En cálculo , la regla de la potencia se usa para diferenciar funciones de la forma, cuando sea es un número real. Dado que la diferenciación es una operación lineal en el espacio de funciones diferenciables, los polinomios también se pueden diferenciar usando esta regla. La regla de la potencia subyace a la serie de Taylor, ya que relaciona una serie de potencias con las derivadas de una función .
Declaración de la regla del poder
Si es una función tal que , y es diferenciable en , luego,
La regla del poder para la integración , que establece que
para cualquier número real , se puede derivar invirtiendo la regla de potencia para la diferenciación.
Pruebas
Prueba de exponentes reales
Para empezar, debemos elegir una definición de trabajo del valor de , dónde es cualquier número real. Si bien es factible definir el valor como el límite de una secuencia de poderes racionales que se acercan al poder irracional cada vez que encontramos tal poder, o como el límite mínimo superior de un conjunto de poderes racionales menores que el poder dado, este tipo de la definición no es susceptible de diferenciación. Por tanto, es preferible utilizar una definición funcional, que normalmente se considera para todos los valores de , dónde es la función exponencial natural yes el número de Euler . [1] [2] Primero, podemos demostrar que la derivada de es .
Si , luego , dónde es la función logaritmo natural , la función inversa de la función exponencial, como lo demostró Euler. [3] Dado que las dos últimas funciones son iguales para todos los valores de, sus derivadas también son iguales, siempre que exista cualquiera de las derivadas, por lo que tenemos, por la regla de la cadena ,
o , como se requirió. Por lo tanto, aplicar la regla de la cadena a, vemos eso
que simplifica a .
Cuándo , podemos usar la misma definición con , donde ahora tenemos . Esto conduce necesariamente al mismo resultado. Tenga en cuenta que porque no tiene una definición convencional cuando no es un número racional, las funciones de potencia irracionales no están bien definidas para bases negativas. Además, como las potencias racionales de -1 con denominadores pares (en términos más bajos) no son números reales, estas expresiones solo tienen valor real para potencias racionales con denominadores impares (en términos más bajos).
Finalmente, siempre que la función sea diferenciable en , el límite de definición para la derivada es:
que produce 0 solo cuando es un número racional con denominador impar (en términos más bajos) y , y 1 cuando r = 1. Para todos los demás valores de r, la expresión no está bien definido para , como se mencionó anteriormente, o no es un número real, por lo que el límite no existe como una derivada con valor real. Para los dos casos que existen, los valores concuerdan con el valor de la regla de potencia existente en 0, por lo que no es necesario hacer ninguna excepción.
La exclusión de la expresión (el caso x = 0) de nuestro esquema de exponenciación se debe al hecho de que la función no tiene límite en (0,0), ya que se aproxima a 1 cuando x se acerca a 0, mientras que se acerca a 0 cuando y se acerca a 0. Por lo tanto, sería problemático atribuirle un valor particular, ya que el valor contradeciría uno de los dos casos, dependiendo de la aplicación. Tradicionalmente se deja sin definir.
Pruebas de exponentes enteros distintos de cero
Prueba por inducción (enteros positivos)
Sea n un número entero positivo. Se requiere demostrar que
Cuándo , Por lo tanto, el caso base se mantiene.
Suponga que el enunciado se cumple para algún entero positivo k , es decir
Cuándo ,
Por el principio de inducción matemática, el enunciado es verdadero para todos los enteros positivos n .
Demostración por el teorema del binomio (enteros positivos)
Dejar , dónde
Luego
Generalización a exponentes enteros negativos
Para un entero negativo n , seade modo que m es un número entero positivo. Usando la regla recíproca ,
En conclusión, para cualquier número entero distinto de cero ,
Generalización a exponentes racionales
Al probar que la regla de la potencia es válida para exponentes enteros, la regla se puede extender a exponentes racionales.
Generalización caso por caso
1. Deja , dónde
Luego
Por la regla de la cadena , obtenemos
Por lo tanto,
2. Deje , dónde , así que eso
3. Deje , dónde y
Al usar la regla de la cadena y la regla recíproca , tenemos
De los resultados anteriores, podemos concluir que cuando r es un número racional ,
Prueba por diferenciación implícita
Una generalización más sencilla de la regla de la potencia a exponentes racionales hace uso de la diferenciación implícita.
Dejar , dónde así que eso .
Luego,
Resolviendo para ,
Desde ,
Aplicando leyes de exponentes,
Por lo tanto, dejando , podemos concluir que Cuándo es un número racional.
Historia
La regla de potencia para integrales fue demostrada por primera vez en una forma geométrica por el matemático italiano Bonaventura Cavalieri a principios del siglo XVII para todos los valores enteros positivos de, ya mediados del siglo XVII para todos los poderes racionales por los matemáticos Pierre de Fermat , Evangelista Torricelli , Gilles de Roberval , John Wallis y Blaise Pascal , cada uno trabajando de forma independiente. En ese momento, eran tratados sobre la determinación del área entre la gráfica de una función de potencia racional y el eje horizontal. Sin embargo, en retrospectiva, se considera el primer teorema general de cálculo que se descubre. [4] La regla de potencia para la diferenciación fue derivada por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz , cada uno independientemente, para funciones de potencia racionales a mediados del siglo XVII, quienes luego la usaron para derivar la regla de potencia para integrales como la operación inversa. Esto refleja la forma convencional en que los teoremas relacionados se presentan en los libros de texto modernos de cálculo básico, donde las reglas de diferenciación generalmente preceden a las reglas de integración. [5]
Aunque ambos afirmaron que sus reglas, demostradas solo para cantidades racionales, funcionaban para todos los poderes reales, ninguno buscó una prueba de ello, ya que en ese momento las aplicaciones de la teoría no se referían a funciones de poder tan exóticas y cuestiones de convergencia de las series infinitas seguían siendo ambiguas.
El caso único de fue resuelto por el jesuita y matemático flamenco Grégoire de Saint-Vincent y su alumno Alphonse Antonio de Sarasa a mediados del siglo XVII, quienes demostraron que la integral definida asociada,
que representa el área entre la hipérbola rectangular y el eje x, era una función logarítmica, cuya base finalmente se descubrió que era el número trascendental e . La notación moderna para el valor de esta integral definida es, el logaritmo natural.
Generalizaciones
Funciones de poder complejas
Si consideramos funciones de la forma dónde es cualquier número complejo y es un número complejo en un plano complejo de rendija que excluye el punto de ramificación de 0 y cualquier corte de ramificación conectado a él, y usamos la definición multivalor convencional, entonces es sencillo mostrar que, en cada rama del logaritmo complejo, el mismo argumento utilizado anteriormente produce un resultado similar: . [6]
Además, si es un número entero positivo, entonces no hay necesidad de cortar una rama: se puede definir , o definir potencias complejas integrales positivas a través de la multiplicación compleja, y demostrar que para todo complejo , a partir de la definición de la derivada y el teorema del binomio.
Sin embargo, debido a la naturaleza de múltiples valores de las funciones de potencia complejas para exponentes no enteros, se debe tener cuidado de especificar la rama del logaritmo complejo que se está utilizando. Además, no importa qué rama se utilice, si no es un número entero positivo, entonces la función no es diferenciable en 0.
Referencias
- ^ Landau, Edmund (1951). Cálculo diferencial e integral . Nueva York: Chelsea Publishing Company. pag. 45. ISBN 978-0821828304.
- ^ Spivak, Michael (1994). Cálculo (3 ed.). Texas: Publish or Perish, Inc. págs. 336–342. ISBN 0-914098-89-6.
- ^ Maor, Eli (1994). e: La historia de un número . Nueva Jersey: Princeton University Press. pag. 156 . ISBN 0-691-05854-7.
- ^ Boyer, Carl (1959). La Historia del Cálculo y su Desarrollo Conceptual . Nueva York: Dover. pag. 127 . ISBN 0-486-60509-4.
- ^ Boyer, Carl (1959). La Historia del Cálculo y su Desarrollo Conceptual . Nueva York: Dover. págs. 191, 205 . ISBN 0-486-60509-4.
- ^ Freitag, Eberhard; Busam, Rolf (2009). Análisis complejo (2 ed.). Heidelberg: Springer-Verlag. pag. 46. ISBN 978-3-540-93982-5.
- Larson, Ron; Hostetler, Robert P .; y Edwards, Bruce H. (2003). Cálculo de una sola variable: funciones trascendentales tempranas (3ª edición). Compañía Houghton Mifflin. ISBN 0-618-22307-X .