En matemáticas , se dice que dos cantidades variables están en una relación de proporcionalidad , conectadas multiplicativamente a una constante ; es decir, cuando su relación o su producto arroja una constante. El valor de esta constante se llama coeficiente de proporcionalidad o constante de proporcionalidad .
- Si la relación (y/X) De dos variables ( x y Y ) es igual a una constante ( k =y/X) , entonces la variable en el numerador de la razón ( y ) puede ser el producto de la otra variable y la constante ( y = k ⋅ x ) . En este caso y se dice que es directamente proporcional a x con constante de proporcionalidad k . De manera equivalente, se puede escribir x =1/k ⋅ y ; es decir, x es directamente proporcional ay con proporcionalidad constante1/k (= X/y) . Si el término proporcional está conectado a dos variables sin más calificación, generalmente se puede suponer proporcionalidad directa.
- Si el producto de dos variables ( x ⋅ y ) es igual a una constante ( k = x ⋅ y ) , entonces se dice que las dos son inversamente proporcionales entre sí con la constante de proporcionalidad k . De manera equivalente, ambas variables son directamente proporcionales al recíproco de la otra respectiva con constante de proporcionalidad k ( x = k ⋅ 1/yy y = k ⋅ 1/X) .
Si varios pares de variables comparten la misma constante de proporcionalidad directa, la ecuación que expresa la igualdad de estas razones se llama proporción , por ejemplo,a/B = X/y= ... = k (para obtener más información, consulte Relación ).
Proporcionalidad directa [ editar ]
Dadas dos variables de x y y , y es directamente proporcional a x [1] si hay una constante no cero k tal que
|
La relación a menudo se denota usando los símbolos "∝" (que no debe confundirse con la letra griega alfa ) o "~":
- o
Para la constante de proporcionalidad se puede expresar como la razón
También se le llama constante de variación o constante de proporcionalidad .
Una proporcionalidad directa también puede verse como una ecuación lineal en dos variables con una intersección en y de 0 y una pendiente de k . Esto corresponde a un crecimiento lineal .
Ejemplos [ editar ]
- Si un objeto viaja a una velocidad constante , entonces la distancia recorrida es directamente proporcional al tiempo dedicado a viajar, siendo la velocidad la constante de proporcionalidad.
- La circunferencia de un círculo es directamente proporcional a su diámetro , con la constante de proporcionalidad igual a π .
- En un mapa de un área geográfica suficientemente pequeña, dibujada a escala de distancias, la distancia entre dos puntos cualesquiera en el mapa es directamente proporcional a la distancia en línea recta entre las dos ubicaciones representadas por esos puntos; la constante de proporcionalidad es la escala del mapa.
- La fuerza , que actúa sobre un objeto pequeño con masa pequeña por una masa extendida grande cercana debido a la gravedad , es directamente proporcional a la masa del objeto; la constante de proporcionalidad entre la fuerza y la masa se conoce como aceleración gravitacional .
- La fuerza neta que actúa sobre un objeto es proporcional a la aceleración de ese objeto con respecto a un marco de referencia inercial. La constante de proporcionalidad en esta, la segunda ley de Newton , es la masa clásica del objeto.
Proporcionalidad inversa [ editar ]
El concepto de proporcionalidad inversa puede contrastarse con el de proporcionalidad directa . Considere dos variables que se dice que son "inversamente proporcionales" entre sí. Si todas las demás variables se mantienen constantes , la magnitud o el valor absoluto de una variable inversamente proporcional disminuye si la otra variable aumenta, mientras que su producto (la constante de proporcionalidad k ) es siempre el mismo. Por ejemplo, el tiempo necesario para un viaje es inversamente proporcional a la velocidad del viaje.
Formalmente, dos variables son inversamente proporcionales (también llamado variando inversamente , en variación inversa , en proporción inversa , en proporción recíproca ) si cada una de las variables es directamente proporcional al inverso multiplicativo (recíproco) de la otra, o de manera equivalente si su producto es una constante. [2] Se deduce que la variable y es inversamente proporcional a la variable x si existe una constante k distinta de cero tal que
o de manera equivalente, Por tanto , la constante " k " es el producto de x e y .
La gráfica de dos variables que varían inversamente en el plano cartesiano de coordenadas es una hipérbola rectangular . El producto de las x y Y valores de cada punto de la curva es igual a la constante de proporcionalidad ( k ). Dado que ni x ni y pueden ser iguales a cero (porque k no es cero), la gráfica nunca cruza ninguno de los ejes.
Coordenadas hiperbólicas [ editar ]
Los conceptos de proporción directa e inversa conducen a la ubicación de puntos en el plano cartesiano mediante coordenadas hiperbólicas ; las dos coordenadas corresponden a la constante de proporcionalidad directa que especifica que un punto está en un rayo particular y la constante de proporcionalidad inversa que especifica que un punto está en una hipérbola particular.
Ver también [ editar ]
- Mapa lineal
- Correlación
- Eudoxo de Cnidus
- Proporción áurea
- Ley del cuadrado inverso
- Fuente proporcional
- Proporción
- Regla de tres (matemáticas)
- Tamaño de la muestra
- Semejanza
- Teorema de proporcionalidad básica
- ∷ la una es a b como c es a d símbolo (U + 2237 PROPORCIÓN )
Crecimiento [ editar ]
- Crecimiento lineal
- Crecimiento hiperbólico
Notas [ editar ]
- ^ Weisstein, Eric W. "Directamente proporcional" . MathWorld : un recurso web de Wolfram.
- ^ Weisstein, Eric W. "Inversamente proporcional" . MathWorld : un recurso web de Wolfram.
Referencias [ editar ]
- Ya. B. Zeldovich, I. M. Yaglom : Matemáticas superiores para principiantes , p. 34–35 .
- Brian Burrell: Merriam-Webster's Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference . Merriam-Webster, 1998, ISBN 9780877796213 , pág. 85–101 .
- Lanius, Cynthia S .; Williams Susan E . : PROPORCIONALIDAD: Un tema unificador para los grados medios . La enseñanza de las matemáticas en la escuela media 8.8 (2003), pág. 392–396.
- Seeley, Cathy; Schielack Jane F .: Una mirada al desarrollo de razones, tasas y proporcionalidad . La enseñanza de las matemáticas en la escuela media, 13.3, 2007, p. 140-142.
- Van Dooren, Wim; De Bock Dirk; Evers Marleen; Verschaffel Lieven: Uso excesivo de proporcionalidad por parte de los estudiantes en problemas con valores perdidos: cómo los números pueden cambiar las soluciones . Revista de Investigación en Educación Matemática, 40.2, 2009, p. 187–211.
