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En álgebra , una ecuación cuadrática (del latín cuadrado para " cuadrado ") es cualquier ecuación que se puede reorganizar en forma estándar como

donde x representa un desconocido , y un , b , y c representan números conocidos, donde una ≠ 0 . Si a = 0 , entonces la ecuación es lineal , no cuadrática, ya que no hay término. Los números de una , b , y c son los coeficientes de la ecuación y se pueden distinguir llamando a ellos, respectivamente, el coeficiente cuadrático , el coeficiente lineal y la constante o término libre . [1]

Los valores de x que satisfacen la ecuación se denominan soluciones de la ecuación y raíces o ceros de la expresión en su lado izquierdo. Una ecuación cuadrática tiene como máximo dos soluciones. Si no hay una solución real , hay dos soluciones complejas . Si solo hay una solución, se dice que es una raíz doble . Una ecuación cuadrática siempre tiene dos raíces, si se incluyen raíces complejas y una raíz doble se cuenta por dos. Una ecuación cuadrática se puede factorizar en una ecuación equivalente

donde r y s son las soluciones para x . Completando el cuadrado en una ecuación cuadrática en forma resultados estándar en la fórmula cuadrática , que expresa las soluciones en términos de un , b , y c . Las soluciones a problemas que pueden expresarse en términos de ecuaciones cuadráticas se conocían ya en el año 2000 a. C.

Debido a que la ecuación cuadrática involucra solo una incógnita, se le llama " univariante ". La ecuación cuadrática contiene solo potencias de x que son números enteros no negativos y, por lo tanto, es una ecuación polinomial . En particular, es una ecuación polinomial de segundo grado , ya que la mayor potencia es dos.

Resolver la ecuación cuadrática [ editar ]

Figura 1. Gráficos de la función cuadrática y = ax 2 + bx + c , variando cada coeficiente por separado mientras los otros coeficientes son fijos (en valores a  = 1, b  = 0, c  = 0)

Una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos tiene dos soluciones, llamadas raíces . Estas dos soluciones pueden ser distintas o no, y pueden ser reales o no.

Factorización por inspección [ editar ]

Es posible expresar una ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 como un producto ( px + q ) ( rx + s ) = 0 . En algunos casos, es posible, mediante inspección simple, para determinar los valores de p , q , r, y s que hacen que las dos formas equivalentes entre sí. Si la ecuación cuadrática se escribe en la segunda forma, entonces la "Propiedad del factor cero" establece que la ecuación cuadrática se satisface si px + q = 0 o rx + s= 0 . Resolver estas dos ecuaciones lineales proporciona las raíces de la cuadrática.

Para la mayoría de los estudiantes, la factorización por inspección es el primer método para resolver ecuaciones cuadráticas a las que están expuestos. [2] : 202–207 Si a uno se le da una ecuación cuadrática en la forma x 2 + bx + c = 0 , la factorización buscada tiene la forma ( x + q ) ( x + s ) , y uno tiene que encontrar dos números q y s que se suman a b y cuya es producto c (esto a veces se llama "regla de Vieta" [3] y se relaciona con fórmulas de Vieta ). Por ejemplo, x 2 + 5 x + 6 se factoriza como ( x + 3) ( x + 2) . El caso más general en el que a no es igual a 1 puede requerir un esfuerzo considerable de prueba y error, suponiendo que se pueda factorizar mediante inspección.

Excepto en casos especiales como b = 0 o c = 0 , la factorización por inspección solo funciona para ecuaciones cuadráticas que tienen raíces racionales. Esto significa que la gran mayoría de ecuaciones cuadráticas que surgen en aplicaciones prácticas no se pueden resolver mediante la factorización por inspección. [2] : 207

Completando el cuadrado [ editar ]

La Figura 2. Para la función cuadrática y = x 2 - x - 2 , los puntos donde la gráfica cruza el x eje x, x = -1 y x = 2 , son las soluciones de la ecuación cuadrática x 2 - x - 2 = 0 .

El proceso de completar el cuadrado hace uso de la identidad algebraica

que representa un algoritmo bien definido que se puede utilizar para resolver cualquier ecuación cuadrática. [2] : 207 Comenzando con una ecuación cuadrática en forma estándar, ax 2 + bx + c = 0

  1. Divida cada lado por a , el coeficiente del término al cuadrado.
  2. Resta el término constante c / a de ambos lados.
  3. Suma el cuadrado de la mitad de b / a , el coeficiente de x , a ambos lados. Esto "completa el cuadrado", convirtiendo el lado izquierdo en un cuadrado perfecto.
  4. Escribe el lado izquierdo como un cuadrado y simplifica el lado derecho si es necesario.
  5. Produzca dos ecuaciones lineales equiparando la raíz cuadrada del lado izquierdo con las raíces cuadradas positivas y negativas del lado derecho.
  6. Resuelve cada una de las dos ecuaciones lineales.

Ilustramos el uso de este algoritmo resolviendo 2 x 2 + 4 x - 4 = 0

El símbolo más-menos "±" indica que tanto x = −1 + 3 como x = −1 - 3 son soluciones de la ecuación cuadrática. [4]

Fórmula cuadrática y su derivación [ editar ]

Completar el cuadrado se puede usar para derivar una fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas, llamada fórmula cuadrática. [5] La demostración matemática se resumirá ahora brevemente. [6] Puede verse fácilmente, por expansión polinomial , que la siguiente ecuación es equivalente a la ecuación cuadrática:

Tomando la raíz cuadrada de ambos lados y aislando x , se obtiene:

Algunas fuentes, particularmente las más antiguas, usan parametrizaciones alternativas de la ecuación cuadrática como ax 2 + 2 bx + c = 0 o ax 2 - 2 bx + c = 0  , [7] donde b tiene una magnitud la mitad de la más común uno, posiblemente con signo opuesto. Estos dan como resultado formas ligeramente diferentes para la solución, pero por lo demás son equivalentes.

En la literatura se pueden encontrar varias derivaciones alternativas . Estas demostraciones son más simples que el método estándar de completar el cuadrado, representan aplicaciones interesantes de otras técnicas de álgebra de uso frecuente u ofrecen información sobre otras áreas de las matemáticas.

Una fórmula cuadrática menos conocida, como se usa en el método de Muller, proporciona las mismas raíces a través de la ecuación

Esto se puede deducir de la fórmula cuadrática estándar mediante las fórmulas de Vieta , que afirman que el producto de las raíces es c / a .

Una propiedad de esta forma es que produce una raíz válida cuando a = 0 , mientras que la otra raíz contiene división por cero, porque cuando a = 0 , la ecuación cuadrática se convierte en una ecuación lineal, que tiene una raíz. Por el contrario, en este caso, la fórmula más común tiene una división por cero para una raíz y una forma indeterminada 0/0 para la otra raíz. Por otro lado, cuando c = 0 , la fórmula más común produce dos raíces correctas mientras que esta forma produce la raíz cero y una forma indeterminada 0/0 .

Ecuación cuadrática reducida [ editar ]

A veces es conveniente reducir una ecuación cuadrática para que su coeficiente principal sea ​​uno. Esto se hace dividiendo ambos lados por a , lo cual siempre es posible ya que a no es cero. Esto produce la ecuación cuadrática reducida : [8]

donde p = b / a y q = c / a . Esta ecuación mónica tiene las mismas soluciones que la original.

La fórmula cuadrática para las soluciones de la ecuación cuadrática reducida, escrita en términos de sus coeficientes, es:

o equivalente:

Discriminante [ editar ]

Figura 3. Signos discriminantes

En la fórmula cuadrática, la expresión debajo del signo de la raíz cuadrada se denomina discriminante de la ecuación cuadrática y, a menudo, se representa con una D mayúscula o un delta griego en mayúsculas : [9]

Una ecuación cuadrática con coeficientes reales puede tener una o dos raíces reales distintas, o dos raíces complejas distintas. En este caso, el discriminante determina el número y la naturaleza de las raíces. Hay tres casos:

  • Si el discriminante es positivo, entonces hay dos raíces distintas
ambos son números reales. Para las ecuaciones cuadráticas con coeficientes racionales , si el discriminante es un número cuadrado , entonces las raíces son racionales; en otros casos, pueden ser irracionales cuadráticas .
  • Si el discriminante es cero, entonces hay exactamente una raíz real
a veces llamado raíz repetida o doble .
  • Si el discriminante es negativo, entonces no hay raíces reales. Más bien, hay dos raíces complejas distintas (no reales) [10]
que son conjugados complejos entre sí. En estas expresiones, i es la unidad imaginaria .

Por lo tanto, las raíces son distintas si y solo si el discriminante es distinto de cero, y las raíces son reales si y solo si el discriminante no es negativo.

Interpretación geométrica [ editar ]

Gráfico de y = ax 2 + bx + c , donde a y el discriminante b 2 - 4 ac son positivos, con
  • Raíces e intersección en y en rojo
  • Vértice y eje de simetría en azul
  • Foco y directriz en rosa
Visualización de las raíces complejas de y = ax 2 + bx + c : la parábola se gira 180 ° alrededor de su vértice ( naranja ). Sus intersecciones x se giran 90 ° alrededor de su punto medio y el plano cartesiano se interpreta como el plano complejo ( verde ). [11]

La función f ( x ) = ax 2 + bx + c es una función cuadrática . [12] La gráfica de cualquier función cuadrática tiene la misma forma general, que se llama parábola . La ubicación y el tamaño de la parábola, y cómo se abre, dependen de los valores de una , b , y c . Como se muestra en la Figura 1, si a > 0 , la parábola tiene un punto mínimo y se abre hacia arriba. Si un <0, la parábola tiene un punto máximo y se abre hacia abajo. El punto extremo de la parábola, ya sea mínimo o máximo, corresponde a su vértice . La coordenada x del vértice se ubicará en , y la coordenada y del vértice se puede encontrar sustituyendo este valor x en la función. La intersección con el eje y está ubicada en el punto (0, c ) .

Las soluciones de la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 corresponden a las raíces de la función f ( x ) = ax 2 + bx + c , ya que son los valores de x para los cuales f ( x ) = 0 . Como se muestra en la Figura 2, si un , b , y c son números reales y el dominio de f es el conjunto de números reales, entonces las raíces de fson exactamente los x - coordenadas de los puntos donde la gráfica toca la x eje x. Como se muestra en la Figura 3, si el discriminante es positivo, la gráfica toca el eje x en dos puntos; si es cero, el gráfico toca en un punto; y si es negativo, la gráfica no toca el eje x .

Factorización cuadrática [ editar ]

El termino

es un factor del polinomio

si y solo si r es una raíz de la ecuación cuadrática

De la fórmula cuadrática se deduce que

En el caso especial b 2 = 4 ac donde la cuadrática tiene solo una raíz distinta ( es decir, el discriminante es cero), el polinomio cuadrático se puede factorizar como

Solución gráfica [ editar ]

Figura 4. Cálculo con calculadora gráfica de una de las dos raíces de la ecuación cuadrática 2 x 2 + 4 x - 4 = 0 . Aunque la pantalla muestra sólo cinco cifras significativas de precisión, el valor recuperado de xc es 0,732050807569, con una precisión de doce cifras significativas.
Una función cuadrática sin raíz real: y = ( x - 5) 2 + 9 . El "3" es la parte imaginaria de la intersección con el eje x . La parte real es la coordenada x del vértice. Por tanto, las raíces son 5 ± 3 i .

Las soluciones de la ecuación cuadrática

se puede deducir de la gráfica de la función cuadrática

que es una parábola .

Si la parábola interseca el eje x en dos puntos, hay dos raíces reales , que son las coordenadas x de estos dos puntos (también llamado intersección x ).

Si la parábola es tangente al eje x , hay una raíz doble, que es la coordenada x del punto de contacto entre la gráfica y la parábola.

Si la parábola no se cruza con el eje x , hay dos raíces conjugadas complejas . Aunque estas raíces no se pueden visualizar en el gráfico, sus partes reales e imaginarias pueden serlo. [13]

Sean h y k, respectivamente, la coordenada x y la coordenada y del vértice de la parábola (que es el punto con la coordenada y máxima o mínima . La función cuadrática se puede reescribir

Sea d la distancia entre el punto de la coordenada y 2 k en el eje de la parábola, y un punto de la parábola con la misma coordenada y (ver la figura; hay dos de esos puntos, que dan la misma distancia, debido a la simetría de la parábola). Entonces la parte real de las raíces es h , y su parte imaginaria es ± d . Es decir, las raíces son

o en el caso del ejemplo de la figura

Evitando la pérdida de importancia [ editar ]

Aunque la fórmula cuadrática proporciona una solución exacta, el resultado no es exacto si los números reales se aproximan durante el cálculo, como es habitual en el análisis numérico , donde los números reales se aproximan mediante números de punto flotante (llamados "reales" en muchos lenguajes de programación ). En este contexto, la fórmula cuadrática no es completamente estable .

Esto ocurre cuando las raíces tienen un orden de magnitud diferente o, de manera equivalente, cuando b 2 y b 2 - 4 ac tienen una magnitud cercana. En este caso, la resta de dos números casi iguales provocará una pérdida de importancia o una cancelación catastrófica en la raíz más pequeña. Para evitar esto, la raíz de menor magnitud, r , se puede calcular como donde R es la raíz de mayor magnitud.

Una segunda forma de cancelación puede ocurrir entre los términos b 2 y 4 ac del discriminante, es decir, cuando las dos raíces están muy cerca. Esto puede provocar la pérdida de hasta la mitad de las cifras significativas correctas en las raíces. [7] [14]

Ejemplos y aplicaciones [ editar ]

La trayectoria del saltador de acantilado es parabólica porque el desplazamiento horizontal es una función lineal del tiempo , mientras que el desplazamiento vertical es una función cuadrática del tiempo . Como resultado, la trayectoria sigue una ecuación cuadrática , donde y son componentes horizontal y vertical de la velocidad original, a es la aceleración gravitacional y h es la altura original. La un valor debe ser considerado negativo aquí, como su dirección (hacia abajo) es opuesta a la medida de altura (hacia arriba).

La proporción áurea se encuentra como la solución positiva de la ecuación cuadrática.

Las ecuaciones del círculo y las otras secciones cónicas ( elipses , parábolas e hipérbolas) son ecuaciones cuadráticas en dos variables.

Dado el coseno o seno de un ángulo, encontrar el coseno o seno del ángulo que es la mitad de grande implica resolver una ecuación cuadrática.

El proceso de simplificar expresiones que involucran la raíz cuadrada de una expresión que involucra la raíz cuadrada de otra expresión involucra encontrar las dos soluciones de una ecuación cuadrática.

El teorema de Descartes establece que por cada cuatro círculos de besos (mutuamente tangentes), sus radios satisfacen una ecuación cuadrática particular.

La ecuación propuesta por alboroto teorema , dando a la relación entre el radio de un bicéntrico cuadrilátero 's círculo inscrito , el radio de su círculo circunscrito , y la distancia entre los centros de los círculos, se puede expresar como una ecuación cuadrática para el cual el La distancia entre los centros de los dos círculos en términos de sus radios es una de las soluciones. La otra solución de la misma ecuación en términos de los radios relevantes da la distancia entre el centro del círculo circunscrito y el centro del excirculo de un cuadrilátero ex-tangencial .

Los puntos críticos de una función cúbica y los puntos de inflexión de una función cuártica se encuentran resolviendo una ecuación cuadrática.

Historia [ editar ]

Los matemáticos babilónicos , ya en el año 2000 a. C. (mostrados en tablillas de arcilla del Antiguo Babilonia ) podían resolver problemas relacionados con las áreas y los lados de los rectángulos. Existe evidencia que data de este algoritmo desde la Tercera Dinastía de Ur . [15] En notación moderna, los problemas típicamente involucraban resolver un par de ecuaciones simultáneas de la forma:

que es equivalente a la afirmación de que x y y son las raíces de la ecuación: [16] : 86

Los pasos dados por escribas babilónicos para resolver el anterior problema rectángulo, en términos de x y y , fueron como sigue:

  1. Calcule la mitad de p .
  2. Cuadre el resultado.
  3. Restar q .
  4. Encuentra la raíz cuadrada (positiva) usando una tabla de cuadrados.
  5. Sume los resultados de los pasos (1) y (4) para obtener x .

En notación moderna, esto significa calcular , que es equivalente a la fórmula cuadrática de hoy en día para la raíz real más grande (si la hay) con a = 1 , b = - p y c = q .

Se utilizaron métodos geométricos para resolver ecuaciones cuadráticas en Babilonia, Egipto, Grecia, China e India. El Papiro egipcio de Berlín , que se remonta al Reino Medio (2050 a. C. a 1650 a. C.), contiene la solución de una ecuación cuadrática de dos términos. [17] Los matemáticos babilónicos de alrededor del 400 a. C. y los matemáticos chinos de alrededor del 200 a. C. utilizaron métodos geométricos de disección para resolver ecuaciones cuadráticas con raíces positivas. [18] [19] Las reglas para las ecuaciones cuadráticas se dieron en Los nueve capítulos sobre el arte matemático , un tratado chino sobre matemáticas. [19] [20]Estos primeros métodos geométricos no parecen haber tenido una fórmula general. Euclides , el matemático griego , produjo un método geométrico más abstracto alrededor del 300 a. C. Con un enfoque puramente geométrico, Pitágoras y Euclides crearon un procedimiento general para encontrar soluciones de la ecuación cuadrática. En su obra Arithmetica , el matemático griego Diofanto resolvió la ecuación cuadrática, pero dando solo una raíz, incluso cuando ambas raíces eran positivas. [21]

En 628 d. C., Brahmagupta , un matemático indio , dio la primera solución explícita (aunque todavía no completamente general) de la ecuación cuadrática ax 2 + bx = c de la siguiente manera: "Al número absoluto multiplicado por cuatro veces el [coeficiente de] cuadrado, suma el cuadrado del [coeficiente del] término medio; la raíz cuadrada del mismo, menos el [coeficiente del] término medio, se divide por dos veces el [coeficiente del] cuadrado es el valor ". ( Brahmasphutasiddhanta , traducción de Colebrook, 1817, página 346) [16] : 87 Esto es equivalente a:

El Manuscrito Bakhshali escrito en India en el siglo VII d.C. contenía una fórmula algebraica para resolver ecuaciones cuadráticas, así como ecuaciones cuadráticas indeterminadas (originalmente de tipo ax / c = y [ aclaración necesaria : esto es lineal, no cuadrático ] ). Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi ( Persia , siglo IX), inspirado por Brahmagupta, [ ¿investigación original? ]desarrolló un conjunto de fórmulas que funcionaron para obtener soluciones positivas. Al-Khwarizmi va más allá al proporcionar una solución completa a la ecuación cuadrática general, aceptando una o dos respuestas numéricas para cada ecuación cuadrática, mientras proporciona demostraciones geométricas en el proceso. [22] También describió el método para completar el cuadrado y reconoció que el discriminante debe ser positivo, [22] [23] : 230 que fue probado por su contemporáneo 'Abd al-Hamīd ibn Turk (Asia Central, siglo IX) quien dio figuras geométricas para demostrar que si el discriminante es negativo, una ecuación cuadrática no tiene solución. [23] : 234Si bien el propio al-Khwarizmi no aceptó soluciones negativas, los matemáticos islámicos posteriores que lo sucedieron aceptaron soluciones negativas, [22] : 191 , así como números irracionales como soluciones. [24] Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (Egipto, siglo X) en particular fue el primero en aceptar números irracionales (a menudo en forma de raíz cuadrada , raíz cúbica o cuarta raíz ) como soluciones a ecuaciones cuadráticas o como coeficientes en una ecuación. . [25] El matemático indio del siglo IX, Sridhara, escribió reglas para resolver ecuaciones cuadráticas.[26]

El matemático judío Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (siglo XII, España) fue el autor del primer libro europeo que incluyó la solución completa de la ecuación cuadrática general. [27] Su solución se basó en gran medida en el trabajo de Al-Khwarizmi. [22] La escritura del matemático chino Yang Hui (1238-1298 d. C.) es la primera conocida en la que aparecen ecuaciones cuadráticas con coeficientes negativos de 'x', aunque lo atribuye al anterior Liu Yi . [28] Hacia 1545, Gerolamo Cardano compiló los trabajos relacionados con las ecuaciones cuadráticas. La fórmula cuadrática que cubre todos los casos fue obtenida por primera vez por Simon Stevin en 1594. [29]En 1637, René Descartes publicó La Géométrie que contiene la fórmula cuadrática en la forma que conocemos hoy.

Temas avanzados [ editar ]

Métodos alternativos de cálculo de raíces [ editar ]

Fórmulas de Vieta [ editar ]

Figura 5. Gráfico de la diferencia entre la aproximación de Vieta para la menor de las dos raíces de la ecuación cuadrática x 2 + bx + c = 0 en comparación con el valor calculado usando la fórmula cuadrática. La aproximación de Vieta es inexacta para b pequeña pero es precisa para b grande . La evaluación directa que utiliza la fórmula cuadrática es precisa para b pequeña con raíces de valor comparable, pero experimenta errores de pérdida de significancia para b grandes y raíces muy espaciadas. La diferencia entre la aproximación de Vieta versus el cálculo directo alcanza un mínimo en los puntos grandes y el redondeo provoca garabatos en las curvas más allá de este mínimo.

Las fórmulas de Vieta dan una relación simple entre las raíces de un polinomio y sus coeficientes. Las raíces del polinomio cuadrático satisfacen

Estos resultados se derivan inmediatamente de la relación:

que se puede comparar término por término con

La primera fórmula anterior produce una expresión conveniente al graficar una función cuadrática. Dado que la gráfica es simétrica con respecto a una línea vertical que pasa por el vértice , cuando hay dos raíces reales, la coordenada x del vértice se ubica en el promedio de las raíces (o intersecciones). Así, la coordenada x del vértice viene dada por la expresión

La coordenada y se puede obtener sustituyendo el resultado anterior en la ecuación cuadrática dada, dando

En la práctica, las fórmulas de Vieta proporcionan un método útil para encontrar las raíces de una cuadrática en el caso de que una raíz sea mucho más pequeña que la otra. Si | x 2 | << | x 1 | , entonces x 1 + x 2x 1 , y tenemos la estimación:

La segunda fórmula de Vieta proporciona:

Estas fórmulas son mucho más fáciles de evaluar que la fórmula cuadrática bajo la condición de una raíz grande y una pequeña, porque la fórmula cuadrática evalúa la raíz pequeña como la diferencia de dos números casi iguales (el caso de la b grande ), lo que provoca que la raíz sea redonda -Error de apagado en una evaluación numérica. La Figura 5 muestra la diferencia entre (i) una evaluación directa usando la fórmula cuadrática (precisa cuando las raíces están cerca de la otra en valor) y (ii) una evaluación basada en la aproximación anterior de las fórmulas de Vieta (precisa cuando las raíces están muy espaciadas ). A medida que aumenta el coeficiente lineal b , inicialmente la fórmula cuadrática es precisa y la fórmula aproximada mejora en precisión, lo que lleva a una diferencia menor entre los métodos comob aumenta. Sin embargo, en algún momento la fórmula cuadrática comienza a perder precisión debido al error de redondeo, mientras que el método aproximado continúa mejorando. En consecuencia, la diferencia entre los métodos comienza a aumentar a medida que la fórmula cuadrática empeora cada vez más.

Esta situación surge comúnmente en el diseño de amplificadores, donde se desean raíces muy separadas para asegurar un funcionamiento estable (ver respuesta escalonada ).

Solución trigonométrica [ editar ]

En los días previos a las calculadoras, la gente usaba tablas matemáticas —listas de números que muestran los resultados del cálculo con diferentes argumentos — para simplificar y acelerar el cálculo. Las tablas de logaritmos y funciones trigonométricas eran comunes en los libros de texto de matemáticas y ciencias. Se publicaron tablas especializadas para aplicaciones como astronomía, navegación celeste y estadística. Existían métodos de aproximación numérica, llamados prostoféresis , que ofrecían atajos en torno a operaciones que consumían mucho tiempo, como la multiplicación y la toma de poderes y raíces. [30] Los astrónomos, especialmente, estaban interesados ​​en métodos que pudieran acelerar la larga serie de cálculos involucrados en los cálculos de la mecánica celeste .

Es dentro de este contexto que podemos entender el desarrollo de medios para resolver ecuaciones cuadráticas con la ayuda de la sustitución trigonométrica. Considere la siguiente forma alternativa de la ecuación cuadrática,

[1]  

donde se elige el signo del símbolo ± modo que una y c ambos pueden ser positivo. Sustituyendo

[2]  

y luego multiplicando por cos 2 θ , obtenemos

[3]  

Introduciendo funciones de 2 θ y reordenando, obtenemos

[4]  

[5]  

donde los subíndices n y p corresponden, respectivamente, al uso de un signo negativo o positivo en la ecuación [1] . Sustituyendo los dos valores de θ n o θ p encontró partir de las ecuaciones [4] o [5] en [2] da las raíces solicitada de [1] . Las raíces complejas ocurren en la solución basada en la ecuación [5] si el valor absoluto de sen 2 θ pexcede la unidad. La cantidad de esfuerzo involucrado en la resolución de ecuaciones cuadráticas usando esta estrategia mixta de búsqueda de tablas trigonométricas y logarítmicas fue dos tercios del esfuerzo usando solo tablas logarítmicas. [31] El cálculo de raíces complejas requeriría el uso de una forma trigonométrica diferente. [32]

Para ilustrar, supongamos que teníamos disponibles tablas trigonométricas y de logaritmos de siete lugares, y deseamos resolver lo siguiente con una precisión de seis cifras significativas:
  1. Una tabla de búsqueda de siete lugares puede tener solo 100.000 entradas, y calcular los resultados intermedios en siete lugares generalmente requeriría la interpolación entre las entradas adyacentes.
  2. (redondeado a seis cifras significativas)

Solución para raíces complejas en coordenadas polares [ editar ]

Si la ecuación de segundo grado con coeficientes reales tiene dos raíces-la complejos caso en que requiere una y c para tener el mismo signo que el uno al otro, entonces las soluciones para las raíces puede ser expresado en forma polar como [33]

donde y

Solución geométrica [ editar ]

Figura 6. Solución geométrica de ax 2 + bx + c = 0 usando el método de Lill. Las soluciones son −AX1 / SA, −AX2 / SA

La ecuación cuadrática se puede resolver geométricamente de varias formas. Una forma es a través del método de Lill . Los tres coeficientes a , b , c se dibujan con ángulos rectos entre ellos como en SA, AB y BC en la Figura 6. Se dibuja un círculo con el punto inicial y final SC como diámetro. Si esto corta la línea media AB de las tres, entonces la ecuación tiene una solución, y las soluciones están dadas por el negativo de la distancia a lo largo de esta línea desde A dividido por el primer coeficiente a o SA. Si a es 1, los coeficientes se pueden leer directamente. Por tanto, las soluciones en el diagrama son −AX1 / SA y −AX2 / SA. [34]

Círculo de Carlyle de la ecuación cuadrática x 2  -  sx  +  p  = 0.

El círculo de Carlyle , llamado así por Thomas Carlyle , tiene la propiedad de que las soluciones de la ecuación cuadrática son las coordenadas horizontales de las intersecciones del círculo con el eje horizontal . [35] Los círculos de Carlyle se han utilizado para desarrollar construcciones con regla y compás de polígonos regulares .

Generalización de la ecuación cuadrática [ editar ]

La fórmula y su derivación permanecen correcta si los coeficientes de un , b y c son números complejos , o más generalmente miembros de cualquier campo cuya característica no es 2 . (En un campo de característica 2, el elemento 2 a es cero y es imposible dividirlo).

El símbolo

en la fórmula debe entenderse como "cualquiera de los dos elementos cuyo cuadrado es b 2 - 4 ac , si tales elementos existen". En algunos campos, algunos elementos no tienen raíces cuadradas y otros tienen dos; solo cero tiene solo una raíz cuadrada, excepto en los campos de la característica 2 . Incluso si un campo no contiene una raíz cuadrada de algún número, siempre hay un campo de extensión cuadrático que sí, por lo que la fórmula cuadrática siempre tendrá sentido como fórmula en ese campo de extensión.

Característica 2 [ editar ]

En un campo de característica 2 , la fórmula cuadrática, que se basa en que 2 es una unidad , no se cumple. Considere el polinomio cuadrático monic

sobre un campo de característica 2 . Si b = 0 , entonces la solución se reduce a extraer una raíz cuadrada, por lo que la solución es

y solo hay una raíz desde

En resumen,

Consulte el residuo cuadrático para obtener más información sobre la extracción de raíces cuadradas en campos finitos.

En el caso de que b ≠ 0 , hay dos raíces distintas, pero si el polinomio es irreducible , no se pueden expresar en términos de raíces cuadradas de números en el campo de coeficientes. En su lugar, defina la raíz 2 R ( c ) de c como una raíz del polinomio x 2 + x + c , un elemento del campo de división de ese polinomio. Se verifica que R ( c ) + 1 también es una raíz. En términos de la operación de 2 raíces, las dos raíces de la cuadrática (no monica) ax 2 + bx+ c son

y

Por ejemplo, supongamos que a denota un generador multiplicativo del grupo de unidades de F 4 , el campo de Galois de orden cuatro (por lo tanto, a y a + 1 son raíces de x 2 + x + 1 sobre F 4. Porque ( a + 1) 2 = a , a + 1 es la única solución de la ecuación cuadrática x 2 + a = 0. Por otro lado, el polinomio x 2 + ax + 1es irreducible sobre F 4 , pero se divide sobre F 16 , donde tiene las dos raíces ab y ab + a , donde b es una raíz de x 2 + x + a en F 16 .

Este es un caso especial de la teoría de Artin-Schreier .

Ver también [ editar ]

  • Resolver ecuaciones cuadráticas con fracciones continuas
  • Ecuación lineal
  • Función cúbica
  • Ecuación cuartica
  • Ecuación quíntica
  • Teorema fundamental del álgebra

Referencias [ editar ]

  1. ^ Protters & Morrey: "Cálculo y geometría analítica. Primer curso".
  2. ↑ a b c Washington, Allyn J. (2000). Matemáticas Técnicas Básicas con Cálculo, Séptima Edición . Addison Wesley Longman, Inc. ISBN 978-0-201-35666-3.
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  4. ^ Sterling, Mary Jane (2010), Álgebra I para tontos , Wiley Publishing, p. 219, ISBN 978-0-470-55964-2
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  8. Alenit͡syn, Aleksandr y Butikov, Evgeniĭ. Manual conciso de matemáticas y física , p. 38 (CRC Press 1997)
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Enlaces externos [ editar ]

  • "Ecuación cuadrática" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
  • Weisstein, Eric W. "Ecuaciones cuadráticas" . MathWorld .
  • 101 usos de una ecuación cuadrática
  • 101 usos de una ecuación cuadrática: Parte II