En álgebra , un ideal primo es un subconjunto de un anillo que comparte muchas propiedades importantes de un número primo en el anillo de números enteros . [1] [2] Los ideales primos para los números enteros son los conjuntos que contienen todos los múltiplos de un número primo dado, junto con el ideal cero .
Los ideales primitivos son primos, y los ideales primarios son primarios y semiprimos .
Ideales primarios para anillos conmutativos
Un P ideal de un anillo conmutativo R es primo si tiene las dos propiedades siguientes:
- Si un y b son dos elementos de R tales que su producto ab es un elemento de P , a continuación, una es en P o b está en P ,
- P no es todo el anillo R .
Esto generaliza la siguiente propiedad de los números primos: si p es un número primo y si p divide un producto ab de dos enteros , entonces p divide a o p divide b . Por tanto, podemos decir
- Un entero positivo n es un número primo si y solo si es un ideal primordial en
Ejemplos de
- Un simple ejemplo: en el ring el subconjunto de números pares es un ideal primo.
- Dado un dominio de factorización único (UFD), cualquier elemento irreductible genera un ideal primordial . El criterio de Eisenstein para dominios integrales (por lo tanto, UFD) es una herramienta eficaz para determinar si un elemento en un anillo polinomial es irreducible o no. Por ejemplo, tome un polinomio irreducible en un anillo polinomial sobre un campo .
- Si R denota el anillode polinomios en dos variables con coeficientes complejos , entonces el ideal generado por el polinomio Y 2 - X 3 - X - 1 es un ideal primo (ver curva elíptica ).
- En el ring de todos los polinomios con coeficientes enteros, el ideal generado por 2 y X es un ideal primo. Está formado por todos aquellos polinomios cuyo coeficiente constante es par.
- En cualquier anillo R , un ideal maximal es un ideal M que es máxima en el conjunto de todos los ideales adecuados de R , es decir M está contenida en exactamente dos ideales de R , es decir, M sí mismo y todo el anillo R . Todo ideal máximo es de hecho primo. En un dominio ideal principal, todo ideal primo distinto de cero es máximo, pero esto no es cierto en general. Para la UFD, Nullstellensatz de Hilbert establece que todo ideal máximo es de la forma.
- Si M es una variedad suave , R es el anillo de funciones reales suaves en M , y x es un punto en M , entonces el conjunto de todas las funciones suaves f con f ( x ) = 0 forma un ideal primo (incluso un ideal máximo ) en R .
No ejemplos
- Considere la composición de los siguientes dos cocientes
- Aunque los dos primeros anillos son dominios integrales (de hecho, el primero es un UFD), el último no es un dominio integral ya que es isomorfo a
- mostrando que el ideal no es primo. (Consulte la primera propiedad que se enumera a continuación).
- Otro no ejemplo es el ideal Desde que tenemos
- pero tampoco ni son elementos del ideal.
Propiedades
- Un I ideal en el anillo R (con unidad) es primo si y solo si el factor anillo R / I es un dominio integral . En particular, un anillo conmutativo (con unidad) es un dominio integral si y solo si (0) es un ideal primo.
- Un I ideal es primo si y solo si su complemento de la teoría de conjuntos es multiplicativamente cerrado . [3]
- Cada anillo distinto de cero contiene al menos un ideal primo (de hecho, contiene al menos un ideal máximo), que es una consecuencia directa del teorema de Krull .
- De manera más general, si S es un conjunto cerrado multiplicativamente en R , entonces un lema esencialmente debido a Krull muestra que existe un ideal de R máximo con respecto a ser disjunto de S , y además el ideal debe ser primo. Esto se puede generalizar aún más a anillos no conmutativos (ver más abajo). [4] En el caso { S } = {1}, tenemos el teorema de Krull , y esta se recupera los ideales maximales de R . Otro sistema m prototípico es el conjunto, { x , x 2 , x 3 , x 4 , ...}, de todas las potencias positivas de un elemento no nilpotente .
- El conjunto de todos los ideales primos (el espectro de un anillo) contiene elementos mínimos (llamados primos mínimos ). Geométricamente, estos corresponden a componentes irreducibles del espectro.
- La preimagen de un ideal primario bajo un homomorfismo de anillo es un ideal primario.
- La suma de dos ideales primos no es necesariamente primo. Por ejemplo, considere el anillocon ideales primos P = ( x 2 + y 2 - 1) y Q = ( x ) (los ideales generados por x 2 + y 2 - 1 y x respectivamente). Su suma P + Q = ( x 2 + y 2 - 1, x ) = ( y 2 - 1, x ) sin embargo no es primo: y 2 - 1 = ( y - 1) ( y + 1) ∈ P + Q pero sus dos factores no lo son. Alternativamente, el anillo del cociente tiene divisores cero, por lo que no es un dominio integral y, por lo tanto, P + Q no puede ser primo.
- Prime Ideal no es equivalente a no se puede factorizar en dos ideales, p. Ej. no se puede factorizar pero no es primo.
- En un anillo conmutativo R con al menos dos elementos, si todo ideal propio es primo, entonces el anillo es un campo. (Si el ideal (0) es primo, entonces el anillo R es un dominio integral. Si q es cualquier elemento distinto de cero de R y el ideal ( q 2 ) es primo, entonces contiene q y entonces q es invertible).
- Un ideal principal distinto de cero es primo si y solo si es generado por un elemento primo . En una UFD, todo ideal primo distinto de cero contiene un elemento primo.
Usos
Un uso de ideales primos ocurre en geometría algebraica , donde las variedades se definen como los conjuntos cero de ideales en anillos polinomiales. Resulta que las variedades irreductibles corresponden a ideales primarios. En el enfoque abstracto moderno, uno comienza con un anillo conmutativo arbitrario y convierte el conjunto de sus ideales primarios, también llamado espectro , en un espacio topológico y así puede definir generalizaciones de variedades llamadas esquemas , que encuentran aplicaciones no solo en geometría , sino también en también en teoría de números .
La introducción de los ideales primos en la teoría algebraica de números fue un gran paso adelante: se comprendió que la importante propiedad de la factorización única expresada en el teorema fundamental de la aritmética no se cumple en todos los anillos de números enteros algebraicos , pero se encontró un sustituto cuando Richard Dedekind reemplazó elementos por ideales y elementos primarios por ideales primarios; ver dominio Dedekind .
Ideales primarios para anillos no conmutativos
La noción de un ideal primo se puede generalizar a anillos no conmutativos utilizando la definición conmutativa de "ideal-sabio". Wolfgang Krull adelantó esta idea en 1928. [5] El siguiente contenido se puede encontrar en textos como el de Goodearl [6] y el de Lam. [7] Si R es un anillo (posiblemente no conmutativo) y P es un ideal en R distinto del propio R , decimos que P es primo si para dos ideales cualesquiera A y B de R :
- Si el producto de ideales AB está contenido en P , a continuación, al menos uno de A y B está contenido en P .
Se puede demostrar que esta definición es equivalente a la conmutativa en anillos conmutativos. Se verifica fácilmente que si un ideal de un anillo no conmutativo R satisface la definición conmutativa de primo, entonces también satisface la versión no conmutativa. Un ideal P que satisface la definición conmutativa de primo a veces se denomina ideal completamente primo para distinguirlo de otros ideales simplemente primos en el anillo. Los ideales completamente primarios son ideales primordiales, pero lo contrario no es cierto. Por ejemplo, el ideal cero en el anillo de n × n matrices sobre un campo es un ideal primo, pero no es completamente primo.
Esto se acerca al punto de vista histórico de los ideales como números ideales , como para el anillo." A está contenido en P " es otra forma de decir " P divide A ", y la unidad ideal R representa la unidad.
Las formulaciones equivalentes del ideal P ≠ R siendo primo incluyen las siguientes propiedades:
- Para todos una y b en R , ( una ) ( b ) ⊆ P implica un ∈ P o b ∈ P .
- Para cualquier par de derecha ideales de R , AB ⊆ P implica A ⊆ P o B ⊆ P .
- Para cualquier par de izquierda ideales de R , AB ⊆ P implica A ⊆ P o B ⊆ P .
- Para cualquier elemento de una y b de R , si aRb ⊆ P , a continuación, un ∈ P o b ∈ P .
Los ideales primos en anillos conmutativos se caracterizan por tener complementos multiplicativamente cerrados en R , y con una ligera modificación, se puede formular una caracterización similar para ideales primos en anillos no conmutativos. A no vacío subconjunto S ⊆ R se llama un sistema de m si por cualquier una y b en S , existe r en R tal que arb está en S . [8] El siguiente elemento se puede agregar a la lista de condiciones equivalentes anterior:
- El complemento R ∖ P es un sistema m.
Ejemplos de
- Cualquier ideal primitivo es primordial.
- Al igual que con los anillos conmutativos, los ideales máximos son primos, y también los ideales primarios contienen ideales primos mínimos.
- Un anillo es un anillo primario si y solo si el ideal cero es un ideal primario y, además, un anillo es un dominio si y solo si el ideal cero es un ideal completamente primario.
- Otro hecho de la teoría conmutativa que se repite en la teoría no conmutativa es que si A es un módulo R distinto de cero , y P es un elemento máximo en el conjunto de ideales aniquiladores de submódulos de A , entonces P es primo.
Hechos importantes
- Lema de evitación primaria . Si R es un anillo conmutativo y A es un subanillo (posiblemente sin unidad), e I 1 , ..., I n es una colección de ideales de R con como máximo dos miembros no primos, entonces si A no está contenido en any I j , tampoco está contenido en la unión de I 1 , ..., I n . [9] En particular, A podría ser un ideal de R .
- Si S es cualquier sistema m en R , entonces un lema esencialmente debido a Krull muestra que existe un ideal I de R máximo con respecto a ser disjunto de S , y además el ideal I debe ser primo (la primordialidad I puede demostrarse como sigue. Si, entonces existen elementos tal que por la propiedad máxima de Yo . Podemos tomar con . Ahora si, luego , que es una contradicción). [4] En el caso { S } = {1}, tenemos el teorema de Krull , y esta se recupera los ideales maximales de R . Otro sistema m prototípico es el conjunto, { x , x 2 , x 3 , x 4 , ...}, de todas las potencias positivas de un elemento no nilpotente .
- Para un ideal primo P , el complemento R ∖ P tiene otra propiedad más allá de ser un sistema m. Si xy está en R ∖ P , entonces tanto x como y deben estar en R ∖ P , ya que P es un ideal. Un conjunto que contiene los divisores de sus elementos se llama saturado .
- Para un anillo conmutativo R , hay un tipo de conversar por la declaración anterior: Si S es cualquier subconjunto no vacío saturadas y multiplicativa cerrado de R , el complemento R ∖ S es una unión de ideales primos de R . [10]
- La intersección de miembros de una cadena descendente de ideales primarios es un ideal primordial, y en un anillo conmutativo la unión de miembros de una cadena ascendente de ideales primarios es un ideal primordial. Con el Lema de Zorn , estas observaciones implican que el conjunto de ideales primos de un anillo conmutativo (parcialmente ordenado por inclusión) tiene elementos máximos y mínimos.
Conexión a la maximalidad
Los ideales primarios pueden producirse con frecuencia como elementos máximos de ciertas colecciones de ideales. Por ejemplo:
- Un máximo ideal con respecto a tener una intersección vacía con un sistema m fijo es primo.
- Un máximo ideal entre aniquiladores de submódulos de un módulo R fijo M es primo.
- En un anillo conmutativo, un máximo ideal con respecto a no ser principal es primo. [11]
- En un anillo conmutativo, un máximo ideal con respecto a ser generado no contablemente es primo. [12]
Referencias
- ^ Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). John Wiley e hijos . ISBN 0-471-43334-9.
- ^ Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas . Springer . ISBN 0-387-95385-X.
- ^ Reid, Miles (1996). Álgebra conmutativa de pregrado . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-45889-7.
- ^ a b Primer curso de Lam en anillos no conmutativos , p. 156
- ↑ Krull, Wolfgang, Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen , Sitzungsberichte Heidelberg. Akad. Wissenschaft (1928), 7. Abhandl., 3-14.
- ^ Goodearl, Introducción a los anillos noetherianos no conmutativos
- ^ Lam, primer curso en anillos no conmutativos
- ^ Obviamente, los conjuntos cerrados multiplicativamente son sistemas-m.
- ^ Álgebra básica de Jacobson II , p. 390
- ^ Anillos conmutativos de Kaplansky, p. 2
- ^ Anillos conmutativos de Kaplansky, p. 10, ej. 10.
- ^ Anillos conmutativos de Kaplansky, p. 10, ej. 11.
Otras lecturas
- Goodearl, KR; Warfield, RB, Jr. (2004), Una introducción a los anillos noetherianos no conmutativos , Textos estudiantiles de la London Mathematical Society, 61 (2 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, págs. Xxiv + 344, doi : 10.1017 / CBO9780511841699 , ISBN 0-521-54537-4, Señor 2080008CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- Jacobson, Nathan (1989), Álgebra básica. II (2 ed.), Nueva York: WH Freeman and Company, págs. Xviii + 686, ISBN 0-7167-1933-9, MR 1009787
- Kaplansky, Irving (1970), Anillos conmutativos , Boston, Mass .: Allyn y Bacon Inc., págs. X + 180, MR 0254021
- Lam, TY (2001), A first course in non conmutative rings , Graduate Texts in Mathematics, 131 (2a ed.), Nueva York: Springer-Verlag, pp. Xx + 385, doi : 10.1007 / 978-1-4419-8616 -0 , ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439 , Zbl 0.980,16001
- Lam, TY ; Reyes, Manuel L. (2008), "Un principio ideal primo en álgebra conmutativa", J. Algebra , 319 (7): 3006–3027, doi : 10.1016 / j.jalgebra.2007.07.016 , ISSN 0021-8693 , MR 2397420 , Zbl 1168.13002
- "Primer ideal" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]