centro de un pentagrama tiene densidad 2. Las dos regiones triangulares de un cuadrilátero transversal (como una figura 8) tienen densidades de signo opuesto, y la suma de sus áreas puede dar un área total de cero. para toda la figura. ^[13]
• Considerando las regiones encerradas como conjuntos de puntos, podemos encontrar el área del conjunto de puntos encerrados. Corresponde al área del plano cubierto por el polígono o al área de uno o más polígonos simples que tienen el mismo contorno que el que se auto-interseca. En el caso del cuadrilátero transversal, se trata como dos triángulos simples. ^{[ cita requerida ]}

Centroide

Usando la misma convención para coordenadas de vértice que en la sección anterior, las coordenadas del centroide de un polígono sólido simple son

${\displaystyle C_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}),}$

${\displaystyle C_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}).}$

En estas fórmulas, se debe utilizar el valor del área con signo .${\displaystyle A}$

Para triángulos ( n = 3 ), los centroides de los vértices y de la forma sólida son los mismos, pero, en general, esto no es cierto para n > 3 . El centroide del conjunto de vértices de un polígono con n vértices tiene las coordenadas

${\displaystyle c_{x}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}x_{i},}$

${\displaystyle c_{y}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}y_{i}.}$

Generalizaciones

La idea de polígono se ha generalizado de varias formas. Algunos de los más importantes incluyen:

• Un polígono esférico es un circuito de arcos de grandes círculos (lados) y vértices en la superficie de una esfera. Permite el digón , un polígono que tiene solo dos lados y dos esquinas, lo cual es imposible en un plano plano. Los polígonos esféricos juegan un papel importante en la cartografía (elaboración de mapas) y en la construcción de Wythoff de los poliedros uniformes .
• Un polígono sesgado no se encuentra en un plano, sino en zigzags en tres (o más) dimensiones. Los polígonos de Petrie de los politopos regulares son ejemplos bien conocidos.
• Un apeirogon es una secuencia infinita de lados y ángulos, que no es cerrada pero no tiene extremos porque se extiende indefinidamente en ambas direcciones.
• Un apeirogon sesgado es una secuencia infinita de lados y ángulos que no se encuentran en un plano plano.
• Un polígono complejo es una configuración análoga a un polígono ordinario, que existe en el plano complejo de dos dimensiones reales y dos imaginarias .
• Un polígono abstracto es un conjunto algebraico parcialmente ordenado que representa los diversos elementos (lados, vértices, etc.) y su conectividad. Se dice que un polígono geométrico real es una realización del polígono abstracto asociado. Dependiendo del mapeo, se pueden realizar todas las generalizaciones descritas aquí.
• Un poliedro es un sólido tridimensional delimitado por caras poligonales planas, análogo a un polígono en dos dimensiones. Las formas correspondientes en cuatro o más dimensiones se denominan politopos . ^[14] (En otras convenciones, las palabras poliedro y politopo se utilizan en cualquier dimensión, con la distinción de que un politopo está necesariamente acotado. ^[15] )

Nombrar

La palabra polígono proviene del latín tardío polygōnum (un sustantivo), del griego πολύγωνον ( polygōnon / polugōnon ), uso sustantivo de neutro de πολύγωνος ( polygōnos / polugōnos , el adjetivo masculino), que significa "muchos ángulos". Los polígonos individuales se nombran (y a veces se clasifican) de acuerdo con el número de lados, combinando un prefijo numérico derivado del griego con el sufijo -gon , por ejemplo , pentágono , dodecágono . El triángulo , cuadrilátero y nonágono son excepciones.

Más allá de los decágonos (de 10 lados) y los dodecágonos (de 12 lados), los matemáticos generalmente usan notación numérica, por ejemplo, 17-gon y 257-gon. ^[dieciséis]

Existen excepciones para los recuentos paralelos que se expresan más fácilmente en forma verbal (por ejemplo, 20 y 30), o que son utilizados por no matemáticos. Algunos polígonos especiales también tienen sus propios nombres; por ejemplo, el pentágono de estrella regular también se conoce como pentagrama .

Nombres de polígono y propiedades varias

Nombre	Lados	Propiedades
monogon	1	Generalmente no se reconoce como un polígono, [17] aunque algunas disciplinas como la teoría de grafos a veces usan el término. [18]
excavar	2	Generalmente no se reconoce como polígono en el plano euclidiano, aunque puede existir como polígono esférico . [19]
triángulo (o trígono)	3	El polígono más simple que puede existir en el plano euclidiano. Puede embaldosar el avión.
cuadrilátero (o tetrágono)	4	El polígono más simple que puede cruzarse a sí mismo; el polígono más simple que puede ser cóncavo; el polígono más simple que puede ser no cíclico. Puede embaldosar el avión.
pentágono	5	[20] El polígono más simple que puede existir como una estrella regular. Un pentágono de estrella se conoce como pentagrama o pentáculo.
hexágono	6	[20] Puede enlosar el avión.
heptágono (o septagon)	7	[20] El polígono más simple tal que la forma regular no se pueda construir con compás y regla . Sin embargo, se puede construir utilizando una construcción Neusis .
octágono	8	[20]
nonágono (o eneágono)	9	[20] "Nonagon" mezcla latín [ novem = 9] con griego; "eneágono" es griego puro.
decágono	10	[20]
endecágono (o undecágono)	11	[20] El polígono más simple tal que la forma regular no se puede construir con compás, regla y trisector de ángulo .
dodecágono (o duodecágono)	12	[20]
tridecágono (o triskaidecágono)	13	[20]
tetradecágono (o tetracaidecágono)	14	[20]
pentadecágono (o pentakaidecágono)	15	[20]
hexadecágono (o hexakaidecágono)	dieciséis	[20]
heptadecagon (o heptakaidecagon)	17	Polígono construible [16]
octodecágono (o octakaidecagon)	18	[20]
enneadecágono (o enneakaidecágono)	19	[20]
icoságono	20	[20]
icositetragon (o icosikaitetragon)	24	[20]
triacontagon	30	[20]
tetracontagon (o tessaracontagon)	40	[20] [21]
pentacontagon (o pentecontagon)	50	[20] [21]
hexacontagon (o hexecontagon)	60	[20] [21]
heptacontagon (o hebdomecontagon)	70	[20] [21]
octacontagon (o ogdoëcontagon)	80	[20] [21]
enneacontagon (o enenecontagon)	90	[20] [21]
hectogon (o hecatontagon) [22]	100	[20]
257-gon	257	Polígono construible [16]
quiliagon	1000	Filósofos como René Descartes , [23] Immanuel Kant , [24] David Hume , [25] han utilizado el quiliagón como ejemplo en las discusiones.
miriagón	10,000	Utilizado como ejemplo en algunas discusiones filosóficas, por ejemplo en las Meditaciones de Descartes sobre la Primera Filosofía
65537-gon	65,537	Polígono construible [16]
megagon [26] [27] [28]	1.000.000	Al igual que con el ejemplo del quiliagón de René Descartes, el polígono de un millón de lados se ha utilizado como ilustración de un concepto bien definido que no se puede visualizar. [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] El megagon también se usa como una ilustración de la convergencia de polígonos regulares en un círculo. [36]
apeirogon	∞	Un polígono degenerado de infinitos lados.

Construyendo nombres más altos

Para construir el nombre de un polígono con más de 20 y menos de 100 aristas, combine los prefijos de la siguiente manera. ^[20] El término "kai" se aplica a 13-gons y superiores y fue utilizado por Kepler , y defendido por John H. Conway para la claridad de los números de prefijo concatenados en la denominación de poliedros cuasirregulares . ^[22]

Decenas		y	Unos		sufijo final
		-kai-	1	-hena-	-gon
20	icosi- (icosa- cuando está solo)		2	-di-
30	triaconta- (o triconta-)		3	-tri-
40	tetraconta- (o tessaraconta-)		4	-tetra-
50	pentaconta- (o penteconta-)		5	-penta-
60	hexaconta- (o hexeconta-)		6	-hexa-
70	heptaconta- (o hebdomeconta-)		7	-hepta-
80	octaconta- (o ogdoëconta-)		8	-octa-
90	enneaconta- (o eneneconta-)		9	-ennea-

Historia

Imagen histórica de polígonos (1699)

Los polígonos se conocen desde la antigüedad. Los polígonos regulares eran conocidos por los antiguos griegos, con el pentagrama , un polígono regular no convexo (polígono de estrella ), que apareció ya en el siglo VII a. C. en una crátera de Aristófanes , encontrada en Caere y ahora en el Museo Capitolino . ^{[37] [38]}

El primer estudio sistemático conocido de polígonos no convexos en general fue realizado por Thomas Bradwardine en el siglo XIV. ^[39]

En 1952, Geoffrey Colin Shephard generalizó la idea de polígonos al plano complejo, donde cada dimensión real está acompañada de una imaginaria , para crear polígonos complejos . ^[40]

En naturaleza

The Giant's Causeway , en Irlanda del Norte

Los polígonos aparecen en formaciones rocosas, más comúnmente como las facetas planas de los cristales , donde los ángulos entre los lados dependen del tipo de mineral del que está hecho el cristal.

Los hexágonos regulares pueden ocurrir cuando el enfriamiento de la lava forma áreas de columnas de basalto muy compactas , que se pueden ver en la Calzada del Gigante en Irlanda del Norte , o en el Postpile del Diablo en California .

En biología , la superficie del panal de abejas de cera es una matriz de hexágonos , y los lados y la base de cada celda también son polígonos.

Gráficos de computadora

Artículo principal: Polígono (gráficos por computadora)

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En gráficos por computadora , un polígono es una primitiva utilizada en el modelado y la representación. Se definen en una base de datos que contiene matrices de vértices (las coordenadas de los vértices geométricos , así como otros atributos del polígono, como color, sombreado y textura), información de conectividad y materiales . ^{[41] [42]}

Cualquier superficie se modela como una teselación llamada malla poligonal . Si una malla cuadrada tiene n + 1 puntos (vértices) por lado, hay n cuadrados en la malla, o 2 n triángulos cuadrados ya que hay dos triángulos en un cuadrado. Hay ( n + 1) ² /2 ( n ² ) vértices por triángulo. Donde n es grande, se acerca a la mitad. O bien, cada vértice dentro de la malla cuadrada conecta cuatro bordes (líneas).

El sistema de imágenes llama la estructura de polígonos necesaria para crear la escena a partir de la base de datos. Esto se transfiere a la memoria activa y, finalmente, al sistema de visualización (pantalla, monitores de TV, etc.) para que se pueda ver la escena. Durante este proceso, el sistema de imágenes muestra los polígonos en la perspectiva correcta, listos para la transmisión de los datos procesados ​​al sistema de visualización. Aunque los polígonos son bidimensionales, a través de la computadora del sistema se colocan en una escena visual con la orientación tridimensional correcta.

En gráficos por computadora y geometría computacional , a menudo es necesario determinar si un punto dado P = ( x ₀ , y ₀ ) se encuentra dentro de un polígono simple dado por una secuencia de segmentos de línea. Esto se llama prueba de punto en polígono . ^[43]

Ver también

• Operaciones booleanas sobre polígonos
• Gráfico completo
• Polígono construible
• Polígono cíclico
• Forma geometrica
• Golygon
• Lista de polígonos
• Polyform
• Sopa de polígono
• Triangulación de polígono
• Polígono de precisión
• Espirolateral
• Geometría sintética
• Embaldosado
• Rompecabezas de mosaico

Referencias

Bibliografía

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Notas

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enlaces externos

Busque polígono en Wiktionary, el diccionario gratuito.

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con polígonos .

• Weisstein, Eric W. "Polígono" . MathWorld .
• ¿Qué son los poliedros? , con prefijos numéricos griegos
• Polígonos, tipos de polígonos y propiedades de polígonos , con animación interactiva
• Cómo dibujar polígonos ortogonales monocromáticos en pantallas , por Herbert Glarner
• comp.graphics.algorithms Preguntas frecuentes , soluciones a problemas matemáticos que calculan polígonos 2D y 3D
• Comparación de los diferentes algoritmos para operaciones poligonales booleanas , compara capacidades, velocidad y robustez numérica
• Suma de ángulos interiores de polígonos: una fórmula general , proporciona una investigación Java interactiva que extiende la fórmula de suma de ángulos interiores para polígonos cerrados simples para incluir polígonos cruzados (complejos)

v t mi Politopos regulares y uniformes convexos fundamentales en dimensiones 2–10
Familia	A n	B n	I 2 (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
Polígono regular	Triángulo	Cuadrado	p-gon	Hexágono	Pentágono
Poliedro uniforme	Tetraedro	Octaedro • Cubo	Demicubo		Dodecaedro • Icosaedro
Politopo uniforme 4	5 celdas	16 celdas • Tesseract	Demitesseract	24 celdas	120 celdas • 600 celdas
5 politopos uniformes	5-simplex	5 ortoplex • 5 cubos	5-demicubo
6 politopos uniformes	6-simplex	6 ortoplex • 6 cubos	6-demicubo	1 22 • 2 21
7 politopos uniformes	7-simplex	7-ortoplex • 7-cubo	7-demicubo	1 32 • 2 31 • 3 21
Politopo uniforme de 8	8 simplex	8 ortoplex • 8 cubos	8-demicubo	1 42 • 2 41 • 4 21
9 politopos uniformes	9 simplex	9-ortoplex • 9-cubo	9-demicubo
Politopo uniforme 10	10-simplex	10-ortoplex • 10-cubo	10-demicubo
Uniforme n - politopo	n - simplex	n - ortoplex • n - cubo	n - demicube	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - politopo pentagonal
Temas: familias Polytope • politopo regular • Lista de politopos regulares y compuestos