En matemáticas , una medida de probabilidad es una función de valor real definida en un conjunto de eventos en un espacio de probabilidad que satisface las propiedades de la medida , como la aditividad contable . [3] La diferencia entre una medida de probabilidad y la noción más general de medida (que incluye conceptos como área o volumen ) es que una medida de probabilidad debe asignar el valor 1 a todo el espacio de probabilidad.
Intuitivamente, la propiedad de aditividad dice que la probabilidad asignada a la unión de dos eventos disjuntos por la medida debe ser la suma de las probabilidades de los eventos, por ejemplo, el valor asignado a "1 o 2" en el lanzamiento de un dado debe ser suma de los valores asignados a "1" y "2".
Las medidas de probabilidad tienen aplicaciones en diversos campos, desde la física hasta las finanzas y la biología.
Definición
Los requisitos para que una función μ sea una medida de probabilidad en un espacio de probabilidad son los siguientes:
- μ debe devolver resultados en el intervalo unitario [0, 1], devolviendo 0 para el conjunto vacío y 1 para todo el espacio.
- μ debe satisfacer lapropiedad de aditividad contable que para todas lascolecciones contablesde conjuntos disjuntos por pares :
Por ejemplo, dados tres elementos 1, 2 y 3 con probabilidades 1/4, 1/4 y 1/2, el valor asignado a {1, 3} es 1/4 + 1/2 = 3/4, como en el diagrama de la derecha.
La probabilidad condicional basada en la intersección de eventos definida como:
satisface los requisitos de la medida de probabilidad siempre que no es cero. [4]
Las medidas de probabilidad son distintas de la noción más general de medidas difusas en la que no se requiere que los valores difusos sumen 1, y la propiedad aditiva se reemplaza por una relación de orden basada en la inclusión de conjuntos .
Aplicaciones de ejemplo
Las medidas de mercado que asignan probabilidades a los espacios del mercado financiero basadas en los movimientos reales del mercado son ejemplos de medidas de probabilidad que son de interés en las finanzas matemáticas , por ejemplo, en la fijación de precios de los derivados financieros . [5] Por ejemplo, una medida neutral al riesgo es una medida de probabilidad que asume que el valor actual de los activos es el valor esperado del pago futuro tomado con respecto a esa misma medida neutral al riesgo (es decir, calculada utilizando la función de densidad neutral al riesgo correspondiente ) y descontados a la tasa libre de riesgo . Si hay una medida de probabilidad única que debe usarse para fijar el precio de los activos en un mercado, entonces el mercado se denomina mercado completo . [6]
No todas las medidas que representan intuitivamente el azar o la probabilidad son medidas de probabilidad. Por ejemplo, aunque el concepto fundamental de un sistema en mecánica estadística es un espacio de medida, tales medidas no siempre son medidas de probabilidad. [1] En general, en física estadística, si consideramos oraciones de la forma "la probabilidad de un sistema S asumiendo que el estado A es p", la geometría del sistema no siempre conduce a la definición de una medida de probabilidad bajo congruencia , aunque puede hacerlo en el caso de sistemas con un solo grado de libertad. [2]
Las medidas de probabilidad también se utilizan en biología matemática . [7] Por ejemplo, en el análisis de secuencia comparativo , se puede definir una medida de probabilidad para la probabilidad de que una variante sea permisible para un aminoácido en una secuencia. [8]
Los ultrafiltros pueden entenderse como-medidas de probabilidad valoradas, que permiten muchas pruebas intuitivas basadas en medidas. Por ejemplo, el teorema de Hindman puede probarse a partir de la investigación adicional de estas medidas, y su convolución en particular.
Ver también
Referencias
- ^ a b Un curso de matemáticas para estudiantes de física, Volumen 2 por Paul Bamberg, Shlomo Sternberg 1991 ISBN 0-521-40650-1 página 802
- ^ a b El concepto de probabilidad en física estadística por Yair M. Guttmann 1999 ISBN 0-521-62128-3 página 149
- ^ Una introducción a la probabilidad de la teoría de la medida por George G. Roussas 2004 ISBN 0-12-599022-7 página 47
- ^ Probabilidad, procesos aleatorios y propiedades ergódicas por Robert M. Gray 2009 ISBN 1-4419-1089-1 página 163
- ^ Métodos cuantitativos en la fijación de precios de derivados por Domingo Tavella 2002 ISBN 0-471-39447-5 página 11
- ^ Decisiones irreversibles bajo incertidumbre por Svetlana I. Boyarchenko, Serge Levendorskiĭ 2007 ISBN 3-540-73745-6 página 11
- ^ Métodos matemáticos en biología por J. David Logan, William R. Wolesensky 2009 ISBN 0-470-52587-8 página 195
- ^ Descubrimiento de mecanismos biomoleculares con biología computacional por Frank Eisenhaber 2006 ISBN 0-387-34527-2 página 127
Otras lecturas
- Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida . John Wiley. ISBN 0-471-00710-2.
- Ash, Robert B .; Doléans-Dade, Catherine A. (1999). Teoría de la probabilidad y la medida . Prensa académica. ISBN 0-12-065202-1.
enlaces externos
- Medios relacionados con la medida de probabilidad en Wikimedia Commons