Un cuarto de coma significaba uno , o 1 ⁄ 4 -coma significa uno , era el temperamento más común de significado uno en los siglos XVI y XVII, y algunas veces se usó más tarde. En este sistema, la quinta perfecta se aplana con un cuarto de coma sintónica (81:80), con respecto a su entonación justa utilizada en la afinación pitagórica ( relación de frecuencia 3: 2); el resultado es, o una quinta parte de centavos. (La duodécima potencia de ese valor es 125, mientras que 7 octavas es 128, por lo que caecentavos cortos.) Esta quinta luego se itera para generar la escala diatónica y otras notas del temperamento. El propósito es obtener tercios mayores justamente entonados (con una relación de frecuencia igual a 5: 4 ). Pietro Aron lo describió en su Toscanello de la Musica de 1523, diciendo que los tercios mayores debían estar afinados para ser "sonoros y justos, lo más unidos posible". Los teóricos posteriores Gioseffo Zarlino y Francisco de Salinas describieron la afinación con exactitud matemática.
Construcción
En una afinación media, tenemos diferentes semitonos cromáticos y diatónicos ; el semitono cromático es la diferencia entre C y C #, y el semitono diatónico es la diferencia entre C y Db. En la afinación pitagórica, el semitono diatónico a menudo se llama limma pitagórico y el semitono cromático apótomo pitagórico , pero en la afinación pitagórica el apótomo es más grande, mientras que en la media coma 1/4 el limma es más grande. Dicho de otra manera, en la afinación pitagórica tenemos que C # es más alto que Db, mientras que en 1/4 de coma significa que tenemos C # es más bajo que Db.
En cualquier afinación significada o pitagórica, un tono completo se compone de un semitono de cada tipo, un tercio mayor son dos tonos completos y, por lo tanto, consta de dos semitonos de cada tipo, una quinta perfecta de un tono medio contiene cuatro semitonos diatónicos y tres cromáticos, y una octava siete semitonos diatónicos y cinco cromáticos, se deduce que:
- Cinco quintos hacia abajo y tres octavas hacia arriba forman un semitono diatónico, de modo que el limma pitagórico se templa a un semitono diatónico.
- Dos quintos arriba y una octava abajo forman un tono completo que consta de un semitono diatónico y uno cromático.
- Cuatro quintos arriba y dos octavas abajo forman un tercio mayor, que consta de dos semitonos diatónicos y dos cromáticos, o en otras palabras, dos tonos completos.
Por lo tanto, en la afinación pitagórica, donde se usan secuencias de solo quintas ( relación de frecuencia 3: 2) y octavas para producir los otros intervalos, un tono completo es
y un tercio mayor es
- la diferencia es la coma sintónica , 81/80.
Un intervalo de un decimoséptimo, que consta de dieciséis semitonos diatónicos y doce cromáticos, como el intervalo de D 4 a F ♯ 6 , se puede obtener de forma equivalente utilizando ya sea
- una pila de cuatro quintos (por ejemplo, D 4 –A 4 –E 5 –B 5 –F ♯ 6 ), o
- una pila de dos octavas y una tercera mayor (por ejemplo, D 4 –D 5 –D 6 –F ♯ 6 ).
Este gran intervalo de un decimoséptimo contiene 5 + (5 - 1) + (5 - 1) + (5 - 1) = 20 - 3 = 17 puestos de personal . En la afinación pitagórica, el tamaño de un decimoséptimo se define utilizando una pila de cuatro quintas afinadas con justicia (relación de frecuencia 3: 2):
En el temperamento de cuarto de coma y medio, donde se requiere solo un tercio mayor (5: 4), se obtiene un decimoséptimo ligeramente más estrecho al apilar dos octavas y un tercio mayor:
Sin embargo, por definición, se debe obtener un decimoséptimo del mismo tamaño (5: 1), incluso en un cuarto de coma, significando uno, apilando cuatro quintos. Dado que las quintas justamente afinadas, como las que se usan en la afinación pitagórica, producen un decimoséptimo ligeramente más ancho, en un cuarto de coma significa que las quintas deben estar ligeramente aplanadas para cumplir con este requisito. Si x es la relación de frecuencia de la quinta plana, se desea que cuatro quintas tengan una relación de 5: 1,
lo que implica que una quinta es
un tono completo, construido moviendo dos quintos hacia arriba y una octava hacia abajo, es
y un semitono diatónico, construido moviendo tres octavas hacia arriba y cinco quintos hacia abajo, es
Observe que, en un cuarto de coma significa uno, el decimoséptimo es 81/80tiempos más estrechos que en la afinación pitagórica. Esta diferencia de tamaño, equivalente a unos 21,506 centavos , se denomina coma sintónica . Esto implica que la quinta es un cuarto de coma sintónica más estrecha que la quinta pitagórica justamente afinada. Es decir, este sistema sintoniza las quintas en la proporción de
que se expresa en la escala logarítmica de centavos como
que es un poco más pequeña (o más plana) que la proporción de una quinta afinada con justicia:
que se expresa en la escala logarítmica de centavos como
La diferencia entre estos dos tamaños es un cuarto de coma sintónica:
En resumen, este sistema sintoniza los tercios mayores con la proporción justa de 5: 4 (así, por ejemplo, si A 4 está sintonizado a 440 Hz , C ♯ 5 está sintonizado a 550 Hz), la mayoría de los tonos completos (es decir, el segundos mayores ) en la proporción √ 5 : 2, y la mayoría de los semitonos (es decir, los semitonos diatónicos o segundos menores ) en la proporción 8: 55 ⁄ 4 . Esto se logra afinando la decimoséptima con una coma sintónica más plana que la diecisiete pitagórica, lo que implica afinar la quinta con un cuarto de coma sintónica más plana que lajustaproporción de 3: 2. Esto es lo que le da al sistema su nombre de uncuarto de coma.
Escala de 12 tonos
La escala cromática completa (un subconjunto de la cual es la escala diatónica) se puede construir partiendo de una nota base dada y aumentando o disminuyendo su frecuencia en una o más quintas partes. Este método es idéntico a la afinación pitagórica, excepto por el tamaño de la quinta, que se templa como se explicó anteriormente. La siguiente tabla de construcción ilustra cómo se obtienen los tonos de las notas con respecto a D (la nota base ), en una escala basada en D (ver Afinación de Pitágoras para una explicación más detallada).
Para cada nota en la octava básica, la tabla proporciona el nombre convencional del intervalo desde D (la nota base), la fórmula para calcular su relación de frecuencia y los valores aproximados para su relación de frecuencia y tamaño en centavos.
Nota | Intervalo de D | Fórmula | Frec. proporción | Tamaño (centavos) | Tamaño ( 31-ET ) |
---|---|---|---|---|---|
A ♭ | quinto disminuido | 1,4311 | 620,5 | 16.03 | |
E ♭ | segundo menor | 1.0700 | 117,1 | 3,03 | |
B ♭ | sexto menor | 1.6000 | 813,7 | 21.02 | |
F | tercio menor | 1.1963 | 310,3 | 8.02 | |
C | séptima menor | 1.7889 | 1006,8 | 26.01 | |
GRAMO | cuarto perfecto | 1.3375 | 503,4 | 13.00 | |
D | unísono | 1,0000 | 0.0 | 0,00 | |
A | quinto perfecto | 1.4953 | 696,6 | 18.00 | |
mi | segundo mayor | 1.1180 | 193.2 | 4,99 | |
B | sexto mayor | 1,6719 | 889,7 | 22,98 | |
F ♯ | tercio mayor | 1.2500 | 386,3 | 9,98 | |
C ♯ | séptima mayor | 1.8692 | 1082,9 | 27,97 | |
G ♯ | cuarto aumentado | 1.3975 | 579,5 | 14,97 |
En las fórmulas, x = 4 √ 5 = 51 ⁄ 4 es el tamaño de la quinta perfecta templada, y las proporcionesx: 1 o 1:xrepresentan una quinta perfecta templada ascendente o descendente (es decir, un aumento o disminución de la frecuencia enx), mientras que 2: 1 o 1: 2 representan una octava ascendente o descendente.
Como en la afinación pitagórica, este método genera 13 tonos, pero A ♭ y G ♯ tienen casi la misma frecuencia, y para construir una escala de 12 tonos, A ♭ generalmente se descarta (aunque la elección entre estas dos notas es completamente arbitraria).
Mesas de construcción basadas en C
La tabla anterior muestra una pila de quintos basada en D (es decir, una pila en la que todas las proporciones se expresan en relación con D, y D tiene una proporción de 1/1). Dado que está centrado en D, la nota base, esta pila se puede llamar simétrica basada en D :
- A ♭ –E ♭ –B ♭ –F – C – G– D –A – E – B – F ♯ –C ♯ –G ♯
Con la quinta perfecta tomada como 4 √ 5 , los extremos de esta escala están separados por una relación de frecuencia de 125, lo que genera un espacio de 125/128 (aproximadamente dos quintos de un semitono) entre sus extremos si se normalizan a la misma octava. Si el último paso (aquí, G♯) se reemplaza por una copia de A ♭ pero en la misma octava que G♯, eso aumentará el intervalo C♯ – G♯ a una discordia llamada quinta de lobo .
Excepto por el tamaño de la quinta, es idéntica a la pila que se usa tradicionalmente en la afinación pitagórica . Algunos autores prefieren mostrar una pila de quintas basada en C, que van desde A ♭ a G ♯ . Dado que C no está en su centro, esta pila se llama asimétrica basada en C :
- A ♭ –E ♭ –B ♭ –F– C –G – D – A – E – B – F ♯ –C ♯ –G ♯
Dado que los límites de esta pila (A ♭ y G ♯ ) son idénticos a los de la pila simétrica basada en D, los nombres de las notas de la escala de 12 tonos producidos por esta pila también son idénticos. La única diferencia es que la tabla de construcción muestra intervalos de C, en lugar de D. Observe que se pueden formar 144 intervalos a partir de una escala de 12 tonos (consulte la tabla a continuación), que incluyen intervalos de C, D y cualquier otra nota. Sin embargo, la tabla de construcción muestra solo 12 de ellos, en este caso los que parten de C. Esta es al mismo tiempo la principal ventaja y la principal desventaja de la pila asimétrica basada en C, ya que los intervalos de C se usan comúnmente, pero desde C no está en el centro de esta pila, desafortunadamente incluyen una quinta aumentada (es decir, el intervalo de C a G ♯ ), en lugar de una sexta menor (de C a A ♭ ). Esta quinta aumentada es un intervalo lobo extremadamente disonante , ya que se desvía en 41,1 centavos (una diesis de proporción 128: 125, casi el doble de una coma sintónica ) del correspondiente intervalo puro de 8: 5 u 813,7 centavos.
Por el contrario, los intervalos de D que se muestran en la tabla anterior, dado que D está en el centro de la pila, no incluyen intervalos de lobo e incluyen un m6 puro (de D a B ♭ ), en lugar de un quinto aumentado impuro. Observe que en el conjunto de 144 intervalos mencionado anteriormente, los sextos menores puros se observan con más frecuencia que los quintos aumentados impuros (ver tabla a continuación), y esta es una de las razones por las que no es deseable mostrar un quinto aumentado impuro en la tabla de construcción. . También se puede usar una pila simétrica basada en C , para evitar el inconveniente mencionado anteriormente:
- G ♭ –D ♭ –A ♭ –E ♭ –B ♭ –F– C –G – D – A – E – B – F ♯
En esta pila, G ♭ y F ♯ tienen una frecuencia similar, y G ♭ generalmente se descarta. Además, la nota entre C y D se llama D ♭ en lugar de C ♯ , y la nota entre G y A se llama A ♭ en lugar de G ♯ . La pila simétrica basada en C rara vez se usa, posiblemente porque produce el quinto lobo en la posición inusual de F ♯ –D ♭ en lugar de G ♯ –E ♭ , donde lo esperaban los músicos que usaban la afinación pitagórica).
Un cuarto de coma con entonación justa significaba uno
Una entonación acaba versión del temperamento mesotónico cuarto de coma puede ser construido de la misma manera que Johann Kirnberger 's versión racional del 12-TET . El valor de 51 ⁄ 8 · 351 ⁄ 3 está muy cerca de 4, por lo que un intervalo de 7 límites 6144: 6125 (que es la diferencia entre ladiesis de5 límites128: 125 y ladiesis septimal 49:48), igual a 5,362 centavos, parece muy cerca del cuarto de coma 81/80)1 ⁄ 4 de 5.377 centavos. Entonces, la quinta perfecta tiene la proporción de 6125: 4096, que es la diferencia entre trestercios mayoresy dossegundos mayores septimales; cuatro quintos exceden la proporción de 5: 1 en el diminuto intervalo de 0,058 centavos. Laquinta del loboparece ser 49:32, la diferencia entre laséptima menor septimaly lasegunda mayor septimal.
Semitonos mayores y menores
Como se discutió anteriormente, en el cuarto de coma significa un temperamento,
- la proporción de un semitono es S = 8: 55 ⁄ 4 ,
- la proporción de un tono es T = √ 5 : 2.
Los tonos de la escala diatónica se pueden dividir en pares de semitonos. Sin embargo, dado que S 2 no es igual a T , cada tono debe estar compuesto por un par de semitonos desiguales, S y X :
Por eso,
Observe que S es 117,1 centavos y X es 76,0 centavos. Por tanto, S es el semitono mayor y X es el menor. S se llama comúnmente semitono diatónico (o segundo menor ), mientras que X se llama semitono cromático (o unísono aumentado ).
Los tamaños de S y X se pueden comparar con la proporción recién entonada 18:17 que es 99.0 centavos. S se desvía de él en +18,2 centavos y X en −22,9 centavos. Estas dos desviaciones son comparables a la coma sintónica (21,5 centavos), que este sistema está diseñado para desconectarse de la tercera mayor pitagórica. Sin embargo, dado que incluso la proporción recién entonada 18:17 suena marcadamente disonante, estas desviaciones se consideran aceptables en un semitono.
En cuarto-coma significa uno, el segundo menor se considera aceptable, mientras que el unísono aumentado suena disonante y debe evitarse.
Tamaño de los intervalos
La tabla anterior muestra solo intervalos desde D. Sin embargo, los intervalos se pueden formar comenzando desde cada una de las 12 notas enumeradas anteriormente. Así, se pueden definir doce intervalos para cada tipo de intervalo (doce unísonos, doce semitonos , doce intervalos compuestos por 2 semitonos, doce intervalos compuestos por 3 semitonos, etc.).
Como se explicó anteriormente, uno de los doce quintos (el quinto lobo) tiene un tamaño diferente con respecto a los otros once. Por una razón similar, cada uno de los otros tipos de intervalo, a excepción de los unísonos y las octavas, tiene dos tamaños diferentes en medio de un cuarto de coma. Este es el precio que se paga por buscar una entonación justa . La siguiente tabla muestra su tamaño aproximado en centavos. Los nombres de los intervalos se dan en su forma abreviada estándar. Por ejemplo, el tamaño del intervalo de D a A, que es un quinto perfecto (P5), se puede encontrar en la séptima columna de la fila etiquetada D . Los intervalos estrictamente justos (o puros ) se muestran en negrita . Los intervalos de lobo están resaltados en rojo. [a]
Sorprendentemente, aunque este sistema de afinación fue diseñado para producir tercios mayores puros, solo ocho de ellos son puros (5: 4 o aproximadamente 386,3 centavos).
La razón por la que los tamaños de los intervalos varían a lo largo de la escala es que los tonos que forman la escala están espaciados de manera desigual. Es decir, como se mencionó anteriormente, las frecuencias definidas por construcción para las doce notas determinan dos tipos diferentes de semitonos (es decir, intervalos entre notas adyacentes):
- El segundo menor (m2), también llamado semitono diatónico, con tamaño
- (por ejemplo, entre D y E ♭ )
- El unísono aumentado (A1), también llamado semitono cromático, con tamaño
- (por ejemplo, entre C y C ♯ )
Por el contrario, en una escala cromática igualmente templada , por definición los doce tonos están igualmente espaciados, todos los semitonos tienen un tamaño de exactamente
Como consecuencia, todos los intervalos de cualquier tipo tienen el mismo tamaño (por ejemplo, todos los tercios principales tienen el mismo tamaño, todos los quintos tienen el mismo tamaño, etc.). El precio que se paga, en este caso, es que ninguno de ellos está justamente afinado y perfectamente consonante, salvo, por supuesto, el unísono y la octava.
Para una comparación con otros sistemas de afinación, consulte también esta tabla .
Por definición, en un cuarto de coma significa que uno 11 quintos perfectos (P5 en la tabla) tienen un tamaño de aproximadamente 696,6 centavos (700 - ε centavos, donde ε ≈ 3.422 centavos); dado que el tamaño promedio de los 12 quintos debe ser exactamente igual a 700 centavos (como en temperamento igual), el otro debe tener un tamaño de 700 + 11 ε centavos, que es aproximadamente 737.6 centavos (el quinto del lobo ). Observe que, como se muestra en la tabla, el último intervalo, aunque enarmónicamente equivalente a una quinta, se llama más propiamente una sexta disminuida ( d6 ). Similar,
- 10 segundos mayores ( M2 ) son ≈ 193,2 centavos (200 - 2 ε ), 2 tercios disminuidos ( d3 ) son ≈ 234,2 centavos (200 + 10 ε ), y su promedio es 200 centavos;
- 9 tercios menores ( m3 ) son ≈ 310,3 centavos (300 + 3 ε ), 3 segundos aumentados ( A2 ) son ≈ 269,2 centavos (300 - 9 ε ) y su promedio es 300 centavos;
- 8 tercios mayores ( M3 ) son ≈ 386,3 centavos (400 - 4 ε ), 4 cuartos disminuidos ( d4 ) son ≈ 427,4 centavos (400 + 8 ε ), y su promedio es 400 centavos;
- 7 semitonos diatónicos ( m2 ) son ≈ 117,1 céntimos (100 + 5 ε ), 5 semitonos cromáticos ( A1 ) son ≈ 76,0 céntimos (100 - 7 ε ) y su promedio es de 100 céntimos.
En resumen, se observan diferencias similares en el ancho para todos los tipos de intervalo, excepto para unísonos y octavas, y todos son múltiplos de ε, la diferencia entre el cuarto de coma significa un quinto y el quinto promedio.
Tenga en cuenta que, como consecuencia obvia, cada intervalo aumentado o disminuido es exactamente 12 ε cents (≈ 41.1 cents) más ancho o más estrecho que su equivalente enarmónico. Por ejemplo, la sexta disminuida (o lobo quinto) es de 12 varepsilon centavos más ancha que cada quinta perfecta, y cada segunda aumentada es de 12 varepsilon centavos más estrecho que cada una tercera menor. Este intervalo de tamaño 12 ε se conoce como diesis o segundo disminuido . Esto implica que ε también se puede definir como una doceava parte de una diesis.
Tríadas en la escala cromática
La tríada mayor se puede definir mediante un par de intervalos de la nota fundamental: una tercera mayor (intervalo que abarca 4 semitonos) y una quinta perfecta (7 semitonos). La tríada menor también se puede definir por una tercera menor (3 semitonos) y una quinta perfecta (7 semitonos).
Como se muestra arriba, una escala cromática tiene doce intervalos que abarcan siete semitonos. Once de estos son quintos perfectos, mientras que el duodécimo es un sexto disminuido. Dado que abarcan el mismo número de semitonos, las quintas perfectas y las sextas disminuidas se consideran enarmónicamente equivalentes . En una escala cromática igualmente afinada, las quintas perfectas y las sextas disminuidas tienen exactamente el mismo tamaño. Lo mismo es cierto para todos los intervalos enarmónicamente equivalentes que abarcan 4 semitonos (tercios mayores y cuartos disminuidos) o 3 semitonos (tercios menores y segundos aumentados). Sin embargo, en el temperamento medio esto no es cierto. En este sistema de sintonía, los intervalos enarmónicamente equivalentes pueden tener diferentes tamaños, y algunos intervalos pueden desviarse notablemente de sus proporciones ideales justamente sintonizadas . Como se explicó en la sección anterior, si la desviación es demasiado grande, entonces el intervalo dado no se puede utilizar, ni por sí solo ni en un acorde.
La siguiente tabla se centra solo en los tres tipos de intervalo mencionados anteriormente, que se utilizan para formar tríadas mayores y menores. Cada fila muestra tres intervalos de diferentes tipos pero que tienen la misma nota fundamental. Cada intervalo está especificado por un par de notas. A la derecha de cada intervalo se enumera la fórmula para la razón del intervalo . Los intervalos de cuarto disminuido, sexto disminuido y segundo aumentado pueden considerarse intervalos de lobo y se han marcado en rojo . S y X denotan la relación de los dos tipos de semitonos antes mencionados (segundo menor y unísono aumentado).
3 semitonos (m3 o A2) | 4 semitonos (M3 o d4) | 7 semitonos (P5 o d6) | |||
---|---|---|---|---|---|
Intervalo | Proporción | Intervalo | Proporción | Intervalo | Proporción |
C – E ♭ | S 2 · X | C – E | S 2 · X 2 | C – G | S 4 · X 3 |
C ♯ –E | S 2 · X | C ♯ –F | S 3 · X | C ♯ –G ♯ | S 4 · X 3 |
D – F | S 2 · X | D – F ♯ | S 2 · X 2 | D – A | S 4 · X 3 |
E ♭ –F ♯ | S · X 2 | E ♭ –G | S 2 · X 2 | E ♭ –B ♭ | S 4 · X 3 |
P.EJ | S 2 · X | E – G ♯ | S 2 · X 2 | E – B | S 4 · X 3 |
F – G ♯ | S · X 2 | FA | S 2 · X 2 | F – C | S 4 · X 3 |
F ♯ –A | S 2 · X | F ♯ –B ♭ | S 3 · X | F ♯ –C ♯ | S 4 · X 3 |
G – B ♭ | S 2 · X | G – B | S 2 · X 2 | G – D | S 4 · X 3 |
G ♯ –B | S 2 · X | G ♯ –C | S 3 · X | G ♯ –E ♭ | S 5 · X 2 |
C.A | S 2 · X | A – C ♯ | S 2 · X 2 | A – E | S 4 · X 3 |
B ♭ –C ♯ | S · X 2 | B ♭ –D | S 2 · X 2 | B ♭ –F | S 4 · X 3 |
B – D | S 2 · X | B – E ♭ | S 3 · X | B – F ♯ | S 4 · X 3 |
Primero, mire las dos últimas columnas de la derecha. Todos los intervalos de 7 semitonos excepto uno tienen una relación de
que se desvía en −5,4 centavos de solo 3: 2 de 702,0 centavos. Cinco centavos es pequeño y aceptable. Por otro lado, el sexto disminuido de G ♯ a E ♭ tiene una razón de
que se desvía en +35,7 centavos del quinto perfecto. Treinta y cinco centavos está más allá del rango aceptable.
Ahora mire las dos columnas del medio. Ocho de los doce intervalos de 4 semitonos tienen una relación de
que es exactamente un 5: 4. Por otro lado, los cuatro cuartos disminuidos con raíces en C ♯ , F ♯ , G ♯ y B tienen una razón de
que se desvía en +41,1 centavos del tercio mayor. Una vez más, esto suena muy desafinado.
Las tríadas mayores se forman a partir de tercios mayores y quintas perfectas. Si cualquiera de los dos intervalos se sustituye por un intervalo de lobo (d6 en lugar de P5, o d4 en lugar de M3), entonces la tríada no es aceptable. Por lo tanto, las tríadas mayores con notas fundamentales de C ♯ , F ♯ , G ♯ y B no se utilizan en escalas de tono medio cuya nota fundamental es C.
Ahora mire las dos primeras columnas de la izquierda. Nueve de los doce intervalos de 3 semitonos tienen una relación de
que se desvía en −5,4 centavos de solo 6: 5 de 315,6 centavos. Cinco centavos es aceptable. Por otro lado, los tres segundos aumentados cuyas raíces son E ♭ , F y B ♭ tienen una relación de
que se desvía en −46,4 centavos del tercio menor. Sin embargo, es una coincidencia cercana para el tercio menor septimal 7: 6 de 266,9 centavos, desviándose en +2,3 centavos. Estos segundos aumentados, aunque suficientemente consonantes por sí mismos, sonarán "exóticos" o atípicos cuando se toquen junto con una quinta perfecta.
Las tríadas menores se forman a partir de tercios y quintos menores. Si cualquiera de los dos intervalos se sustituye por un intervalo enarmónicamente equivalente (d6 en lugar de P5, o A2 en lugar de m3), entonces la tríada no sonará bien. Por lo tanto, las tríadas menores con notas fundamentales de E ♭ , F, G ♯ y B ♭ no se utilizan en la escala de tono medio definida anteriormente.
- Se pueden utilizar las siguientes tríadas principales: C, D, E ♭ , E, F, G, A, B ♭ .
- Se pueden utilizar las siguientes tríadas menores: C, C ♯ , D, E, F ♯ , G, A, B.
- Las siguientes notas fundamentales son útiles para tríadas mayores y menores: C, D, E, G y A. Observe que estos cinco tonos forman una escala pentatónica mayor .
- Las siguientes notas fundamentales son útiles solo para las tríadas mayores: E ♭ , F, B ♭ .
- Las siguientes notas fundamentales son útiles solo para tríadas menores: C ♯ , F ♯ , B.
- La siguiente nota fundamental no es útil para la tríada mayor ni menor: G ♯ .
Construcción alternativa
Como se discutió anteriormente, en el cuarto de coma significa un temperamento,
- la proporción de un semitono mayor (diatónico) es S = 8: 55 ⁄ 4 ,
- la proporción de un semitono menor (cromático) es X = 57 / 4 : 16,
- la proporción de la mayoría de los tonos completos es T = √ 5 : 2,
- la razón de la mayoría de quintos es P = 4 √ 5 .
Se puede verificar mediante cálculo que la mayoría de los tonos completos (es decir, los segundos mayores) están compuestos por un semitono mayor y uno menor:
De manera similar, una quinta generalmente se compone de tres tonos y un semitono mayor:
que equivale a cuatro semitonos mayores y tres menores:
Escala diatónica
Se puede construir una escala diatónica partiendo de la nota fundamental y multiplicándola por T para subir un tono o por S para subir un semitono.
CDEFGABC '| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | TTSTTTS
Los tamaños de intervalo resultantes con respecto a la nota base C se muestran en la siguiente tabla:
Nota Fórmula Proporción Centavos pitagóricos
centavosCentavos de EQT C 1 1,0000 0.0 0.0 0 D T 1.1180 193.2 203,9 200 mi T 2 1.2500 386,3 407,8 400 F T 2 S 1.3375 503,4 498,0 500 GRAMO PAG 1.4953 696,6 702.0 700 A PT 1,6719 889,7 905,9 900 B PT 2 1.8692 1082,9 1109,8 1100 C' PT 2 S 2.0000 1200.0 1200.0 1200
Tocar el acorde tónico mayor ( ayuda · info ) Juega un tercer mayor ( ayuda · info ) Juega perfecto quinto ( ayuda · info )
Escala cromática
La construcción de una escala cromática de tono medio de un cuarto de coma puede realizarse apilando una serie de 12 semitonos, cada uno de los cuales puede ser diatónico ( S ) o cromático ( X ).
CC ♯ DE ♭ EFF ♯ GG ♯ AB ♭ B C '| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | XSSXSXSXSSXS
Observe que esta escala es una extensión de la escala diatónica que se muestra en la tabla anterior. Solo se han agregado cinco notas: C ♯ , E ♭ , F ♯ , G ♯ y B ♭ (una escala pentatónica ).
Como se explicó anteriormente, una escala idéntica se definió y produjo originalmente utilizando una secuencia de quintos templados, que van desde E ♭ (cinco quintos por debajo de D) hasta G ♯ (seis quintos por encima de D), en lugar de una secuencia de semitonos. Este enfoque más convencional, similar al sistema de afinación de Pitágoras basado en D , explica la razón por la que los semitonos X y S están dispuestos en la secuencia particular y aparentemente arbitraria que se muestra arriba.
Los tamaños de intervalo con respecto a la nota base C se presentan en la siguiente tabla. Las relaciones de frecuencia se calculan como se muestra en las fórmulas. Delta es la diferencia en centavos entre meanone y 12-TET. 1 ⁄ 4 -c es la diferencia en cuartos de coma entre la afinación significada y pitagórica.
Nota Fórmula Proporción Centavos 12TET Delta 1 ⁄ 4 -c C 1 1,0000 0.0 0 0.0 0 C ♯ X 1.0449 76,0 100 −24,0 −7 D T 1.1180 193.2 200 −6,8 −2 E ♭ TS 1.1963 310,3 300 +10,3 3 mi T 2 1.2500 386,3 400 −13,7 −4 F T 2 S 1.3375 503,4 500 +3,4 1 F ♯ T 3 1.3975 579,5 600 −20,5 −6 GRAMO PAG 1.4953 696,6 700 −3,4 −1 G ♯ PX 1.5625 772,6 800 −27,4 −8 A PT 1,6719 889,7 900 −10,3 −3 B ♭ PTS 1.7889 1006,8 1000 +6,8 2 B PT 2 1.8692 1082,9 1100 −17,1 −5 C PT 2 S 2.0000 1200.0 1200 0.0 0
Comparación con 31 de temperamento igual
El quinto perfecto de un cuarto de coma significa uno, expresado como una fracción de octava, es 1/4log 2 5. Este número es irracional y de hecho trascendental ; por lo tanto, una cadena de quintos significados, como una cadena de quintos puros de 3: 2, nunca se cierra (es decir, nunca equivale a una cadena de octavas). Sin embargo, las aproximaciones de fracciones continuas a este número de fracción irracional nos permiten encontrar divisiones iguales de la octava que se cierran; los denominadores de estos son 1, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 174, 205, 789 ... A partir de esto, encontramos que 31 cuartos de coma significan que un quinto se acerca al cierre y, a la inversa, 31 de temperamento igual representa un buena aproximación a un cuarto de coma significa uno. Véase también schisma .
Referencias
Notas al pie
- ^ a b Los intervalos de Wolf se definen operativamente en el presente documento como intervalos compuestos de 3, 4, 5, 7, 8 o 9 semitonos (es decir, tercios o sextos mayores y menores, cuartos o quintos perfectos y sus equivalentes enarmónicos ) cuyo tamaño se desvía por más de una coma sintónica (alrededor de 21,5 centavos) del correspondiente intervalo justamente entonado. Los intervalos compuestos por 1, 2, 6, 10 u 11 semitonos (por ejemplo, segundos mayores y menores o séptimas, tritonos y sus equivalentes enarmónicos ) se consideran disonantes incluso cuando están correctamente afinados, por lo que no se marcan como lobo. intervalos incluso cuando se desvían de la entonación justa por más de una coma sintónica.
enlaces externos
- "Un cuarto de coma significa uno ", en Xenharmonic Wiki .