Simetría involutiva C s , (*) [] = | Simetría cíclica C nv , (* nn) [n] = | Simetría diedro D nh , (* n22) [n, 2] = | |
Grupo poliédrico , [n, 3], (* n32) | |||
---|---|---|---|
Simetría tetraédrica T d , (* 332) [3,3] = | Octaédrica simetría O h , (* 432) [4,3] = | Simetría icosaédrica I h , (* 532) [5,3] = |
En geometría , el grupo poliédrico es cualquiera de los grupos de simetría de los sólidos platónicos .
Grupos
Hay tres grupos poliédricos:
- El grupo tetraédrico de orden 12, grupo de simetría rotacional del tetraedro regular . Es isomorfo a A 4 .
- Las clases de conjugación de T son:
- identidad
- 4 × rotación de 120 °, orden 3, derecha
- 4 × rotación de 120 °, orden 3, ccw
- 3 × rotación de 180 °, orden 2
- Las clases de conjugación de T son:
- El grupo octaédrico de orden 24, grupo de simetría rotacional del cubo y el octaedro regular . Es isomorfo a S 4 .
- Las clases de conjugación de O son:
- identidad
- 6 × rotación de ± 90 ° alrededor de los vértices, orden 4
- 8 × rotación de ± 120 ° alrededor de los centros de los triángulos, orden 3
- 3 × rotación de 180 ° alrededor de los vértices, orden 2
- 6 × rotación de 180 ° alrededor de los puntos medios de los bordes, orden 2
- Las clases de conjugación de O son:
- El grupo icosaédrico de orden 60, grupo de simetría rotacional del dodecaedro regular y del icosaedro regular . Es isomorfo a A 5 .
- Las clases de conjugación de I son:
- identidad
- 12 × rotación de ± 72 °, orden 5
- 12 × rotación de ± 144 °, orden 5
- 20 × rotación de ± 120 °, orden 3
- 15 × rotación de 180 °, orden 2
- Las clases de conjugación de I son:
Estas simetrías se duplican a 24, 48, 120 respectivamente para los grupos de reflexión completos. Las simetrías de reflexión tienen 6, 9 y 15 espejos respectivamente. La simetría octaédrica, [4,3] puede verse como la unión de 6 espejos de simetría tetraédrica [3,3] y 3 espejos de simetría diedro Dih 2 , [2,2]. La simetría piritoédrica es otra duplicación de la simetría tetraédrica.
Las clases de conjugación de simetría tetraédrica completa, T d ≅ S 4 , son:
- identidad
- 8 × rotación por 120 °
- 3 × rotación de 180 °
- 6 × reflexión en un plano a través de dos ejes de rotación
- 6 × rotorreflexión en 90 °
Las clases de conjugación de simetría piritoédrica, T h , incluyen las de T , con las dos clases de 4 combinadas, y cada una con inversión:
- identidad
- 8 × rotación por 120 °
- 3 × rotación de 180 °
- inversión
- 8 × rotorreflexión en 60 °
- 3 × reflexión en un avión
Las clases de conjugación del grupo octaédrico completo, O h ≅ S 4 × C 2 , son:
- inversión
- 6 × rotorreflexión en 90 °
- 8 × rotorreflexión en 60 °
- 3 × reflexión en un plano perpendicular a un eje cuádruple
- 6 × reflexión en un plano perpendicular a un eje doble
Las clases de conjugación de simetría icosaédrica completa, I h ≅ A 5 × C 2 , incluyen también cada una con inversión:
- inversión
- 12 × rotorreflexión en 108 °, orden 10
- 12 × rotorreflexión en 36 °, orden 10
- 20 × rotorreflexión en 60 °, orden 6
- 15 × reflexión, orden 2
Grupos poliédricos quirales
Nombre ( Orb. ) | Notación Coxeter | Pedido | Estructura abstracta | Puntos de rotación # valencia | Diagramas | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Ortogonal | Estereográfica | |||||||
T (332) | [3,3] + | 12 | A 4 | 4 3 3 2 | ||||
T h (3 * 2) | [4,3 + ] | 24 | Un 4 × 2 | 4 3 3 * 2 | ||||
O (432) | [4,3] + | 24 | S 4 | 3 4 4 3 6 2 | ||||
Yo (532) | [5,3] + | 60 | A 5 | 6 5 10 3 15 2 |
Grupos poliédricos completos
Weyl Schoe. ( Orbe. ) | Notación Coxeter | Pedido | Estructura abstracta | Número de Coxeter (h) | Espejos (m) | Diagramas de espejo | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Ortogonal | Estereográfica | ||||||||
A 3 T d (* 332) | [3,3] | 24 | S 4 | 4 | 6 | ||||
B 3 O h (* 432) | [4,3] | 48 | S 4 × 2 | 8 | 3 6 | ||||
H 3 yo h (* 532) | [5,3] | 120 | Un 5 × 2 | 10 | 15 |
Ver también
- Símbolo de Wythoff
- Lista de grupos de simetría esférica
Referencias
- Coxeter, HSM Regular Polytopes , 3ª ed. Nueva York: Dover, 1973. ( Los grupos poliédricos. §3.5, págs. 46–47)
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Grupo poliédrico" . MathWorld .