número primo

Un número primo (o primo ) es un número natural mayor que 1 que no es producto de dos números naturales más pequeños. Un número natural mayor que 1 que no es primo se llama número compuesto . Por ejemplo, 5 es primo porque las únicas formas de escribirlo como producto, 1 × 5 o 5 × 1 , involucran al propio 5. Sin embargo, 4 es compuesto porque es un producto ( 2 × 2 ) en el que ambos números son menores que 4. Los primos son centrales en la teoría de números debido al teorema fundamental de la aritmética : todo número natural mayor que 1 es un primo en sí mismo o se puede factorizarcomo un producto de primos que es único a su pedido.

La propiedad de ser primordial se denomina primalidad . Un método simple pero lento de verificar la primacía de un número dado , llamado división de prueba , prueba si es un múltiplo de cualquier número entero entre 2 y . Los algoritmos más rápidos incluyen la prueba de primalidad de Miller-Rabin , que es rápida pero tiene una pequeña posibilidad de error, y la prueba de primalidad AKS , que siempre produce la respuesta correcta en tiempo polinomial pero es demasiado lenta para ser práctica. Se encuentran disponibles métodos particularmente rápidos para números de formas especiales, como los números de Mersenne . A diciembre de 2018, el número primo más grande conocido es un primo de Mersenne con 24,862,048${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle {\ sqrt {n}}}$^[actualizar]dígitos decimales . ^[1]

Hay infinitos números primos, como lo demostró Euclides alrededor del 300 a. C. Ninguna fórmula simple conocida separa los números primos de los números compuestos. Sin embargo, la distribución de números primos dentro de los números naturales en los grandes se puede modelar estadísticamente. El primer resultado en esa dirección es el teorema de los números primos , probado a fines del siglo XIX, que dice que la probabilidad de que un número grande elegido al azar sea primo es inversamente proporcional a su número de dígitos, es decir, a su logaritmo .

Varias cuestiones históricas relacionadas con los números primos siguen sin resolverse. Estos incluyen la conjetura de Goldbach , que cada entero par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos primos, y la conjetura de los primos gemelos , que hay infinitos pares de primos que tienen solo un número par entre ellos. Tales preguntas estimularon el desarrollo de varias ramas de la teoría de números, centrándose en los aspectos analíticos o algebraicos de los números. Los primos se utilizan en varias rutinas en la tecnología de la información , como la criptografía de clave pública , que se basa en la dificultad de factorizar grandes números en sus factores primos. En álgebra abstracta, los objetos que se comportan de forma generalizada como números primos incluyen elementos primos e ideales primos .

Un número natural (1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.) se llama número primo (o primo ) si es mayor que 1 y no se puede escribir como el producto de dos números naturales más pequeños. Los números mayores que 1 que no son primos se denominan números compuestos . ^[2] En otras palabras, es primo si los elementos no se pueden dividir en grupos más pequeños del mismo tamaño de más de un elemento, ^[3] o si no es posible organizar los puntos en una cuadrícula rectangular que tenga más de un punto de ancho. y más de un punto de altura. ^[4] Por ejemplo, entre los números del 1 al 6, los números 2, 3 y 5 son los números primos, ^[5]${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$ya que no hay otros números que los dividan uniformemente (sin resto). 1 no es primo, ya que se excluye específicamente en la definición. 4 = 2 × 2 y 6 = 2 × 3 son ambos compuestos.

Los números compuestos se pueden organizar en rectángulos, pero los números primos no

Demostración, con varillas de Cuisenaire , que 7 es primo, porque ninguno de 2, 3, 4, 5 o 6 lo divide uniformemente

El papiro matemático de Rhind

El error relativo de y la integral logarítmica como aproximaciones a la función de conteo de primos . Ambos errores relativos disminuyen a cero a medida que crece, pero la convergencia a cero es mucho más rápida para la integral logarítmica.${\ Displaystyle {\ tfrac {n} {\ log n}}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Li} (n)}$${\ Displaystyle n}$

Primas en las progresiones aritméticas módulo 9. Cada fila de la delgada banda horizontal muestra una de las nueve posibles progresiones mod 9, con los números primos marcados en rojo. Las progresiones de números que son 0, 3 o 6 mod 9 contienen como máximo un número primo (el número 3); las progresiones restantes de números que son 2, 4, 5, 7 y 8 mod 9 tienen infinitos números primos, con números similares de primos en cada progresión

La espiral de Ulam . Los números primos (rojos) se agrupan en algunas diagonales y no en otras. Los valores primos de se muestran en azul.${\ Displaystyle 4n ^ {2} -2n + 41}$

Gráfico de los valores absolutos de la función zeta, mostrando algunas de sus características

Los primos gaussianos con norma inferior a 500

El engranaje pequeño en esta pieza de equipo agrícola tiene 13 dientes, un número primo, y el engranaje medio tiene 21, relativamente primo a 13

El tamiz de Eratóstenes comienza con todos los números sin marcar (gris). Encuentra repetidamente el primer número sin marcar, lo marca como primo (colores oscuros) y marca su cuadrado y todos los múltiplos posteriores como compuestos (colores más claros). Después de marcar los múltiplos de 2 (rojo), 3 (verde), 5 (azul) y 7 (amarillo), se han procesado todos los números primos hasta la raíz cuadrada del tamaño de la tabla y todos los números restantes sin marcar (11, 13 , etc.) están marcados como primos (magenta).

La suma conectada de dos nudos primos

Construcción de un pentágono regular usando regla y compás. Esto solo es posible porque 5 es un número primo de Fermat .