Signo (matemáticas)

No confundir con la función seno en trigonometría.

Para los símbolos denominados "... signo", consulte Lista de símbolos matemáticos .

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Los símbolos más y menos se utilizan para mostrar el signo de un número.

En matemáticas , el concepto de signo se origina en la propiedad de que todo número real es positivo, negativo o cero . Dependiendo de las convenciones locales, el cero se considera ni como un número positivo ni negativo (sin signo o con un signo específico propio), o como perteneciente a números negativos y positivos (con ambos signos). ^{[ cita requerida ]} Siempre que no se mencione específicamente, este artículo se adhiere a la primera convención.

En algunos contextos, tiene sentido considerar un cero con signo (como representaciones de punto flotante de números reales dentro de las computadoras). En matemáticas y física, la frase "cambio de signo" está asociada con la generación del inverso aditivo (negación o multiplicación por -1 ) de cualquier objeto que permita esta construcción y no se restringe a números reales. Se aplica, entre otros objetos, a vectores, matrices y números complejos, ^[1] que no están prescritos para ser solo positivos, negativos o cero. La palabra "signo" también se utiliza a menudo para indicar otros aspectos binarios de los objetos matemáticos que se asemejan a la positividad y la negatividad, como par e impar ( signo de una permutación), sentido de orientación o rotación ( cw / ccw ), límites unilaterales y otros conceptos descritos en § Otros significados a continuación.

Signo de un número

Los números de varios sistemas numéricos, como enteros , racionales , números complejos , cuaterniones , octoniones , ... pueden tener múltiples atributos, que fijan ciertas propiedades de un número. Si un sistema numérico tiene la estructura de un anillo ordenado , por ejemplo, los números enteros, debe contener un número que no cambie ningún número cuando se le suma (un elemento de identidad aditivo ). Este número generalmente se denota como 0. Debido al orden total en este anillo, hay números mayores que cero, llamados positivos.números. Para otras propiedades requeridas dentro de un anillo, para cada número positivo existe un número menor que 0 que, cuando se suma al número positivo, da el resultado 0. Estos números menores que 0 se denominan números negativos . Los números en cada uno de esos pares son sus respectivos inversos aditivos . Este atributo de un número, que es exclusivamente cero (0) , positivo (+) o negativo (-) , se denomina signo y, a menudo, se codifica con los números reales 0, 1 y −1.respectivamente (similar a la forma en que se define la función de signo ). ^[2] Dado que los números racionales y reales también son anillos ordenados ( campos pares ), estos sistemas numéricos comparten el mismo atributo de signo .

Mientras que en aritmética , generalmente se piensa que un signo menos representa la operación binaria de resta, en álgebra , generalmente se piensa que representa la operación unaria que produce la inversa aditiva (a veces llamada negación ) del operando. Mientras que 0 es su propio inverso aditivo (−0 = 0), el inverso aditivo de un número positivo es negativo y el inverso aditivo de un número negativo es positivo. Una aplicación doble de esta operación se escribe como - (- 3) = 3. El signo más se usa predominantemente en álgebra para denotar la operación binaria de suma, y ​​sólo raras veces para enfatizar la positividad de una expresión.

En la notación numérica común (utilizada en aritmética y en otros lugares), el signo de un número a menudo se hace explícito colocando un signo más o menos antes del número. Por ejemplo, +3 denota "tres positivos" y −3 denota "tres negativos" (algebraicamente: el inverso aditivo de 3 ). Sin un contexto específico (o cuando no se da un signo explícito), un número se interpreta por defecto como positivo. Esta notación establece una fuerte asociación del signo menos " - " con números negativos y el signo más "+" con números positivos.

Signo de cero

Dentro de la convención de que el cero no es ni positivo ni negativo, se puede asignar un valor de signo específico 0 al valor numérico 0 . Esto se explota en la función- , como se define para números reales. ^[2] En aritmética, +0 y −0 denotan el mismo número 0 . En general, no hay peligro de confundir el valor con su signo, aunque la convención de asignar ambos signos a 0 no permite esta discriminación de inmediato. sgn {\ Displaystyle \ operatorname {sgn}}

En algunos contextos, especialmente en informática , es útil considerar versiones con signo de cero, con ceros con signo que se refieren a diferentes representaciones de números discretos (consulte las representaciones de números con signo para obtener más información).

Los símbolos +0 y −0 rara vez aparecen como sustitutos de 0 ⁺ y 0 ^- , utilizados en cálculo y análisis matemático para límites unilaterales (límite del lado derecho y límite del lado izquierdo, respectivamente). ^[3] Esta notación se refiere al comportamiento de una función cuando su variable de entrada real se acerca a 0 a lo largo de valores positivos (o negativos); los dos límites no tienen por qué existir o coincidir.

Terminología para signos

Cuando se dice que 0 no es ni positivo ni negativo, las siguientes frases pueden referirse al signo de un número:

• Un número es positivo si es mayor que cero.
• Un número es negativo si es menor que cero.
• Un número no es negativo si es mayor o igual a cero.
• Un número no es positivo si es menor o igual a cero.

Cuando se dice que 0 es tanto positivo como negativo, se utilizan frases modificadas para hacer referencia al signo de un número:

• Un número es estrictamente positivo si es mayor que cero.
• Un número es estrictamente negativo si es menor que cero.
• Un número es positivo si es mayor o igual a cero.
• Un número es negativo si es menor o igual que cero.

Por ejemplo, el valor absoluto de un número real es siempre "no negativo", pero no es necesariamente "positivo" en la primera interpretación, mientras que en la segunda interpretación se denomina "positivo", aunque no necesariamente "estrictamente positivo". .

A veces se utiliza la misma terminología para funciones que producen valores reales o con signo. Por ejemplo, una función se llamaría función positiva si sus valores son positivos para todos los argumentos de su dominio, o función no negativa si todos sus valores son no negativos.

Números complejos

Los números complejos son imposibles de ordenar, por lo que no pueden llevar la estructura de un anillo ordenado y, en consecuencia, no se pueden dividir en números complejos positivos y negativos. Sin embargo, comparten un atributo con los reales, que se llama valor absoluto o magnitud . Las magnitudes son siempre números reales no negativos, y a cualquier número distinto de cero le pertenece un número real positivo, su valor absoluto .

Por ejemplo, el valor absoluto de −3 y el valor absoluto de 3 son ambos iguales a 3. Esto se escribe en símbolos como | −3 | = 3 y | 3 | = 3.

En general, cualquier valor real arbitrario puede especificarse por su magnitud y su signo. Usando la codificación estándar, cualquier valor real viene dado por el producto de la magnitud y el signo en la codificación estándar. Esta relación se puede generalizar para definir un signo para números complejos.

Dado que los números reales y complejos forman un campo y contienen los reales positivos, también contienen los recíprocos de las magnitudes de todos los números distintos de cero. Esto significa que cualquier número distinto de cero puede multiplicarse por el recíproco de su magnitud, es decir, dividido por su magnitud. Es inmediato que el cociente de cualquier número real distinto de cero por su magnitud da exactamente su signo. Por analogía, el signo de un número complejo z se puede definir como el cociente de z y su magnitud | z | . Dado que la magnitud del número complejo se divide, el signo resultante del número complejo representa en cierto sentido su argumento complejo. Esto debe compararse con el signo de los números reales, excepto con Para la definición de una función de signo compleja. ver § Función de signo complejo a continuación.${\displaystyle e^{i\pi }=-1.}$

Funciones de señal

Función de signo real y = sgn ( x )

Artículo principal: función de signo

Cuando se trata de números, a menudo es conveniente tener su signo disponible como número. Esto se logra mediante funciones que extraen el signo de cualquier número y lo asignan a un valor predefinido antes de que esté disponible para cálculos posteriores. Por ejemplo, podría ser ventajoso formular un algoritmo intrincado solo para valores positivos y ocuparse del signo solo después.

Función de signo real

La función de signo o función de signo extrae el signo de un número real, mapeando el conjunto de números reales al conjunto de los tres reales. Se puede definir de la siguiente manera: ^[2]${\displaystyle \{-1,\;0,\;1\}.}$

${\displaystyle \operatorname {sgn} :\mathbb {R} \to \{x\in \mathbb {R} :|x|=1\}\cup \{0\}}$

${\displaystyle x\mapsto \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\~~\,0&{\text{if }}x=0,\\~~\,1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}$

Por tanto, sgn ( x ) es 1 cuando x es positivo y sgn ( x ) es −1 cuando x es negativo. Para valores distintos de cero de x , esta función también se puede definir mediante la fórmula

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}}$,

donde | x | es el valor absoluto de x .

Función de señal compleja

Mientras que un número real tiene una dirección unidimensional, un número complejo tiene una dirección bidimensional. La función de signo complejo requiere la magnitud de su argumento z = x + iy , que se puede calcular como

${\displaystyle |z|={\sqrt {z{\bar {z}}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

De manera análoga a lo anterior, la función de signo complejo extrae el signo complejo de un número complejo al mapear el conjunto de números complejos distintos de cero al conjunto de números complejos unimodulares, y de 0 a 0: se puede definir de la siguiente manera:${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}\cup \{0\}.}$

Sea z también expresado por su magnitud y uno de sus argumentos φ como z = | z | ⋅ e ^iφ , luego ^[4]

${\displaystyle \operatorname {sgn}(z)={\begin{cases}0&&{\text{for }}z=0\\\displaystyle {\frac {z}{|z|}}=e^{i\varphi }&&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Esta definición también puede reconocerse como un vector normalizado, es decir, un vector cuya dirección no cambia y cuya longitud se fija a la unidad . Si el valor original era R, θ en forma polar, entonces el signo (R, θ) es 1 θ. La extensión de sign () o signum () a cualquier número de dimensiones es obvia, pero esto ya se ha definido como normalizar un vector.

Señales por convención

Artículo principal: Convención de signos

En situaciones en las que hay exactamente dos posibilidades en pie de igualdad para un atributo, estos se etiquetan a menudo por convención como más y menos , respectivamente. En algunos contextos, la elección de esta asignación (es decir, qué rango de valores se considera positivo y cuál negativo) es natural, mientras que en otros contextos, la elección es arbitraria, lo que hace necesaria una convención de signos explícita, siendo el único requisito el uso coherente de la Convención.

Signo de un ángulo

Al medir desde el eje x , los ángulos del círculo unitario cuentan como positivos en el sentido contrario a las agujas del reloj y negativos en el sentido de las agujas del reloj .

En muchos contextos, es común asociar un signo con la medida de un ángulo , particularmente un ángulo orientado o un ángulo de rotación . En tal situación, el signo indica si el ángulo está en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario a las agujas del reloj. Aunque se pueden usar diferentes convenciones, es común en matemáticas que los ángulos en sentido antihorario cuenten como positivos y los ángulos en el sentido de las agujas del reloj cuenten como negativos. ^[5]

También es posible asociar un signo a un ángulo de rotación en tres dimensiones, asumiendo que el eje de rotación ha sido orientado. Específicamente, una rotación hacia la derecha alrededor de un eje orientado generalmente cuenta como positiva, mientras que una rotación hacia la izquierda cuenta como negativa.

Signo de un cambio

Cuando una cantidad x cambia con el tiempo, el cambio en el valor de x se define típicamente por la ecuación

${\displaystyle \Delta x=x_{\text{final}}-x_{\text{initial}}.}$

Usando esta convención, un aumento de x cuenta como un cambio positivo, mientras que una disminución de x cuenta como un cambio negativo. En cálculo , esta misma convención se usa en la definición de la derivada . Como resultado, cualquier función creciente tiene derivada positiva, mientras que cualquier función decreciente tiene derivada negativa.

Señal de una dirección

En geometría analítica y física , es común etiquetar ciertas direcciones como positivas o negativas. Para un ejemplo básico, la recta numérica generalmente se dibuja con números positivos a la derecha y números negativos a la izquierda:

Como resultado, cuando se habla de movimiento lineal , desplazamiento o velocidad , un movimiento hacia la derecha generalmente se considera positivo, mientras que un movimiento similar hacia la izquierda se considera negativo.

En el plano cartesiano , las direcciones hacia la derecha y hacia arriba generalmente se consideran positivas, siendo hacia la derecha la dirección x positiva y hacia arriba la dirección y positiva . Si un vector de desplazamiento o velocidad se separa en sus componentes vectoriales , entonces la parte horizontal será positiva para el movimiento hacia la derecha y negativa para el movimiento hacia la izquierda, mientras que la parte vertical será positiva para el movimiento hacia arriba y negativa para el movimiento hacia abajo.

Firma en informática

parte más significante
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
La mayoría de las computadoras usan el complemento a dos para representar el signo de un número entero.

Artículo principal: Firma

En informática , un valor entero puede estar firmado o sin firmar, dependiendo de si la computadora está realizando un seguimiento de un signo para el número. Al restringir una variable entera a valores no negativos únicamente, se puede usar un bit más para almacenar el valor de un número. Debido a la forma en que se realiza la aritmética de enteros en las computadoras, las representaciones de números con signo generalmente no almacenan el signo como un solo bit independiente, sino que utilizan, por ejemplo, el complemento a dos .

Por el contrario, los números reales se almacenan y manipulan como valores de coma flotante . Los valores de coma flotante se representan mediante tres valores separados, mantisa, exponente y signo. Dado este bit de signo separado, es posible representar tanto el cero positivo como el negativo. La mayoría de los lenguajes de programación normalmente tratan el cero positivo y el cero negativo como valores equivalentes, aunque proporcionan un medio por el cual se puede detectar la distinción.

Otros significados

La carga eléctrica puede ser positiva o negativa.

Además del signo de un número real, el signo de la palabra también se usa de varias formas relacionadas en las matemáticas y otras ciencias:

• Palabras de hasta firman media que, para una cantidad q , se sabe que, o bien q = Q o Q = - Q con certeza Q . A menudo se expresa como q = ± Q . Para números reales, significa que solo el valor absoluto | q | de la cantidad se conoce. Para números complejos y vectores , una cantidad conocida hasta el signo es una condición más fuerte que una cantidad con magnitud conocida : aparte de Q y - Q, hay muchos otros valores posibles de q tales que | q | = | Q | .
• El signo de una permutación se define como positivo si la permutación es par y negativo si la permutación es impar.
• En teoría de grafos , un gráfico con signo es un gráfico en el que cada borde se ha marcado con un signo positivo o negativo.
• En el análisis matemático , una medida con signo es una generalización del concepto de medida en la que la medida de un conjunto puede tener valores positivos o negativos.
• En una representación de dígitos con signo , cada dígito de un número puede tener un signo positivo o negativo.
• Las ideas de área con signo y volumen con signo se utilizan a veces cuando es conveniente que ciertas áreas o volúmenes cuenten como negativos. Esto es particularmente cierto en la teoría de los determinantes . En un espacio vectorial orientado (abstracto) , cada base ordenada para el espacio vectorial puede clasificarse como orientada positiva o negativamente.
• En física , cualquier carga eléctrica viene con un signo, ya sea positivo o negativo. Por convención, una carga positiva es una carga con el mismo signo que la de un protón y una carga negativa es una carga con el mismo signo que la de un electrón .

Ver también

• Signo más-menos
• Elemento positivo
• Firma
• Simetría en matemáticas

Referencias

1. "Lista completa de símbolos de álgebra" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-25 . Consultado el 26 de agosto de 2020 .
2. Weisstein, Eric W. "Signo" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 26 de agosto de 2020 .
3. "Lista de símbolos de análisis y cálculo" . Bóveda de matemáticas . 2020-05-11 . Consultado el 26 de agosto de 2020 .
4. "SignumFunction" . www.cs.cas.cz . Consultado el 26 de agosto de 2020 .
5. "Signo de ángulos | ¿Qué es un ángulo? | Ángulo positivo | Ángulo negativo" . Matemáticas solo matemáticas . Consultado el 26 de agosto de 2020 .