En la teoría de conjuntos , un ordenamiento previo es una relación binaria que es transitiva , fuertemente conectada y bien fundada (más precisamente, la relaciónestá bien fundamentado). En otras palabras, si es un pedido previo en un set , y si definimos por
luego es una relación de equivalencia en, y induce un buen orden en el cociente . El tipo de orden de este ordenamiento bien inducido es un ordinal , denominado longitud del ordenamiento previo.
Una norma en un set es un mapa de en los ordinales. Toda norma induce un ordenamiento previo; Si es una norma, el ordenamiento previo asociado viene dado por
Por el contrario, cada prebordimiento es inducido por una norma regular única (una norma es regular si, para cualquier y cualquier , hay tal que ).
Propiedad previa al pedido
Si es una clase puntual de subconjuntos de alguna colecciónde espacios polacos ,cerrado bajo producto cartesiano , y si es una ordenación previa de algún subconjunto de algún elemento de , luego se dice que es un - pedido anticipado de si las relaciones y son elementos de , donde para ,
se dice que tiene la propiedad de ordenamiento previo si cada conjunto en admite un -prewellordering.
La propiedad de ordenamiento previo está relacionada con la propiedad de escala más fuerte ; en la práctica, muchas clases de puntos que tienen la propiedad de pre-ordenamiento también tienen la propiedad de escala, lo que permite sacar conclusiones más sólidas.
Ejemplos de
y ambos tienen la propiedad de pre-ordenamiento; esto se puede demostrar solo en ZFC . Suponiendo suficientes cardenales grandes , para cada, y tener la propiedad de prepoder.
Consecuencias
Reducción
Si es una clase de puntos adecuada con la propiedad de ordenamiento previo, entonces también tiene la propiedad de reducción : Para cualquier espacio y cualquier conjunto , y ambos en , la Union puede dividirse en conjuntos , ambos en , tal que y .
Separación
Si es una clase de puntos adecuada cuya clase de puntos dual tiene la propiedad de prepoder ordenamiento, entoncestiene la propiedad de separación : Para cualquier espacio y cualquier conjunto , y disjuntos establece ambos en, hay un conjunto tal que ambos y su complemento estan en , con y .
Por ejemplo, tiene la propiedad de ordenamiento previo, por lo que tiene la propiedad de separación. Esto significa que si y son subconjuntos analíticos disjuntos de algún espacio polaco, entonces hay un subconjunto de Borel de tal que incluye y es disjunto de .
Ver también
- Teoría descriptiva de conjuntos
- Propiedad de escala
- Poset graduado : un poset graduado es análogo a un prepoder ordenar con una norma, reemplazando un mapa a los ordinales con un mapa a los enteros
Referencias
- Moschovakis, Yiannis N. (1980). Teoría descriptiva de conjuntos . Holanda Septentrional. ISBN 0-444-70199-0. CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )