número primo

Un número primo (o primo ) es un número natural mayor que 1 que no es producto de dos números naturales más pequeños. Un número natural mayor que 1 que no es primo se llama número compuesto . Por ejemplo, 5 es primo porque las únicas formas de escribirlo como producto, 1 × 5 o 5 × 1 , involucran al propio 5. Sin embargo, 4 es compuesto porque es un producto ( 2 × 2 ) en el que ambos números son menores que 4. Los primos son centrales en la teoría de números debido al teorema fundamental de la aritmética : todo número natural mayor que 1 es un primo en sí mismo o se puede factorizarcomo un producto de primos que es único a su orden.

Los números compuestos se pueden organizar en rectángulos, pero los números primos no

La propiedad de ser primordial se denomina primalidad . Un método simple pero lento de verificar la primacía de un número dado${\displaystyle n}$, llamada división de prueba , prueba si${\displaystyle n}$ es un múltiplo de cualquier número entero entre 2 y ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$. Los algoritmos más rápidos incluyen la prueba de primalidad Miller-Rabin , que es rápida pero tiene una pequeña posibilidad de error, y la prueba de primalidad AKS , que siempre produce la respuesta correcta en tiempo polinomial pero es demasiado lenta para ser práctica. Se encuentran disponibles métodos particularmente rápidos para números de formas especiales, como los números de Mersenne . A diciembre de 2018, ^[actualizar]el número primo más grande conocido es un primo de Mersenne con 24,862,048 dígitos decimales . ^[1]

Hay infinitos números primos, como lo demostró Euclides alrededor del 300 a. C. Ninguna fórmula simple conocida separa los números primos de los números compuestos. Sin embargo, la distribución de los números primos dentro de los números naturales en los grandes se puede modelar estadísticamente. El primer resultado en esa dirección es el teorema de los números primos , probado a fines del siglo XIX, que dice que la probabilidad de que un número elegido al azar sea primo es inversamente proporcional a su número de dígitos, es decir, a su logaritmo .

Varias cuestiones históricas relacionadas con los números primos siguen sin resolverse. Estos incluyen la conjetura de Goldbach , que cada entero par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos primos, y la conjetura de los primos gemelos , que hay infinitos pares de primos que tienen solo un número par entre ellos. Tales preguntas estimularon el desarrollo de varias ramas de la teoría de números, centrándose en los aspectos analíticos o algebraicos de los números. Los primos se utilizan en varias rutinas en la tecnología de la información , como la criptografía de clave pública , que se basa en la dificultad de factorizar grandes números en sus factores primos. En álgebra abstracta , los objetos que se comportan de manera generalizada como números primos incluyen elementos primos e ideales primos .

Definición y ejemplos

Un número natural (1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.) se llama número primo (o primo ) si es mayor que 1 y no se puede escribir como el producto de dos números naturales más pequeños. Los números mayores que 1 que no son primos se denominan números compuestos . ^[2] En otras palabras,${\displaystyle n}$ es primo si ${\displaystyle n}$los artículos no se pueden dividir en grupos más pequeños del mismo tamaño de más de un artículo, ^[3] o si no es posible organizar${\displaystyle n}$puntos en una cuadrícula rectangular que tiene más de un punto de ancho y más de un punto de alto. ^[4] Por ejemplo, entre los números del 1 al 6, los números 2, 3 y 5 son los números primos, ^[5] ya que no hay otros números que los dividan uniformemente (sin resto). 1 no es primo, ya que está específicamente excluido en la definición. 4 = 2 × 2 y 6 = 2 × 3 son ambos compuestos.

Demostración, con varillas de Cuisenaire , que 7 es primo, porque ninguno de 2, 3, 4, 5 o 6 lo divide uniformemente

Los divisores de un número natural${\displaystyle n}$ son los números naturales que dividen ${\displaystyle n}$igualmente. Cada número natural tiene 1 y él mismo como divisor. Si tiene cualquier otro divisor, no puede ser primo. Esta idea conduce a una definición diferente pero equivalente de los números primos: son los números con exactamente dos divisores positivos , 1 y el número en sí. ^[6] Otra forma de expresar lo mismo es que un número${\displaystyle n}$ es primo si es mayor que uno y si ninguno de los números ${\displaystyle 2,3,\dots ,n-1}$ divide ${\displaystyle n}$igualmente. ^[7]

Los primeros 25 números primos (todos los números primos menores que 100) son: ^[8]

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 ( secuencia A000040 en la OEIS ).

Sin número par ${\displaystyle n}$ mayor que 2 es primo porque cualquier número puede expresarse como el producto ${\displaystyle 2\times n/2}$. Por lo tanto, todo número primo que no sea 2 es un número impar y se denomina primo impar . ^[9] De manera similar, cuando se escribe en el sistema decimal habitual , todos los números primos mayores que 5 terminan en 1, 3, 7 o 9. Los números que terminan con otros dígitos son todos compuestos: números decimales que terminan en 0, 2, 4, 6 u 8 son pares y los números decimales que terminan en 0 o 5 son divisibles por 5. ^[10]

El conjunto de todos los números primos a veces se denota por${\displaystyle \mathbf {P} }$(una P mayúscula en negrita ) ^[11] o por${\displaystyle \mathbb {P} }$(una P mayúscula en negrita ). ^[12]

Historia

El papiro matemático de Rhind

El papiro matemático de Rhind , de alrededor de 1550 a. C., tiene expansiones de fracciones egipcias de diferentes formas para números primos y compuestos. ^[13] Sin embargo, los primeros registros que se conservan del estudio explícito de los números primos provienen de las matemáticas griegas antiguas . Los elementos de Euclides (c. 300 aC) prueban la infinitud de los números primos y el teorema fundamental de la aritmética , y muestra cómo construir un número perfecto a partir de un número primo de Mersenne . ^[14] Otro invento griego, el Tamiz de Eratóstenes , todavía se utiliza para construir listas de números primos. ^{[15] [16]}

Alrededor del año 1000 d.C., el matemático islámico Ibn al-Haytham (Alhazen) encontró el teorema de Wilson , caracterizando los números primos como números${\displaystyle n}$ que dividen uniformemente ${\displaystyle (n-1)!+1}$. También conjeturó que todos los números incluso perfectos provienen de la construcción de Euclides utilizando números primos de Mersenne, pero no pudo probarlo. ^[17] Otro matemático islámico, Ibn al-Banna 'al-Marrakushi , observó que el tamiz de Eratóstenes puede acelerarse probando solo los divisores hasta la raíz cuadrada del número más grande a probar. Fibonacci trajo las innovaciones de las matemáticas islámicas a Europa. Su libro Liber Abaci (1202) fue el primero en describir la división de prueba para probar la primalidad, nuevamente usando divisores solo hasta la raíz cuadrada. ^[dieciséis]

En 1640, Pierre de Fermat declaró (sin pruebas) el pequeño teorema de Fermat (más tarde probado por Leibniz y Euler ). ^[18] Fermat también investigó la primacía de los números de Fermat. ${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$, ^[19] y Marin Mersenne estudió los números primos de Mersenne , números primos de la forma${\displaystyle 2^{p}-1}$ con ${\displaystyle p}$en sí mismo un primo. ^[20] Christian Goldbach formuló la conjetura de Goldbach , que todo número par es la suma de dos primos, en una carta de 1742 a Euler. ^[21] Euler demostró la conjetura de Alhazen (ahora el teorema de Euclides-Euler ) de que todos los números perfectos pares pueden construirse a partir de números primos de Mersenne. ^[14] Introdujo métodos de análisis matemático en esta área en sus demostraciones de la infinitud de los primos y la divergencia de la suma de los recíprocos de los primos. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots }$. ^[22] A principios del siglo XIX, Legendre y Gauss conjeturaron que, como${\displaystyle x}$ tiende a infinito, el número de primos hasta ${\displaystyle x}$es asintótico a${\displaystyle x/\log x}$, dónde ${\displaystyle \log x}$es el logaritmo natural de${\displaystyle x}$. Una consecuencia más débil de esta alta densidad de primos fue el postulado de Bertrand , que para cada${\displaystyle n>1}$ hay un primo entre ${\displaystyle n}$ y ${\displaystyle 2n}$, probado en 1852 por Pafnuty Chebyshev . ^[23] Ideas de Bernhard Riemann en su artículo de 1859 sobre la función zeta esbozó un esquema para probar la conjetura de Legendre y Gauss. Aunque la hipótesis de Riemann estrechamente relacionada sigue sin probarse, el esquema de Riemann fue completado en 1896 por Hadamard y de la Vallée Poussin , y el resultado ahora se conoce como el teorema de los números primos . ^[24] Otro resultado importante del siglo XIX fue el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas , de que ciertas progresiones aritméticas contienen infinitos números primos. ^[25]

Muchos matemáticos han trabajado en pruebas de primalidad para números mayores que aquellos en los que la división de prueba es factible de aplicar. Los métodos que están restringidos a formas numéricas específicas incluyen la prueba de Pépin para números de Fermat (1877), ^[26] el teorema de Proth (c. 1878), ^[27] la prueba de primalidad Lucas-Lehmer (originada en 1856) y la prueba de primalidad Lucas generalizada . ^[dieciséis]

Desde 1951, todos los números primos más grandes conocidos se han encontrado utilizando estas pruebas en computadoras . ^[a] La búsqueda de números primos cada vez mayores ha generado interés fuera de los círculos matemáticos, a través de Great Internet Mersenne Prime Search y otros proyectos de computación distribuida . ^{[8] [29]} La idea de que los números primos tenían pocas aplicaciones fuera de las matemáticas puras ^[b] se hizo añicos en la década de 1970 cuando se inventaron la criptografía de clave pública y el criptosistema RSA , utilizando números primos como base. ^[32]

La creciente importancia práctica de la factorización y las pruebas de primalidad computarizadas condujo al desarrollo de métodos mejorados capaces de manejar un gran número de formas sin restricciones. ^{[15] [33] [34]} La teoría matemática de los números primos también avanzó con el teorema de Green-Tao (2004) de que hay progresiones aritméticas arbitrariamente largas de números primos, y la prueba de Yitang Zhang de 2013 de que existen infinitos espacios primarios de tamaño acotado. ^[35]

Primalidad de uno

La mayoría de los primeros griegos ni siquiera consideraban que 1 fuera un número, ^{[36] [37]} por lo que no podían considerar su primordialidad. Algunos matemáticos de esta época también consideraban que los números primos eran una subdivisión de los números impares, por lo que tampoco consideraban que 2 fuera primo. Sin embargo, Euclides y la mayoría de los otros matemáticos griegos consideraron 2 como primo. Los matemáticos islámicos medievales siguieron en gran medida a los griegos al considerar que 1 no era un número. ^[36] En la Edad Media y el Renacimiento, los matemáticos comenzaron a tratar el 1 como un número, y algunos de ellos lo incluyeron como el primer número primo. ^[38] A mediados del siglo XVIII, Christian Goldbach incluyó a 1 como principal en su correspondencia con Leonhard Euler ; sin embargo, el propio Euler no consideró que 1 fuera primo. ^[39] En el siglo XIX, muchos matemáticos todavía consideraban que 1 era primo, ^[40] y las listas de números primos que incluían 1 continuaron publicándose tan recientemente como 1956. ^{[41] [42]}

Si la definición de un número primo se cambiara para llamar a 1 primo, muchas declaraciones que involucren números primos necesitarían ser redactadas de una manera más incómoda. Por ejemplo, el teorema fundamental de la aritmética debería reformularse en términos de factorizaciones en primos mayores que 1, porque cada número tendría múltiples factorizaciones con diferentes números de copias de 1. ^[40] De manera similar, el tamiz de Eratóstenes no funcionaría. correctamente si manejara 1 como primo, porque eliminaría todos los múltiplos de 1 (es decir, todos los demás números) y produciría solo el número 1. ^[42] Algunas otras propiedades más técnicas de los números primos tampoco son válidas para el número 1: por ejemplo, las fórmulas para la función totient de Euler o para la función de suma de divisores son diferentes para números primos que para 1. ^[43] A principios del siglo XX, los matemáticos comenzaron a estar de acuerdo en que 1 no debería figurar como prime, sino más bien en su propia categoría especial como una " unidad ". ^[40]

Propiedades elementales

Factorización única

Escribir un número como producto de números primos se denomina factorización prima del número. Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}34866&=2\cdot 3\cdot 3\cdot 13\cdot 149\\&=2\cdot 3^{2}\cdot 13\cdot 149.\end{aligned}}}$

Los términos del producto se denominan factores primos . El mismo factor primo puede aparecer más de una vez; este ejemplo tiene dos copias del factor primo${\displaystyle 3.}$Cuando un número primo ocurre varias veces, la exponenciación se puede utilizar para agrupar varias copias del mismo número primo: por ejemplo, en la segunda forma de escribir el producto anterior,${\displaystyle 3^{2}}$denota el cuadrado o la segunda potencia de${\displaystyle 3.}$

La importancia central de los números primos para la teoría de números y las matemáticas en general se deriva del teorema fundamental de la aritmética . ^[44] Este teorema establece que todo número entero mayor que 1 puede escribirse como producto de uno o más números primos. Más claramente, este producto es único en el sentido de que dos factorizaciones primas cualesquiera del mismo número tendrán el mismo número de copias de los mismos números primos, aunque su orden puede diferir. ^[45] Entonces, aunque hay muchas formas diferentes de encontrar una factorización usando un algoritmo de factorización de enteros , todas deben producir el mismo resultado. Por tanto, los primos pueden considerarse los "bloques de construcción básicos" de los números naturales. ^[46]

Algunas pruebas de la unicidad de las factorizaciones primas se basan en el lema de Euclides : Si${\displaystyle p}$ es un número primo y ${\displaystyle p}$ divide un producto ${\displaystyle ab}$ de enteros ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b,}$ luego ${\displaystyle p}$ divide ${\displaystyle a}$ o ${\displaystyle p}$ divide ${\displaystyle b}$(o ambos). ^[47] Por el contrario, si un número${\displaystyle p}$ tiene la propiedad de que cuando divide un producto siempre divide al menos un factor del producto, entonces ${\displaystyle p}$debe ser primo. ^[48]

Infinitud

Hay infinitos números primos. Otra forma de decir esto es que la secuencia

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

de los números primos nunca termina. Este enunciado se conoce como el teorema de Euclides en honor al antiguo matemático griego Euclides , ya que se le atribuye la primera prueba conocida de este enunciado. Se conocen muchas más pruebas de la infinitud de los números primos, incluida una prueba analítica de Euler , la prueba de Goldbach basada en números de Fermat , ^[49] la prueba de Furstenberg usando topología general , ^[50] y la elegante demostración de Kummer . ^[51]

La demostración de Euclides ^[52] muestra que toda lista finita de números primos es incompleta. La idea clave es multiplicar los números primos en cualquier lista dada y sumar${\displaystyle 1.}$ Si la lista consta de primos ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n},}$ esto da el número

${\displaystyle N=1+p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{n}.}$

Por el teorema fundamental, ${\displaystyle N}$ tiene una factorización prima

${\displaystyle N=p'_{1}\cdot p'_{2}\cdots p'_{m}}$

con uno o más factores primos. ${\displaystyle N}$ es uniformemente divisible por cada uno de estos factores, pero ${\displaystyle N}$ tiene un resto de uno cuando se divide por cualquiera de los números primos en la lista dada, por lo que ninguno de los factores primos de ${\displaystyle N}$puede estar en la lista dada. Debido a que no existe una lista finita de todos los primos, debe haber un número infinito de primos.

Los números formados sumando uno a los productos de los números primos más pequeños se llaman números de Euclides . ^[53] Los cinco primeros son primos, pero el sexto,

${\displaystyle 1+{\big (}2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13{\big )}=30031=59\cdot 509,}$

es un número compuesto.

Fórmulas para números primos

No se conoce una fórmula eficaz para los primos. Por ejemplo, no existe un polinomio no constante , incluso en varias variables, que solo tome valores primos. ^[54] Sin embargo, existen numerosas expresiones que codifican todos los números primos, o solo los primos. Una fórmula posible se basa en el teorema de Wilson y genera el número 2 muchas veces y todos los demás primos exactamente una vez. ^[55] También hay un conjunto de ecuaciones diofánticas en nueve variables y un parámetro con la siguiente propiedad: el parámetro es primo si y solo si el sistema de ecuaciones resultante tiene una solución sobre los números naturales. Esto se puede utilizar para obtener una fórmula única con la propiedad de que todos sus valores positivos son primos. ^[54]

Otros ejemplos de fórmulas generadoras de primos provienen del teorema de Mills y un teorema de Wright . Estos afirman que hay constantes reales${\displaystyle A>1}$ y ${\displaystyle \mu }$ tal que

${\displaystyle \left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor {\text{ and }}\left\lfloor 2^{\cdots ^{2^{2^{\mu }}}}\right\rfloor }$

son primos para cualquier número natural ${\displaystyle n}$en la primera fórmula y cualquier número de exponentes en la segunda fórmula. ^[56] Aquí${\displaystyle \lfloor {}\cdot {}\rfloor }$representa la función de piso , el mayor entero menor o igual al número en cuestión. Sin embargo, estos no son útiles para generar primos, ya que los primos deben generarse primero para calcular los valores de${\displaystyle A}$ o ${\displaystyle \mu .}$^[54]

Preguntas abiertas

Se han planteado muchas conjeturas que giran en torno a los números primos. Muchas de estas conjeturas, que a menudo tienen una formulación elemental, han resistido la prueba durante décadas: los cuatro problemas de Landau de 1912 aún están sin resolver. ^[57] Uno de ellos es la conjetura de Goldbach , que afirma que cada entero par${\displaystyle n}$mayor que 2 se puede escribir como una suma de dos primos. ^[58] A partir de 2014^[actualizar], esta conjetura ha sido verificada para todos los números hasta ${\displaystyle n=4\cdot 10^{18}.}$^[59] Se han probado afirmaciones más débiles que ésta, por ejemplo, el teorema de Vinogradov dice que todo entero impar suficientemente grande puede escribirse como una suma de tres primos. ^[60] El teorema de Chen dice que todo número par suficientemente grande puede expresarse como la suma de un primo y un semiprimo (el producto de dos primos). ^[61] Además, cualquier entero par mayor que 10 puede escribirse como la suma de seis números primos. ^[62] La rama de la teoría de números que estudia tales cuestiones se llama teoría de números aditivos . ^[63]

Otro tipo de problema se relaciona con los espacios de primos , las diferencias entre primos consecutivos. La existencia de espacios primos arbitrariamente grandes se puede ver si se observa que la secuencia${\displaystyle n!+2,n!+3,\dots ,n!+n}$ consiste en ${\displaystyle n-1}$ números compuestos, para cualquier número natural ${\displaystyle n.}$^[64] Sin embargo, las grandes brechas primarias ocurren mucho antes de lo que muestra este argumento. ^[65] Por ejemplo, el primer espacio principal de longitud 8 está entre los números primos 89 y 97, ^[66] mucho más pequeño que${\displaystyle 8!=40320.}$Se conjetura que hay infinitos números primos gemelos , pares de primos con diferencia 2; esta es la conjetura de los primos gemelos . La conjetura de Polignac establece de manera más general que para cada entero positivo${\displaystyle k,}$ hay infinitos pares de primos consecutivos que difieren en ${\displaystyle 2k.}$^[67] La conjetura de Andrica , ^[67] la conjetura de Brocard , ^[68] la conjetura de Legendre , ^[69] y la conjetura de Oppermann ^[68] sugieren que las brechas más grandes entre primos de${\displaystyle 1}$ a ${\displaystyle n}$ debe ser como máximo aproximadamente ${\displaystyle {\sqrt {n}},}$un resultado que se sabe que se sigue de la hipótesis de Riemann, mientras que la conjetura de Cramér, mucho más fuerte, establece el tamaño de brecha más grande en${\displaystyle O((\log n)^{2}).}$^{[67] Las} brechas primarias se pueden generalizar para primar k {\ Displaystyle k} -tuplas , patrones en las diferencias entre más de dos números primos. Su infinitud y densidad son el tema de la primera conjetura de Hardy-Littlewood , que puede estar motivada por la heurística de que los números primos se comportan de manera similar a una secuencia aleatoria de números con densidad dada por el teorema de los números primos. ^[70]

Propiedades analíticas

La teoría analítica de números estudia la teoría de números a través de la lente de funciones continuas , límites , series infinitas y las matemáticas relacionadas del infinito y el infinitesimal .

Esta área de estudio comenzó con Leonhard Euler y su primer gran resultado, la solución al problema de Basilea . El problema pedía el valor de la suma infinita${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\dots ,}$ que hoy puede reconocerse como el valor ${\displaystyle \zeta (2)}$de la función zeta de Riemann . Esta función está estrechamente relacionada con los números primos y con uno de los problemas no resueltos más importantes de las matemáticas, la hipótesis de Riemann . Euler demostró que${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$. ^[71] El recíproco de este número,${\displaystyle 6/\pi ^{2}}$, es la probabilidad límite de que dos números aleatorios seleccionados uniformemente de un rango grande sean relativamente primos (no tengan factores en común). ^[72]

La distribución de los números primos en grande, como la pregunta de cuántos primos son más pequeños que un umbral grande dado, se describe mediante el teorema de los números primos , pero no hay una fórmula eficiente para el norte {\ Displaystyle n} -th primo es conocido. El teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas , en su forma básica, afirma que los polinomios lineales

${\displaystyle p(n)=a+bn}$

con enteros primos relativos ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$tomar infinitos valores primos. Las formas más fuertes del teorema establecen que la suma de los recíprocos de estos valores primos diverge, y que diferentes polinomios lineales con el mismo${\displaystyle b}$tienen aproximadamente las mismas proporciones de números primos. Aunque se han formulado conjeturas sobre las proporciones de números primos en polinomios de grado superior, siguen sin probarse y se desconoce si existe un polinomio cuadrático que (para argumentos de números enteros) sea primo infinitamente a menudo.

Prueba analítica del teorema de Euclides

La prueba de Euler de que hay infinitos números primos considera las sumas de recíprocos de primos,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}.}$

Euler demostró que, para cualquier número real arbitrario ${\displaystyle x}$, existe un primo ${\displaystyle p}$ para el cual esta suma es mayor que ${\displaystyle x}$. ^[73] Esto muestra que hay infinitos números primos, porque si hubiera un número finito de números primos, la suma alcanzaría su valor máximo en el mayor primo en lugar de crecer más allá de cada${\displaystyle x}$. La tasa de crecimiento de esta suma se describe con mayor precisión mediante el segundo teorema de Mertens . ^[74] A modo de comparación, la suma

${\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}}$

no crece hasta el infinito como ${\displaystyle n}$va al infinito (ver el problema de Basilea ). En este sentido, los números primos ocurren con más frecuencia que los cuadrados de los números naturales, aunque ambos conjuntos son infinitos. ^[75] El teorema de Brun establece que la suma de los recíprocos de los primos gemelos ,

${\displaystyle \left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots ,}$

es finito. Debido al teorema de Brun, no es posible utilizar el método de Euler para resolver la conjetura de los primos gemelos , que existen infinitos números primos gemelos. ^[75]

Número de primos por debajo de un límite dado

El error relativo de ${\displaystyle {\tfrac {n}{\log n}}}$ y la integral logarítmica ${\displaystyle \operatorname {Li} (n)}$como aproximaciones a la función de conteo de primos . Ambos errores relativos disminuyen a cero a medida que ${\displaystyle n}$ crece, pero la convergencia a cero es mucho más rápida para la integral logarítmica.

La función de conteo principal ${\displaystyle \pi (n)}$ se define como el número de primos no mayor que ${\displaystyle n}$. ^[76] Por ejemplo,${\displaystyle \pi (11)=5}$, ya que hay cinco primos menores o iguales que 11. Métodos como el algoritmo de Meissel-Lehmer pueden calcular valores exactos de${\displaystyle \pi (n)}$ más rápido de lo que sería posible enumerar cada primo hasta ${\displaystyle n}$. ^[77] El teorema de los números primos establece que${\displaystyle \pi (n)}$ es asintótico a ${\displaystyle n/\log n}$, que se denota como

${\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\log n}},}$

y significa que la relación de ${\displaystyle \pi (n)}$a la fracción de la derecha se aproxima a 1 cuando${\displaystyle n}$crece hasta el infinito. ^[78] Esto implica que la probabilidad de que un número elegido al azar menor que${\displaystyle n}$ es primo es (aproximadamente) inversamente proporcional al número de dígitos en ${\displaystyle n}$. ^[79] También implica que el${\displaystyle n}$El número primo es proporcional a ${\displaystyle n\log n}$^[80] y, por tanto, que el tamaño medio de una brecha principal es proporcional a${\displaystyle \log n}$. ^[65] Una estimación más precisa de${\displaystyle \pi (n)}$viene dada por la integral logarítmica desplazada ^[78]

${\displaystyle \pi (n)\sim \operatorname {Li} (n)=\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log t}}.}$

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una secuencia finita o infinita de números de modo que los números consecutivos en la secuencia tienen todos la misma diferencia. ^[81] Esta diferencia se denomina módulo de progresión. ^[82] Por ejemplo,

3, 12, 21, 30, 39, ...,

es una progresión aritmética infinita con módulo 9. En una progresión aritmética, todos los números tienen el mismo resto cuando se dividen por el módulo; en este ejemplo, el resto es 3. Dado que tanto el módulo 9 como el resto 3 son múltiplos de 3, todos los elementos de la secuencia también lo son. Por lo tanto, esta progresión contiene solo un número primo, el 3 en sí. En general, la progresión infinita

${\displaystyle a,a+q,a+2q,a+3q,\dots }$

puede tener más de un primo solo cuando su resto ${\displaystyle a}$ y módulo ${\displaystyle q}$son relativamente de primera. Si son primos relativos, el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas afirma que la progresión contiene infinitos números primos. ^[83]

Primas en las progresiones aritméticas módulo 9. Cada fila de la banda horizontal delgada muestra una de las nueve posibles progresiones mod 9, con los números primos marcados en rojo. Las progresiones de números que son 0, 3 o 6 mod 9 contienen como máximo un número primo (el número 3); las progresiones restantes de números que son 2, 4, 5, 7 y 8 mod 9 tienen infinitos números primos, con números similares de primos en cada progresión

El teorema de Green-Tao muestra que hay progresiones aritméticas finitas arbitrariamente largas que consisten sólo en números primos. ^{[35] [84]}

Valores primos de polinomios cuadráticos

La espiral de Ulam . Los números primos (rojos) se agrupan en algunas diagonales y no en otras. Valores primos de ${\displaystyle 4n^{2}-2n+41}$ se muestran en azul.

Euler señaló que la función

${\displaystyle n^{2}-n+41}$

produce números primos para ${\displaystyle 1\leq n\leq 40}$, aunque los números compuestos aparecen entre sus valores posteriores. ^{[85] [86]} La búsqueda de una explicación para este fenómeno llevó a la teoría de números algebraica profunda de los números de Heegner y al problema de los números de clase . ^[87] La conjetura F de Hardy-Littlewood predice la densidad de números primos entre los valores de polinomios cuadráticos con coeficientes enteros en términos de la integral logarítmica y los coeficientes polinomiales. No se ha demostrado que ningún polinomio cuadrático tome infinitos valores primos. ^[88]

La espiral de Ulam organiza los números naturales en una cuadrícula bidimensional, formando una espiral en cuadrados concéntricos que rodean el origen con los números primos resaltados. Visualmente, los números primos parecen agruparse en ciertas diagonales y no en otras, lo que sugiere que algunos polinomios cuadráticos toman valores primos con más frecuencia que otros. ^[88]

Función Zeta y la hipótesis de Riemann

Gráfico de los valores absolutos de la función zeta, mostrando algunas de sus características

Una de las preguntas sin resolver más famosas en matemáticas, que data de 1859, y uno de los Problemas del Premio Millennium , es la hipótesis de Riemann , que pregunta dónde funcionan los ceros de la zeta de Riemann ${\displaystyle \zeta (s)}$Están localizados. Esta función es una función analítica de los números complejos . Para números complejos${\displaystyle s}$con una parte real mayor que uno, es igual a una suma infinita sobre todos los números enteros y un producto infinito sobre los números primos,

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.}$

Esta igualdad entre una suma y un producto, descubierta por Euler, se denomina producto de Euler . ^[89] El producto de Euler puede derivarse del teorema fundamental de la aritmética y muestra la estrecha conexión entre la función zeta y los números primos. ^[90] Lleva a otra prueba de que hay infinitos números primos: si solo hubiera un número finito, entonces la igualdad de suma-producto también sería válida en${\displaystyle s=1}$, pero la suma divergiría (es la serie armónica ${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dots }$) mientras que el producto sería finito, una contradicción. ^[91]

La hipótesis de Riemann establece que los ceros de la función zeta son todos números pares negativos o números complejos con una parte real igual a 1/2. ^[92] La demostración original del teorema de los números primos se basó en una forma débil de esta hipótesis, que no hay ceros con una parte real igual a 1, ^{[93] [94]} aunque se han encontrado otras demostraciones más elementales. ^[95] La función de conteo de primos se puede expresar mediante la fórmula explícita de Riemann como una suma en la que cada término proviene de uno de los ceros de la función zeta; el término principal de esta suma es la integral logarítmica, y los términos restantes hacen que la suma fluctúe por encima y por debajo del término principal. ^[96] En este sentido, los ceros controlan la regularidad con la que se distribuyen los números primos. Si la hipótesis de Riemann es cierta, estas fluctuaciones serán pequeñas y la distribución asintótica de los números primos dada por el teorema de los números primos también se mantendrá en intervalos mucho más cortos (de longitud alrededor de la raíz cuadrada de${\displaystyle x}$ para intervalos cercanos a un número ${\displaystyle x}$). ^[94]

Álgebra abstracta

Aritmética modular y campos finitos

La aritmética modular modifica la aritmética habitual utilizando solo los números ${\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n-1\}}$, para un número natural ${\displaystyle n}$llamado módulo. Cualquier otro número natural se puede mapear en este sistema reemplazándolo por su resto después de la división por${\displaystyle n}$. ^[97] Las sumas, diferencias y productos modulares se calculan realizando la misma sustitución por el resto sobre el resultado de la suma, diferencia o producto de números enteros habituales. ^{[98] La} igualdad de números enteros corresponde a la congruencia en aritmética modular:${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle y}$ son congruentes ${\displaystyle x\equiv y}$ modificación ${\displaystyle n}$) cuando tienen el mismo resto después de la división por ${\displaystyle n}$. ^[99] Sin embargo, en este sistema de números, la división por todos los números distintos de cero es posible si y solo si el módulo es primo. Por ejemplo, con el número primo${\displaystyle 7}$ como módulo, división por ${\displaystyle 3}$ es posible: ${\displaystyle 2/3\equiv 3{\bmod {7}}}$, porque despejar denominadores multiplicando ambos lados por${\displaystyle 3}$ da la fórmula válida ${\displaystyle 2\equiv 9{\bmod {7}}}$. Sin embargo, con el módulo compuesto${\displaystyle 6}$, división por ${\displaystyle 3}$es imposible. No hay una solución válida para${\displaystyle 2/3\equiv x{\bmod {6}}}$: borrar denominadores multiplicando por ${\displaystyle 3}$ hace que el lado izquierdo se convierta ${\displaystyle 2}$ mientras que el lado derecho se convierte en ${\displaystyle 0}$ o ${\displaystyle 3}$. En la terminología del álgebra abstracta , la capacidad de realizar la división significa que el módulo aritmético modular un número primo forma un campo o, más específicamente, un campo finito , mientras que otros módulos solo dan un anillo pero no un campo. ^[100]

Se pueden formular varios teoremas sobre los números primos utilizando aritmética modular. Por ejemplo, el pequeño teorema de Fermat establece que si${\displaystyle a\not \equiv 0}$ (modificación ${\displaystyle p}$), luego ${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1}$ (modificación ${\displaystyle p}$). ^[101] Resumiendo esto sobre todas las opciones de${\displaystyle a}$ da la ecuación

${\displaystyle \sum _{a=1}^{p-1}a^{p-1}\equiv (p-1)\cdot 1\equiv -1{\pmod {p}},}$

válido siempre ${\displaystyle p}$es primordial. La conjetura de Giuga dice que esta ecuación es también una condición suficiente para${\displaystyle p}$ser primo. ^[102] El teorema de Wilson dice que un número entero${\displaystyle p>1}$es primo si y solo si el factorial ${\displaystyle (p-1)!}$ es congruente con ${\displaystyle -1}$ modificación ${\displaystyle p}$. Para un número compuesto${\displaystyle \;n=r\cdot s\;}$esto no puede sostenerse, ya que uno de sus factores divide tanto n como${\displaystyle (n-1)!}$, y entonces ${\displaystyle (n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}}$es imposible. ^[103]

p -números ádicos

La pag {\ Displaystyle p} -orden ádica ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$ de un entero ${\displaystyle n}$ es el número de copias de ${\displaystyle p}$ en la factorización prima de ${\displaystyle n}$. El mismo concepto se puede extender de enteros a números racionales definiendo el${\displaystyle p}$-orden ádico de una fracción ${\displaystyle m/n}$ ser - estar ${\displaystyle \nu _{p}(m)-\nu _{p}(n)}$. La${\displaystyle p}$-valor absoluto ádico ${\displaystyle |q|_{p}}$ de cualquier número racional ${\displaystyle q}$ entonces se define como ${\displaystyle |q|_{p}=p^{-\nu _{p}(q)}}$. Multiplicar un número entero por su${\displaystyle p}$-el valor absoluto ádico anula los factores de ${\displaystyle p}$en su factorización, dejando solo los demás números primos. Así como la distancia entre dos números reales se puede medir por el valor absoluto de su distancia, la distancia entre dos números racionales se puede medir por su${\displaystyle p}$-adic distancia, el ${\displaystyle p}$-valor absoluto ádico de su diferencia. Para esta definición de distancia, dos números están muy juntos (tienen una distancia pequeña) cuando su diferencia es divisible por una potencia alta de${\displaystyle p}$. De la misma manera que los números reales se pueden formar a partir de los números racionales y sus distancias, agregando valores límite adicionales para formar un campo completo , los números racionales con la${\displaystyle p}$-La distancia ácida se puede extender a un campo completo diferente, el pag {\ Displaystyle p} -números ádicos . ^{[104] [105]}

Esta imagen de un orden, valor absoluto y campo completo derivado de ellos se puede generalizar a campos numéricos algebraicos y sus valoraciones (ciertas asignaciones del grupo multiplicativo del campo a un grupo aditivo totalmente ordenado , también llamado órdenes), valores absolutos ( ciertas asignaciones multiplicativas del campo a los números reales, también llamadas normas), ^[104] y lugares (extensiones para completar campos en los que el campo dado es un conjunto denso , también llamados compleciones). ^[106] La extensión de los números racionales a los números reales , por ejemplo, es un lugar en el que la distancia entre los números es el valor absoluto habitual de su diferencia. El mapeo correspondiente a un grupo aditivo sería el logaritmo del valor absoluto, aunque este no cumple con todos los requisitos de una valoración. Según el teorema de Ostrowski , hasta una noción natural de equivalencia, los números reales y${\displaystyle p}$-Los números árabes, con sus órdenes y valores absolutos, son las únicas valoraciones, valores absolutos y lugares de los números racionales. ^[104] El principio local-global permite que ciertos problemas sobre los números racionales se resuelvan juntando soluciones de cada uno de sus lugares, subrayando nuevamente la importancia de los números primos para la teoría de números. ^[107]

Elementos primos en anillos

Los primos gaussianos con norma inferior a 500

Un anillo conmutativo es una estructura algebraica donde se definen la suma, la resta y la multiplicación. Los enteros son un anillo, y los números primos en los enteros se han generalizado a anillos de dos formas diferentes, elementos primos y elementos irreducibles . Un elemento${\displaystyle p}$ de un anillo ${\displaystyle R}$se llama primo si es distinto de cero, no tiene inverso multiplicativo (es decir, no es una unidad ) y satisface el siguiente requisito: siempre que${\displaystyle p}$ divide el producto ${\displaystyle xy}$ de dos elementos de ${\displaystyle R}$, también divide al menos uno de ${\displaystyle x}$ o ${\displaystyle y}$. Un elemento es irreductible si no es una unidad ni el producto de otros dos elementos no unitarios. En el anillo de los enteros, los elementos primos e irreductibles forman el mismo conjunto,

${\displaystyle \{\dots ,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,\dots \}\,.}$

En un anillo arbitrario, todos los elementos primos son irreducibles. Lo contrario no se aplica en general, pero sí se aplica a los dominios de factorización únicos . ^[108]

El teorema fundamental de la aritmética sigue siendo válido (por definición) en dominios de factorización únicos. Un ejemplo de tal dominio son los enteros gaussianos ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$, el anillo de números complejos de la forma${\displaystyle a+bi}$ dónde ${\displaystyle i}$denota la unidad imaginaria y${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$son enteros arbitrarios. Sus elementos primos se conocen como primos gaussianos . No todos los números primos entre los enteros siguen siendo primos en los enteros gaussianos; por ejemplo, el número 2 se puede escribir como un producto de los dos primos gaussianos${\displaystyle 1+i}$ y ${\displaystyle 1-i}$. Los primos racionales (los elementos primos de los enteros) congruentes con 3 mod 4 son primos gaussianos, pero los primos racionales congruentes con 1 mod 4 no lo son. ^[109] Esto es una consecuencia del teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados , que establece que un primo impar${\displaystyle p}$ es expresable como la suma de dos cuadrados, ${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$, y por lo tanto factorizable como ${\displaystyle p=(x+iy)(x-iy)}$, Exactamente cuando ${\displaystyle p}$es 1 mod 4. ^[110]

Ideales primordiales

No todos los anillos son un dominio de factorización único. Por ejemplo, en el anillo de los números${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}$ (para enteros ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$) el número ${\displaystyle 21}$ tiene dos factorizaciones ${\displaystyle 21=3\cdot 7=(1+2{\sqrt {-5}})(1-2{\sqrt {-5}})}$, donde ninguno de los cuatro factores se puede reducir más, por lo que no tiene una factorización única. Para extender la factorización única a una clase más grande de anillos, la noción de un número puede ser reemplazada por la de un ideal , un subconjunto de los elementos de un anillo que contiene todas las sumas de pares de sus elementos y todos los productos de su elementos con elementos de anillo. Los ideales primos, que generalizan elementos primos en el sentido de que el ideal principal generado por un elemento primo es un ideal primo, son una herramienta importante y un objeto de estudio en álgebra conmutativa , teoría de números algebraica y geometría algebraica . Los ideales primos del anillo de números enteros son los ideales (0), (2), (3), (5), (7), (11), ... El teorema fundamental de la aritmética se generaliza al teorema de Lasker-Noether , que expresa cada ideal en un anillo conmutativo noetheriano como una intersección de ideales primarios , que son las generalizaciones apropiadas de los poderes primarios . ^[111]

El espectro de un anillo es un espacio geométrico cuyos puntos son los ideales principales del anillo. ^[112] La geometría aritmética también se beneficia de esta noción, y existen muchos conceptos tanto en geometría como en teoría de números. Por ejemplo, la factorización o ramificación de ideales primos cuando se eleva a un campo de extensión , un problema básico de la teoría algebraica de números, guarda cierta semejanza con la ramificación en geometría . Estos conceptos pueden incluso ayudar en cuestiones de teoría de números que se ocupan exclusivamente de números enteros. Por ejemplo, los ideales primos en el anillo de números enteros de campos numéricos cuadráticos pueden usarse para probar la reciprocidad cuadrática , una afirmación que se refiere a la existencia de raíces cuadradas módulo números primos enteros. ^{[113] Los} primeros intentos de probar el último teorema de Fermat llevaron a la introducción de Kummer de primos regulares , números primos enteros conectados con el fracaso de la factorización única en los enteros ciclotómicos . ^[114] La cuestión de cuántos números primos enteros se factorizan en un producto de múltiples ideales primos en un campo numérico algebraico se aborda en el teorema de densidad de Chebotarev , que (cuando se aplica a los enteros ciclotómicos) tiene el teorema de Dirichlet sobre los primos en progresiones aritméticas como un caso especial. ^[115]

Teoría de grupos

En la teoría de grupos finitos, los teoremas de Sylow implican que, si una potencia de un número primo${\displaystyle p^{n}}$divide el orden de un grupo , entonces el grupo tiene un subgrupo de orden${\displaystyle p^{n}}$. Según el teorema de Lagrange , cualquier grupo de orden primo es un grupo cíclico , y según el teorema de Burnside, cualquier grupo cuyo orden sea divisible por solo dos primos es resoluble . ^[116]

Métodos computacionales

El engranaje pequeño en esta pieza de equipo agrícola tiene 13 dientes, un número primo, y el engranaje medio tiene 21, relativamente primo a 13

Durante mucho tiempo, la teoría de números en general, y el estudio de los números primos en particular, se consideró el ejemplo canónico de las matemáticas puras, sin aplicaciones fuera de las matemáticas ^[b] aparte del uso de dientes de engranajes con números primos para distribuir el desgaste. igualmente. ^[117] En particular, los teóricos de los números como el matemático británico GH Hardy se enorgullecían de hacer un trabajo que no tenía absolutamente ningún significado militar. ^[118]

Esta visión de la pureza de la teoría de números se hizo añicos en la década de 1970, cuando se anunció públicamente que los números primos podrían usarse como base para la creación de algoritmos de criptografía de clave pública . ^[32] Estas aplicaciones han llevado a un estudio significativo de algoritmos para computación con números primos y, en particular, de pruebas de primalidad , métodos para determinar si un número dado es primo. La rutina de prueba de primalidad más básica, la división de prueba, es demasiado lenta para ser útil para grandes números. Un grupo de pruebas de primalidad modernas es aplicable a números arbitrarios, mientras que las pruebas más eficientes están disponibles para números de tipos especiales. La mayoría de las pruebas de primalidad solo dicen si su argumento es primordial o no. Las rutinas que también proporcionan un factor primo de argumentos compuestos (o todos sus factores primos) se denominan algoritmos de factorización . Los números primos también se utilizan en la informática para sumas de comprobación , tablas hash y generadores de números pseudoaleatorios .

División de prueba

El método más básico para verificar la primacía de un entero dado ${\displaystyle n}$se llama división de prueba . Este método divide${\displaystyle n}$por cada entero desde 2 hasta la raíz cuadrada de${\displaystyle n}$. Cualquier entero dividiendo${\displaystyle n}$ establece uniformemente ${\displaystyle n}$como compuesto; de lo contrario, es primordial. Los enteros mayores que la raíz cuadrada no necesitan verificarse porque, siempre que${\displaystyle n=a\cdot b}$, uno de los dos factores ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$es menor o igual que la raíz cuadrada de${\displaystyle n}$. Otra optimización es verificar solo los números primos como factores en este rango. ^[119] Por ejemplo, para comprobar si 37 es primo, este método lo divide por los primos en el rango de 2 a${\displaystyle {\sqrt {37}}}$, que son 2, 3 y 5. Cada división produce un resto distinto de cero, por lo que 37 es de hecho primo.

Aunque este método es simple de describir, no es práctico para probar la primacía de números enteros grandes, porque el número de pruebas que realiza crece exponencialmente en función del número de dígitos de estos números enteros. ^[120] Sin embargo, la división de prueba todavía se usa, con un límite menor que la raíz cuadrada en el tamaño del divisor, para descubrir rápidamente números compuestos con factores pequeños, antes de usar métodos más complicados en los números que pasan este filtro. ^[121]

Tamices

El tamiz de Eratóstenes comienza con todos los números sin marcar (gris). Repetidamente encuentra el primer número sin marcar, lo marca como primo (colores oscuros) y marca su cuadrado y todos los múltiplos posteriores como compuestos (colores más claros). Después de marcar los múltiplos de 2 (rojo), 3 (verde), 5 (azul) y 7 (amarillo), se han procesado todos los números primos hasta la raíz cuadrada del tamaño de la tabla y todos los números restantes sin marcar (11, 13 , etc.) están marcados como primos (magenta).

Antes de las computadoras, comúnmente se imprimían tablas matemáticas que enumeraban todos los números primos o factorizaciones primos hasta un límite dado. ^[122] El método más antiguo para generar una lista de números primos se llama tamiz de Eratóstenes. ^[123] La animación muestra una variante optimizada de este método. ^[124] Otro método de tamizado más eficiente asintóticamente para el mismo problema es el tamiz de Atkin . ^[125] En matemáticas avanzadas, la teoría del tamiz aplica métodos similares a otros problemas. ^[126]

Prueba de primalidad versus prueba de primalidad

Algunas de las pruebas modernas más rápidas para determinar si un número dado arbitrario ${\displaystyle n}$es primo son algoritmos probabilísticos (o de Monte Carlo ), lo que significa que tienen una pequeña posibilidad aleatoria de producir una respuesta incorrecta. ^[127] Por ejemplo, la prueba de primalidad de Solovay-Strassen en un número dado${\displaystyle p}$ elige un número ${\displaystyle a}$ al azar de ${\displaystyle 2}$ mediante ${\displaystyle p-2}$y utiliza exponenciación modular para comprobar si${\displaystyle a^{(p-1)/2}\pm 1}$ es divisible por ${\displaystyle p}$. ^[c] Si es así, responde que sí y en caso contrario responde que no. Si${\displaystyle p}$ realmente es primo, siempre responderá que sí, pero si ${\displaystyle p}$es compuesta, entonces responde sí con probabilidad como máximo 1/2 y no con probabilidad al menos 1/2. ^[128] Si se repite esta prueba${\displaystyle n}$ veces en el mismo número, la probabilidad de que un número compuesto pueda pasar la prueba cada vez es como máximo ${\displaystyle 1/2^{n}}$. Debido a que esto disminuye exponencialmente con el número de pruebas, proporciona una alta confianza (aunque no certeza) de que un número que pasa la prueba repetida es primo. Por otro lado, si la prueba falla alguna vez, entonces el número es ciertamente compuesto. ^[129] Un número compuesto que pasa tal prueba se llama pseudoprime . ^[128]

Por el contrario, algunos otros algoritmos garantizan que su respuesta siempre será correcta: los números primos siempre se determinarán como primos y los compuestos siempre se determinarán como compuestos. Por ejemplo, esto es cierto para la división de prueba. Los algoritmos con salida correcta garantizada incluyen tanto algoritmos deterministas (no aleatorios), como la prueba de primalidad AKS , ^[130] como algoritmos aleatorios de Las Vegas donde las elecciones aleatorias realizadas por el algoritmo no afectan su respuesta final, como algunos variaciones de la prueba de primalidad de la curva elíptica . ^[127] Cuando el método de la curva elíptica concluye que un número es primo, proporciona un certificado de primalidad que se puede verificar rápidamente. ^[131] La prueba de primalidad de curva elíptica es la más rápida en la práctica de las pruebas de primalidad correcta garantizada, pero su análisis en tiempo de ejecución se basa en argumentos heurísticos en lugar de pruebas rigurosas. La prueba de primalidad AKS ha demostrado matemáticamente la complejidad del tiempo, pero es más lenta que la prueba de primalidad de curva elíptica en la práctica. ^[132] Estos métodos se pueden utilizar para generar números primos aleatorios grandes, generando y probando números aleatorios hasta encontrar uno que sea primo; Al hacer esto, una prueba probabilística más rápida puede eliminar rápidamente la mayoría de los números compuestos antes de que se utilice un algoritmo correcto garantizado para verificar que los números restantes sean primos. ^[D]

La siguiente tabla enumera algunas de estas pruebas. Su tiempo de ejecución se da en términos de${\displaystyle n}$, el número a probar y, para algoritmos probabilísticos, el número ${\displaystyle k}$de las pruebas realizadas. Es más,${\displaystyle \varepsilon }$es un número positivo arbitrariamente pequeño y log es el logaritmo en una base no especificada. La notación O grande significa que cada límite de tiempo debe multiplicarse por un factor constante para convertirlo de unidades adimensionales a unidades de tiempo; este factor depende de los detalles de implementación, como el tipo de computadora utilizada para ejecutar el algoritmo, pero no de los parámetros de entrada${\displaystyle n}$ y ${\displaystyle k}$.

Prueba	Desarrollado en	Tipo	Tiempo de ejecución	Notas	Referencias
Prueba de primalidad de AKS	2002	determinista	${\displaystyle O((\log n)^{6+\varepsilon })}$		[130] [133]
Demostración de primalidad de curva elíptica	1986	Las Vegas	${\displaystyle O((\log n)^{4+\varepsilon })}$ heurísticamente		[132]
Prueba de primalidad Baillie-PSW	1980	Monte Carlo	${\displaystyle O((\log n)^{2+\varepsilon })}$		[134] [135]
Prueba de primaria de Miller-Rabin	1980	Monte Carlo	${\displaystyle O(k(\log n)^{2+\varepsilon })}$	probabilidad de error ${\displaystyle 4^{-k}}$	[136]
Prueba de primordialidad de Solovay-Strassen	1977	Monte Carlo	${\displaystyle O(k(\log n)^{2+\varepsilon })}$	probabilidad de error ${\displaystyle 2^{-k}}$	[136]

Algoritmos de propósito especial y el primo más grande conocido

Además de las pruebas mencionadas anteriormente que se aplican a cualquier número natural, algunos números de una forma especial se pueden probar para determinar su primalidad más rápidamente. Por ejemplo, la prueba de primalidad de Lucas-Lehmer puede determinar si un número de Mersenne (uno menos que una potencia de dos ) es primo, de manera determinista, al mismo tiempo que una sola iteración de la prueba de Miller-Rabin. ^[137] Por eso, desde 1992 (a diciembre de 2018^[actualizar]) la prima más grande conocida siempre ha sido una prima de Mersenne. ^[138] Se conjetura que hay infinitos números primos de Mersenne. ^[139]

La siguiente tabla muestra los números primos más grandes conocidos de varios tipos. Algunos de estos números primos se han encontrado utilizando computación distribuida . En 2009, el proyecto Great Internet Mersenne Prime Search recibió un premio de 100.000 dólares estadounidenses por descubrir por primera vez un prime con al menos 10 millones de dígitos. ^[140] La Electronic Frontier Foundation también ofrece $ 150,000 y $ 250,000 para números primos con al menos 100 millones de dígitos y mil millones de dígitos, respectivamente. ^[141]

Tipo	principal	Número de dígitos decimales	Fecha	Encontrado por
Mersenne prime	2 82,589,933 - 1	24,862,048	7 de diciembre de 2018 [1]	Patrick Laroche, Gran búsqueda de Internet Mersenne Prime
Proth prime	10,223 × 2 31,172,165 + 1	9.383.761	31 de octubre de 2016 [142]	Péter Szabolcs, PrimeGrid [143]
prima factorial	208,003! - 1	1.015.843	Julio de 2016	Sou Fukui [144]
primo primordial [e]	1.098.133 # - 1	476,311	Marzo de 2012	James P. Burt, PrimeGrid [146]
primos gemelos	2,996,863,034,895 × 2 1,290,000 ± 1	388,342	Septiembre de 2016	Tom Greer, PrimeGrid [147]

Factorización de enteros

Dado un entero compuesto ${\displaystyle n}$, la tarea de proporcionar uno (o todos) los factores primos se conoce como factorización de${\displaystyle n}$. Es significativamente más difícil que las pruebas de primalidad, ^[148] y aunque se conocen muchos algoritmos de factorización, son más lentos que los métodos de prueba de primalidad más rápidos. La división de prueba y el algoritmo rho de Pollard se pueden utilizar para encontrar factores muy pequeños de${\displaystyle n}$, ^[121] y la factorización de curvas elípticas pueden ser efectivas cuando${\displaystyle n}$tiene factores de tamaño moderado. ^{[149] Los} métodos adecuados para números grandes arbitrarios que no dependen del tamaño de sus factores incluyen el tamiz cuadrático y el tamiz de campo numérico general . Al igual que con las pruebas de primalidad, también existen algoritmos de factorización que requieren que su entrada tenga una forma especial, incluido el tamiz de campo numérico especial . ^[150] A diciembre de 2019^[actualizar]el número más grande que se sabe que ha sido factorizado por un algoritmo de propósito general es RSA-240 , que tiene 240 dígitos decimales (795 bits) y es el producto de dos números primos grandes. ^[151]

El algoritmo de Shor puede factorizar cualquier número entero en un número polinomial de pasos en una computadora cuántica . ^[152] Sin embargo, la tecnología actual solo puede ejecutar este algoritmo para números muy pequeños. A octubre de 2012^[actualizar]el número más grande que ha sido factorizado por una computadora cuántica que ejecuta el algoritmo de Shor es 21. ^[153]

Otras aplicaciones computacionales

Varios algoritmos de criptografía de clave pública , como RSA y el intercambio de claves Diffie-Hellman , se basan en números primos grandes (los primos de 2048 bits son comunes). ^[154] RSA se basa en el supuesto de que es mucho más fácil (es decir, más eficiente) realizar la multiplicación de dos números (grandes)${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle y}$ que calcular ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle y}$(supuesto coprime ) si solo el producto${\displaystyle xy}$es conocida. ^[32] El intercambio de claves Diffie-Hellman se basa en el hecho de que existen algoritmos eficientes para la exponenciación modular (computación${\displaystyle a^{b}{\bmod {c}}}$), mientras que se cree que la operación inversa (el logaritmo discreto ) es un problema difícil. ^[155]

Los números primos se utilizan con frecuencia para tablas hash . Por ejemplo, el método original de Carter y Wegman para el hash universal se basaba en calcular funciones hash eligiendo funciones lineales aleatorias módulo números primos grandes. Carter y Wegman generalizaron este método para k {\ Displaystyle k} -Hash independiente mediante el uso de polinomios de mayor grado, nuevamente módulos primos grandes. ^[156] Además de en la función hash, los números primos se utilizan para el tamaño de la tabla hash en tablas hash basadas en sondeos cuadráticos para garantizar que la secuencia de la sonda cubra toda la tabla. ^[157]

Algunos métodos de suma de comprobación se basan en las matemáticas de los números primos. Por ejemplo, las sumas de comprobación utilizadas en International Standard Book Numbers se definen tomando el resto del número módulo 11, un número primo. Dado que 11 es primo, este método puede detectar errores de un solo dígito y transposiciones de dígitos adyacentes. ^[158] Otro método de suma de comprobación, Adler-32 , utiliza módulo aritmético 65521, el mayor número primo menor que${\displaystyle 2^{16}}$. ^{[159] Los} números primos también se utilizan en generadores de números pseudoaleatorios, incluidos los generadores congruentes lineales ^[160] y el Mersenne Twister . ^[161]

Otras aplicaciones

Los números primos son de importancia central para la teoría de números, pero también tienen muchas aplicaciones en otras áreas de las matemáticas, como el álgebra abstracta y la geometría elemental. Por ejemplo, es posible colocar números primos de puntos en una cuadrícula bidimensional para que no haya tres en una línea , o para que cada triángulo formado por tres de los puntos tenga un área grande . ^[162] Otro ejemplo es el criterio de Eisenstein , una prueba para determinar si un polinomio es irreducible en función de la divisibilidad de sus coeficientes entre un número primo y su cuadrado. ^[163]

La suma conectada de dos nudos primos

El concepto de número primo es tan importante que se ha generalizado de diferentes formas en diversas ramas de las matemáticas. Generalmente, "primo" indica minimidad o indecomponibilidad, en un sentido apropiado. Por ejemplo, el campo primo de un campo dado es su subcampo más pequeño que contiene tanto 0 como 1. Es el campo de números racionales o un campo finito con un número primo de elementos, de ahí el nombre. ^[164] A menudo se pretende un segundo significado adicional mediante el uso de la palabra primo, a saber, que cualquier objeto puede descomponerse, esencialmente de forma única, en sus componentes principales. Por ejemplo, en la teoría de nudos , un nudo primo es un nudo que es indecomponible en el sentido de que no puede escribirse como la suma conectada de dos nudos no triviales. Cualquier nudo puede expresarse de forma única como una suma conectada de nudos primos. ^[165] La descomposición prima de 3 variedades es otro ejemplo de este tipo. ^[166]

Más allá de las matemáticas y la informática, los números primos tienen conexiones potenciales con la mecánica cuántica y se han utilizado metafóricamente en las artes y la literatura. También se han utilizado en biología evolutiva para explicar los ciclos de vida de las cigarras .

Polígonos construibles y particiones poligonales

Construcción de un pentágono regular usando regla y compás. Esto solo es posible porque 5 es un número primo de Fermat .

Los números primos de Fermat son números primos de la forma

${\displaystyle F_{k}=2^{2^{k}}+1,}$

con ${\displaystyle k}$un número entero no negativo . ^[167] Llevan el nombre de Pierre de Fermat , quien conjeturó que todos esos números son primos. Los primeros cinco de estos números (3, 5, 17, 257 y 65 537) son primos, ^[168] pero${\displaystyle F_{5}}$es de material compuesto y también lo son todos los otros números de Fermat que han sido verificados como de 2017. ^[169] A ordinario norte {\ Displaystyle n} -gon es construible usando regla y compás si y solo si los factores primos impares de${\displaystyle n}$(si los hay) son números primos de Fermat distintos. ^[168] Asimismo, un habitual${\displaystyle n}$-gon puede construirse usando regla, compás y un trisector de ángulo si y solo si los factores primos de norte {\ Displaystyle n} son cualquier número de copias de 2 o 3 junto con un conjunto (posiblemente vacío) de números primos de Pierpont distintos , primos de la forma${\displaystyle 2^{a}3^{b}+1}$. ^[170]

Es posible dividir cualquier polígono convexo en ${\displaystyle n}$ polígonos convexos más pequeños de igual área e igual perímetro, cuando ${\displaystyle n}$es una potencia de un número primo , pero esto no se conoce para otros valores de${\displaystyle n}$. ^[171]

Mecánica cuántica

Comenzando con el trabajo de Hugh Montgomery y Freeman Dyson en la década de 1970, matemáticos y físicos han especulado que los ceros de la función zeta de Riemann están conectados a los niveles de energía de los sistemas cuánticos . ^{[172] [173] Los} números primos también son importantes en la ciencia de la información cuántica , gracias a estructuras matemáticas tales como bases mutuamente insesgadas y medidas simétricas informativamente completas valoradas por operadores positivos . ^{[174] [175]}

Biología

La estrategia evolutiva utilizada por las cigarras del género Magicicada hace uso de números primos. ^[176] Estos insectos pasan la mayor parte de su vida como gusanos bajo tierra. Solo se convierten en crisálidas y luego emergen de sus madrigueras después de 7, 13 o 17 años, momento en el que vuelan, se reproducen y luego mueren después de unas pocas semanas como máximo. Los biólogos teorizan que la duración de estos ciclos de reproducción con números primos ha evolucionado para evitar que los depredadores se sincronicen con estos ciclos. ^{[177] [178]} Por el contrario, se supone que los períodos de varios años entre la floración de las plantas de bambú son números suaves , con solo pequeños números primos en sus factorizaciones. ^[179]

Artes y literatura

Los números primos han influido en muchos artistas y escritores. El compositor francés Olivier Messiaen usó números primos para crear música ametral a través de "fenómenos naturales". En obras como La Nativité du Seigneur (1935) y Quatre études de rythme (1949-1950), utiliza simultáneamente motivos con longitudes dadas por diferentes números primos para crear ritmos impredecibles: los primos 41, 43, 47 y 53 aparecen en el tercer étude, "Neumes rythmiques". Según Messiaen esta forma de componer estaba "inspirada en los movimientos de la naturaleza, movimientos de duraciones libres y desiguales". ^[180]

En su novela de ciencia ficción Contact , el científico Carl Sagan sugirió que la factorización prima podría usarse como un medio para establecer planos de imágenes bidimensionales en las comunicaciones con extraterrestres, una idea que había desarrollado informalmente por primera vez con el astrónomo estadounidense Frank Drake en 1975. ^{[181 ]} En la novela The Curious Incident of the Dog in the Night-Time de Mark Haddon , el narrador organiza las secciones de la historia por números primos consecutivos como una forma de transmitir el estado mental de su personaje principal, un adolescente matemático con Asperger. síndrome . ^{[182] Los} números primos se utilizan como metáfora de la soledad y el aislamiento en la novela de Paolo Giordano La soledad de los números primos , en la que se los retrata como "extraños" entre los números enteros. ^[183]

Notas

1. Un número primo de 44 dígitos encontrado en 1951 por Aimé Ferrier con una calculadora mecánica sigue siendo el número primo más grande que no se ha encontrado con la ayuda de computadoras electrónicas. ^[28]
2. Por ejemplo, Beiler escribe que el teórico de números Ernst Kummer amaba sus números ideales , estrechamente relacionados con los números primos, "porque no se habían ensuciado con ninguna aplicación práctica", ^[30] y Katz escribe que Edmund Landau , conocido por su Trabajar en la distribución de números primos, "detestaba las aplicaciones prácticas de las matemáticas", y por ello evitaba asignaturas como la geometría que ya se habían mostrado útiles. ^[31]
3. En esta prueba, el${\displaystyle \pm 1}$ término es negativo si ${\displaystyle a}$ es un módulo cuadrado el primo dado (supuesto) ${\displaystyle p}$y positivo de lo contrario. De manera más general, para valores no primos de${\displaystyle p}$, la ${\displaystyle \pm 1}$término es el símbolo (negado) de Jacobi , que se puede calcular usando reciprocidad cuadrática .
4. De hecho, gran parte del análisis de la prueba de primalidad de la curva elíptica se basa en la suposición de que la entrada al algoritmo ya ha pasado una prueba probabilística. ^[131]
5. Lafunción primordial de${\displaystyle n}$, denotado por ${\displaystyle n\#}$, produce el producto de los números primos hasta ${\displaystyle n}$, y un primo primordial es un primo de una de las formas${\displaystyle n\#\pm 1}$. ^[145]

Referencias

1. "Proyecto GIMPS descubre el mayor número primo conocido: 2 82.589.933 -1" . Mersenne Research, Inc . 21 de diciembre de 2018 . Consultado el 21 de diciembre de 2018 .
2. Gardiner, Anthony (1997). El manual de la Olimpiada de Matemáticas: Introducción a la resolución de problemas basado en las primeras 32 Olimpiadas de Matemáticas británicas 1965–1996 . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 26 . ISBN 978-0-19-850105-3.
3. Henderson, Anne (2014). Dislexia, discalculia y matemáticas: una guía práctica (2ª ed.). Routledge. pag. 62. ISBN 978-1-136-63662-2.
4. Adler, Irving (1960). El gigante libro dorado de las matemáticas: exploración del mundo de los números y el espacio . Prensa de oro. pag. 16 . OCLC  6975809 .
5. Leff, Lawrence S. (2000). Cuaderno de Matemáticas para el SAT I . Serie educativa de Barron. pag. 360 . ISBN 978-0-7641-0768-9.
6. Dudley, Underwood (1978). "Sección 2: Factorización única" . Teoría elemental de números (2ª ed.). WH Freeman y Cía. Pág. 10 . ISBN 978-0-7167-0076-0.
7. Sierpiński, Wacław (1988). Teoría elemental de los números . Biblioteca matemática de Holanda Septentrional. 31 (2ª ed.). Elsevier. pag. 113. ISBN 978-0-08-096019-7.
8. Ziegler, Günter M. (2004). "Las grandes carreras récord de números primos". Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 51 (4): 414–416. Señor  2039814 .
9. Stillwell, John (1997). Números y geometría . Textos de Licenciatura en Matemáticas. Saltador. pag. 9. ISBN 978-0-387-98289-2.
10. Sierpiński, Wacław (1964). Una selección de problemas en la teoría de los números . Nueva York: Macmillan. pag. 40 . Señor  0170843 .
11. Nathanson, Melvyn B. (2000). "Notaciones y convenciones" . Métodos elementales en teoría de números . Textos de Posgrado en Matemáticas. 195 . Saltador. ISBN 978-0-387-22738-2. Señor  1732941 .
12. Faticoni, Theodore G. (2012). Las matemáticas del infinito: una guía para grandes ideas . Matemáticas puras y aplicadas: una serie de textos, monografías y tratados de Wiley. 111 (2ª ed.). John Wiley e hijos. pag. 44. ISBN 978-1-118-24382-4.
13. Bruins, Evert Marie, revisión en Mathematical Reviews de Gillings, RJ (1974). "El recto del Papiro Matemático de Rhind. ¿Cómo lo preparó el antiguo escriba egipcio?". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 12 (4): 291-298. doi : 10.1007 / BF01307175 . Señor  0497458 . S2CID  121046003 .
14. Stillwell, John (2010). Matemáticas y su historia . Textos de Licenciatura en Matemáticas (3ª ed.). Saltador. pag. 40. ISBN 978-1-4419-6052-8.
15. Pomerance, Carl (diciembre de 1982). "La búsqueda de números primos". Scientific American . 247 (6): 136-147. Código Bibliográfico : 1982SciAm.247f.136P . doi : 10.1038 / scientificamerican1282-136 . JSTOR  24966751 .
16. Mollin, Richard A. (2002). "Una breve historia de las pruebas de factoring y primalidad BC (antes de las computadoras)". Revista de Matemáticas . 75 (1): 18-29. doi : 10.2307 / 3219180 . JSTOR  3219180 . Señor  2107288 .
17. O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. "Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham" . Archivo MacTutor History of Mathematics . Universidad de St Andrews ..
18. Sandifer 2007 , 8. Pequeño teorema de Fermat (noviembre de 2003), p. 45
19. Sandifer, C. Edward (2014). Cómo Euler hizo aún más . Asociación Matemática de América. pag. 42. ISBN 978-0-88385-584-3.
20. Koshy, Thomas (2002). Teoría elemental de números con aplicaciones . Prensa académica. pag. 369. ISBN 978-0-12-421171-1.
21. Yuan, Wang (2002). Conjetura de Goldbach . Serie en matemáticas puras. 4 (2ª ed.). World Scientific. pag. 21. ISBN 978-981-4487-52-8.
22. Narkiewicz, Wladyslaw (2000). "1.2 Suma de Recíprocos de Primas" . El desarrollo de la teoría de los números primos: de Euclides a Hardy y Littlewood . Springer Monografías en Matemáticas. Saltador. pag. 11. ISBN 978-3-540-66289-1.
23. Tchebychev, P. (1852). "Mémoire sur les nombres premiers" (PDF) . Journal de mathématiques pures et appliquées . Série 1 (en francés): 366–390.. (Prueba del postulado: 371-382). Véase también Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg, vol. 7, págs. 15-33, 1854
24. Apostol, Tom M. (2000). "Una historia centenaria del teorema de los números primos" . En Bambah, RP; Dumir, VC; Hans-Gill, RJ (eds.). Teoría de números . Tendencias en Matemáticas. Basilea: Birkhäuser. págs. 1-14. Señor  1764793 .
25. Apostol, Tom M. (1976). "7. Teorema de Dirichlet sobre primas en progresiones aritméticas" . Introducción a la teoría analítica de números . Nueva York; Heidelberg: Springer-Verlag. págs. 146-156. Señor  0434929 .
26. Chabert, Jean-Luc (2012). Una historia de algoritmos: del guijarro al microchip . Saltador. pag. 261. ISBN 978-3-642-18192-4.
27. Rosen, Kenneth H. (2000). "Teorema 9.20. Prueba de primordialidad de Proth". Teoría elemental de números y sus aplicaciones (4ª ed.). Addison-Wesley. pag. 342. ISBN 978-0-201-87073-2.
28. Cooper, S. Barry; Hodges, Andrew (2016). El antiguo y futuro Turing . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 37–38. ISBN 978-1-107-01083-3.
29. Rosen 2000 , p. 245.
30. Beiler, Albert H. (1999) [1966]. Recreaciones en la teoría de los números: la reina de las matemáticas entretiene . Dover. pag. 2. ISBN 978-0-486-21096-4. OCLC  444171535 .
31. Katz, Shaul (2004). "Raíces de Berlín - Encarnación sionista: el espíritu de las matemáticas puras y los inicios del Instituto Einstein de Matemáticas en la Universidad Hebrea de Jerusalén". Ciencia en contexto . 17 (1–2): 199–234. doi : 10.1017 / S0269889704000092 . Señor  2089305 .
32. Kraft, James S .; Washington, Lawrence C. (2014). Teoría elemental de números . Libros de texto de matemáticas. Prensa CRC. pag. 7. ISBN 978-1-4987-0269-0.
33. Bauer, Craig P. (2013). Historia secreta: la historia de la criptología . Matemáticas discretas y sus aplicaciones. Prensa CRC. pag. 468. ISBN 978-1-4665-6186-1.
34. Klee, Victor ; Wagon, Stan (1991). Problemas antiguos y nuevos sin resolver en geometría plana y teoría de números . Exposiciones matemáticas dolciani. 11 . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 224. ISBN 978-0-88385-315-3.
35. Neale , 2017 , págs.18, 47.
36. Caldwell, Chris K .; Reddick, Angela; Xiong, Yeng; Keller, Wilfrid (2012). "La historia de la primordialidad de uno: una selección de fuentes" . Diario de secuencias de enteros . 15 (9): Artículo 12.9.8. Señor  3005523 .Para una selección de citas de y sobre las posiciones griegas antiguas sobre este tema, véanse en particular las págs. 3–4. Para los matemáticos islámicos, consulte la p. 6.
37. Tarán, Leonardo (1981). Speusippus de Atenas: un estudio crítico con una colección de textos y comentarios relacionados . Philosophia Antiqua: una serie de monografías sobre filosofía antigua. 39 . Rodaballo. págs. 35–38. ISBN 978-90-04-06505-5.
38. Caldwell y col. 2012 , págs. 7–13. Vea en particular las entradas para Stevin, Brancker, Wallis y Prestet.
39. Caldwell y col. 2012 , pág. 15.
40. Caldwell, Chris K .; Xiong, Yeng (2012). "¿Cuál es la prima más pequeña?" (PDF) . Diario de secuencias de enteros . 15 (9): Artículo 12.9.7. Señor  3005530 .
41. Riesel, Hans (1994). Números primos y métodos informáticos para la factorización (2ª ed.). Basilea, Suiza: Birkhäuser. pag. 36. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0251-6 . ISBN 978-0-8176-3743-9. Señor  1292250 .
42. Conway, John Horton ; Guy, Richard K. (1996). El libro de los números . Nueva York: Copérnico. págs.  129–130 . doi : 10.1007 / 978-1-4612-4072-3 . ISBN 978-0-387-97993-9. Señor  1411676 .
43. Para el totient, ver Sierpiński 1988 , p. 245 . Para la suma de divisores, consulte Sandifer, C. Edward (2007). Cómo lo hizo Euler . Espectro MAA. Asociación Matemática de América. pag. 59. ISBN 978-0-88385-563-8.
44. Smith, Karl J. (2011). La naturaleza de las matemáticas (12ª ed.). Aprendizaje Cengage. pag. 188. ISBN 978-0-538-73758-6.
45. Dudley 1978 , Sección 2, Teorema 2, p. 16 ; Neale, Vicky (2017). Cerrar la brecha: la búsqueda para comprender los números primos . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 107 . ISBN 978-0-19-109243-5.
46. du Sautoy, Marcus (2003). La música de los primos: buscando resolver el mayor misterio de las matemáticas . Harper Collins. pag. 23 . ISBN 978-0-06-093558-0.
47. Dudley 1978 , Sección 2, Lema 5, p. 15 ; Higgins, Peter M. (1998). Matemáticas para curiosos . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 77–78. ISBN 978-0-19-150050-3.
48. Rotman, Joseph J. (2000). Un primer curso de álgebra abstracta (2ª ed.). Prentice Hall. Problema 1.40, pág. 56. ISBN 978-0-13-011584-3.
49. Carta en latín de Goldbach a Euler, julio de 1730.
50. Furstenberg, Harry (1955). "Sobre la infinitud de los números primos". American Mathematical Monthly . 62 (5): 353. doi : 10.2307 / 2307043 . JSTOR  2307043 . Señor  0068566 .
51. Ribenboim, Paulo (2004). El librito de números primos más grandes . Berlina; Nueva York: Springer-Verlag. pag. 4. ISBN 978-0-387-20169-6.
52. Euclid's Elements , Book IX, Proposition 20. Véase la traducción al inglés de David Joyce de la prueba de Euclides o Williamson, James (1782). Los elementos de Euclides, con disertaciones . Oxford: Clarendon Press . pag. 63. OCLC  642232959 .
53. Vardi, Ilan (1991). Recreaciones computacionales en Mathematica . Addison-Wesley. págs. 82–89. ISBN 978-0-201-52989-0.
54. Matiyasevich, Yuri V. (1999). "Fórmulas para números primos" . En Tabachnikov, Serge (ed.). Kvant Selecta: Álgebra y Análisis . II . Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 13-24. ISBN 978-0-8218-1915-9.
55. Mackinnon, Nick (junio de 1987). "Fórmulas de números primos". La Gaceta Matemática . 71 (456): 113-114. doi : 10.2307 / 3616496 . JSTOR  3616496 .
56. Wright, EM (1951). "Una función que representa a los primos". American Mathematical Monthly . 58 (9): 616–618. doi : 10.2307 / 2306356 . JSTOR  2306356 .
57. Guy , 2013 , p. vii .
58. Guy 2013 , conjetura de C1 Goldbach, págs. 105-107 .
59. Oliveira e Silva, Tomás; Herzog, Siegfried; Pardi, Silvio (2014). "Verificación empírica de la conjetura uniforme de Goldbach y cálculo de brechas primarias hasta 4 ⋅ 10 18 {\ Displaystyle 4 \ cdot 10 ^ {18}} " . Matemáticas de la Computación . 83 (288): 2033–2060. Doi : 10.1090 / S0025-5718-2013-02787-1 . MR  3194140 .
60. Tao 2009 , 3.1 Estructura y aleatoriedad en los números primos, págs. 239–247 . Ver especialmente la p. 239.
61. Guy , 2013 , p. 159.
62. Ramaré, Olivier (1995). "Sobre la constante de Šnirel'man" . Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa . 22 (4): 645–706. Señor  1375315 .
63. Rassias, Michael Th. (2017). Problema de Goldbach: temas seleccionados . Cham: Springer. pag. vii. doi : 10.1007 / 978-3-319-57914-6 . ISBN 978-3-319-57912-2. Señor  3674356 .
64. Koshy 2002 , Teorema 2.14, p. 109 . Riesel 1994 ofrece un argumento similar utilizando el primorial en lugar del factorial.
65. Riesel 1994 , " Grandes brechas entre números primos consecutivos ", págs. 78-79.
66. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A100964 (número primo más pequeño que comienza un espacio principal de al menos 2n)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
67. Ribenboim 2004 , Brechas entre números primos, págs. 186-192.
68. Ribenboim , 2004 , p. 183.
69. Chan, Joel (febrero de 1996). "¡Hora estelar!". Horizontes de matemáticas . 3 (3): 23-25. doi : 10.1080 / 10724117.1996.11974965 . JSTOR  25678057 . Tenga en cuenta que Chan enumera la conjetura de Legendre como "Postulado de Sierpinski".
70. Ribenboim 2004 , Prime${\displaystyle k}$conjetura de las tuplas, págs. 201–202.
71. Sandifer 2007 , capítulo 35, Estimación del problema de Basilea, págs. 205-208 .
72. Ogilvy, CS ; Anderson, JT (1988). Excursiones en teoría de números . Dover Publications Inc. págs. 29–35. ISBN 978-0-486-25778-5.
73. Apostol 1976 , Sección 1.6, Teorema 1.13
74. Apostol 1976 , Sección 4.8, Teorema 4.12
75. Miller, Steven J .; Takloo-Bighash, Ramin (2006). Una invitación a la teoría de números moderna . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 43–44. ISBN 978-0-691-12060-7.
76. Crandall y Pomerance 2005 , p. 6 .
77. Crandall y Pomerance 2005 , Sección 3.7, Contar números primos, págs. 152-162 .
78. Crandall y Pomerance , 2005 , p. 10 .
79. du Sautoy, Marcus (2011). "¿Cuáles son las probabilidades de que su número de teléfono sea el principal?" . Los misterios numéricos: una odisea matemática a través de la vida cotidiana . Prensa de San Martín. págs. 50–52. ISBN 978-0-230-12028-0.
80. Apostol 1976 , Sección 4.6, Teorema 4.7
81. Gelfand, IM ; Shen, Alexander (2003). Álgebra . Saltador. pag. 37. ISBN 978-0-8176-3677-7.
82. Mollin, Richard A. (1997). Teoría fundamental de números con aplicaciones . Matemáticas discretas y sus aplicaciones. Prensa CRC. pag. 76. ISBN 978-0-8493-3987-5.
83. Crandall y Pomerance 2005 , Teorema 1.1.5, p. 12 .
84. Green, Ben ; Tao, Terence (2008). "Los números primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas". Annals of Mathematics . 167 (2): 481–547. arXiv : matemáticas.NT / 0404188 . doi : 10.4007 / annals.2008.167.481 . S2CID  1883951 .
85. Hua, LK (2009) [1965]. Teoría aditiva de números primos . Traducciones de monografías matemáticas. 13 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 176-177. ISBN 978-0-8218-4942-2. Señor  0194404 . OCLC  824812353 .
86. La secuencia de estos números primos, comenzando en${\displaystyle n=1}$ en vez de ${\displaystyle n=0}$, está listado por Lava, Paolo Pietro; Balzarotti, Giorgio (2010). "Capítulo 33. Formule afortunado" . 103 curiosità matematiche: Teoria dei numeri, delle cifre e delle relazioni nella matematica contemporanea (en italiano). Ulrico Hoepli Editore SpA p. 133. ISBN 978-88-203-5804-4.
87. Chamberland, Marc (2015). "Los números de Heegner" . Un solo dígito: en elogio de los números pequeños . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 213–215. ISBN 978-1-4008-6569-7.
88. Guy, Richard (2013). "A1 Valores primos de funciones cuadráticas" . Problemas no resueltos en teoría de números . Libros de problemas en matemáticas (3ª ed.). Saltador. págs. 7-10. ISBN 978-0-387-26677-0.
89. Patterson, SJ (1988). Introducción a la teoría de la función zeta de Riemann . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 14 . Prensa de la Universidad de Cambridge, Cambridge. pag. 1. doi : 10.1017 / CBO9780511623707 . ISBN 978-0-521-33535-5. Señor  0933558 .
90. Borwein, Peter ; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea (2008). La hipótesis de Riemann: un recurso tanto para el aficionado como para el virtuoso . Libros CMS en Matemáticas / Ouvrages de Mathématiques de la SMC. Nueva York: Springer. págs. 10-11. doi : 10.1007 / 978-0-387-72126-2 . ISBN 978-0-387-72125-5. Señor  2463715 .
91. Sandifer 2007 , págs. 191-193 .
92. Borwein y col. 2008 , Conjetura 2.7 (la hipótesis de Riemann), p. 15 .
93. Patterson 1988 , p. 7.
94. Borwein y col. 2008 , pág. 18.
95. Nathanson 2000 , Capítulo 9, El teorema de los números primos, págs. 289-324 .
96. Zagier, Don (1977). "Los primeros 50 millones de números primos". El inteligente matemático . 1 (S2): 7–19. doi : 10.1007 / bf03351556 . S2CID  37866599 . Véanse especialmente las págs. 14-16.
97. Kraft y Washington (2014) , Proposición 5.3 , p. 96.
98. Shahriari, Shahriar (2017). Álgebra en acción: un curso en grupos, anillos y campos . Textos de pregrado puros y aplicados. 27 . Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 20-21. ISBN 978-1-4704-2849-5.
99. Dudley 1978 , Teorema 3, p. 28 .
100. Shahriari 2017 , págs. 27-28 .
101. Ribenboim 2004 , pequeño teorema de Fermat y raíces primitivas modulo a prime, págs. 17-21.
102. Ribenboim 2004 , La propiedad de Giuga, págs. 21-22.
103. Ribenboim 2004 , El teorema de Wilson, p. 21.
104. Childress, Nancy (2009). Teoría del campo de clases . Universitext. Springer, Nueva York. págs. 8-11. doi : 10.1007 / 978-0-387-72490-4 . ISBN 978-0-387-72489-8. Señor  2462595 .Ver también p. 64.
105. Erickson, Marty; Vazzana, Anthony; Garth, David (2016). Introducción a la teoría de números . Libros de texto de matemáticas (2ª ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. pag. 200. ISBN 978-1-4987-1749-6. Señor  3468748 .
106. Weil, André (1995). Teoría básica de números . Clásicos de las matemáticas. Berlín: Springer-Verlag. pag. 43 . ISBN 978-3-540-58655-5. Señor  1344916 .Sin embargo, tenga en cuenta que algunos autores como Childress (2009) utilizan "lugar" para referirse a una clase de equivalencia de normas.
107. Koch, H. (1997). Teoría algebraica de números . Berlín: Springer-Verlag. pag. 136. CiteSeerX  10.1.1.309.8812 . doi : 10.1007 / 978-3-642-58095-6 . ISBN 978-3-540-63003-6. Señor  1474965 .
108. Lauritzen, Niels (2003). Álgebra abstracta concreta: de los números a las bases de Gröbner . Cambridge: Cambridge University Press. pag. 127. doi : 10.1017 / CBO9780511804229 . ISBN 978-0-521-53410-9. Señor  2014325 .
109. Lauritzen 2003 , Corolario 3.5.14, p. 133; Lema 3.5.18, pág. 136.
110. Kraft y Washington 2014 , Sección 12.1, Sumas de dos cuadrados, págs. 297-301 .
111. Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa . Textos de Posgrado en Matemáticas. 150 . Berlina; Nueva York: Springer-Verlag. Sección 3.3. doi : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 . ISBN 978-0-387-94268-1. Señor  1322960 .
112. Shafarevich, Igor R. (2013). "Definicion de Especificaciones ⁡ A {\ Displaystyle \ operatorname {Spec} A} " . Geometría algebraica básica 2: Esquemas y colectores complejos (3ª ed.). Springer, Heidelberg. P. 5. doi : 10.1007 / 978-3-642-38010-5 . ISBN 978-3-642-38009-9. Señor  3100288 .
113. Neukirch, Jürgen (1999). Teoría algebraica de números . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas]. 322 . Berlín: Springer-Verlag. Sección I.8, p. 50. doi : 10.1007 / 978-3-662-03983-0 . ISBN 978-3-540-65399-8. Señor  1697859 .
114. Neukirch 1999 , Sección I.7, p. 38
115. Stevenhagen, P .; Lenstra, HW, Jr. (1996). "Chebotarëv y su teorema de densidad". El inteligente matemático . 18 (2): 26–37. CiteSeerX  10.1.1.116.9409 . doi : 10.1007 / BF03027290 . Señor  1395088 . S2CID  14089091 .
116. Hall, Marshall (2018). La teoría de los grupos . Libros de Dover sobre matemáticas. Publicaciones de Courier Dover. ISBN 978-0-486-81690-6.Para los teoremas de Sylow, consulte la p. 43; para el teorema de Lagrange, véase p. 12; para el teorema de Burnside, véase p. 143.
117. Bryant, John; Sangwin, Christopher J. (2008). ¿Qué tan redondo es su círculo ?: Donde se encuentran la ingeniería y las matemáticas . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 178 . ISBN 978-0-691-13118-4.
118. Hardy, Godfrey Harold (2012) [1940]. La disculpa de un matemático . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 140 . ISBN 978-0-521-42706-7. OCLC  922010634 . Nadie ha descubierto todavía ningún propósito bélico al que sirva la teoría de los números o la relatividad, y parece poco probable que alguien lo haga durante muchos años.
119. Giblin, Peter (1993). Primes y Programación . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 39 . ISBN 978-0-521-40988-9.
120. Giblin 1993 , p. 54
121. Riesel , 1994 , p. 220 .
122. Bullynck, Maarten (2010). "Una historia de tablas de factores con notas sobre el nacimiento de la teoría de números 1657-1817" . Revue d'Histoire des Mathématiques . 16 (2): 133–216.
123. Wagstaff, Samuel S. Jr. (2013). La alegría de la factorización . Biblioteca de matemáticas para estudiantes. 68 . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 191. ISBN 978-1-4704-1048-3.
124. Crandall, Richard ; Pomerance, Carl (2005). Números primos: una perspectiva computacional (2ª ed.). Saltador. pag. 121. ISBN 978-0-387-25282-7.
125. Farach-Colton, Martín ; Tsai, Meng-Tsung (2015). "Sobre la complejidad de la computación de tablas primarias". En Elbassioni, Khaled; Makino, Kazuhisa (eds.). Algoritmos y Computación: 26 ° Simposio Internacional, ISAAC 2015, Nagoya, Japón, 9-11 de diciembre de 2015, Actas . Apuntes de conferencias en informática. 9472 . Saltador. págs. 677–688. arXiv : 1504.05240 . doi : 10.1007 / 978-3-662-48971-0_57 .
126. Greaves, George (2013). Tamices en la teoría de números . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge). 43 . Saltador. pag. 1. ISBN 978-3-662-04658-6.
127. Hromkovič, Juraj (2001). "5.5 Observaciones bibliográficas" . Algoritmos para problemas difíciles . Textos en Informática Teórica. Una serie EATCS. Springer-Verlag, Berlín. págs. 383–385. doi : 10.1007 / 978-3-662-04616-6 . ISBN 978-3-540-66860-2. Señor  1843669 . S2CID  31159492 .
128. Koblitz, Neal (1987). "Capítulo V. Primalidad y factorización". Curso de Teoría de Números y Criptografía . Textos de Posgrado en Matemáticas. 114 . Springer-Verlag, Nueva York. págs. 112-149. doi : 10.1007 / 978-1-4684-0310-7_5 . ISBN 978-0-387-96576-5. Señor  0910297 .
129. Pieprzyk, Josef; Hardjono, Thomas; Seberry, Jennifer (2013). "2.3.9 Cálculos probabilísticos" . Fundamentos de la seguridad informática . Saltador. págs. 51–52. ISBN 978-3-662-07324-7.
130. Tao, Terence (2010). "1.11 La prueba de primalidad AKS" . Un épsilon de habitación, II: páginas del tercer año de un blog de matemáticas . Estudios de Posgrado en Matemáticas. 117 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 82–86. doi : 10.1090 / gsm / 117 . ISBN 978-0-8218-5280-4. Señor  2780010 .
131. Atkin, A OL ; Morain, F. (1993). "Demostración de curvas elípticas y primalidad" (PDF) . Matemáticas de la Computación . 61 (203): 29–68. Código Bibliográfico : 1993MaCom..61 ... 29A . doi : 10.1090 / s0025-5718-1993-1199989-x . JSTOR  2152935 . Señor  1199989 .
132. Morain, F. (2007). "Implementación de la versión asintóticamente rápida del algoritmo de prueba de primalidad de curva elíptica". Matemáticas de la Computación . 76 (257): 493–505. arXiv : matemáticas / 0502097 . Código Bibliográfico : 2007MaCom..76..493M . doi : 10.1090 / S0025-5718-06-01890-4 . Señor  2261033 . S2CID  133193 .
133. Lenstra, HW Jr .; Pomerance, Carl (2019). "Prueba de primalidad con períodos gaussianos" (PDF) . Revista de la Sociedad Matemática Europea . 21 (4): 1229-1269. doi : 10.4171 / JEMS / 861 . Señor  3941463 .
134. Carl Pomerance ; John L. Selfridge ; Samuel S. Wagstaff, Jr. (julio de 1980). "Los pseudoprimes a 25 · 10 9 " (PDF) . Matemáticas de la Computación . 35 (151): 1003–1026. doi : 10.1090 / S0025-5718-1980-0572872-7 . JSTOR  2006210 .
135. Robert Baillie; Samuel S. Wagstaff, Jr. (octubre de 1980). "Lucas Pseudoprimes" (PDF) . Matemáticas de la Computación . 35 (152): 1391-1417. doi : 10.1090 / S0025-5718-1980-0583518-6 . JSTOR  2006406 . Señor  0583518 .
136. Monier, Louis (1980). "Evaluación y comparación de dos algoritmos de prueba de primalidad probabilística eficientes". Informática Teórica . 12 (1): 97–108. doi : 10.1016 / 0304-3975 (80) 90007-9 . Señor  0582244 .
137. Tao, Terence (2009). "1.7 La prueba de Lucas-Lehmer para primos de Mersenne" . Legados de Poincaré, páginas del segundo año de un blog de matemáticas. Primera parte . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 36–41. ISBN 978-0-8218-4883-8. Señor  2523047 .
138. Kraft y Washington , 2014 , p. 41 .
139. Por ejemplo, véase Guy 2013 , A3 Mersenne primes. Repunciones. Números de Fermat. Primas de forma k ⋅ 2 norte + 1 {\ Displaystyle k \ cdot 2 ^ {n} +1} . págs. 13-21 .
140. "Registro de números primos de 12 millones de dígitos gana $ 100,000" . Fundación Frontera Electrónica. 14 de octubre de 2009 . Consultado el 4 de enero de 2010 .
141. "Premios EFF Cooperative Computing" . Fundación Frontera Electrónica. 2008-02-29 . Consultado el 4 de enero de 2010 .
142. "Subproyecto Diecisiete o Busto de PrimeGrid" (PDF) . Consultado el 3 de enero de 2017 .
143. Caldwell, Chris K. "Los veinte primeros: mayores premios conocidos" . Las Prime Pages . Consultado el 3 de enero de 2017 .
144. Caldwell, Chris K. "The Top Twenty: Factorial" . Las Prime Pages . Consultado el 3 de enero de 2017 .
145. Ribenboim 2004 , p. 4.
146. Caldwell, Chris K. "The Top Twenty: Primorial" . Las Prime Pages . Consultado el 3 de enero de 2017 .
147. Caldwell, Chris K. "Los veinte primeros: Twin Primes" . Las Prime Pages . Consultado el 3 de enero de 2017 .
148. Kraft y Washington , 2014 , p. 275 .
149. Hoffstein, Jeffrey; Pipher, Jill ; Silverman, Joseph H. (2014). Introducción a la criptografía matemática . Textos de Licenciatura en Matemáticas (2ª ed.). Saltador. pag. 329. ISBN 978-1-4939-1711-2.
150. Pomerance, Carl (1996). "Un cuento de dos tamices". Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 43 (12): 1473-1485. Señor  1416721 .
151. Emmanuel Thomé, "factorización de 795 bits y logaritmos discretos" , 2 de diciembre de 2019.
152. Rieffel, Eleanor G .; Polak, Wolfgang H. (2011). "Capítulo 8. Algoritmo de Shor" . Computación cuántica: una suave introducción . MIT Press. págs. 163-176. ISBN 978-0-262-01506-6.
153. Martín-López, Enrique; Laing, Anthony; Lawson, Thomas; Álvarez, Roberto; Zhou, Xiao-Qi; O'Brien, Jeremy L. (12 de octubre de 2012). "Realización experimental del algoritmo de factorización cuántica de Shor utilizando reciclaje de qubit". Nature Photonics . 6 (11): 773–776. arXiv : 1111.4147 . Código Bibliográfico : 2012NaPho ... 6..773M . doi : 10.1038 / nphoton.2012.259 . S2CID  46546101 .
154. Chirgwin, Richard (9 de octubre de 2016). "Crypto necesita más transparencia, advierten los investigadores" . El registro .
155. Hoffstein, Pipher & Silverman 2014 , Sección 2.3, Intercambio de claves Diffie-Hellman, págs. 65–67.
156. Cormen, Thomas H .; Leiserson, Charles E .; Rivest, Ronald L .; Stein, Clifford (2001) [1990]. "11.3 Hash universal". Introducción a los algoritmos (2ª ed.). MIT Press y McGraw-Hill. págs. 232-236. ISBN 0-262-03293-7. Para ${\displaystyle k}$-Hash independiente, consulte el problema 11–4, pág. 251. Para el crédito a Carter y Wegman, véanse las notas del capítulo, p. 252.
157. Goodrich, Michael T .; Tamassia, Roberto (2006). Estructuras de datos y algoritmos en Java (4ª ed.). John Wiley e hijos. ISBN 978-0-471-73884-8.Consulte "Sondeo cuadrático", pág. 382 y ejercicio C-9.9, pág. 415.
158. Kirtland, Joseph (2001). Números de identificación y esquemas de dígitos de control . Materiales de recursos para el aula. 18 . Asociación Matemática de América. págs. 43–44. ISBN 978-0-88385-720-5.
159. Deutsch, P. (1996). Especificación de formato de datos comprimidos ZLIB versión 3.3 . Solicitud de comentarios . 1950 . Grupo de trabajo en red.
160. Knuth, Donald E. (1998). "3.2.1 El modelo lineal congruencial". El arte de la programación informática, vol. 2: Algoritmos seminuméricos (3ª ed.). Addison-Wesley. págs. 10-26. ISBN 978-0-201-89684-8.
161. Matsumoto, Makoto; Nishimura, Takuji (1998). "Mersenne Twister: un generador de números pseudoaleatorios uniformes equidistribuidos en 623 dimensiones". Transacciones ACM sobre modelado y simulación por computadora . 8 (1): 3–30. CiteSeerX  10.1.1.215.1141 . doi : 10.1145 / 272991.272995 . S2CID  3332028 .
162. Roth, KF (1951). "Sobre un problema de Heilbronn". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . Segunda Serie. 26 (3): 198-204. doi : 10.1112 / jlms / s1-26.3.198 . Señor  0041889 .
163. Cox, David A. (2011). "Por qué Eisenstein demostró el criterio de Eisenstein y por qué Schönemann lo descubrió primero" (PDF) . American Mathematical Monthly . 118 (1): 3–31. CiteSeerX  10.1.1.398.3440 . doi : 10.4169 / amer.math.monthly.118.01.003 . S2CID  15978494 .
164. Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas. 211 . Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . doi : 10.1007 / 978-1-4613-0041-0 . ISBN 978-0-387-95385-4. Señor  1878556 ., Sección II.1, pág. 90
165. Schubert, Horst (1949). "Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens en Primknoten". S.-B Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl . 1949 (3): 57–104. Señor  0031733 .
166. Milnor, J. (1962). "Un teorema de descomposición único para 3 variedades". Revista Estadounidense de Matemáticas . 84 (1): 1–7. doi : 10.2307 / 2372800 . JSTOR  2372800 . Señor  0142125 .
167. Boklan y Conway (2017) también incluyen${\displaystyle 2^{0}+1=2}$, que no es de esta forma.
168. Křížek, Michal; Luca, Florian; Somer, Lawrence (2001). 17 Conferencias sobre los números de Fermat: de la teoría de los números a la geometría . Libros CMS en Matemáticas. 9 . Nueva York: Springer-Verlag. págs. 1-2. doi : 10.1007 / 978-0-387-21850-2 . ISBN 978-0-387-95332-8. Señor  1866957 .
169. Boklan, Kent D .; Conway, John H. (enero de 2017). "¡Espere como máximo una milmillonésima parte de un nuevo Ferma t prime!". El inteligente matemático . 39 (1): 3-5. arXiv : 1605.01371 . doi : 10.1007 / s00283-016-9644-3 . S2CID  119165671 .
170. Gleason, Andrew M. (1988). "Trisección del ángulo, el heptágono y el triskaidecágono". American Mathematical Monthly . 95 (3): 185-194. doi : 10.2307 / 2323624 . JSTOR  2323624 . Señor  0935432 .
171. Ziegler, Günter M. (2015). "Cañones de gorriones". Boletín de la Sociedad Matemática Europea (95): 25–31. Señor  3330472 .
172. Peterson, Ivars (28 de junio de 1999). "El regreso de Zeta" . MAA en línea . Archivado desde el original el 20 de octubre de 2007 . Consultado el 14 de marzo de 2008 .
173. Hayes, Brian (2003). "Ciencias de la computación: el espectro de Riemannium". Científico estadounidense . 91 (4): 296–300. doi : 10.1511 / 2003.26.3349 . JSTOR  27858239 .
174. Bengtsson, Ingemar; Życzkowski, Karol (2017). Geometría de estados cuánticos: una introducción al entrelazamiento cuántico (Segunda ed.). Cambridge: Cambridge University Press . págs. 313–354. ISBN 978-1-107-02625-4. OCLC  967938939 .
175. Zhu, Huangjun (2010). "SIC POVMs y grupos Clifford en dimensiones primarias" . Revista de Física A: Matemática y Teórica . 43 (30): 305305. arXiv : 1003.3591 . Código Bibliográfico : 2010JPhA ... 43D5305Z . doi : 10.1088 / 1751-8113 / 43/30/305305 . S2CID  118363843 .
176. Goles, E .; Schulz, O .; Markus, M. (2001). "Selección de números primos de ciclos en un modelo depredador-presa". Complejidad . 6 (4): 33–38. Bibcode : 2001Cmplx ... 6d..33G . doi : 10.1002 / cplx.1040 .
177. Campos, Paulo RA; de Oliveira, Viviane M .; Giro, Ronaldo; Galvão, Douglas S. (2004). "Aparición de números primos como resultado de una estrategia evolutiva". Cartas de revisión física . 93 (9): 098107. arXiv : q-bio / 0406017 . Código Bibliográfico : 2004PhRvL..93i8107C . doi : 10.1103 / PhysRevLett.93.098107 . PMID  15447148 . S2CID  88332 .
178. "Invasión de la cría" . The Economist . 6 de mayo de 2004 . Consultado el 26 de noviembre de 2006 .
179. Zimmer, Carl (15 de mayo de 2015). "Matemáticos de bambú" . Fenómenos: el telar. National Geographic . Consultado el 22 de febrero de 2018 .
180. Hill, Peter Jensen, ed. (1995). El compañero Messiaen . Portland, Oregón: Amadeus Press. Ex. 13.2 Messe de la Pentecôte 1 'Entrada'. ISBN 978-0-931340-95-6.
181. Pomerance, Carl (2004). "Números primos y la búsqueda de inteligencia extraterrestre" (PDF) . En Hayes, David F .; Ross, Peter (eds.). Aventuras matemáticas para estudiantes y aficionados . Espectro MAA. Washington, DC: Asociación Matemática de América. págs. 3–6. ISBN 978-0-88385-548-5. Señor  2085842 .
182. GrrlScientist (16 de septiembre de 2010). "El curioso incidente del perro en la noche" . Ciencias. The Guardian . Consultado el 22 de febrero de 2010 .
183. Schillinger, Liesl (9 de abril de 2010). "Contando unos con otros" . Revisión del libro dominical. The New York Times .

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• "Número primo" . Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].
• Caldwell, Chris, The Prime Pages en primes.utm.edu .
• Números primos en In Our Time en la BBC
• Paquete Plus para profesores y estudiantes: números primos de Plus, la revista de matemáticas en línea gratuita producida por Millennium Mathematics Project en la Universidad de Cambridge.

Generadores y calculadoras

• El Verificador de números primos identifica el factor primo más pequeño de un número.
• La prueba de primalidad en línea rápida con factorización utiliza el método de curva elíptica (números de hasta mil dígitos, requiere Java).
• Gran base de datos de números primos
• Números primos hasta 1 billón