En cálculo , la regla del producto (o regla de Leibniz [1] o regla del producto de Leibniz ) es una fórmula que se usa para encontrar las derivadas de productos de dos o más funciones . Para dos funciones, puede expresarse en la notación de Lagrange como
Ilustración geométrica de una prueba de la regla del producto.
o en la notación de Leibniz como
La regla puede extenderse o generalizarse a productos de tres o más funciones, a una regla para derivadas de orden superior de un producto y a otros contextos.
El descubrimiento de esta regla se le atribuye a Gottfried Leibniz , quien lo demostró utilizando diferenciales . [2] (Sin embargo, JM Child, un traductor de los artículos de Leibniz, [3] argumenta que se debe a Isaac Barrow .) Aquí está el argumento de Leibniz: Sean u ( x ) yv ( x ) dos funciones diferenciables de x . Entonces el diferencial de uv es
Dado que el término du · dv es "insignificante" (en comparación con du y dv ), Leibniz concluyó que
y esta es de hecho la forma diferencial de la regla del producto. Si dividimos por el diferencial dx , obtenemos
que también se puede escribir en la notación de Lagrange como
Prueba por factorización (desde los primeros principios)
Sea h ( x ) = f ( x ) g ( x ) y suponga que f y g son diferenciables en x . Queremos demostrar que h es derivable en x y que su derivada, h ′ ( x ) , está dada por f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) . Para hacer esto, (que es cero, y por lo tanto no cambia el valor) se agrega al numerador para permitir su factorización, y luego se usan las propiedades de los límites.
El hecho de que
se deduce de un teorema que establece que las funciones diferenciables son continuas.
Prueba breve
Por definición, si son diferenciables en entonces podemos escribir
tal que también escrito . Luego:
Los "otros términos" consisten en elementos como y No es difícil demostrar que todos son Dividiendo por y tomando el limite por lo pequeño da el resultado.
Cuartos cuadrados
Hay una prueba que usa la multiplicación de un cuarto de cuadrado que se basa en la regla de la cadena y en las propiedades de la función de un cuarto de cuadrado (que se muestra aquí como q , es decir, con):
Diferenciando ambos lados:
Cadena de reglas
La regla del producto puede considerarse un caso especial de la regla de la cadena para varias variables.
Análisis no estándar
Deje que u y v ser funciones continuas en x , y dejar que dx , du y dv ser infinitesimales en el marco de análisis no estándar , específicamente los números hiperreales . Usando st para denotar la función de parte estándar que asocia a un número hiperreal finito el real infinitamente cercano a él, esto da
Esta fue esencialmente la prueba de Leibniz que explota la ley trascendental de la homogeneidad (en lugar de la parte estándar anterior).
Análisis infinitesimal suave
En el contexto de la aproximación de Lawvere a los infinitesimales, sea dx un infinitesimal nilcuadrado. Entonces du = u ′ dx y dv = v ′ dx , de modo que
desde
Producto de más de dos factores
La regla del producto se puede generalizar a productos de más de dos factores. Por ejemplo, para tres factores tenemos
Para una colección de funciones , tenemos
La derivada logarítmica proporciona una expresión más simple de la última forma, así como una prueba directa que no implica ninguna recursividad . La derivada logarítmica de una función f , denotada aquí Logder ( f ) , es la derivada del logaritmo de la función. Resulta que
Usando que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, la regla de la suma para las derivadas da inmediatamente
La última expresión anterior de la derivada de un producto se obtiene multiplicando ambos miembros de esta ecuación por el producto de la
Derivadas superiores
También se puede generalizar a la regla general Leibniz para el n º derivada de un producto de dos factores, por simbólicamente expansión de acuerdo con el teorema del binomio :
Aplicada en un punto x específico , la fórmula anterior da:
Además, para el n º derivado de un número arbitrario de factores:
Derivadas parciales superiores
Para derivadas parciales , tenemos [4]
donde el índice S recorre los 2 n subconjuntos de {1, ..., n } y | S | es la cardinalidad de S . Por ejemplo, cuando n = 3 ,
Espacio banach
Suponga que X , Y y Z son espacios de Banach (que incluye el espacio euclidiano ) y B : X × Y → Z es un operador bilineal continuo . Entonces B es diferenciable, y su derivada en el punto ( x , y ) en X × Y es el mapa lineal D ( x , y ) B : X × Y → Z dado por
Derivaciones en álgebra abstracta
En álgebra abstracta , la regla del producto se usa para definir lo que se llama derivación , no al revés.
En cálculo vectorial
La regla del producto se extiende a la multiplicación escalar , productos escalares y productos cruzados de funciones vectoriales, como sigue. [5]
Para la multiplicación escalar:
Para productos escalares:
Para productos cruzados:
También hay análogos para otros análogos de la derivada: si f y g son campos escalares, entonces hay una regla de producto con el gradiente :
Entre las aplicaciones de la regla del producto se encuentra una prueba de que
cuando n es un número entero positivo (esta regla es verdadera incluso si n no es positivo o no es un número entero, pero la prueba de ello debe basarse en otros métodos). La demostración es por inducción matemática sobre el exponente n . Si n = 0 entonces x n es constante y nx n - 1 = 0. La regla se cumple en ese caso porque la derivada de una función constante es 0. Si la regla se cumple para cualquier exponente n particular , entonces para el siguiente valor, n + 1, tenemos
Por tanto, si la proposición es verdadera para n , también lo es para n + 1 y, por tanto, para todo n natural .