Teorema de pitágoras

Ecuación que relaciona las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo

Este artículo trata sobre geometría clásica. Para el término de béisbol, vea la expectativa pitagórica .

Teorema de Pitágoras
La suma de las áreas de los dos cuadrados de los catetos ( una y b ) es igual al área del cuadrado de la hipotenusa ( c ).

Geometría
Proyectar una esfera a un plano
Esquema Historia
Sucursales Euclidiana No euclidiana Elíptico Esférico Hiperbólico Geometría no arquimediana Descriptivo Afín Sintético Analítico Algebraico Aritmética Diofantino Diferencial Riemanniano Simpléctico Diferencial discreto Complejo Finito Discreto / Combinatorio Digital Convexo Computacional Fractal Incidencia
Conceptos Características Dimensión Construcciones con regla y compás Ángulo Curva Diagonal Ortogonalidad ( perpendicular ) Paralelo Vértice Congruencia Semejanza Simetría
Dimensión cero Punto
Unidimensional Línea segmento rayo Largo
Bidimensional Plano Área Polígono Triángulo Altitud Hipotenusa Teorema de pitágoras Paralelogramo Cuadrado Rectángulo Rombo Romboidal Cuadrilátero Trapezoide cometa Circulo Diámetro Circunferencia Área
Tridimensional Volumen Cubo cuboides Cilindro Pirámide Esfera
Cuatro - / otras dimensiones Tesseract Hiperesfera
Geometros
por nombre Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apolonio Arquímedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euclides Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pitágoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang Lista de geómetras
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En matemáticas , el teorema de Pitágoras , o el teorema de Pitágoras , es una relación fundamental en la geometría euclidiana entre los tres lados de un triángulo rectángulo . Establece que el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto ) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados en los otros dos lados . Este teorema puede escribirse como una ecuación que relaciona las longitudes de los lados un , b y c , a menudo llamada la ecuación de Pitágoras : ^[1]

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}$

donde c representa la longitud de la hipotenusa y un y b las longitudes de otros dos lados del triángulo. El teorema, cuya historia es objeto de mucho debate, lleva el nombre del pensador griego Pitágoras , nacido alrededor del 570 a. C.

El teorema ha sido probado numerosas veces por muchos métodos diferentes, posiblemente el mayor número posible para cualquier teorema matemático. Las pruebas son diversas, incluidas pruebas geométricas y pruebas algebraicas, y algunas se remontan a miles de años.

El teorema se puede generalizar de varias formas: a espacios de dimensiones superiores, a espacios que no son euclidianos, a objetos que no son triángulos rectángulos y a objetos que no son triángulos sino sólidos n- dimensionales. El teorema de Pitágoras ha atraído interés fuera de las matemáticas como símbolo de la abstrusión matemática, la mística o el poder intelectual; abundan las referencias populares en literatura, obras de teatro, musicales, canciones, sellos y dibujos animados.

Prueba de reordenamiento

La prueba de reordenamiento (haga clic para ver la animación)

Los dos cuadrados grandes que se muestran en la figura contienen cada uno cuatro triángulos idénticos, y la única diferencia entre los dos cuadrados grandes es que los triángulos están dispuestos de manera diferente. Por lo tanto, el espacio en blanco dentro de cada uno de los dos cuadrados grandes debe tener el mismo área. Al igualar el área del espacio en blanco se obtiene el teorema de Pitágoras, QED ^[2]

Heath da esta prueba en su comentario sobre la Proposición I.47 en los Elementos de Euclides , y menciona las propuestas de Bretschneider y Hankel de que Pitágoras pudo haber conocido esta prueba. El mismo Heath favorece una propuesta diferente para una prueba pitagórica, pero reconoce desde el principio de su discusión "que la literatura griega que poseemos perteneciente a los primeros cinco siglos después de Pitágoras no contiene ninguna declaración que le especifique este o cualquier otro gran descubrimiento geométrico particular. " ^[3] Los estudios recientes han arrojado cada vez más dudas sobre cualquier tipo de papel de Pitágoras como creador de las matemáticas, aunque el debate al respecto continúa. ^[4]

Otras formas del teorema

Si c indica la longitud de la hipotenusa y un y b denotan las longitudes de los otros dos lados, el Teorema de Pitágoras se puede expresar como la ecuación de Pitágoras:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

Si las longitudes de ambos un y b son conocidos, entonces c se puede calcular como

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Si la longitud de la hipotenusa c y de un lado ( una o b son conocidos), entonces la longitud del otro lado se puede calcular como

${\displaystyle a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}}$

o

${\displaystyle b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}.}$

La ecuación de Pitágoras relaciona los lados de un triángulo rectángulo de una manera simple, de modo que si se conocen las longitudes de dos lados cualesquiera, se puede encontrar la longitud del tercer lado. Otro corolario del teorema es que en cualquier triángulo rectángulo, la hipotenusa es mayor que cualquiera de los otros lados, pero menor que su suma.

Una generalización de este teorema es la ley de los cosenos , que permite calcular la longitud de cualquier lado de cualquier triángulo, dadas las longitudes de los otros dos lados y el ángulo entre ellos. Si el ángulo entre los otros lados es un ángulo recto, la ley de los cosenos se reduce a la ecuación de Pitágoras.

Otras demostraciones del teorema

Este teorema puede tener más pruebas conocidas que cualquier otro (la ley de la reciprocidad cuadrática es otro contendiente para esa distinción); el libro La propuesta de Pitágoras contiene 370 pruebas. ^[5]

Prueba usando triángulos similares

Prueba usando triángulos similares

Esta prueba se basa en la proporcionalidad de los lados de dos triángulos similares , es decir, en el hecho de que la razón de dos lados correspondientes de triángulos similares es la misma independientemente del tamaño de los triángulos.

Deje que ABC represente un triángulo rectángulo, con el ángulo recto ubicado en C , como se muestra en la figura. Dibuja la altitud desde el punto C y llama a H su intersección con el lado AB . El punto H divide la longitud de la hipotenusa c en las partes d y e . El nuevo triángulo ACH es similar al triángulo ABC , porque ambos tienen un ángulo recto (por definición de la altitud), y comparten el ángulo en A , lo que significa que el tercer ángulo será el mismo en ambos triángulos también, marcado comoθ en la figura. Por un razonamiento similar, el triángulo CBH también es similar a ABC . La prueba de similitud de los triángulos requiere el postulado del triángulo : la suma de los ángulos en un triángulo es dos ángulos rectos, y es equivalente al postulado paralelo . La similitud de los triángulos conduce a la igualdad de las proporciones de los lados correspondientes:

${\displaystyle {\frac {BC}{AB}}={\frac {BH}{BC}}{\text{ and }}{\frac {AC}{AB}}={\frac {AH}{AC}}.}$

El primer resultado iguala los cosenos de los ángulos θ , mientras que el segundo resultado iguala sus senos .

Estas proporciones se pueden escribir como

${\displaystyle BC^{2}=AB\times BH{\text{ and }}AC^{2}=AB\times AH.}$

La suma de estas dos igualdades da como resultado

${\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB\times BH+AB\times AH=AB\times (AH+BH)=AB^{2},}$

que, después de la simplificación, expresa el teorema de Pitágoras:

${\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}\ .}$

El papel de esta prueba en la historia es objeto de mucha especulación. La pregunta subyacente es por qué Euclides no usó esta prueba, sino que inventó otra. Una conjetura es que la prueba por triángulos similares involucraba una teoría de proporciones, un tema que no se discutió hasta más adelante en los Elementos , y que la teoría de proporciones necesitaba un mayor desarrollo en ese momento. ^{[6] [7]}

Prueba de Euclides

Prueba en los elementos de Euclides

En resumen, así es como procede la demostración en Los elementos de Euclides . El cuadrado grande se divide en un rectángulo a la izquierda y a la derecha. Se construye un triángulo que tiene la mitad del área del rectángulo de la izquierda. Luego se construye otro triángulo que tiene la mitad del área del cuadrado en el lado más a la izquierda. Se muestra que estos dos triángulos son congruentes , lo que demuestra que este cuadrado tiene la misma área que el rectángulo de la izquierda. A este argumento le sigue una versión similar para el rectángulo de la derecha y el cuadrado restante. Poniendo los dos rectángulos juntos para reformar el cuadrado en la hipotenusa, su área es la misma que la suma del área de los otros dos cuadrados. Siguen los detalles.

Deje que A , B , C sean los vértices de un triángulo rectángulo, con un ángulo recto en A . Suelta una perpendicular desde A hacia el lado opuesto a la hipotenusa en el cuadrado de la hipotenusa. Esa línea divide el cuadrado de la hipotenusa en dos rectángulos, cada uno con la misma área que uno de los dos cuadrados de los catetos.

Para la prueba formal, requerimos cuatro lemas elementales :

1. Si dos triángulos tienen dos lados del uno iguales a dos lados del otro, cada uno a cada uno, y los ángulos incluidos por esos lados son iguales, entonces los triángulos son congruentes ( lado-ángulo-lado ).
2. El área de un triángulo es la mitad del área de cualquier paralelogramo en la misma base y que tenga la misma altitud.
3. El área de un rectángulo es igual al producto de dos lados adyacentes.
4. El área de un cuadrado es igual al producto de dos de sus lados (se sigue de 3).

A continuación, cada cuadrado superior está relacionado con un triángulo congruente con otro triángulo relacionado a su vez con uno de los dos rectángulos que forman el cuadrado inferior. ^[8]

Ilustración que incluye las nuevas líneas

Mostrando los dos triángulos congruentes de la mitad del área del rectángulo BDLK y el cuadrado BAGF

La prueba es como sigue:

1. Sea ACB un triángulo rectángulo con CAB en ángulo recto.
2. En cada uno de los lados BC, AB y CA, se dibujan los cuadrados, CBDE, BAGF y ACIH, en ese orden. La construcción de cuadrados requiere los teoremas inmediatamente precedentes en Euclides y depende del postulado paralelo. ^[9]
3. Desde A, dibuja una línea paralela a BD y CE. Se cruzará perpendicularmente BC y DE en K y L, respectivamente.
4. Une CF y AD, para formar los triángulos BCF y BDA.
5. Los ángulos CAB y BAG son ambos ángulos rectos; por tanto, C, A y G son colineales . De manera similar para B, A y H.
6. Los ángulos CBD y FBA son ambos ángulos rectos; por lo tanto, el ángulo ABD es igual al ángulo FBC, ya que ambos son la suma de un ángulo recto y un ángulo ABC.
7. Dado que AB es igual a FB y BD es igual a BC, el triángulo ABD debe ser congruente con el triángulo FBC.
8. Dado que AKL es una línea recta, paralela a BD, entonces el rectángulo BDLK tiene el doble del área del triángulo ABD porque comparten la base BD y tienen la misma altitud BK, es decir, una línea normal a su base común, que conecta las líneas paralelas BD y ALABAMA. (lema 2)
9. Dado que C es colineal con A y G, el cuadrado BAGF debe tener el doble de área que el triángulo FBC.
10. Por lo tanto, el rectángulo BDLK debe tener la misma área que el cuadrado BAGF = AB ² .
11. De manera similar, se puede demostrar que el rectángulo CKLE debe tener la misma área que el cuadrado ACIH = AC ² .
12. Sumando estos dos resultados, AB ² + AC ² = BD × BK + KL × KC
13. Dado que BD = KL, BD × BK + KL × KC = BD (BK + KC) = BD × BC
14. Por lo tanto, AB ² + AC ² = BC ² , ya que CBDE es un cuadrado.

Esta prueba, que aparece en los Elementos de Euclides como la de la Proposición 47 en el Libro 1, ^[10] demuestra que el área del cuadrado en la hipotenusa es la suma de las áreas de los otros dos cuadrados. ^[11] Esto es bastante distinto de la prueba por semejanza de triángulos, que se supone que es la prueba que utilizó Pitágoras. ^{[7] [12]}

Pruebas por disección y reordenamiento.

Ya hemos discutido la prueba pitagórica, que era una prueba por reordenamiento. La misma idea se transmite por la animación del extremo izquierdo a continuación, que consiste en un gran cuadrado, lado a + b , que contiene cuatro triángulos rectángulos idénticos. Los triángulos se muestran en dos disposiciones, el primero de los cuales deja dos cuadrados un ² y b ² cubierto, en el segundo de los cuales las hojas cuadrado c ² no cubierto. El área comprendida por el cuadrado exterior nunca cambia, y el área de los cuatro triángulos es la misma al principio y al final, por lo que las áreas del cuadrado negro deben ser iguales, por lo tanto a ² + b ² = c² .

Una segunda prueba por reordenamiento viene dada por la animación del medio. Un cuadrado grande se forma con zona de c ² , a partir de cuatro triángulos rectángulos idénticos con lados un , b y c , colocado en torno a un pequeño cuadrado central. Entonces dos rectángulos se forman con los lados una y b moviendo los triángulos. La combinación del cuadrado más pequeño con estos rectángulos produce dos cuadrados de áreas a ² y b ² , que deben tener la misma área que el cuadrado grande inicial. ^[13]

La tercera imagen, más a la derecha, también da una prueba. Los dos cuadrados superiores se dividen como se muestra por el sombreado azul y verde, en piezas que, cuando se reorganizan, se pueden hacer para que quepan en el cuadrado inferior de la hipotenusa o, a la inversa, el cuadrado grande se puede dividir como se muestra en piezas que llenan los otros dos. . Esta forma de cortar una figura en pedazos y reorganizarlos para obtener otra figura se llama disección . Esto muestra que el área del cuadrado grande es igual a la de los dos pequeños. ^[14]

Animación que muestra la prueba por reordenamiento de cuatro triángulos rectángulos idénticos

Animación que muestra otra prueba por reordenamiento.

Prueba usando una reordenación elaborada

Prueba de Einstein por disección sin reordenamiento

Triángulo rectángulo en la hipotenusa diseccionado en dos triángulos rectángulos similares en los catetos, según la demostración de Einstein

Albert Einstein dio una prueba por disección en la que las piezas no necesitan moverse. ^[15] En lugar de usar un cuadrado en la hipotenusa y dos cuadrados en los catetos, se puede usar cualquier otra forma que incluya la hipotenusa y dos formas similares que incluyan cada una una de dos catetos en lugar de la hipotenusa (ver Figuras similares en la tres lados). En la prueba de Einstein, la forma que incluye la hipotenusa es el triángulo rectángulo en sí. La disección consiste en dejar caer una perpendicular desde el vértice del ángulo recto del triángulo hasta la hipotenusa, dividiendo así todo el triángulo en dos partes. Esas dos partes tienen la misma forma que el triángulo rectángulo original y tienen los catetos del triángulo original como sus hipotenusas, y la suma de sus áreas es la del triángulo original. Debido a que la razón del área de un triángulo rectángulo al cuadrado de su hipotenusa es la misma para triángulos similares, la relación entre las áreas de los tres triángulos también es válida para los cuadrados de los lados del triángulo grande.

Pruebas algebraicas

Diagrama de las dos pruebas algebraicas

El teorema se puede demostrar algebraicamente utilizando cuatro copias de un triángulo rectángulo con lados un , b y c , dispuestas dentro de un cuadrado de lado c como en la mitad superior del diagrama. ^[16] Los triángulos son similares con área , mientras que el cuadrado pequeño tiene lado b - a y área ( b - a ) ² . Por tanto, el área del cuadrado grande es${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab}$

${\displaystyle (b-a)^{2}+4{\frac {ab}{2}}=(b-a)^{2}+2ab=b^{2}-2ab+a^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}.}$

Pero este es un cuadrado con lado c y área c ² , entonces

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}.}$

Una prueba similar usa cuatro copias del mismo triángulo dispuestas simétricamente alrededor de un cuadrado de lado c , como se muestra en la parte inferior del diagrama. ^[17] Esto da como resultado un cuadrado más grande, con el lado a + b y el área ( a + b ) ² . Los cuatro triángulos y el lado del cuadrado c deben tener la misma área que el cuadrado más grande,

${\displaystyle (b+a)^{2}=c^{2}+4{\frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab,}$

donación

${\displaystyle c^{2}=(b+a)^{2}-2ab=b^{2}+2ab+a^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}.}$

Diagrama de la prueba de Garfield

Una prueba relacionada fue publicada por el futuro presidente de los Estados Unidos, James A. Garfield (entonces Representante de los Estados Unidos ) (ver diagrama). ^{[18] [19] [20]} En lugar de un cuadrado, usa un trapezoide , que se puede construir a partir del cuadrado en la segunda de las pruebas anteriores al bisecar a lo largo de una diagonal del cuadrado interior, para dar el trapezoide como se muestra en la diagrama. El área del trapezoide se puede calcular como la mitad del área del cuadrado, es decir

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(b+a)^{2}.}$

El cuadrado interior se divide de manera similar a la mitad, y solo hay dos triángulos, por lo que la prueba procede como se indicó anteriormente, excepto por un factor de , que se elimina al multiplicar por dos para obtener el resultado.${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

Prueba usando diferenciales

Se puede llegar al teorema de Pitágoras estudiando cómo los cambios en un lado producen un cambio en la hipotenusa y empleando el cálculo . ^{[21] [22] [23]}

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo, como se muestra en la parte superior del diagrama, con BC la hipotenusa. Al mismo tiempo, las longitudes de los triángulos se miden como se muestra, con la hipotenusa de longitud y , el lado AC de longitud x y el lado AB de longitud a , como se ve en la parte inferior del diagrama.

Diagrama de prueba diferencial

Si x aumenta en una pequeña cantidad dx al extender el lado AC ligeramente hacia D , entonces y también aumenta en dy . Estos forman dos lados de un triángulo, CDE , que (con E elegido para que CE sea ​​perpendicular a la hipotenusa) es un triángulo rectángulo aproximadamente similar a ABC . Por tanto, las proporciones de sus lados deben ser las mismas, es decir:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{y}}.}$

Esto se puede reescribir como , que es una ecuación diferencial que se puede resolver mediante integración directa:${\displaystyle y\,dy=x\,dx}$

${\displaystyle \int y\,dy=\int x\,dx\,,}$

donación

${\displaystyle y^{2}=x^{2}+C.}$

La constante se puede deducir de x = 0, y = a para dar la ecuación

${\displaystyle y^{2}=x^{2}+a^{2}.}$

Esta es una demostración más intuitiva que formal: se puede hacer más rigurosa si se utilizan límites adecuados en lugar de dx y dy .

Conversar

El inverso del teorema también es cierto: ^[24]

Para cualquiera de los tres números positivos a , b , y c de tal manera que un ² + b ² = c ² , existe un triángulo con lados un , b y c , y cada uno de tales triángulo tiene un ángulo recto entre los lados de longitudes a y b .

Una declaración alternativa es:

Para cualquier triángulo de lados a , b , c , si un ² + b ² = c ² , entonces el ángulo entre una y b medidas 90 °.

Este inverso también aparece en los Elementos de Euclides (Libro I, Proposición 48): ^[25]

"Si en un triángulo el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes del triángulo, entonces el ángulo contenido por los dos lados restantes del triángulo es recto".

Se puede probar usando la ley de los cosenos o de la siguiente manera:

Sea ABC un triángulo con lados a , b y c , con a ² + b ² = c ² . Construir un segundo triángulo con lados de longitud a y b que contiene un ángulo recto. Por el teorema de Pitágoras, se deduce que la hipotenusa de este triángulo tiene una longitud c = √ a ² + b ² , lo mismo que la hipotenusa del primer triángulo. Dado que los lados de ambos triángulos tienen la misma longitud a , b y c, los triángulos son congruentes y deben tener los mismos ángulos. Por lo tanto, el ángulo entre el lado de longitudes de unos y b en el triángulo original es un ángulo recto.

La demostración anterior de lo contrario hace uso del propio teorema de Pitágoras. También se puede probar lo contrario sin asumir el teorema de Pitágoras. ^{[26] [27]}

Un corolario del inverso del teorema de Pitágoras es un medio simple de determinar si un triángulo es recto, obtuso o agudo, como sigue. Sea c el más largo de los tres lados y a + b > c (de lo contrario, no hay triángulo según la desigualdad del triángulo ). Se aplican las siguientes declaraciones: ^[28]

• Si a ² + b ² = c ² , entonces el triángulo es recto .
• Si a ² + b ² > c ² , entonces el triángulo es agudo .
• Si a ² + b ² < c ² , entonces el triángulo es obtuso .

Edsger W. Dijkstra ha establecido esta proposición sobre triángulos agudos, rectos y obtusos en este lenguaje:

sgn ( α + β - γ ) = sgn ( a ² + b ² - c ² ),

donde α es el ángulo opuesto al lado a , β es el ángulo opuesto al lado b , γ es el ángulo opuesto al lado c , y sgn es la función de signo . ^[29]

Consecuencias y usos del teorema

Triples pitagóricos

Artículo principal: triple pitagórico

Un triple pitagórico tiene tres números enteros positivos a , b y c , de modo que a ² + b ² = c ² . En otras palabras, un triple pitagórico representa las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo donde los tres lados tienen longitudes enteras. ^[1] Tal triple se escribe comúnmente ( a , b , c ). Algunos ejemplos bien conocidos son (3, 4, 5) y (5, 12, 13).

A Pitágoras primitiva triple es uno en el que una , b y c son primos entre sí (el máximo común divisor de un , b y c es 1).

La siguiente es una lista de triples pitagóricas primitivos con valores menores a 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12 , 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77 , 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Teorema de Pitágoras recíproco

Dado un triángulo rectángulo con lados y altitud (una línea desde el ángulo recto y perpendicular a la hipotenusa ). El teorema de Pitágoras tiene,${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

mientras que el teorema de Pitágoras recíproco ^[30] o el teorema de Pitágoras al revés ^[31] relaciona los dos lados con la altitud , ^[32]${\displaystyle a,b}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{d^{2}}}}$

La ecuación se puede transformar en,

${\displaystyle {\frac {1}{(xz)^{2}}}+{\frac {1}{(yz)^{2}}}={\frac {1}{(xy)^{2}}}}$

donde para cualquier real distinto de cero . Si van a ser números enteros , la solución más pequeña es entonces ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$ ${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle a,b,d}$${\displaystyle a>b>d}$

${\displaystyle {\frac {1}{20^{2}}}+{\frac {1}{15^{2}}}={\frac {1}{12^{2}}}}$

utilizando el triple pitagórico más pequeño . El teorema de Pitágoras recíproco es un caso especial de la ecuación óptica${\displaystyle 3,4,5}$

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}}$

donde los denominadores son cuadrados y también para un triángulo heptagonal cuyos lados son números cuadrados.${\displaystyle p,q,r}$

Longitudes inconmensurables

La espiral de Theodorus : una construcción para segmentos de línea con longitudes cuyas razones son la raíz cuadrada de un número entero positivo.

Una de las consecuencias del teorema de Pitágoras es que los segmentos de recta cuyas longitudes son inconmensurables (por lo que la razón de los cuales no es un número racional ) se pueden construir utilizando una regla y un compás . El teorema de Pitágoras permite la construcción de longitudes inconmensurables porque la hipotenusa de un triángulo está relacionada con los lados mediante la operación de raíz cuadrada .

La figura de la derecha muestra cómo construir segmentos de línea cuyas longitudes están en la razón de la raíz cuadrada de cualquier número entero positivo. ^[33] Cada triángulo tiene un lado (etiquetado como "1") que es la unidad de medida elegida. En cada triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras establece la longitud de la hipotenusa en términos de esta unidad. Si una hipotenusa está relacionada con la unidad por la raíz cuadrada de un entero positivo que no es un cuadrado perfecto, es una realización de una longitud inconmensurable con la unidad, como √ 2 , √ 3 , √ 5  . Para obtener más detalles, consulte Cuadrático irracional .

Las longitudes inconmensurables entraban en conflicto con el concepto de números de la escuela pitagórica como sólo números enteros. La escuela pitagórica se ocupó de las proporciones mediante la comparación de múltiplos enteros de una subunidad común. ^[34] Según una leyenda, Hippasus de Metapontum ( ca. 470 aC) fue ahogado en el mar por dar a conocer la existencia de lo irracional o inconmensurable. ^{[35] [36]}

Números complejos

El valor absoluto de un número complejo z es la distancia r desde z hasta el origen

Para cualquier número complejo

${\displaystyle z=x+iy,}$

el valor absoluto o módulo viene dado por

${\displaystyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

Así que los tres cantidades, R , X e Y están relacionados por la ecuación de Pitágoras,

${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}.}$

Obsérvese que r se define para ser un número positivo o cero, pero x e y puede ser negativo así como positivo. Geométricamente, r es la distancia de z desde cero o el origen O en el plano complejo .

Esto se puede generalizar para encontrar la distancia entre dos puntos, digamos z ₁ y z ₂ . La distancia requerida viene dada por

${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}},}$

así que nuevamente están relacionados por una versión de la ecuación pitagórica,

${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}.}$

distancia euclidiana

Más información: distancia euclidiana

La fórmula de la distancia en coordenadas cartesianas se deriva del teorema de Pitágoras. ^[37] Si ( x ₁ , y ₁ ) y ( x ₂ , y ₂ ) son puntos en el plano, entonces la distancia entre ellos, también llamada distancia euclidiana , viene dada por

${\displaystyle {\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.}$

Más en general, en euclidiano n -espacio , la distancia euclidiana entre dos puntos, y , se define, por generalización del teorema de Pitágoras, como:${\displaystyle A\,=\,(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$${\displaystyle B\,=\,(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}$

${\displaystyle {\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$

Si en lugar de la distancia euclidiana, se usa el cuadrado de este valor (la distancia euclidiana al cuadrado , o SED), la ecuación resultante evita las raíces cuadradas y es simplemente una suma de la SED de las coordenadas:

${\displaystyle (a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}.}$

La forma cuadrada es una función suave y convexa de ambos puntos, y se usa ampliamente en la teoría y estadística de la optimización , formando la base de mínimos cuadrados .

Distancia euclidiana en otros sistemas de coordenadas

Si no se usan coordenadas cartesianas, por ejemplo, si se usan coordenadas polares en dos dimensiones o, en términos más generales, si se usan coordenadas curvilíneas , las fórmulas que expresan la distancia euclidiana son más complicadas que el teorema de Pitágoras, pero se pueden derivar de eso. Un ejemplo típico en el que la distancia en línea recta entre dos puntos se convierte en coordenadas curvilíneas se puede encontrar en las aplicaciones de los polinomios de Legendre en física . Las fórmulas se pueden descubrir usando el teorema de Pitágoras con las ecuaciones que relacionan las coordenadas curvilíneas con las coordenadas cartesianas. Por ejemplo, las coordenadas polares ( r , θ ) se pueden introducir como:

${\displaystyle x=r\cos \theta ,\ y=r\sin \theta .}$

Luego, dos puntos con ubicaciones ( r ₁ , θ ₁ ) y ( r ₂ , θ ₂ ) están separados por una distancia s :

${\displaystyle s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}\cos \theta _{1}-r_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(r_{1}\sin \theta _{1}-r_{2}\sin \theta _{2})^{2}.}$

Realizando los cuadrados y combinando términos, la fórmula pitagórica para la distancia en coordenadas cartesianas produce la separación en coordenadas polares como:

${\displaystyle {\begin{aligned}s^{2}&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\left(\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \Delta \theta ,\end{aligned}}}$

utilizando las fórmulas trigonométricas de producto a suma . Esta fórmula es la ley de los cosenos , a veces llamada teorema de Pitágoras generalizado. ^[38] A partir de este resultado, para el caso de que los radios de las dos ubicaciones formen ángulos rectos, se recupera el ángulo cerrado Δ θ = π / 2, y la forma correspondiente al teorema de Pitágoras: El teorema de Pitágoras, válido para triángulos rectángulos , por lo tanto, es un caso especial de la ley más general de los cosenos, válida para triángulos arbitrarios.${\displaystyle s^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}.}$

Identidad trigonométrica pitagórica

Artículo principal: identidad trigonométrica pitagórica

Triángulos rectángulos similares que muestran el seno y el coseno del ángulo θ

En un triángulo rectángulo con lados a , by hipotenusa c , la trigonometría determina el seno y el coseno del ángulo θ entre el lado a y la hipotenusa como:

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {b}{c}},\quad \cos \theta ={\frac {a}{c}}.}$

De eso se sigue:

${\displaystyle {\cos }^{2}\theta +{\sin }^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1,}$

donde el último paso aplica el teorema de Pitágoras. Esta relación entre seno y coseno a veces se denomina identidad trigonométrica fundamental de Pitágoras. ^[39] En triángulos similares, las proporciones de los lados son las mismas independientemente del tamaño de los triángulos y dependen de los ángulos. En consecuencia, en la figura, el triángulo con hipotenusa de tamaño unitario tiene el lado opuesto de tamaño sen  θ y el lado adyacente de tamaño cos  θ en unidades de la hipotenusa.

Relación con el producto cruzado

El área de un paralelogramo como producto cruzado; vectores a y b identificar un avión y a × b es normal a este plano.

El teorema de Pitágoras relaciona el producto cruzado y el producto escalar de manera similar: ^[40]

${\displaystyle \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}.}$

Esto se puede ver en las definiciones de producto cruzado y producto escalar, como

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=ab\mathbf {n} \sin {\theta }\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=ab\cos {\theta },\end{aligned}}}$

con n un vector unitario normal a la vez una y b . La relación se deriva de estas definiciones y la identidad trigonométrica pitagórica.

Esto también se puede utilizar para definir el producto cruzado. Reordenando la siguiente ecuación se obtiene

${\displaystyle \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.}$

Esto puede considerarse como una condición del producto cruzado y, por lo tanto, parte de su definición, por ejemplo, en siete dimensiones . ^{[41] [42]}

Generalizaciones

Figuras similares en los tres lados.

Una generalización del teorema de Pitágoras que se extiende más allá de las áreas de los cuadrados en los tres lados a figuras similares fue conocida por Hipócrates de Quíos en el siglo V aC, ^[43] y fue incluida por Euclides en sus Elementos : ^[44]

Si uno erige figuras similares (ver geometría euclidiana ) con los lados correspondientes en los lados de un triángulo rectángulo, entonces la suma de las áreas de las de los dos lados más pequeños es igual al área de las del lado más grande.

Esta extensión asume que los lados del triángulo original son los lados correspondientes de las tres figuras congruentes (por lo que las proporciones comunes de lados entre las figuras similares son a: b: c ). ^[45] Si bien la demostración de Euclides solo se aplicó a polígonos convexos, el teorema también se aplica a polígonos cóncavos e incluso a figuras similares que tienen límites curvos (pero aún con parte del límite de una figura siendo el lado del triángulo original). ^[45]

La idea básica detrás de esta generalización es que el área de una figura plana es proporcional al cuadrado de cualquier dimensión lineal y, en particular, es proporcional al cuadrado de la longitud de cualquier lado. Por lo tanto, si las cifras similares con zonas A , B y C se erigen en lados con longitudes correspondientes a , b y c a continuación:

${\displaystyle {\frac {A}{a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}\,,}$

${\displaystyle \Rightarrow A+B={\frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}C\,.}$

Pero, por el teorema de Pitágoras, un ² + b ² = c ² , por lo que A + B = C .

Por el contrario, si podemos probar que A + B = C para tres figuras similares sin usar el teorema de Pitágoras, entonces podemos trabajar hacia atrás para construir una prueba del teorema. Por ejemplo, el triángulo central inicial se puede replicar y usar como un triángulo C en su hipotenusa, y dos triángulos rectángulos similares ( A y B ) construidos en los otros dos lados, formados dividiendo el triángulo central por su altitud . Por lo tanto, la suma de las áreas de los dos triángulos más pequeños es la del tercero, por lo tanto, A + B = C y la inversión de la lógica anterior conduce al teorema de Pitágoras a ²+ ^{segundo 2} = do ² . ( Ver también la prueba de Einstein por disección sin reordenamiento )

Generalización para triángulos similares, área verde A + B = área azul C

Teorema de Pitágoras usando triángulos rectángulos similares

Generalización para pentágonos regulares

Ley de los cosenos

La separación s de dos puntos (r ₁ , θ ₁ ) y (r ₂ , θ ₂ ) en coordenadas polares está dada por la ley de los cosenos . Ángulo interior Δθ = θ ₁ −θ ₂ .

Artículo principal: Ley de los cosenos.

El teorema de Pitágoras es un caso especial del teorema más general que relaciona las longitudes de los lados en cualquier triángulo, la ley de los cosenos: ^[46]

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2},}$

donde es el ángulo entre los lados y .${\displaystyle \theta }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Cuando es radianes o 90 °, entonces , y la fórmula se reduce al teorema de Pitágoras habitual.${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle \cos {\theta }=0}$

Triángulo arbitrario

Generalización del teorema de Pitágoras por Tâbit ibn Qorra . ^[47] Panel inferior: reflejo del triángulo CAD (arriba) para formar el triángulo DAC, similar al triángulo ABC (arriba).

En cualquier ángulo seleccionado de un triángulo general de lados a, b, c , inscriba un triángulo isósceles tal que los ángulos iguales en su base θ sean los mismos que el ángulo seleccionado. Suponga que el ángulo θ seleccionado está opuesto al lado etiquetado c . La inscripción del triángulo isósceles forma el triángulo CAD con un ángulo angle del lado opuesto by con el lado r a lo largo de c . Un segundo triángulo está formada con lado opuesto ángulo θ una y un lado de longitud s a lo largo de c , como se muestra en la figura. Thābit ibn Qurra declaró que los lados de los tres triángulos estaban relacionados como: ^{[48] [49]}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c(r+s)\ .}$

A medida que el ángulo θ se aproxima a π / 2, la base de los estrechos triángulo isósceles, y las longitudes de r y s solapamiento menos y menos. Cuando θ = π / 2, ADB se convierte en un triángulo rectángulo, r + s = c , y se recupera el teorema de Pitágoras original.

Una prueba observa que el triángulo ABC tiene los mismos ángulos que el triángulo CAD , pero en orden opuesto. (Los dos triángulos comparten el ángulo en el vértice B, ambos contienen el ángulo θ y, por lo tanto, también tienen el mismo tercer ángulo según el postulado del triángulo ). En consecuencia, ABC es similar a la reflexión de CAD , el triángulo DAC en el panel inferior. Tomando la razón de lados opuestos y adyacentes a θ,

${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {b}{r}}\ .}$

Asimismo, para el reflejo del otro triángulo,

${\displaystyle {\frac {c}{a}}={\frac {a}{s}}\ .}$

Despejando fracciones y sumando estas dos relaciones:

${\displaystyle cs+cr=a^{2}+b^{2}\ ,}$

el resultado requerido.

El teorema sigue siendo válida si el ángulo es obtuso de modo que las longitudes de r y s son que no se solapan.${\displaystyle \theta }$

Triángulos generales usando paralelogramos

Generalización para triángulos arbitrarios, área
verde = área azul

Construcción para prueba de generalización de paralelogramo

El teorema del área de Pappus es una generalización adicional, que se aplica a triángulos que no son triángulos rectángulos, usando paralelogramos en los tres lados en lugar de cuadrados (los cuadrados son un caso especial, por supuesto). La figura superior muestra que para un triángulo escaleno, el área del paralelogramo en el lado más largo es la suma de las áreas de los paralelogramos en los otros dos lados, siempre que el paralelogramo en el lado largo se construya como se indica (las dimensiones etiquetadas con las flechas son iguales y determinan los lados del paralelogramo inferior). Este reemplazo de cuadrados con paralelogramos tiene un claro parecido con el teorema de Pitágoras original, y fue considerado una generalización por Pappus de Alejandría en 4 dC ^{[50] [51]}

La figura inferior muestra los elementos de la prueba. Concéntrese en el lado izquierdo de la figura. El paralelogramo verde izquierdo tiene la misma área que la parte azul izquierda del paralelogramo inferior porque ambos tienen la misma base by altura h . Sin embargo, el paralelogramo verde izquierdo también tiene la misma área que el paralelogramo verde izquierdo de la figura superior, porque tienen la misma base (el lado superior izquierdo del triángulo) y la misma altura normal a ese lado del triángulo. Repitiendo el argumento del lado derecho de la figura, el paralelogramo inferior tiene la misma área que la suma de los dos paralelogramos verdes.

Geometria solida

Artículo principal: geometría sólida

El teorema de Pitágoras en tres dimensiones relaciona la diagonal AD con los tres lados.

Un tetraedro con esquina en ángulo recto hacia afuera

En términos de geometría sólida, el teorema de Pitágoras se puede aplicar a tres dimensiones de la siguiente manera. Considere un sólido rectangular como se muestra en la figura. La longitud de la diagonal BD se encuentra a partir del teorema de Pitágoras como:

${\displaystyle {\overline {BD}}^{\,2}={\overline {BC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}\ ,}$

donde estos tres lados forman un triángulo rectángulo. Usando la diagonal horizontal BD y el borde vertical AB , la longitud de la diagonal AD se calcula mediante una segunda aplicación del teorema de Pitágoras como:

${\displaystyle {\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BD}}^{\,2}\ ,}$

o, haciéndolo todo en un solo paso:

${\displaystyle {\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}\ .}$

Este resultado es la expresión tridimensional de la magnitud de un vector v (la diagonal AD) en términos de sus componentes ortogonales { v _k } (los tres lados mutuamente perpendiculares):

${\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}=\sum _{k=1}^{3}\|\mathbf {v} _{k}\|^{2}.}$

Esta formulación de un solo paso puede verse como una generalización del teorema de Pitágoras a dimensiones superiores. Sin embargo, este resultado es en realidad solo la aplicación repetida del teorema de Pitágoras original a una sucesión de triángulos rectángulos en una secuencia de planos ortogonales.

Una generalización sustancial del teorema de Pitágoras a tres dimensiones es el teorema de Gua , llamado así por Jean Paul de Gua de Malves : si un tetraedro tiene una esquina en ángulo recto (como la esquina de un cubo ), entonces el cuadrado del área de la cara opuesta a la esquina del ángulo recto es la suma de los cuadrados de las áreas de las otras tres caras. Este resultado se puede generalizar como en el " teorema de Pitágoras n- dimensional": ^[52]

Sean vectores ortogonales en ℝ ⁿ . Considere el simplex S n- dimensional con vértices . (Piense en el  simplex ( n - 1) -dimensional con vértices que no incluyen el origen como la "hipotenusa" de S y las  caras restantes ( n - 1) -dimensionales de S como sus "catetos"). el volumen de la hipotenusa de S es la suma de los cuadrados de los volúmenes de los n catetos.${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle 0,x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

Esta declaración se ilustra en tres dimensiones por el tetraedro en la figura. La "hipotenusa" es la base del tetraedro en la parte posterior de la figura, y las "piernas" son los tres lados que emanan del vértice en primer plano. A medida que aumenta la profundidad de la base desde el vértice, aumenta el área de las "piernas", mientras que la de la base se fija. El teorema sugiere que cuando esta profundidad está en el valor que crea un vértice derecho, se aplica la generalización del teorema de Pitágoras. En una redacción diferente: ^[53]

Dado un n -rectangular n -dimensional simplex, el cuadrado de la ( n  - 1) -Contenido de la faceta opuesta a la de vértice derecho será igual a la suma de los cuadrados de la ( n  - 1) -Contenido de las facetas restantes.

Espacios interiores de productos

Ver también: espacio de Hilbert

Vectores involucrados en la ley del paralelogramo

El teorema de Pitágoras se puede generalizar a los espacios de producto internos , ^[54] que son generalizaciones de los familiares espacios euclidianos bidimensionales y tridimensionales . Por ejemplo, una función puede considerarse como un vector con infinitos componentes en un espacio de producto interno, como en el análisis funcional . ^[55]

En un espacio con producto interno, el concepto de perpendicularidad se sustituye por el concepto de ortogonalidad : dos vectores v y w son ortogonales si su producto interno es cero. El producto interno es una generalización del producto escalar de los vectores. El producto escalar se denomina producto interior estándar o producto interior euclidiano . Sin embargo, son posibles otros productos internos. ^[56]${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle }$

El concepto de longitud se reemplaza por el concepto de norma || v || de un vector v , definido como: ^[57]

${\displaystyle \lVert \mathbf {v} \rVert \equiv {\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\,.}$

En un espacio interior-producto, el teorema de Pitágoras estados que para dos vectores ortogonales v y w tenemos

${\displaystyle \left\|\mathbf {v} +\mathbf {w} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {w} \right\|^{2}.}$

Aquí los vectores v y w son similares a los lados de un triángulo rectángulo con hipotenusa dada por la suma vectorial v  +  w . Esta forma del teorema de Pitágoras es una consecuencia de las propiedades del producto interno :

${\displaystyle \left\|\mathbf {v} +\mathbf {w} \right\|^{2}=\langle \mathbf {v+w} ,\ \mathbf {v+w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\ \mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {w} ,\ \mathbf {w} \rangle +\langle \mathbf {v,\ w} \rangle +\langle \mathbf {w,\ v} \rangle \ =\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {w} \right\|^{2},}$

donde los productos internos de los términos cruzados son cero, debido a la ortogonalidad.

Una generalización adicional del teorema de Pitágoras en un espacio de producto interno a vectores no ortogonales es la ley del paralelogramo  : ^[57]

${\displaystyle 2\|\mathbf {v} \|^{2}+2\|\mathbf {w} \|^{2}=\|\mathbf {v+w} \|^{2}+\|\mathbf {v-w} \|^{2}\ ,}$

que dice que el doble de la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados de un paralelogramo es la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales. Cualquier norma que satisfaga esta igualdad es ipso facto una norma correspondiente a un producto interior. ^[57]

La identidad pitagórica se puede extender a sumas de más de dos vectores ortogonales. Si v ₁ , v ₂ , ..., v _n son vectores ortogonales por pares en un espacio de producto interno, entonces la aplicación del teorema de Pitágoras a pares sucesivos de estos vectores (como se describe para 3 dimensiones en la sección de geometría sólida ) da como resultado la ecuación ^[58]

${\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}\right\|^{2}=\sum _{k=1}^{n}\|\mathbf {v} _{k}\|^{2}}$

Conjuntos de objetos m- dimensionales en el espacio n -dimensional

Otra generalización del teorema de Pitágoras se aplica a los conjuntos de objetos mensurables de Lebesgue en cualquier número de dimensiones. Específicamente, el cuadrado de la medida de un conjunto de objetos m -dimensionales en uno o más planos paralelos m -dimensionales en el espacio euclidiano n- dimensional es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de las proyecciones ortogonales del objeto (s ) en todos los subespacios de coordenadas m -dimensionales. ^[59]

En términos matemáticos:

${\displaystyle \mu _{ms}^{2}=\sum _{i=1}^{x}\mathbf {\mu ^{2}} _{mp_{i}}}$

dónde:

• ${\displaystyle \mu _{m}}$es una medida en m -dimensiones (una longitud en una dimensión, un área en dos dimensiones, un volumen en tres dimensiones, etc.).
• ${\displaystyle s}$es un conjunto de uno o más objetos m- dimensionales no superpuestos en uno o más planos m- dimensionales paralelos en el espacio euclidiano n- dimensional.
• ${\displaystyle \mu _{ms}}$es la medida total (suma) del conjunto de objetos m- dimensionales.
• ${\displaystyle p}$representa una proyección m- dimensional del conjunto original en un subespacio de coordenadas ortogonales.
• ${\displaystyle \mu _{mp_{i}}}$es la medida de la m proyección conjunto -dimensional en m -dimensional coordinar subespacio . Debido a que las proyecciones de objetos pueden superponerse en un subespacio de coordenadas, la medida de cada proyección de objeto en el conjunto debe calcularse individualmente, luego las medidas de todas las proyecciones se suman para proporcionar la medida total para el conjunto de proyecciones en el subespacio de coordenadas dado.${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle x}$es el número de subespacios de coordenadas ortogonales, m -dimensionales en el espacio n -dimensional ( R ⁿ ) sobre el cual se proyectan los objetos m -dimensionales ( m ≤ n ):

${\displaystyle x={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}}$

Geometría no euclidiana

Artículo principal: geometría no euclidiana

Ver también: axiomas de Hilbert

El teorema de Pitágoras se deriva de los axiomas de la geometría euclidiana y, de hecho, si el teorema de Pitágoras fallara para algún triángulo rectángulo, entonces el plano en el que está contenido este triángulo no puede ser euclidiano. Más precisamente, el teorema de Pitágoras implica, y está implícito en el Postulado (quinto) paralelo de Euclides . ^{[60] [61]} Por lo tanto, los triángulos rectángulos en una geometría no euclidiana ^[62] no satisfacen el teorema de Pitágoras. Por ejemplo, en la geometría esférica , los tres lados del triángulo rectángulo (digamos un , b , y c ) que delimita un octante de la unidad de esfera tener longitud igual a π/ 2, y todos sus ángulos son ángulos rectos, lo que viola el teorema de Pitágoras porque .${\displaystyle a^{2}+b^{2}=2c^{2}>c^{2}}$

Aquí se consideran dos casos de geometría no euclidiana: geometría esférica y geometría plana hiperbólica ; en cada caso, como en el caso euclidiano de los triángulos no rectángulos, el resultado que reemplaza al teorema de Pitágoras se deriva de la ley de cosenos apropiada.

Sin embargo, el Teorema de Pitágoras sigue siendo cierto en geometría hiperbólica y la geometría elíptica si la condición de que el triángulo sea derecha se sustituye con la condición de que dos de los ángulos suma a la tercera, por ejemplo A + B = C . Los lados se relacionan luego como sigue: la suma de las áreas de los círculos con diámetros a y b es igual al área del círculo con el diámetro c . ^[63]

Geometría esférica

Artículo principal: geometría esférica

Triángulo esférico

Para cualquier triángulo rectángulo en una esfera de radio R (por ejemplo, si γ en la figura es un ángulo recto), con lados a , b , c , la relación entre los lados toma la forma: ^[64]

${\displaystyle \cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\cos \left({\frac {b}{R}}\right).}$

Esta ecuación se puede derivar como un caso especial de la ley esférica de los cosenos que se aplica a todos los triángulos esféricos:

${\displaystyle \cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\cos \left({\frac {b}{R}}\right)+\sin \left({\frac {a}{R}}\right)\sin \left({\frac {b}{R}}\right)\cos \gamma \ .}$

Al expresar la serie de Maclaurin para la función coseno como una expansión asintótica con el término restante en notación O grande ,

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+O(x^{4}){\text{ as }}x\to 0\ ,}$

se puede demostrar que a medida que el radio R se aproxima al infinito y los argumentos a / R , b / R , y C / R tienden a cero, la relación esférica entre los lados de un triángulo rectángulo se aproxima a la forma euclidiana del teorema de Pitágoras. Sustituyendo la expansión asintótica de cada uno de los cosenos en la relación esférica de un triángulo rectángulo se obtiene

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {c}{R}}\right)^{2}+O\left({\frac {1}{R^{4}}}\right)=\left[1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {a}{R}}\right)^{2}+O\left({\frac {1}{R^{4}}}\right)\right]\left[1-{\frac {1}{2}}\left({\frac {b}{R}}\right)^{2}+O\left({\frac {1}{R^{4}}}\right)\right]{\text{ as }}R\to \infty \ .}$

Las constantes de un ⁴ , b ⁴ , y c ⁴ han sido absorbido en los grandes O términos resto ya que son independientes del radio R . Esta relación asintótica se puede simplificar aún más multiplicando las cantidades entre corchetes, cancelando las unidades, multiplicándolas por -2 y reuniendo todos los términos de error:

${\displaystyle \left({\frac {c}{R}}\right)^{2}=\left({\frac {a}{R}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{R}}\right)^{2}+O\left({\frac {1}{R^{4}}}\right){\text{ as }}R\to \infty \ .}$

Después de multiplicar por R ² , la relación pitagórica euclidiana c ² = a ² + b ² se recupera en el límite cuando el radio R se acerca al infinito (ya que el término restante tiende a cero):

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+O\left({\frac {1}{R^{2}}}\right){\text{ as }}R\to \infty \ .}$

Para triángulos rectángulos pequeños ( a , b << R ), los cosenos se pueden eliminar para evitar la pérdida de significancia , dando

${\displaystyle \sin ^{2}{\frac {c}{2R}}=\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}+\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}-2\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}\,.}$

Geometría hiperbólica

Artículo principal: geometría hiperbólica

Ver también: triángulo hiperbólico y curvatura gaussiana

Triángulo hiperbólico

En un espacio hiperbólico con curvatura uniforme −1 / R ² , para un triángulo rectángulo con catetos a , by hipotenusa c , la relación entre los lados toma la forma: ^[65]

${\displaystyle \cosh {\frac {c}{R}}=\cosh {\frac {a}{R}}\,\cosh {\frac {b}{R}}}$

donde cosh es el coseno hiperbólico . Esta fórmula es una forma especial de la ley hiperbólica de los cosenos que se aplica a todos los triángulos hiperbólicos: ^[66]

${\displaystyle \cosh {\frac {c}{R}}=\cosh {\frac {a}{R}}\ \cosh {\frac {b}{R}}-\sinh {\frac {a}{R}}\ \sinh {\frac {b}{R}}\ \cos \gamma \ ,}$

con γ el ángulo en el vértice opuesto al lado c .

Mediante el uso de la serie de Maclaurin para el coseno hiperbólico, cosh x ≈ 1 + x ² /2 , se puede demostrar que, como un triángulo hiperbólico se hace muy pequeña (es decir, como un , b , y c todo enfoque cero), el hiperbólica La relación para un triángulo rectángulo se aproxima a la forma del teorema de Pitágoras.

Para triángulos rectángulos pequeños ( a , b << R ), los cosenos hiperbólicos se pueden eliminar para evitar la pérdida de significancia , dando

${\displaystyle \sinh ^{2}{\frac {c}{2R}}=\sinh ^{2}{\frac {a}{2R}}+\sinh ^{2}{\frac {b}{2R}}+2\sinh ^{2}{\frac {a}{2R}}\sinh ^{2}{\frac {b}{2R}}\,.}$

Triángulos muy pequeños

Para cualquier curvatura uniforme K (positiva, cero o negativa), en triángulos rectángulos muy pequeños (| K | a ² , | K | b ² << 1) con hipotenusa c , se puede demostrar que

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-{\frac {K}{3}}a^{2}b^{2}-{\frac {K^{2}}{45}}a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})-{\frac {2K^{3}}{945}}a^{2}b^{2}(a^{2}-b^{2})^{2}+O(K^{4}c^{10})\,.}$

Geometría diferencial

Artículo principal: geometría diferencial

Distancia entre puntos infinitesimalmente separados en coordenadas cartesianas (arriba) y coordenadas polares (abajo), como lo indica el teorema de Pitágoras

En un nivel infinitesimal, en un espacio tridimensional, el teorema de Pitágoras describe la distancia entre dos puntos infinitesimalmente separados como:

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},}$

con ds el elemento de distancia y ( dx , dy , dz ) las componentes del vector que separa los dos puntos. Tal espacio se llama espacio euclidiano . Sin embargo, en la geometría de Riemann , una generalización de esta expresión útil para coordenadas generales (no solo cartesianas) y espacios generales (no solo euclidianos) toma la forma: ^[67]

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j}^{n}g_{ij}\,dx_{i}\,dx_{j}}$

que se llama tensor métrico . (A veces, por abuso del lenguaje, el mismo término se aplica al conjunto de coeficientes g _ij .) Puede ser una función de la posición y, a menudo, describe el espacio curvo . Un ejemplo simple es el espacio euclidiano (plano) expresado en coordenadas curvilíneas . Por ejemplo, en coordenadas polares :

${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}\ .}$

Historia

La tablilla Plimpton 322 registra triples pitagóricos de la época babilónica. ^[68]

Existe un debate sobre si el teorema de Pitágoras se descubrió una vez, o muchas veces en muchos lugares, y la fecha del primer descubrimiento es incierta, al igual que la fecha de la primera demostración. Los historiadores de las matemáticas mesopotámicas han llegado a la conclusión de que la regla pitagórica tuvo un uso generalizado durante el período babilónico antiguo (siglos XX al XVI aC), más de mil años antes del nacimiento de Pitágoras. ^{[69] [70] [71] [72]} La historia del teorema se puede dividir en cuatro partes: conocimiento de las triples pitagóricas , conocimiento de la relación entre los lados de un triángulo rectángulo , conocimiento de las relaciones entre ángulos adyacentes y demostraciones del teorema dentro de algún sistema deductivo.

Escrito entre 2000 y 1786 a. C., el Papiro egipcio de Berlín 6619 del Imperio Medio incluye un problema cuya solución es el triple pitagórico 6: 8:10, pero el problema no menciona un triángulo. La tablilla mesopotámica Plimpton 322 , escrita entre 1790 y 1750 a. C. durante el reinado de Hammurabi el Grande, contiene muchas entradas estrechamente relacionadas con las tripletas pitagóricas.

En la India , el Baudhayana Shulba Sutra , cuyas fechas se dan de forma diversa entre los siglos VIII y V aC, ^[73] contiene una lista de triples pitagóricos y un enunciado del teorema de Pitágoras, ambos en el caso especial de la derecha isósceles. triángulo y, en el caso general, como lo hace el Apastamba Shulba Sutra (c. 600 aC). Van der Waerden creía que este material "ciertamente se basaba en tradiciones anteriores". Carl Boyer afirma que el teorema de Pitágoras en el Śulba-sũtram puede haber sido influenciado por las antiguas matemáticas mesopotámicas, pero no hay evidencia concluyente a favor u oposición de esta posibilidad.^[74]

Proclo , escribiendo en el siglo V d. C., establece dos reglas aritméticas, "una de ellas atribuida a Platón, la otra a Pitágoras", ^[75] para generar triples pitagóricos especiales. La regla atribuida a Pitágoras ( c.  570  - c.  495 aC ) comienza con un número impar y produce un triple con cateto e hipotenusa que difieren en una unidad; la regla atribuida a Platón (428/427 o 424/423 - 348/347 aC) parte de un número par y produce un triple con cateto e hipotenusa que difieren en dos unidades. Según Thomas L. Heath(1861-1940), no existe una atribución específica del teorema a Pitágoras en la literatura griega sobreviviente de los cinco siglos posteriores a la vida de Pitágoras. ^[76] Sin embargo, cuando autores como Plutarco y Cicerón atribuyeron el teorema a Pitágoras, lo hicieron de una manera que sugiere que la atribución era ampliamente conocida e indudable. ^{[77] [78] El} clasicista Kurt von Fritz escribió: "Si esta fórmula se atribuye correctamente a Pitágoras personalmente, se puede asumir con seguridad que pertenece al período más antiguo de las matemáticas pitagóricas". ^[36] Alrededor del 300 a. C., en Elementos de Euclides , la prueba axiomática más antigua existentedel teorema. ^[79]

Demostración geométrica del teorema de Pitágoras del Zhoubi Suanjing .

Con contenidos conocidos mucho antes, pero en textos supervivientes que datan aproximadamente del siglo I a.C., el texto chino Zhoubi Suanjing (周 髀 算 经), ( El Clásico aritmético de los Gnomon y los caminos circulares del cielo ) da un razonamiento para los pitagóricos. teorema del triángulo (3, 4, 5); en China se le llama " teorema de Gougu" (勾股定理). ^{[80] [81]} Durante la dinastía Han (202 a. C. a 220 d. C.), aparecen triples pitagóricos en Los nueve capítulos sobre el arte matemático , ^[82] junto con una mención de triángulos rectángulos. ^[83] Algunos creen que el teorema surgió primero en China , ^[84]donde se conoce alternativamente como el " teorema de Shang Gao " (商 高 定理), ^[85] nombrado en honor al astrónomo y matemático del duque de Zhou, cuyo razonamiento compuso la mayor parte de lo que estaba en el Zhoubi Suanjing . ^[86]

Ver también

• En Dulcarnon
• Teorema de la bandera británica
• Último teorema de Fermat
• Teorema de Pitágoras inverso
• Triángulo de Kepler
• Álgebra lineal
• Lista de temas de triángulos
• L p espacio
• Número sin hipotenusa
• Ley del paralelogramo
• La identidad de Parseval
• Teorema de ptolomeo
• Expectativa pitagórica
• Azulejos pitagóricos
• Trigonometría racional en el teorema de Pitágoras

Notas

1. Judith D. Sally; Paul Sally (2007). "Capítulo 3: Triples pitagóricos" . Raíces de la investigación: desarrollo vertical de problemas matemáticos . Librería de la Sociedad Americana de Matemáticas. pag. 63. ISBN 978-0-8218-4403-8.
2. Benson, Donald. El momento de la prueba: epifanías matemáticas , págs. 172-173 (Oxford University Press, 1999).
3. Euclides (1956) , págs. 351–352
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enlaces externos

• Teorema de Pitágoras en ProofWiki

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con el teorema de Pitágoras .

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• Tema de historia: el teorema de Pitágoras en las matemáticas babilónicas
• Enlaces interactivos:
  • Prueba interactiva en Java del teorema de Pitágoras
  • Otra demostración interactiva en Java del teorema de Pitágoras
  • Teorema de Pitágoras con animación interactiva
  • Teorema de Pitágoras animado, no algebraico y al ritmo del usuario
• Demostración del agua del teorema de Pitágoras en YouTube
• Teorema de Pitágoras (más de 70 demostraciones de cortar el nudo )
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Pitágoras" . MathWorld .