En álgebra , la división larga polinomial es un algoritmo para dividir un polinomio por otro polinomio del mismo o menor grado , una versión generalizada de la conocida técnica aritmética llamada división larga . Se puede hacer fácilmente a mano, porque separa un problema de división complejo en otros más pequeños. A veces, usar una versión abreviada llamada división sintética es más rápido, con menos escritura y menos cálculos. Otro método abreviado es la división corta de polinomios (método de Blomqvist).
La división larga de polinomios es un algoritmo que implementa la división euclidiana de polinomios , que partiendo de dos polinomios A (el dividendo ) y B (el divisor ) produce, si B no es cero, un cociente Q y un resto R tal que
- A = BQ + R ,
y, o bien R = 0 o el grado de R es menor que el grado de B . Estas condiciones definen de forma única Q y R , lo que significa que Q y R no dependen del método utilizado para calcularlos.
El resultado R = 0 ocurre si y solo si el polinomio A tiene a B como factor . Por tanto, la división larga es un medio para comprobar si un polinomio tiene otro como factor y, si lo tiene, para factorizarlo. Por ejemplo, si se conoce una raíz r de A , se puede factorizar dividiendo A por ( x - r ).
Ejemplo
División larga polinomial
Encuentre el cociente y el resto de la división de el dividendo , porel divisor .
El dividendo se reescribe primero así:
El cociente y el resto se pueden determinar de la siguiente manera:
- Divida el primer término del dividendo por el término más alto del divisor (es decir, el que tiene la mayor potencia de x , que en este caso es x ). Coloque el resultado encima de la barra ( x 3 ÷ x = x 2 ).
- Multiplica el divisor por el resultado que acabas de obtener (el primer término del cociente eventual). Escriba el resultado debajo de los dos primeros términos del dividendo ( x 2 · ( x - 3) = x 3 - 3 x 2 ).
- Reste el producto que acaba de obtener de los términos apropiados del dividendo original (teniendo cuidado de que restar algo que tenga un signo menos sea equivalente a sumar algo que tenga un signo más) y escriba el resultado debajo ( ( x 3 - 2 x 2 ) - ( x 3 - 3 x 2 ) = -2 x 2 + 3 x 2 = x 2 ). Luego, "reduzca" el siguiente término del dividendo.
- Repita los tres pasos anteriores, excepto que esta vez use los dos términos que se acaban de escribir como dividendo.
- Repita el paso 4. Esta vez, no hay nada que "tirar hacia abajo".
El polinomio sobre la barra es el cociente q ( x ), y el número que queda (5) es el resto r ( x ).
El algoritmo de división larga para aritmética es muy similar al algoritmo anterior, en el que la variable x se reemplaza por el número específico 10.
División corta polinomial
El método de Blomqvist [1] es una versión abreviada de la división larga anterior. Este método de lápiz y papel usa el mismo algoritmo que la división polinomial larga, pero se usa el cálculo mental para determinar los residuos. Esto requiere menos escritura y, por lo tanto, puede ser un método más rápido una vez que se domina.
Al principio, la división se escribe de manera similar a la multiplicación larga con el dividendo en la parte superior y el divisor debajo. El cociente debe escribirse debajo de la barra de izquierda a derecha.
Divide el primer término del dividendo por el término más alto del divisor ( x 3 ÷ x = x 2 ). Coloque el resultado debajo de la barra. x 3 se ha dividido sin dejar resto y, por lo tanto, se puede marcar como usado con una barra invertida. El resultado x 2 luego se multiplica por el segundo término en el divisor −3 = −3 x 2 . Determine el resto parcial restando −2 x 2 - (−3 x 2 ) = x 2 . Marque −2 x 2 como usado y coloque el nuevo resto x 2 encima.
Divida el término más alto del resto por el término más alto del divisor ( x 2 ÷ x = x ). Coloque el resultado (+ x) debajo de la barra. x 2 se ha dividido sin dejar resto y, por lo tanto, se puede marcar como usado. Luego, el resultado x se multiplica por el segundo término en el divisor −3 = −3 x . Determine el resto parcial restando 0 x - (−3 x ) = 3 x . Marque 0x como usado y coloque el nuevo resto 3 x arriba.
Divida el término más alto del resto por el término más alto del divisor (3x ÷ x = 3). Coloque el resultado (+3) debajo de la barra. 3x se ha dividido sin dejar resto y, por lo tanto, se puede marcar como usado. Luego, el resultado 3 se multiplica por el segundo término en el divisor −3 = −9. Determine el resto parcial restando −4 - (−9) = 5. Marque −4 como usado y coloque el nuevo resto 5 encima.
El polinomio debajo de la barra es el cociente q ( x ), y el número que queda (5) es el resto r ( x ).
Pseudocódigo
El algoritmo se puede representar en pseudocódigo de la siguiente manera, donde +, - y × representan la aritmética polinomial y / representa la división simple de dos términos:
la función n / d es requiere d ≠ 0 q ← 0 r ← n // En cada paso n = d × q + r mientras que r ≠ 0 y grado (r) ≥ grado (d) hacen t ← lead (r) / lead (d) // Divide los términos principales q ← q + t r ← r - t × d volver (q, r)
Tenga en cuenta que esto funciona igualmente bien cuando grado ( n )
Este algoritmo describe exactamente el método de lápiz y papel anterior: d está escrito a la izquierda de ")"; q se escribe, término tras término, sobre la línea horizontal, siendo el último término el valor de t ; la región debajo de la línea horizontal se usa para calcular y escribir los valores sucesivos de r .
División euclidiana
Para cada par de polinomios ( A , B ) tales que B ≠ 0, la división de polinomios proporciona un cociente Q y un resto R tal que
y R = 0 o grado ( R )
El proceso de obtener los polinomios Q y R definidos de forma única a partir de A y B se llama división euclidiana (a veces transformación de división ). La división larga polinomial es, por tanto, un algoritmo para la división euclidiana. [2]
Aplicaciones
Factorizar polinomios
A veces se conocen una o más raíces de un polinomio, quizás habiendo sido encontradas usando el teorema de la raíz racional . Si se conoce una raíz r de un polinomio P ( x ) de grado n, entonces se puede usar la división larga del polinomio para factorizar P ( x ) en la forma ( x - r ) ( Q ( x )) donde Q ( x ) es un polinomio de grado n - 1. Q ( x ) es simplemente el cociente obtenido del proceso de división; dado que se sabe que r es una raíz de P ( x ), se sabe que el resto debe ser cero.
Asimismo, si se conoce más de una raíz, se puede dividir un factor lineal ( x - r ) en una de ellas ( r ) para obtener Q ( x ), y luego se puede dividir un término lineal en otra raíz, s , de Q ( x ), etc. Alternativamente, todos ellos pueden dividirse a cabo a la vez: por ejemplo, los factores lineales x - r y x - s pueden ser multiplicados juntos para obtener el factor cuadrático x 2 - ( r + s ) x + rs , que luego se puede dividir en el polinomio original P ( x ) para obtener un cociente de grado n - 2.
De esta forma, en ocasiones se pueden obtener todas las raíces de un polinomio de grado superior a cuatro, aunque eso no siempre es posible. Por ejemplo, si el teorema de la raíz racional se puede usar para obtener una raíz simple (racional) de un polinomio quíntico , se puede factorizar para obtener un cociente cuártico (cuarto grado); la fórmula explícita de las raíces de un polinomio cuártico se puede utilizar para encontrar las otras cuatro raíces de la quintica.
Encontrar tangentes a funciones polinomiales
La división larga de polinomios se puede usar para encontrar la ecuación de la línea que es tangente a la gráfica de la función definida por el polinomio P ( x ) en un punto particular x = r . [3] Si R ( x ) es el resto de la división de P ( x ) entre ( x - r ) 2 , entonces la ecuación de la recta tangente en x = r a la gráfica de la función y = P ( x ) es y = R ( x ), independientemente de si r es una raíz del polinomio o no .
Ejemplo
- Encuentre la ecuación de la línea que es tangente a la siguiente curva en :
- Comience dividiendo el polinomio por :
- La recta tangente es
Verificación de redundancia cíclica
Una verificación de redundancia cíclica utiliza el resto de la división polinomial para detectar errores en los mensajes transmitidos.
Ver también
- Teorema del residuo polinomial
- División sintética , un método más conciso para realizar la división polinomial euclidiana
- La regla de Ruffini
- Dominio euclidiano
- Base Gröbner
- Máximo común divisor de dos polinomios
Referencias
- ^ División de Blomqvist: ¿el método más simple para resolver divisiones? , consultado el 10 de diciembre de 2019
- ^ S. Barnard (2008). Álgebra superior . LEER LIBROS. pag. 24. ISBN 1-4437-3086-6.
- ^ Strickland-Constable, Charles, "Un método simple para encontrar tangentes a gráficos polinomiales", Mathematical Gazette 89, noviembre de 2005: 466-467.