En matemáticas , lógica , filosofía y sistemas formales , una noción primitiva es un concepto que no se define en términos de conceptos previamente definidos. A menudo está motivado de manera informal, generalmente apelando a la intuición y la experiencia cotidiana. En una teoría axiomática , las relaciones entre las nociones primitivas están restringidas por axiomas . [1] Algunos autores se refieren a este último como "definir" nociones primitivas mediante uno o más axiomas, pero esto puede ser engañoso. Las teorías formales no pueden prescindir de las nociones primitivas, bajo pena de una regresión infinita (según el problema de la regresión ).
Por ejemplo, en la geometría contemporánea, punto , línea y contiene son algunas nociones primitivas. En lugar de intentar definirlos, [2] su interacción está regida (en el sistema de axiomas de Hilbert ) por axiomas como "Por cada dos puntos existe una línea que los contiene a ambos". [3]
Detalles
Alfred Tarski explicó el papel de las nociones primitivas de la siguiente manera: [4]
- Cuando nos proponemos construir una determinada disciplina, distinguimos, en primer lugar, un pequeño grupo de expresiones de esta disciplina que nos parecen inmediatamente comprensibles; las expresiones de este grupo las llamamos TÉRMINOS PRIMITIVOS o TÉRMINOS INDEFINIDOS, y las empleamos sin explicar sus significados. Al mismo tiempo adoptamos el principio: no emplear ninguna de las otras expresiones de la disciplina en consideración, a menos que su significado haya sido previamente determinado con la ayuda de términos primitivos y de tales expresiones de la disciplina cuyos significados se hayan explicado previamente. La oración que determina el significado de un término de esta manera se llama DEFINICIÓN, ...
Gilbert de B. Robinson explicó una regresión inevitable a las nociones primitivas en la teoría del conocimiento :
- Para un no matemático, a menudo resulta sorprendente que sea imposible definir explícitamente todos los términos que se utilizan. Este no es un problema superficial, sino que está en la raíz de todo conocimiento; es necesario empezar por algún lado, y para avanzar hay que enunciar claramente los elementos y las relaciones que no están definidos y las propiedades que se dan por sentadas. [5]
Ejemplos de
La necesidad de nociones primitivas se ilustra en varios fundamentos axiomáticos en matemáticas:
- Teoría de conjuntos : el concepto de conjunto es un ejemplo de una noción primitiva. Como escribe Mary Tiles : [6] [La] 'definición' de 'conjunto' es menos una definición que un intento de explicar algo a lo que se le está dando el estatus de término primitivo, indefinido. Como prueba, cita a Felix Hausdorff : "Un conjunto está formado por la agrupación de objetos individuales en un todo. Un conjunto es una pluralidad pensada como una unidad".
- Teoría de conjuntos ingenua : el conjunto vacío es una noción primitiva. Afirmar que existe sería un axioma implícito .
- Aritmética de Peano : La función sucesora y el número cero son nociones primitivas. Dado que la aritmética de Peano es útil en lo que respecta a las propiedades de los números, los objetos que representan las nociones primitivas pueden no importar estrictamente. [7]
- Sistemas axiomáticos : Las nociones primitivas dependerán del conjunto de axiomas elegidos para el sistema. Alessandro Padoa discutió esta selección en el Congreso Internacional de Filosofía en París en 1900. [8] Es posible que las nociones en sí mismas no necesiten ser expresadas; Susan Haack (1978) escribe: "A veces se dice que un conjunto de axiomas da una definición implícita de sus términos primitivos". [9]
- Geometría euclidiana : Bajo el sistema de axiomas de Hilbert, las nociones primitivas son punto, línea, plano, congruencia, intermediación e incidencia .
- Geometría euclidiana : según el sistema de axiomas de Peano, las nociones primitivas son punto, segmento y movimiento .
- Filosofía de las matemáticas : Bertrand Russell consideró los "indefinibles de las matemáticas" para construir el caso del logicismo en su libro Los principios de las matemáticas (1903).
Ver también
- Teoría de conjuntos axiomáticos
- Fundamentos de la geometría
- Fundamentos de las matemáticas
- Lógica matemática
- Noción (filosofía)
- Teoría de objetos
- Metalenguaje semántico natural
Referencias
- ↑ De manera más general, en un sistema formal, las reglas restringen el uso de nociones primitivas. Consulte, por ejemplo, el rompecabezas MU para un sistema formal no lógico.
- ↑ Euclides (300 a. C.) todavía dio definiciones en sus Elementos , como "Una línea no tiene anchura".
- ^ Este axioma puede ser formalizado en la lógica de predicados como " ∀ x 1 , x 2 ∈ P . ∃ y ∈ L . C ( y , x 1 ) ∧ C ( Y , x 2 )", donde P , L , y C denota el conjunto de puntos, de líneas y la relación "contiene", respectivamente.
- ^ Alfred Tarski (1946) Introducción a la lógica y la metodología de las ciencias deductivas , p. 118, Oxford University Press .
- ^ Gilbert de B. Robinson (1959) Fundamentos de la geometría , 4ª ed., P. 8, Prensa de la Universidad de Toronto
- ^ Mary Tiles (2004) La filosofía de la teoría de conjuntos , p. 99
- ^ Phil Scott (2008). "Mecanización de los fundamentos de la geometría de Hilbert en Isabelle (ver ref. 16, re: toma de Hilbert)" .
- ^ Alessandro Padoa (1900) "Introducción lógica a cualquier teoría deductiva" en Jean van Heijenoort (1967) A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , Harvard University Press 118-23
- ^ Haack, Susan (1978), Filosofía de la lógica , Cambridge University Press , pág. 245, ISBN 9780521293297