Los métodos pseudo-espectrales , [1] también conocidos como métodos de representación de variables discretas (DVR), son una clase de métodos numéricos usados en matemáticas aplicadas y computación científica para la solución de ecuaciones diferenciales parciales . Están estrechamente relacionados con los métodos espectrales , pero complementan la base con una base pseudoespectral adicional, que permite la representación de funciones en una cuadrícula en cuadratura. Esto simplifica la evaluación de ciertos operadores y puede acelerar considerablemente el cálculo cuando se utilizan algoritmos rápidos como la transformada rápida de Fourier .
Motivación con un ejemplo concreto
Tome el problema del valor inicial
con condiciones periódicas . Este ejemplo específico es la ecuación de Schrödinger para una partícula en un potencial, pero la estructura es más general. En muchas ecuaciones diferenciales parciales prácticas, uno tiene un término que involucra derivadas (como una contribución de energía cinética) y una multiplicación con una función (por ejemplo, un potencial).
En el método espectral, la solución se expande en un conjunto adecuado de funciones básicas, por ejemplo ondas planas,
La inserción e igualación de coeficientes idénticos produce un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias para los coeficientes,
donde los elementos se calculan mediante la transformada de Fourier explícita
Entonces, la solución se obtendría truncando la expansión a funciones de base, y encontrar una solución para el . En general, esto se realiza mediante métodos numéricos , como los métodos de Runge-Kutta . Para las soluciones numéricas, el lado derecho de la ecuación diferencial ordinaria debe evaluarse repetidamente en diferentes pasos de tiempo. En este punto, el método espectral tiene un problema importante con el término potencial.
En la representación espectral, la multiplicación con la función se transforma en una multiplicación de matriz vectorial, que se escala como . Además, los elementos de la matriz deben evaluarse explícitamente antes de que se pueda resolver la ecuación diferencial para los coeficientes, lo que requiere un paso adicional.
En el método pseudo-espectral, este término se evalúa de manera diferente. Dados los coeficientes, una transformada de Fourier discreta inversa produce el valor de la función en puntos de cuadrícula discretos . En estos puntos de la cuadrícula, la función se multiplica,, y el resultado de la transformación de Fourier. Esto produce un nuevo conjunto de coeficientes. que se utilizan en lugar del producto de matriz .
Se puede demostrar que ambos métodos tienen una precisión similar. Sin embargo, el método pseudo-espectral permite el uso de una transformada rápida de Fourier, que escala como, y por lo tanto es significativamente más eficiente que la multiplicación de matrices. Además, la función se puede utilizar directamente sin evaluar integrales adicionales.
Discusión técnica
De una manera más abstracta, el método pseudo-espectral se ocupa de la multiplicación de dos funciones y como parte de una ecuación diferencial parcial. Para simplificar la notación, se elimina la dependencia del tiempo. Conceptualmente, consta de tres pasos:
- se expanden en un conjunto finito de funciones básicas (este es el método espectral ).
- Para un conjunto dado de funciones de base, se busca una cuadratura que convierta los productos escalares de estas funciones de base en una suma ponderada sobre los puntos de la cuadrícula.
- El producto se calcula multiplicando en cada punto de la cuadrícula.
Expansión en una base
Las funciones se puede ampliar de forma finita como
Para simplificar, deje que la base sea ortogonal y normalizada, usando el producto interior con límites apropiados . Los coeficientes se obtienen luego por
Un poco de cálculo produce entonces
con . Esto forma la base del método espectral. Para distinguir la base de la a partir de la base de cuadratura, la expansión a veces se denomina Representación de base finita (FBR).
Cuadratura
Por una base determinada y numero de funciones de base, uno puede intentar encontrar una cuadratura, es decir, un conjunto de puntos y pesos tales que
Ejemplos especiales son la cuadratura gaussiana para polinomios y la transformada discreta de Fourier para ondas planas. Cabe destacar que los puntos de la cuadrícula y los pesos,son una función de la base y el número.
La cuadratura permite una representación numérica alternativa de la función a través de su valor en los puntos de la cuadrícula. Esta representación a veces se denomina Representación de variable discreta (DVR) y es completamente equivalente a la expansión de la base.
Multiplicación
La multiplicación con la función luego se realiza en cada punto de la cuadrícula,
Esto generalmente introduce una aproximación adicional. Para ver esto, podemos calcular uno de los coeficientes:
Sin embargo, usando el método espectral, el mismo coeficiente sería . El método pseudo-espectral introduce así la aproximación adicional
Si el producto se puede representar con el conjunto finito dado de funciones básicas, la ecuación anterior es exacta debido a la cuadratura elegida.
Esquemas pseudoespectrales especiales
El método de Fourier
Si las condiciones de contorno periódicas con período se imponen en el sistema, las funciones de base pueden ser generadas por ondas planas,
con , dónde es la función de techo .
La cuadratura para un corte en viene dada por la transformación discreta de Fourier . Los puntos de la cuadrícula están igualmente espaciados, con espaciado , y los pesos constantes son .
Para la discusión del error, observe que el producto de dos ondas planas es nuevamente una onda plana, con . Por tanto, cualitativamente, si las funciones puede representarse con suficiente precisión con funciones de base, el método pseudo-espectral da resultados precisos si se utilizan funciones de base.
Una expansión en ondas planas a menudo tiene una calidad deficiente y necesita muchas funciones básicas para converger. Sin embargo, la transformación entre la expansión de la base y la representación de la cuadrícula se puede hacer usando una transformada rápida de Fourier , que escala favorablemente como. Como consecuencia, las ondas planas son una de las expansiones más comunes que se encuentran con los métodos pseudoespectrales.
Polinomios
Otra expansión común es en polinomios clásicos. Aquí, se usa la cuadratura gaussiana , que establece que siempre se pueden encontrar pesos y puntos tal que
se mantiene para cualquier polinomio de grado o menos. Normalmente, la función de peso y rangos se eligen para un problema específico y conduce a una de las diferentes formas de cuadratura. Para aplicar esto al método pseudo-espectral, elegimos funciones base, con siendo un polinomio de grado con la propiedad
En estas condiciones, el forman una base ortonormal con respecto al producto escalar . Esta base, junto con los puntos de cuadratura, se puede utilizar para el método pseudoespectral.
Para la discusión del error, tenga en cuenta que si está bien representado por funciones de base y está bien representado por un polinomio de grado , su producto se puede ampliar en la primera funciones de base, y el método pseudo-espectral dará resultados precisos para tantas funciones de base.
Tales polinomios ocurren naturalmente en varios problemas estándar. Por ejemplo, el oscilador armónico cuántico se expande idealmente en polinomios de Hermite, y los polinomios de Jacobi se pueden usar para definir las funciones de Legendre asociadas que aparecen típicamente en problemas rotacionales.
Referencias
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