Los axiomas de Kolmogorov son los fundamentos de la teoría de la probabilidad introducida por Andrey Kolmogorov en 1933. [1] Estos axiomas siguen siendo centrales y tienen contribuciones directas a las matemáticas, las ciencias físicas y los casos de probabilidad del mundo real. [2] Un enfoque alternativo para formalizar la probabilidad, favorecido por algunos bayesianos , viene dado por el teorema de Cox . [3]
Axiomas
Las suposiciones para establecer los axiomas se pueden resumir de la siguiente manera: Sea (Ω, F , P ) un espacio de medida consiendo la probabilidad de algún evento E , y. Entonces (Ω, F , P ) es un espacio de probabilidad , con el espacio de muestra de Ω, espacio para eventos, F y medida de probabilidad P . [1]
Primer axioma
La probabilidad de un evento es un número real no negativo:
dónde es el espacio para eventos. Resulta quees siempre finito, en contraste con la teoría de la medida más general . Las teorías que asignan probabilidad negativa relajan el primer axioma.
Segundo axioma
Este es el supuesto de la unidad de medida : que la probabilidad de que ocurra al menos uno de los eventos elementales en todo el espacio muestral es 1
Tercer axioma
Este es el supuesto de σ-aditividad :
- Cualquier secuencia contable de conjuntos disjuntos (sinónimo de eventos mutuamente excluyentes ) satisface
Algunos autores consideran simplemente espacios de probabilidad finitamente aditivos , en cuyo caso solo se necesita un álgebra de conjuntos , en lugar de un σ-álgebra . [4] Las distribuciones de cuasiprobabilidad en general relajan el tercer axioma.
Consecuencias
A partir de los axiomas de Kolmogorov , se pueden deducir otras reglas útiles para estudiar probabilidades. Las demostraciones [5] [6] [7] de estas reglas son un procedimiento muy perspicaz que ilustra el poder del tercer axioma y su interacción con los dos axiomas restantes. Cuatro de los corolarios inmediatos y sus pruebas se muestran a continuación:
Monotonicidad
Si A es un subconjunto de B, o igual a B, entonces la probabilidad de A es menor o igual a la probabilidad de B.
Prueba de monotonicidad [5]
Para verificar la propiedad de monotonicidad, establecemos y , dónde y por . De las propiedades del conjunto vacío (), es fácil ver que los conjuntos son disjuntos por pares y . Por tanto, del tercer axioma obtenemos que
Dado que, según el primer axioma, el lado izquierdo de esta ecuación es una serie de números no negativos, y dado que converge a que es finito, obtenemos tanto y .
La probabilidad del conjunto vacío
En algunos casos, no es el único evento con probabilidad 0.
Prueba de probabilidad del conjunto vacío
Como se muestra en la prueba anterior, . Esta afirmación puede probarse por contradicción: si luego el lado izquierdo es infinito;
Si tenemos una contradicción, porque el lado izquierdo es infinito mientras debe ser finito (del primer axioma). Por lo tanto,. Hemos demostrado como un subproducto de la prueba de monotonicidad que.
La regla del complemento
Prueba de la regla del complemento
Dado y son mutuamente excluyentes y que :
... (por axioma 3)
y, ... (por axioma 2)
El límite numérico
De la propiedad de la monotonicidad se sigue inmediatamente que
Prueba del límite numérico
Dada la regla del complemento y axioma 1 :
Más consecuencias
Otra propiedad importante es:
Esto se llama ley de probabilidad de la suma o regla de la suma. Es decir, la probabilidad de que un evento en A o B va a pasar es la suma de la probabilidad de un evento en A y la probabilidad de un evento en B , menos la probabilidad de un evento que es tanto A y B . La prueba de esto es la siguiente:
Primeramente,
- ... (por Axiom 3)
Entonces,
- (por ).
También,
y eliminando de ambas ecuaciones nos da el resultado deseado.
Una extensión de la ley de la adición a cualquier número de conjuntos es el principio de inclusión-exclusión .
Poniendo B al complemento A c de A en la ley de la adición da
Es decir, la probabilidad de que no suceda algún evento (o el complemento del evento ) es 1 menos la probabilidad de que suceda .
Ejemplo simple: lanzamiento de una moneda
Considere un solo lanzamiento de moneda y suponga que la moneda saldrá cara (H) o cruz (T) (pero no ambas). No se asume si la moneda es justa.
Podemos definir:
Los axiomas de Kolmogorov implican que:
La probabilidad de que no salga ni cara ni cruz es 0.
La probabilidad de que salga cara o cruz es 1.
La suma de la probabilidad de que salga cara y la probabilidad de que salga cruz es 1.
Ver también
Referencias
- ↑ a b Kolmogorov, Andrey (1950) [1933]. Fundamentos de la teoría de la probabilidad . Nueva York, Estados Unidos: Chelsea Publishing Company.
- ^ Aldous, David. "¿Cuál es el significado de los axiomas de Kolmogorov?" . David Aldous . Consultado el 19 de noviembre de 2019 .
- ^ Terenin Alexander; David Draper (2015). "Teorema de Cox y la interpretación jaynesiana de probabilidad" . arXiv : 1507.06597 . Código bibliográfico : 2015arXiv150706597T . Cite journal requiere
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( ayuda ) - ^ Hájek, Alan (28 de agosto de 2019). "Interpretaciones de probabilidad" . Enciclopedia de Filosofía de Stanford . Consultado el 17 de noviembre de 2019 .
- ^ a b Ross, Sheldon M. (2014). Un primer curso de probabilidad (Novena ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey. págs. 27, 28. ISBN 978-0-321-79477-2. OCLC 827003384 .
- ^ Gerard, David (9 de diciembre de 2017). "Pruebas de axiomas" (PDF) . Consultado el 20 de noviembre de 2019 .
- ^ Jackson, Bill (2010). "Probabilidad (notas de la conferencia - semana 3)" (PDF) . Escuela de Matemáticas, Universidad Queen Mary de Londres . Consultado el 20 de noviembre de 2019 .
Otras lecturas
- DeGroot, Morris H. (1975). Probabilidad y Estadística . Lectura: Addison-Wesley. págs. 12-16 . ISBN 0-201-01503-X.
- McCord, James R .; Moroney, Richard M. (1964). "Probabilidad axiomática" . Introducción a la teoría de la probabilidad . Nueva York: Macmillan. págs. 13-28 .
- Definición formal de probabilidad en el sistema Mizar , y la lista de teoremas probados formalmente al respecto.