El último teorema de Fermat es un teorema de la teoría de números , originalmente enunciado por Pierre de Fermat en 1637 y probado por Andrew Wiles en 1995. El enunciado del teorema involucra un exponente entero n mayor que 2. y antes de su demostración general, se idearon varias pruebas para valores particulares del exponente n . Varias de estas pruebas se describen a continuación, incluida la prueba de Fermat en el caso n = 4, que es un ejemplo temprano del método de descenso infinito .
Preliminares matemáticos
El último teorema de Fermat establece que no hay tres enteros positivos ( a , b , c ) que puedan satisfacer la ecuación a n + b n = c n para cualquier valor entero de n mayor que dos. (Para n igual a 1, la ecuación es una ecuación lineal y tiene una solución para cada posible a , b . Para n igual a 2, la ecuación tiene infinitas soluciones, las triples pitagóricas ).
Factores de exponentes
Una solución ( a , b , c ) para un n dado conduce a una solución para todos los factores de n : si h es un factor de n, entonces hay un entero g tal que n = gh . Entonces ( a g , b g , c g ) es una solución para el exponente h :
- ( una g ) h + ( segundo g ) h = ( do g ) h .
Por tanto, para demostrar que la ecuación de Fermat no tiene soluciones para n > 2, basta con demostrar que no tiene soluciones para n = 4 y para todos los primos impares p .
Para cualquier exponente impar p , toda solución de entero positivo de la ecuación a p + b p = c p corresponde a una solución de entero general de la ecuación a p + b p + c p = 0. Por ejemplo, si (3, 5, 8) resuelve la primera ecuación, luego (3, 5, −8) resuelve la segunda. Por el contrario, cualquier solución de la segunda ecuación corresponde a una solución de la primera. La segunda ecuación es a veces útil ya que hace que la simetría entre las tres variables a , b y c más evidente.
Soluciones primitivas
Si dos de los tres números ( a , b , c ) se pueden dividir por un cuarto número d , entonces los tres números son divisibles por d . Por ejemplo, si una y c son divisibles por d = 13, entonces b también es divisible por 13. Esto se deduce de la ecuación
- segundo norte = do norte - un norte
Si el lado derecho de la ecuación es divisible por 13, entonces el lado izquierdo también es divisible por 13. Sea g representan el máximo común divisor de un , b , y c . Entonces ( a , b , c ) se puede escribir como a = gx , b = gy y c = gz donde los tres números ( x , y , z ) son coprimos por pares . En otras palabras, el máximo común divisor (MCD) de cada par es igual a uno
- MCD ( x , y ) = MCD ( x , z ) = MCD ( y , z ) = 1
Si ( a , b , c ) es una solución de la ecuación de Fermat, entonces también lo es ( x , y , z ), ya que la ecuación
- una norte + segundo norte = do norte = sol norte x norte + sol norte y norte = sol norte z norte
implica la ecuación
- x norte + y norte = z norte .
Una solución coprima por pares ( x , y , z ) se llama solución primitiva . Dado que cada solución de la ecuación de Fermat se puede reducir a una solución primitiva dividiendo por su máximo común divisor g , el último teorema de Fermat se puede probar demostrando que no existen soluciones primitivas.
Par e impar
Los números enteros se pueden dividir en pares e impares, los que son divisibles por dos y los que no lo son. Los enteros pares son ...− 4, −2, 0, 2, 4, mientras que los enteros impares son −3, −1, 1, 3, ... La propiedad de si un entero es par (o no) es conocido como su paridad . Si dos números son pares o impares, tienen la misma paridad. Por el contrario, si uno es par y el otro impar, tienen una paridad diferente.
La suma, resta y multiplicación de números enteros pares e impares obedecen a reglas simples. La suma o resta de dos números pares o de dos números impares siempre produce un número par, p. Ej., 4 + 6 = 10 y 3 + 5 = 8. Por el contrario, la suma o resta de un número par o impar siempre es impar, p. Ej. , 3 + 8 = 11. La multiplicación de dos números impares siempre es impar, pero la multiplicación de un número par con cualquier número es siempre par. Un número impar elevado a una potencia siempre es impar y un número par elevado a una potencia siempre es par.
En cualquier solución primitiva ( x , y , z ) de la ecuación x n + y n = z n , un número es par y los otros dos números son impares. No pueden ser todos iguales, porque entonces no serían coprime; todos podrían dividirse por dos. Sin embargo, no pueden ser todos impares, ya que la suma de dos números impares x n + y n nunca es un número impar z n . Por lo tanto, al menos un número debe ser par y al menos un número debe ser impar. De ello se deduce que el tercer número también es impar, porque la suma de un número par e impar es en sí misma impar.
Factorización prima
El teorema fundamental de la aritmética establece que cualquier número natural puede escribirse de una sola forma (unívocamente) como producto de números primos. Por ejemplo, 42 es igual al producto de números primos 2 × 3 × 7, y ningún otro producto de números primos es igual a 42, aparte de los arreglos triviales como 7 × 3 × 2. Esta propiedad única de factorización es la base sobre la que se construye gran parte de la teoría de números .
Una consecuencia de esta propiedad de factorización única es que si una p- ésima potencia de un número es igual a un producto como
- x p = uv
y si u y v son primos entre sí (cuota de factores primos no), entonces u y v son a su vez la p º poder de otros dos números, u = r p y v = s p .
Sin embargo, como se describe a continuación, algunos sistemas numéricos no tienen factorización única. Este hecho llevó al fracaso de la demostración general de Lamé de 1847 del último teorema de Fermat.
Dos casos
Desde la época de Sophie Germain , el último teorema de Fermat se ha dividido en dos casos que se prueban por separado. El primer caso (caso I) es mostrar que no hay soluciones primitivas ( x , y , z ) para la ecuación x p + y p = z p bajo la condición de que p no divide el producto xyz . El segundo caso (caso II) corresponde a la condición de que p divide el producto xyz . Dado que x , y y z son coprimos por pares, p divide solo uno de los tres números.
n = 4
Solo ha sobrevivido una demostración matemática de Fermat, en la que Fermat usa la técnica del descenso infinito para demostrar que el área de un triángulo rectángulo con lados enteros nunca puede ser igual al cuadrado de un número entero. [1] Este resultado se conoce como teorema del triángulo rectángulo de Fermat . Como se muestra a continuación, su demostración equivale a demostrar que la ecuación
- x 4 - y 4 = z 2
no tiene soluciones primitivas en números enteros (no tiene soluciones coprimas por pares). A su vez, esto es suficiente para demostrar el último teorema de Fermat para el caso n = 4, ya que la ecuación a 4 + b 4 = c 4 se puede escribir como c 4 - b 4 = ( a 2 ) 2 . Pruebas alternativas del caso n = 4 fueron desarrolladas más tarde [2] por Frénicle de Bessy, [3] Euler, [4] Kausler, [5] Barlow, [6] Legendre, [7] Schopis, [8] Terquem, [ 9] Bertrand, [10] Lebesgue, [11] Pepin, [12] Tafelmacher, [13] Hilbert, [14] Bendz, [15] Gambioli, [16] Kronecker, [17] Bang, [18] Sommer, [ 19] Bottari, [20] Rychlik, [21] Nutzhorn, [22] Carmichael, [23] Hancock, [24] Vrǎnceanu, [25] Grant y Perella, [26] Barbara, [27] y Dolan. [28] Para una prueba por descenso infinito, consulte Descenso infinito # No solubilidad de r 2 + s 4 = t 4 .
Aplicación a triángulos rectángulos
La prueba de Fermat demuestra que ningún triángulo rectángulo con lados enteros puede tener un área que sea un cuadrado. [29] Supongamos que el triángulo rectángulo tiene lados ( u , v , w ), donde el área es igual auv/2y, según el teorema de Pitágoras , u 2 + v 2 = w 2 . Si el área fuera igual al cuadrado de un entero s
- uv/2= s 2
donación
- 2 uv = 4 s 2
- −2 uv = −4 s 2 .
Sumando u 2 + v 2 = w 2 a estas ecuaciones da
- u 2 + 2 uv + v 2 = w 2 + 4 s 2
- u 2 - 2 uv + v 2 = w 2 - 4 s 2 ,
que se puede expresar como
- ( u + v ) 2 = w 2 + 4 s 2
- ( u - v ) 2 = w 2 - 4 s 2 .
Multiplicar estas ecuaciones juntas produce
- ( u 2 - v 2 ) 2 = w 4 - 2 4 s 4 .
Pero como demostró Fermat, no puede haber una solución entera para la ecuación
- x 4 - y 4 = z 2
de los cuales este es un caso especial con z = ( u 2 - v 2 ), x = w y y = 2 s .
El primer paso de la demostración de Fermat es factorizar el lado izquierdo [30]
- ( x 2 + y 2 ) ( x 2 - y 2 ) = z 2
Desde x y y son primos entre sí (esto puede suponer porque de lo contrario los factores podrían ser canceladas), el máximo común divisor de x 2 + y 2 y x 2 - y 2 es o bien 2 (caso A) o 1 (caso B). El teorema se prueba por separado para estos dos casos.
Prueba para el caso A
En este caso, tanto x como y son impares y z es par. Dado que ( y 2 , z , x 2 ) forman un triple pitagórico primitivo, se pueden escribir
- z = 2 de
- y 2 = d 2 - e 2
- x 2 = d 2 + e 2
donde d y e son primos entre sí y d > e > 0. Así,
- x 2 y 2 = d 4 - e 4
que produce otra solución ( d , e , xy ) que es más pequeña (0 < d < x ). Como antes, debe haber un límite inferior en el tamaño de las soluciones, mientras que este argumento siempre produce una solución más pequeña que cualquiera dada, y por lo tanto la solución original es imposible.
Prueba para el caso B
En este caso, los dos factores son coprimarios. Dado que su producto es un cuadrado z 2 , cada uno de ellos debe ser un cuadrado
- x 2 + y 2 = s 2
- x 2 - y 2 = t 2
Los números de s y t son ambos impares, ya que s 2 + t 2 = 2 x 2 , un número par, y puesto que x y y no pueden ser tanto incluso. Por lo tanto, la suma y diferencia de s y t son también números pares, por lo que definimos enteros u y v como
- u = ( s + t ) / 2
- v = ( s - t ) / 2
Como s y t son coprimos, también lo son u y v ; solo uno de ellos puede ser igualado. Como y 2 = 2 uv , exactamente uno de ellos es par. A título de ejemplo, vamos u ser aún; entonces los números pueden escribirse como u = 2 m 2 y v = k 2 . Dado que ( u , v , x ) forman un triple pitagórico primitivo
- ( s 2 + t 2 ) / 2 = u 2 + v 2 = x 2
que se pueden expresar en términos de números enteros más pequeños d y e utilizando la fórmula de Euclides
- u = 2 de
- v = d 2 - e 2
- x = d 2 + e 2
Desde u = 2 m 2 = 2 de , y puesto que d y e son primos entre sí, tienen que ser cuadrados sí mismos, d = g 2 y e = h 2 . Esto da la ecuación
- v = d 2 - e 2 = g 4 - h 4 = k 2
La solución ( g , h , k ) es otra solución a la ecuación original, pero más pequeña (0 < g < d < x ). Aplicar el mismo procedimiento a ( g , h , k ) produciría otra solución, aún más pequeña, y así sucesivamente. Pero esto es imposible, ya que los números naturales no se pueden reducir indefinidamente. Por tanto, la solución original ( x , y , z ) era imposible.
n = 3
Fermat envió las cartas en las que mencionaba el caso en el que n = 3 en 1636, 1640 y 1657. [31] Euler envió una carta en la que daba prueba del caso en el que n = 3 a Goldbach el 4 de agosto de 1753. [32] Euler tenía la demostración elemental completa y pura en 1760. [33] El caso n = 3 fue probado por Euler en 1770. [34] [35] [36] [37] Varias otras matemáticas publicaron demostraciones independientes, [38] incluido Kausler, [5] Legendre , [7] [39] Calzolari, [40] Lamé , [41] Tait , [42] Günther, [43] Gambioli, [16] Krey, [44] Rychlik , [ 21] Stockhaus, [45] Carmichael , [46] van der Corput , [47] Thue , [48] y Duarte. [49]
fecha | resultado / prueba | publicado / no publicado | trabaja | nombre |
---|---|---|---|---|
1621 | ninguno | publicado | Versión latina de Diofanto 's Arithmetica | Bachet |
alrededor de 1630 | único resultado | no publicado | una nota marginal en Arithmetica | Fermat |
1636, 1640, 1657 | único resultado | publicado | letras de n = 3 | Fermat [31] |
1670 | único resultado | publicado | una nota marginal en Arithmetica | Samuel, el hijo de Fermat, publicó la Arithmetica con la nota de Fermat. |
4 de agosto de 1753 | único resultado | publicado | carta a Goldbach | Euler [32] |
1760 | prueba | no publicado | prueba elemental completa y pura | Euler [33] |
1770 | prueba | publicado | Prueba incompleta pero elegante en Elements of Algebra | Euler [32] [34] [37] |
Como hizo Fermat para el caso n = 4, Euler utilizó la técnica del descenso infinito . [50] La demostración supone una solución ( x , y , z ) a la ecuación x 3 + y 3 + z 3 = 0, donde los tres enteros distintos de cero x , y , yz son pares coprimos y no todos positivos. Uno de los tres debe ser par, mientras que los otros dos son impares. Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que z es par.
Dado que tanto x como y son impares, no pueden ser iguales. Si x = y , entonces 2 x 3 = - z 3 , lo que implica que x es par, una contradicción.
Dado que tanto x como y son impares, su suma y diferencia son números pares
- 2 u = x + y
- 2 v = x - y
donde los números enteros no nulos u y v son primos entre sí y tienen diferente paridad (uno es par, el otro impar). Dado que x = u + v y y = u - v , se sigue que
- - z 3 = ( u + v ) 3 + ( u - v ) 3 = 2 u ( u 2 + 3 v 2 )
Desde u y v tienen paridad opuesta, u 2 + 3 v 2 es siempre un número impar. Por lo tanto, dado que z es par, u es par y v es impar. Desde u y v son primos entre sí, el máximo común divisor de 2 u y u 2 + 3 v 2 es o bien 1 (caso A) o 3 (caso B).
Prueba para el caso A
En este caso, los dos factores de - z 3 son coprimos. Esto implica que tres no divide U y que los dos factores son cubos de dos números más pequeños, r y s
- 2 u = r 3
- u 2 + 3 v 2 = s 3
Dado que u 2 + 3 v 2 es impar, también lo es s . Un lema crucial muestra que si s es impar y si satisface una ecuación s 3 = u 2 + 3 v 2 , entonces se puede escribir en términos de dos enteros coprimos e y f
- s = e 2 + 3 f 2
así que eso
- u = e ( e 2 - 9 f 2 )
- v = 3 f ( e 2 - f 2 )
Como u es par y v impar, entonces e es par y f es impar. Desde
- r 3 = 2 u = 2 e ( e - 3 f ) ( e + 3 f )
Los factores 2 e , ( e –3 f ) y ( e +3 f ) son coprimos ya que 3 no pueden dividir e : si e fuera divisible por 3, entonces 3 dividiría u , violando la designación de u y v como coprimos. Dado que los tres factores del lado derecho son coprimos, deben ser iguales individualmente a cubos de números enteros más pequeños.
- −2 e = k 3
- e - 3 f = l 3
- e + 3 f = m 3
lo que produce una solución más pequeña k 3 + l 3 + m 3 = 0. Por lo tanto, según el argumento de la descendencia infinita , la solución original ( x , y , z ) era imposible.
Prueba para el caso B
En este caso, el máximo común divisor de 2 u y u 2 + 3 v 2 es 3. Eso implica que 3 divide a u , y se puede expresar u = 3 w en términos de un número entero más pequeño, w . Como u es divisible por 4, también lo es w ; por tanto, w también es par. Dado que u y v son coprimos, también lo son v y w . Por lo tanto, ni 3 ni 4 dividen v .
Sustituyendo u por w en la ecuación para z 3 se obtiene
- - z 3 = 6 w (9 w 2 + 3 v 2 ) = 18 w (3 w 2 + v 2 )
Como v y w son coprimos, y como 3 no divide v , entonces 18 w y 3 w 2 + v 2 también son coprimos. Por lo tanto, puesto que su producto es un cubo, que son cada uno el cubo más pequeño de los números enteros, r y s
- 18 w = r 3
- 3 w 2 + v 2 = s 3
Por el lema anteriormente, puesto que s es impar y su cubo es igual a un número de la forma 3 w 2 + v 2 , también se puede expresar en términos de números coprimos más pequeñas, e y f .
- s = e 2 + 3 f 2
Un breve cálculo muestra que
- v = e ( e 2 - 9 f 2 )
- w = 3 f ( e 2 - f 2 )
Por tanto, e es impar y f es par, porque v es impar. La expresión para 18 w se convierte entonces en
- r 3 = 18 w = 54 f ( e 2 - f 2 ) = 54 f ( e + f ) ( e - f ) = 3 3 × 2 f ( e + f ) ( e - f ).
Dado que 3 3 divide r 3 , tenemos que 3 divide r , entonces ( r / 3) 3 es un número entero que es igual a 2 f ( e + f ) ( e - f ). Desde e y f son primos entre sí, por lo que son los tres factores 2 e , e + f , y e - f ; por lo tanto, cada uno de ellos es el cubo de números enteros más pequeños, k , l y m .
- −2 e = k 3
- e + f = l 3
- e - f = m 3
lo que produce una solución más pequeña k 3 + l 3 + m 3 = 0. Por lo tanto, según el argumento de la descendencia infinita , la solución original ( x , y , z ) era imposible.
n = 5
El último teorema de Fermat para n = 5 establece que no hay tres enteros coprimos x , y y z que puedan satisfacer la ecuación
- x 5 + y 5 + z 5 = 0
Esto no fue probado [51] ni de forma independiente ni en colaboración por Dirichlet y Legendre alrededor de 1825. [32] [52] Las pruebas alternativas fueron desarrolladas [53] por Gauss , [54] Lebesgue , [55] Lamé , [56] Gambioli, [16 ] [57] Werebrusow, [58] Rychlik , [59] van der Corput , [47] y Terjanian . [60]
La prueba de Dirichlet para n = 5 se divide en los dos casos (casos I y II) definidos por Sophie Germain . En el caso I, el exponente 5 no divide el producto xyz . En el caso II, 5 divide xyz .
- El caso I para n = 5 puede demostrarse inmediatamente mediante el teorema de Sophie Germain (1823) si el primo auxiliar θ = 11.
- El caso II se divide en los dos casos (casos II (i) y II (ii)) por Dirichlet en 1825. El caso II (i) es el caso en el que uno de x, y, z se divide por 5 y 2. Caso II (ii) es el caso en el que uno de x, y, z se divide por 5 y otro de x, y, z se divide por 2. En julio de 1825, Dirichlet demostró el caso II (i) para n = 5. En septiembre de 1825, Legendre probó el caso II (ii) para n = 5. Después de la prueba de Legendre, Dirichlet completó la prueba para el caso II (ii) para n = 5 mediante el argumento extendido para el caso II (i). [32]
fecha | caso I / II | caso II (i / ii) | nombre |
---|---|---|---|
1823 | caso yo | Sophie Germain | |
Julio 1825 | caso II | caso II (i) | Dirichlet |
Septiembre 1825 | caso II (ii) | Legendre | |
después de septiembre de 1825 | Dirichlet |
Prueba para el caso A
El caso A para n = 5 puede demostrarse inmediatamente mediante el teorema de Sophie Germain si el primo auxiliar θ = 11. Una demostración más metódica es la siguiente. Según el pequeño teorema de Fermat ,
- x 5 ≡ x (mod 5)
- y 5 ≡ y (mod 5)
- z 5 ≡ z (mod 5)
y por lo tanto
- x + y + z ≡ 0 (mod 5)
Esta ecuación obliga a dos de los tres números x , y y z a ser equivalentes módulo 5, que se puede ver de la siguiente manera: dado que son indivisibles por 5, x , y y z no pueden ser iguales a 0 módulo 5, y deben ser iguales a uno de cuatro posibilidades: ± 1 o ± 2. Si todos fueran diferentes, dos serían opuestos y su suma módulo 5 sería cero (lo que implica, contrario al supuesto de este caso, que el otro sería 0 módulo 5).
Sin pérdida de generalidad, X e Y pueden ser designados como los dos números equivalentes modulo 5. Eso implica que la equivalencia
- x 5 ≡ y 5 (mod 25) (nota cambio en módulo)
- - z 5 ≡ x 5 + y 5 ≡ 2 x 5 (mod 25)
Sin embargo, la ecuación x ≡ y (mod 5) también implica que
- - z ≡ x + y ≡ 2 x (mod 5)
- - z 5 ≡ 2 5 x 5 ≡ 32 x 5 (mod 25)
Combinar los dos resultados y dividir ambos lados por x 5 produce una contradicción
- 2 ≡ 32 (mod 25)
Por tanto, se ha probado el caso A para n = 5.
Prueba para el caso B
n = 7
El caso n = 7 fue probado [61] por Gabriel Lamé en 1839. [62] Su prueba bastante complicada fue simplificada en 1840 por Victor-Amédée Lebesgue , [63] y pruebas aún más simples [64] fueron publicadas por Angelo Genocchi en 1864 , 1874 y 1876. [65] Théophile Pépin [66] y Edmond Maillet desarrollaron pruebas alternativas . [67]
n = 6, 10 y 14
El último teorema de Fermat también ha sido probado para los exponentes n = 6, 10 y 14. Kausler, [5] Thue , [68] Tafelmacher, [69] Lind, [70] Kapferer han publicado pruebas para n = 6 , [71] Swift, [72] y Breusch. [73] De manera similar, Dirichlet [74] y Terjanian [75] demostraron cada uno el caso n = 14, mientras que Kapferer [71] y Breusch [73] demostraron cada uno el caso n = 10. Estrictamente hablando, estas pruebas son innecesarias, ya que estas los casos se siguen de las demostraciones para n = 3, 5 y 7, respectivamente. Sin embargo, el razonamiento de estas pruebas de exponente par difiere de sus contrapartes de exponente impar. La prueba de Dirichlet para n = 14 se publicó en 1832, antes de la prueba de Lamé de 1839 para n = 7.
Notas
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enlaces externos
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- "La Prueba" . El título de una edición de la serie de televisión de PBS NOVA analiza el esfuerzo de Andrew Wiles para demostrar el último teorema de Fermat.
- "Toda la historia" . Versión editada de un ensayo de unas 2000 palabras publicado en la revista Prometheus, que describe el exitoso viaje de Andrew Wiles.
- "Película documental sobre el último teorema de Fermat (1996)" . La película de Simon Singh y John Lynch cuenta la apasionante y emotiva historia de Andrew Wiles.
- "Último teorema de Fermat" . Podcast de la BBC de Melvin Bragg y varios matemáticos destacados