La incertidumbre u se puede expresar de varias formas. Puede definirse por el error absoluto Δ x . Las incertidumbres también se pueden definir por el error relativo (Δ x ) / x , que generalmente se escribe como un porcentaje. Más comúnmente, la incertidumbre sobre una cantidad se cuantifica en términos de la desviación estándar , σ , que es la raíz cuadrada positiva de la varianza . El valor de una cantidad y su error se expresan luego como un intervalo x ± u . Si se conoce o puede asumirse la distribución de probabilidad estadística de la variable, es posible derivar límites de confianza para describir la región dentro de la cual se puede encontrar el valor real de la variable. Por ejemplo, los límites de confianza del 68% para una variable unidimensional que pertenece a una distribución normal son aproximadamente ± una desviación estándar σ del valor central x , lo que significa que la región x ± σ cubrirá el valor verdadero en aproximadamente el 68% de casos.
Si las incertidumbres están correlacionadas, se debe tener en cuenta la covarianza . La correlación puede surgir de dos fuentes diferentes. Primero, los errores de medición pueden estar correlacionados. En segundo lugar, cuando los valores subyacentes se correlacionan en una población, las incertidumbres en los promedios del grupo estarán correlacionadas. [1]
Combinaciones lineales
Dejar ser un conjunto de m funciones, que son combinaciones lineales de variables con coeficientes de combinación :
o en notación matricial,
También supongamos que la matriz de varianza-covarianza de x = ( x 1 , ..., x n ) se denote por y dejemos que el valor medio se denote por :
Entonces, la matriz de varianza-covarianza de f está dado por
En notación de componentes, la ecuación
lee
Ésta es la expresión más general para la propagación del error de un conjunto de variables a otro. Cuando los errores en x no están correlacionados, la expresión general se simplifica a
dónde es la varianza del k -ésimo elemento del vector x . Tenga en cuenta que aunque los errores en x pueden no estar correlacionados, los errores en f están correlacionados en general; en otras palabras, incluso si es una matriz diagonal, es en general una matriz completa.
Las expresiones generales para una función f con valores escalares son un poco más simples (aquí a es un vector de fila):
Cada término de covarianza se puede expresar en términos del coeficiente de correlación por , de modo que una expresión alternativa para la varianza de f es
En el caso de que las variables en x no estén correlacionadas, esto se simplifica aún más a
En el caso simple de coeficientes y varianzas idénticos, encontramos
Cuando f es un conjunto de combinaciones no lineales de las variables x , se podría realizar una propagación de intervalo para calcular los intervalos que contienen todos los valores consistentes para las variables. En un enfoque probabilístico, la función f generalmente debe linealizarse por aproximación a una expansión de la serie de Taylor de primer orden , aunque en algunos casos, se pueden derivar fórmulas exactas que no dependen de la expansión como es el caso de la varianza exacta de los productos. . [2] La expansión de Taylor sería:
dónde denota la derivada parcial de f k con respecto a la i -ésima variable, evaluada al valor medio de todos los componentes del vector x . O en notación matricial ,
donde J es la matriz jacobiana . Dado que f 0 es una constante, no contribuye al error en f. Por lo tanto, la propagación del error sigue el caso lineal anterior, pero reemplazando los coeficientes lineales, A ki y A kj por las derivadas parciales, y . En notación matricial, [3]
Es decir, el jacobiano de la función se usa para transformar las filas y columnas de la matriz de varianza-covarianza del argumento. Tenga en cuenta que esto es equivalente a la expresión matricial para el caso lineal con.
Simplificación
Descuidar las correlaciones o asumir variables independientes produce una fórmula común entre ingenieros y científicos experimentales para calcular la propagación del error, la fórmula de la varianza: [4]
dónde representa la desviación estándar de la función , representa la desviación estándar de , representa la desviación estándar de , Etcétera.
Es importante señalar que esta fórmula se basa en las características lineales del gradiente de y por lo tanto es una buena estimación para la desviación estándar de Mientras son lo suficientemente pequeños. Específicamente, la aproximación lineal de tiene que estar cerca de dentro de un vecindario de radio . [5]
Ejemplo
Cualquier función diferenciable no lineal, , de dos variables, y , se puede ampliar como
por eso:
dónde es la desviación estándar de la función , es la desviación estándar de , es la desviación estándar de y es la covarianza entre y .
En el caso particular de que , . Luego
o
dónde es la correlación entre y .
Cuando las variables y no están correlacionados, . Luego
Advertencias y advertencias
Las estimaciones de error para funciones no lineales están sesgadas debido al uso de una expansión en serie truncada. El alcance de este sesgo depende de la naturaleza de la función. Por ejemplo, el sesgo en el error calculado para log (1+ x ) aumenta a medida que aumenta x , ya que la expansión ax es una buena aproximación solo cuando x está cerca de cero.
En el caso especial de lo inverso o recíproco , dónde sigue una distribución normal estándar , la distribución resultante es una distribución normal estándar recíproca y no hay varianza definible. [7]
Sin embargo, en el caso un poco más general de una función recíproca desplazada por siguiendo una distribución normal general, entonces las estadísticas de media y varianza existen en un sentido de valor principal , si la diferencia entre el polo y la media es de valor real. [8]
Ratios
Las proporciones también son problemáticas; existen aproximaciones normales bajo ciertas condiciones.
Fórmulas de ejemplo
Esta tabla muestra las varianzas y desviaciones estándar de funciones simples de las variables reales , con desviaciones estándar covarianza. Los coeficientes de valores reales- a y b se supone exactamente conocida (determinista), es decir,.
En las columnas "Varianza" y "Desviación estándar", A y B deben entenderse como valores esperados (es decir, valores alrededor de los cuales estamos estimando la incertidumbre) y debe entenderse como el valor de la función calculado al valor esperado de .
La autocorrelación de A se denota; solo si la variante es exacta (), que su autostracción tiene varianza cero .
Para variables no correlacionadas () los términos de covarianza también son cero, ya que . En este caso, las expresiones para funciones más complicadas se pueden derivar combinando funciones más simples. Por ejemplo, la multiplicación repetida, asumiendo que no hay correlación da
Para el caso también tenemos la expresión de Goodman [2] para la varianza exacta: para el caso no correlacionado es
y por tanto tenemos:
Cálculos de ejemplo
Función de tangente inversa
Podemos calcular la propagación de la incertidumbre para la función de tangente inversa como un ejemplo del uso de derivadas parciales para propagar el error.
Definir
dónde es la incertidumbre absoluta sobre nuestra medida de x . La derivada de f ( x ) con respecto ax es
Por lo tanto, nuestra incertidumbre propagada es
dónde es la incertidumbre propagada absoluta.
Medida de resistencia
Una aplicación práctica es un experimento en el que se mide la corriente , I , y de voltaje , V , en un resistor con el fin de determinar la resistencia , R , utilizando la ley de Ohm , R = V / I .
Dadas las variables medidas con incertidumbres, I ± σ I y V ± σ V , y descuidando su posible correlación, la incertidumbre en la cantidad calculada, σ R , es:
Ver también
Exactitud y precisión
Diferenciación automática
Método delta
Dilución de precisión (navegación)
Errores y residuales en estadísticas
Análisis de incertidumbre experimental
Elemento finito de intervalo
Incertidumbre de medicion
Análisis de límites de probabilidad
Aritmética de significancia
Cuantificación de la incertidumbre
Variable aleatoria difusa
Referencias
^ Kirchner, James. "Kit de herramientas de análisis de datos n. ° 5: análisis de incertidumbre y propagación de errores" (PDF) . Laboratorio de Sismología de Berkeley . Universidad de California . Consultado el 22 de abril de 2016 .
^ a bGoodman, Leo (1960). "Sobre la varianza exacta de los productos". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 55 (292): 708–713. doi : 10.2307 / 2281592 . JSTOR 2281592 .
↑ Ochoa1, Benjamin; Belongie, Serge "Propagación de covarianza para emparejamiento guiado" Archivado el 20 de julio de 2011en la Wayback Machine.
^Ku, HH (octubre de 1966). "Notas sobre el uso de fórmulas de propagación de error" . Revista de investigación de la Oficina Nacional de Normas . 70C (4): 262. doi : 10.6028 / jres.070c.025 . ISSN 0022-4316 . Consultado el 3 de octubre de 2012 .
^Clifford, AA (1973). Análisis de errores multivariante: manual de propagación y cálculo de errores en sistemas de muchos parámetros . John Wiley e hijos. ISBN 978-0470160558.[ página necesaria ]
^Lee, SH; Chen, W. (2009). "Un estudio comparativo de los métodos de propagación de la incertidumbre para problemas de tipo caja negra". Optimización estructural y multidisciplinar . 37 (3): 239-253. doi : 10.1007 / s00158-008-0234-7 . S2CID 119988015 .
^Johnson, Norman L .; Kotz, Samuel; Balakrishnan, Narayanaswamy (1994). Distribuciones univariadas continuas, volumen 1 . Wiley. pag. 171. ISBN 0-471-58495-9.
^Lecomte, Christophe (mayo de 2013). "Estadísticas exactas de sistemas con incertidumbres: una teoría analítica de sistemas dinámicos estocásticos de rango uno". Revista de Sonidos y Vibraciones . 332 (11): 2750–2776. doi : 10.1016 / j.jsv.2012.12.009 .
^"Un resumen de la propagación de errores" (PDF) . pag. 2. Archivado desde el original (PDF) el 13 de diciembre de 2016 . Consultado el 4 de abril de 2016 .
^"Propagación de la incertidumbre a través de operaciones matemáticas" (PDF) . pag. 5 . Consultado el 4 de abril de 2016 .
^"Estrategias para la estimación de la varianza" (PDF) . pag. 37 . Consultado el 18 de enero de 2013 .
^ a bHarris, Daniel C. (2003), Análisis químico cuantitativo (6ª ed.), Macmillan, p. 56, ISBN 978-0-7167-4464-1
^"Tutorial de propagación de errores" (PDF) . Foothill College . 9 de octubre de 2009 . Consultado el 1 de marzo de 2012 .
Otras lecturas
Bevington, Philip R .; Robinson, D. Keith (2002), Reducción de datos y análisis de errores para las ciencias físicas (3a ed.), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-119926-1
Fornasini, Paolo (2008), La incertidumbre en las medidas físicas: una introducción al análisis de datos en el laboratorio de física , Springer, p. 161, ISBN 978-0-387-78649-0
Meyer, Stuart L. (1975), Análisis de datos para científicos e ingenieros , Wiley, ISBN 978-0-471-59995-1
Peralta, M. (2012), Propagación de errores: cómo predecir matemáticamente errores de medición , CreateSpace
Rouaud, M. (2013), Probabilidad, estadística y estimación: propagación de incertidumbres en medidas experimentales (PDF) (edición corta)
Taylor, JR (1997), Introducción al análisis de errores: el estudio de las incertidumbres en las mediciones físicas (2a ed.), Libros de ciencia universitaria
Wang, CM; Iyer, Hari K (7 de septiembre de 2005). "Sobre correcciones de orden superior para propagar incertidumbres". Metrologia . 42 (5): 406–410. doi : 10.1088 / 0026-1394 / 42/5/011 . ISSN 0026-1394 .
enlaces externos
Una discusión detallada de las mediciones y la propagación de la incertidumbre que explica los beneficios de usar fórmulas de propagación de errores y simulaciones de Monte Carlo en lugar de una simple aritmética de significancia.
GUM , guía para la expresión de la incertidumbre en la medición
EPFL Una introducción a la propagación , derivación, significado y ejemplos de errores de Cy = Fx Cx Fx '
paquete de incertidumbres , un programa / biblioteca para realizar cálculos de forma transparente con incertidumbres (y correlaciones de errores).
paquete soerp , un programa / biblioteca de Python para realizar de forma transparente cálculos de * segundo orden * con incertidumbres (y correlaciones de errores).
Comité Conjunto de Guías en Metrología (2011). JCGM 102: Evaluación de datos de medición - Suplemento 2 de la "Guía para la expresión de incertidumbre en la medición" - Ampliación a cualquier número de cantidades de salida (PDF) (Informe técnico). JCGM . Consultado el 13 de febrero de 2013 .
Calculadora de incertidumbre Propague la incertidumbre para cualquier expresión