La matemática pura es el estudio de conceptos matemáticos independientemente de cualquier aplicación fuera de las matemáticas . Estos conceptos pueden tener su origen en preocupaciones del mundo real, y los resultados obtenidos pueden resultar más tarde útiles para aplicaciones prácticas, pero los matemáticos puros no están motivados principalmente por tales aplicaciones. En cambio, el atractivo se atribuye al desafío intelectual y la belleza estética de resolver las consecuencias lógicas de los principios básicos.
Si bien las matemáticas puras han existido como una actividad desde al menos la antigua Grecia , el concepto se elaboró alrededor del año 1900, [1] después de la introducción de teorías con propiedades contraintuitivas (como las geometrías no euclidianas y la teoría de Cantor de conjuntos infinitos). ) y el descubrimiento de aparentes paradojas (como las funciones continuas que no son diferenciables en ninguna parte y la paradoja de Russell ). Esto introdujo la necesidad de renovar el concepto de rigor matemático y reescribir todas las matemáticas en consecuencia, con un uso sistemático de métodos axiomáticos . Esto llevó a muchos matemáticos a centrarse en las matemáticas por sí mismas, es decir, las matemáticas puras.
Sin embargo, casi todas las teorías matemáticas siguieron motivadas por problemas provenientes del mundo real o de teorías matemáticas menos abstractas. Además, muchas teorías matemáticas, que parecían ser matemáticas totalmente puras, finalmente se utilizaron en áreas aplicadas, principalmente física e informática . Un ejemplo temprano famoso es la demostración de Isaac Newton de que su ley de la gravitación universal implicaba que los planetas se mueven en órbitas que son secciones cónicas , curvas geométricas que Apolonio había estudiado en la antigüedad . Otro ejemplo es el problema de factorizar números enteros grandes , que es la base del criptosistema RSA , ampliamente utilizado para asegurar las comunicaciones por Internet . [2]
De ello se deduce que, en la actualidad, la distinción entre matemáticas puras y aplicadas es más un punto de vista filosófico o una preferencia matemática que una subdivisión rígida de las matemáticas. En particular, no es raro que algunos miembros de un departamento de matemáticas aplicadas se describan a sí mismos como matemáticos puros.
Historia
Antigua Grecia
Los matemáticos griegos antiguos fueron de los primeros en hacer una distinción entre matemáticas puras y aplicadas. Platón ayudó a crear la brecha entre "aritmética", ahora llamada teoría de números , y "logística", ahora llamada aritmética . Platón consideraba que la logística (aritmética) era apropiada para los hombres de negocios y los hombres de guerra que "deben aprender el arte de los números o [ellos] no sabrán cómo organizar [sus] tropas" y la aritmética (teoría de los números) como apropiada para los filósofos "porque [ tienen] que surgir del mar del cambio y aferrarse al verdadero ser ". [3] Euclides de Alejandría , cuando uno de sus estudiantes le preguntó para qué servía el estudio de la geometría, le pidió a su esclavo que le diera al estudiante tres peniques, "ya que debe sacar provecho de lo que aprende". [4] Al matemático griego Apolonio de Perga se le preguntó acerca de la utilidad de algunos de sus teoremas en el Libro IV de las Cónicas, a lo que afirmó con orgullo, [5]
Son dignas de aceptación por el bien de las demostraciones mismas, de la misma manera que aceptamos muchas otras cosas en matemáticas por esto y por ninguna otra razón.
Y dado que muchos de sus resultados no eran aplicables a la ciencia o la ingeniería de su época, Apolonio argumentó además en el prefacio del quinto libro de las Cónicas que el tema es uno de esos que "... parecen dignos de estudio por sí mismos. . " [5]
Siglo 19
El término en sí está consagrado en el título completo de la Cátedra Sadleiriana , Profesora Sadleiriana de Matemática Pura , fundada (como cátedra) a mediados del siglo XIX. La idea de una disciplina separada de las matemáticas puras puede haber surgido en ese momento. La generación de Gauss no hizo una distinción radical de ese tipo entre puro y aplicado . En los años siguientes, la especialización y la profesionalización (particularmente en el enfoque de Weierstrass para el análisis matemático ) comenzaron a hacer más evidente la brecha.
siglo 20
A principios del siglo XX, los matemáticos adoptaron el método axiomático , fuertemente influenciados por el ejemplo de David Hilbert . La formulación lógica de la matemática pura sugerida por Bertrand Russell en términos de una estructura cuantificadora de proposiciones parecía cada vez más plausible, a medida que grandes partes de las matemáticas se axiomatizaban y, por lo tanto, estaban sujetas a los simples criterios de una prueba rigurosa .
La matemática pura, según una visión que se puede atribuir al grupo de Bourbaki , es lo que se prueba. El matemático puro se convirtió en una vocación reconocida, alcanzable a través de la formación.
Se argumentó que las matemáticas puras son útiles en la educación en ingeniería : [6]
- Hay un entrenamiento en hábitos de pensamiento, puntos de vista y comprensión intelectual de problemas ordinarios de ingeniería, que solo el estudio de las matemáticas superiores puede brindar.
Generalidad y abstracción
Un concepto central de las matemáticas puras es la idea de generalidad; las matemáticas puras a menudo muestran una tendencia hacia una mayor generalidad. Los usos y ventajas de la generalidad incluyen los siguientes:
- La generalización de teoremas o estructuras matemáticas puede conducir a una comprensión más profunda de los teoremas o estructuras originales.
- La generalidad puede simplificar la presentación del material, lo que resulta en pruebas o argumentos más breves que son más fáciles de seguir.
- Se puede utilizar la generalidad para evitar la duplicación de esfuerzos, demostrando un resultado general en lugar de tener que probar casos separados de forma independiente o utilizando resultados de otras áreas de las matemáticas.
- La generalidad puede facilitar las conexiones entre diferentes ramas de las matemáticas. La teoría de categorías es un área de las matemáticas dedicada a explorar esta estructura común a medida que se desarrolla en algunas áreas de las matemáticas.
El impacto de la generalidad en la intuición depende tanto del tema como de una cuestión de preferencia personal o estilo de aprendizaje. A menudo, la generalidad se ve como un obstáculo para la intuición, aunque ciertamente puede funcionar como una ayuda para ella, especialmente cuando proporciona analogías con material para el que uno ya tiene una buena intuición.
Como un excelente ejemplo de generalidad, el programa Erlangen implicó una expansión de la geometría para acomodar geometrías no euclidianas , así como el campo de la topología y otras formas de geometría, al ver la geometría como el estudio de un espacio junto con un grupo de transformaciones. . El estudio de los números , llamado álgebra al principio del nivel de pregrado, se extiende al álgebra abstracta en un nivel más avanzado; y el estudio de funciones , llamado cálculo en el nivel de primer año de la universidad, se convierte en análisis matemático y análisis funcional en un nivel más avanzado. Cada una de estas ramas de las matemáticas más abstractas tiene muchas subespecialidades y, de hecho, existen muchas conexiones entre las matemáticas puras y las disciplinas de las matemáticas aplicadas. A mediados del siglo XX se observó un fuerte aumento en la abstracción .
En la práctica, sin embargo, estos desarrollos llevaron a una marcada divergencia con la física , particularmente de 1950 a 1983. Posteriormente, esto fue criticado, por ejemplo por Vladimir Arnold , como demasiado Hilbert , no suficiente Poincaré . El punto aún no parece estar resuelto, en el sentido de que la teoría de cuerdas tira en un sentido, mientras que las matemáticas discretas retroceden hacia la prueba como algo central.
Matemáticas puras vs.aplicadas
Los matemáticos siempre han tenido opiniones diferentes con respecto a la distinción entre matemática pura y aplicada. Uno de los ejemplos modernos más famoso (pero tal vez mal entendido) de este debate se pueden encontrar en GH Hardy 's Apología de un matemático .
Se cree ampliamente que Hardy consideraba que las matemáticas aplicadas eran feas y aburridas. Aunque es cierto que Hardy prefería las matemáticas puras, que a menudo comparaba con la pintura y la poesía , Hardy veía que la distinción entre matemáticas puras y aplicadas era simplemente que las matemáticas aplicadas buscaban expresar la verdad física en un marco matemático, mientras que las matemáticas puras expresaban verdades que eran independientes del mundo físico. Hardy hizo una distinción separada en matemáticas entre lo que llamó matemáticas "reales", "que tienen un valor estético permanente", y "las partes aburridas y elementales de las matemáticas" que tienen uso práctico.
Hardy consideraba que algunos físicos, como Einstein y Dirac , estaban entre los matemáticos "reales", pero en el momento en que estaba escribiendo la Apología consideraba que la relatividad general y la mecánica cuántica eran "inútiles", lo que le permitió sostener la opinión. que sólo las matemáticas "aburridas" eran útiles. Además, Hardy admitió brevemente que, al igual que la aplicación de la teoría de matrices y la teoría de grupos a la física llegó inesperadamente, puede llegar el momento en que algunos tipos de matemáticas hermosas y "reales" también puedan ser útiles.
Magid ofrece otra visión perspicaz:
Siempre he pensado que aquí se podría extraer un buen modelo de la teoría del anillo. En esa materia, uno tiene las subáreas de la teoría del anillo conmutativo y la teoría del anillo no conmutativo . Un observador desinformado podría pensar que estos representan una dicotomía, pero de hecho el último subsume al primero: un anillo no conmutativo es un anillo no necesariamente conmutativo. Si usamos convenciones similares, entonces podríamos referirnos a las matemáticas aplicadas y las matemáticas no aplicadas, donde por estas últimas nos referimos a las matemáticas no necesariamente aplicadas ... [énfasis agregado] [7]
Ver también
- Matemáticas Aplicadas
- Lógica
- Metalogic
- Metamatemáticas
Referencias
- ^ Piaggio, HTH, "Profesores sadleirianos" , en O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. (eds.), Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews.
- ^ Robinson, Sara (junio de 2003). "Aún guardando secretos después de años de ataques, RSA gana elogios para sus fundadores" (PDF) . Noticias SIAM . 36 (5).
- ^ Boyer, Carl B. (1991). "La era de Platón y Aristóteles". A History of Mathematics (Segunda ed.). John Wiley & Sons, Inc. págs.86 . ISBN 0-471-54397-7.
Platón es importante en la historia de las matemáticas en gran parte por su papel de inspirador y director de otros, y quizás a él se deba la marcada distinción en la antigua Grecia entre aritmética (en el sentido de la teoría de los números) y logística (la técnica de la computación). ). Platón consideró la logística como apropiada para el hombre de negocios y para el hombre de guerra, que "debe aprender el arte de los números o no sabrá cómo ordenar sus tropas". El filósofo, por otro lado, debe ser un aritmético "porque tiene que surgir del mar del cambio y aferrarse al verdadero ser".
- ^ Boyer, Carl B. (1991). "Euclides de Alejandría". A History of Mathematics (Segunda ed.). John Wiley & Sons, Inc. págs.101 . ISBN 0-471-54397-7.
Evidentemente, Euclides no hizo hincapié en los aspectos prácticos de su asignatura, ya que se cuenta una historia de él que cuando uno de sus estudiantes preguntó de qué servía el estudio de la geometría, Euclides le pidió a su esclavo que le diera al estudiante tres peniques, "ya que debe sacar provecho de lo que aprende ".
- ^ a b Boyer, Carl B. (1991). "Apolonio de Perge". A History of Mathematics (Segunda ed.). John Wiley & Sons, Inc. págs. 152 . ISBN 0-471-54397-7.
Es en conexión con los teoremas de este libro que Apolonio hace una afirmación que implica que en su época, como en la nuestra, hubo opositores de mente estrecha de las matemáticas puras que preguntaron peyorativamente acerca de la utilidad de tales resultados. El autor afirmó con orgullo: "Son dignos de aceptación por el bien de las demostraciones en sí, de la misma manera que aceptamos muchas otras cosas en matemáticas por esta y ninguna otra razón". (Heath 1961, p.lxxiv).
El prefacio del Libro V, relativo a las líneas rectas máximas y mínimas dibujadas en una cónica, nuevamente sostiene que el tema es uno de los que parecen "dignos de estudio por sí mismos". Si bien hay que admirar al autor por su elevada actitud intelectual, cabe señalar de manera pertinente que su época fue una bella teoría, sin perspectivas de aplicabilidad a la ciencia o la ingeniería de su tiempo, que desde entonces se ha vuelto fundamental en campos como la dinámica terrestre y Mecánica celeste. - ^ AS Hathaway (1901) "Matemáticas puras para estudiantes de ingeniería" , Boletín de la American Mathematical Society 7 (6): 266–71.
- ^ Andy Magid (noviembre de 2005) Carta del editor , Avisos de la American Mathematical Society , página 1173
enlaces externos
- ¿Qué son las matemáticas puras? - Departamento de Matemáticas Puras, Universidad de Waterloo
- ¿Qué son las matemáticas puras? por el profesor PJ Giblin La Universidad de Liverpool
- Los principios de las matemáticas de Bertrand Russell
- Cómo convertirse en un matemático puro (o estadístico) , una lista de libros de texto y notas de lectura de pregrado y posgrado básico, con varios comentarios y enlaces a soluciones, sitios complementarios, conjuntos de datos, páginas de erratas, etc.