En matemáticas , específicamente en álgebra abstracta , un elemento primo de un anillo conmutativo es un objeto que satisface ciertas propiedades similares a los números primos en los enteros y polinomios irreducibles . Se debe tener cuidado para distinguir los elementos primarios de los elementos irreductibles , un concepto que es el mismo en los UFD pero no el mismo en general.
Definición
Se dice que un elemento p de un anillo conmutativo R es primo si no es el elemento cero o una unidad y siempre que p divide a ab para algunos a y b en R , entonces p divide a o p divide b . De manera equivalente, un elemento p es primo si, y solo si, el ideal principal ( p ) generado por p es un ideal primo distinto de cero . [1] (Tenga en cuenta que en un dominio integral , el ideal (0) es un ideal primo , pero 0 es una excepción en la definición de 'elemento primo').
El interés por los elementos primos proviene del teorema fundamental de la aritmética , que afirma que cada entero distinto de cero puede escribirse esencialmente de una sola manera como 1 o -1 multiplicado por un producto de números primos positivos. Esto llevó al estudio de dominios de factorización únicos , que generalizan lo que se acaba de ilustrar en los números enteros.
Ser primo es relativo al anillo en el que se considera que se encuentra un elemento; por ejemplo, 2 es un elemento primo en Z pero no lo está en Z [ i ] , el anillo de los enteros gaussianos , ya que 2 = (1 + i ) (1 - i ) y 2 no divide ningún factor de la derecha.
Conexión con los ideales principales
Un I ideal en el anillo R (con unidad) es primo si el factor anillo R / I es un dominio integral .
Un ideal principal distinto de cero es primo si y solo si es generado por un elemento primo.
Elementos irreducibles
Los elementos primos no deben confundirse con elementos irreductibles . En un dominio integral , todo primo es irreducible [2] pero lo contrario no es cierto en general. Sin embargo, en dominios de factorización únicos, [3] o más generalmente en dominios GCD , los primos y los irreducibles son los mismos.
Ejemplos de
Los siguientes son ejemplos de elementos primos en anillos:
- Los enteros ± 2 , ± 3 , ± 5 , ± 7 , ± 11 , ... en el anillo de los enteros Z
- los números complejos (1 + i ) , 19 y (2 + 3 i ) en el anillo de los enteros gaussianos Z [ i ]
- los polinomios x 2 - 2 y x 2 + 1 en Z [ x ] , el anillo de los polinomios más de Z .
- 2 en el anillo del cociente Z / 6 Z
- x 2 + ( x 2 + x ) es primo pero no irreducible en el anillo Q [ x ] / ( x 2 + x )
- En el anillo Z 2 de pares de números enteros, (1, 0) es primo pero no irreducible (uno tiene (1, 0) 2 = (1, 0) ).
- En el anillo de los enteros algebraicos el elemento 3 es irreductible pero no primo (como).
Referencias
- Notas
- ↑ Hungerford 1980 , Teorema III.3.4 (i), como se indica en la observación debajo del teorema y la demostración, el resultado se mantiene en total generalidad.
- ^ Hungerford 1980 , Teorema III.3.4 (iii)
- ^ Hungerford 1980 , Observación después de la definición III.3.5
- Fuentes
- Sección III.3 de Hungerford, Thomas W. (1980), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , 73 (Reimpresión de 1974 ed.), Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90518-1, MR 0600654 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- Jacobson, Nathan (1989), Álgebra básica. II (2 ed.), Nueva York: WH Freeman and Company, págs. Xviii + 686, ISBN 0-7167-1933-9, MR 1009787
- Kaplansky, Irving (1970), Anillos conmutativos , Boston, Mass .: Allyn y Bacon Inc., págs. X + 180, MR 0254021