Ecuaciones cuasi-geostróficas

Mientras que el movimiento geostrófico se refiere al viento que resultaría de un equilibrio exacto entre la fuerza de Coriolis y las fuerzas de gradiente de presión horizontal , ^{[1] el} movimiento cuasi-geostrófico (QG) se refiere a flujos donde la fuerza de Coriolis y las fuerzas de gradiente de presión están casi en equilibrio , pero con la inercia también teniendo un efecto. ^[2]

Origen

Los flujos atmosféricos y oceanográficos tienen lugar en escalas de longitud horizontal que son muy grandes en comparación con su escala de longitud vertical, por lo que pueden describirse utilizando las ecuaciones de aguas poco profundas . El número de Rossby es un número adimensional que caracteriza la fuerza de la inercia en comparación con la fuerza de la fuerza de Coriolis. Las ecuaciones cuasi-geostróficas son aproximaciones a las ecuaciones de aguas someras en el límite del pequeño número de Rossby, de modo que las fuerzas de inercia son un orden de magnitud más pequeñas que las de Coriolis y las fuerzas de presión. Si el número de Rossby es igual a cero, recuperamos el flujo geostrófico.

Las ecuaciones cuasi-geostróficas fueron formuladas por primera vez por Jule Charney . ^[3]

Derivación de las ecuaciones QG de una sola capa

En coordenadas cartesianas, los componentes del viento geostrófico son

${\displaystyle {f_{0}}{v_{g}}={\partial \Phi \over \partial x}}$ (1a)

${\displaystyle {f_{0}}{u_{g}}=-{\partial \Phi \over \partial y}}$ (1b)

dónde ${\displaystyle {\Phi }}$es el geopotencial .

La vorticidad geostrófica

${\displaystyle {\zeta _{g}}={{\hat {\mathbf {k} }}\cdot \nabla \times \mathbf {V_{g}} }}$

por lo tanto, se puede expresar en términos de geopotencial como

${\displaystyle {\zeta _{g}}={{\partial v_{g} \over \partial x}-{\partial u_{g} \over \partial y}={1 \over f_{0}}\left({{\partial ^{2}\Phi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\Phi \over \partial y^{2}}}\right)={1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\Phi }}}$ (2)

La ecuación (2) se puede utilizar para encontrar ${\displaystyle {\zeta _{g}(x,y)}}$ de un campo conocido ${\displaystyle {\Phi (x,y)}}$. Alternativamente, también se puede utilizar para determinar${\displaystyle {\Phi }}$ de una distribución conocida de ${\displaystyle {\zeta _{g}}}$invirtiendo el operador laplaciano .

La ecuación de vorticidad cuasi-geostrófica se puede obtener de la ${\displaystyle {x}}$ y ${\displaystyle {y}}$ componentes de la ecuación de momento cuasi geostrófico que luego se pueden derivar de la ecuación de momento horizontal

${\displaystyle {D\mathbf {V} \over Dt}+f{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V} =-\nabla \Phi }$ (3)

La derivada material en (3) se define por

${\displaystyle {{D \over Dt}={\left({\partial \over \partial t}\right)_{p}}+{\left({\mathbf {V} \cdot \nabla }\right)_{p}}+{\omega {\partial \over \partial p}}}}$ (4)

dónde ${\displaystyle {\omega ={Dp \over Dt}}}$ es el cambio de presión que sigue al movimiento.

La velocidad horizontal ${\displaystyle {\mathbf {V} }}$ se puede separar en un geostrófico ${\displaystyle {\mathbf {V_{g}} }}$y un ageostrófico ${\displaystyle {\mathbf {V_{a}} }}$ parte

${\displaystyle {\mathbf {V} =\mathbf {V_{g}} +\mathbf {V_{a}} }}$ (5)

Dos supuestos importantes de la aproximación cuasi-geostrófica son

1. ${\displaystyle {\mathbf {V_{g}} \gg \mathbf {V_{a}} }}$, o, más precisamente ${\displaystyle {|\mathbf {V_{a}} | \over |\mathbf {V_{g}} |}\sim O({\text{Rossby number}})}$.

2. la aproximación del plano beta${\displaystyle {f=f_{0}+\beta y}}$ con ${\displaystyle {{\frac {\beta y}{f_{0}}}\sim O({\text{Rossby number}})}}$

La segunda suposición justifica dejar que el parámetro de Coriolis tenga un valor constante ${\displaystyle {f_{0}}}$ en la aproximación geostrófica y aproximando su variación en el término de fuerza de Coriolis por ${\displaystyle {f_{0}+\beta y}}$. ^[4] Sin embargo, debido a que la aceleración que sigue al movimiento, que se da en (1) como la diferencia entre la fuerza de Coriolis y la fuerza del gradiente de presión, depende de la salida del viento real del viento geostrófico, no está permitido simplemente reemplace la velocidad por su velocidad geostrófica en el término de Coriolis. ^[4] La aceleración en (3) se puede reescribir como

${\displaystyle {f{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V} +\nabla \Phi }={(f_{0}+\beta y){\hat {\mathbf {k} }}\times (\mathbf {V_{g}} +\mathbf {V_{a}} )-f_{0}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{g}} }={f_{0}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{a}} +\beta y{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{g}} }}$ (6)

Por tanto, la ecuación de la cantidad de movimiento horizontal aproximada tiene la forma

${\displaystyle {D_{g}\mathbf {V_{g}} \over Dt}={-f_{0}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{a}} -\beta y{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{g}} }}$ (7)

Expresando la ecuación (7) en términos de sus componentes,

${\displaystyle {{D_{g}u_{g} \over Dt}-{f_{0}v_{a}}-{\beta yv_{g}}=0}}$ (8a)

${\displaystyle {{D_{g}v_{g} \over Dt}+{f_{0}u_{a}}+{\beta yu_{g}}=0}}$ (8b)

Tomando ${\displaystyle {{\partial (8b) \over \partial x}-{\partial (8a) \over \partial y}}}$y observando que el viento geostrófico no es divergente (es decir, ${\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {V} =0}}$), la ecuación de vorticidad es

${\displaystyle {{D_{g}\zeta _{g} \over Dt}=f_{0}\left({{\partial u_{a} \over \partial x}+{\partial v_{a} \over \partial y}}\right)-\beta v_{g}}}$ (9)

Porque ${\displaystyle {f}}$ depende solo de ${\displaystyle {y}}$ (es decir, ${\displaystyle {{D_{g}f \over Dt}=\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla f=\beta v_{g}}}$) y que la divergencia del viento ageostrófico se puede escribir en términos de ${\displaystyle {\omega }}$ basado en la ecuación de continuidad

${\displaystyle {{\partial u_{a} \over \partial x}+{\partial v_{a} \over \partial y}+{\partial \omega \over \partial p}=0}}$

Por tanto, la ecuación (9) se puede escribir como

${\displaystyle {{\partial \zeta _{g} \over \partial t}={-\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla ({\zeta _{g}+f})}-{f_{0}{\partial \omega \over \partial p}}}}$ (10)

La misma identidad usando el geopotencial

Definiendo la tendencia geopotencial ${\displaystyle {\chi ={\partial \Phi \over \partial t}}}$ y teniendo en cuenta que la diferenciación parcial se puede revertir, la ecuación (10) se puede reescribir en términos de ${\displaystyle {\chi }}$ como

${\displaystyle {{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\chi }={-\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla \left({{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\chi }+f}\right)}+{f_{0}{\partial \omega \over \partial p}}}}$ (11)

El lado derecho de la ecuación (11) depende de variables ${\displaystyle {\chi }}$ y ${\displaystyle {\omega }}$. Una ecuación análoga que depende de estas dos variables se puede derivar de la ecuación de energía termodinámica

${\displaystyle {{{\left({{\partial \over \partial t}+{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }}\right)\left({-\partial \Phi \over \partial p}\right)}-\sigma \omega }={kJ \over p}}}$ (12)

dónde ${\displaystyle {\sigma ={-RT_{0} \over p}{d\log \Theta _{0} \over dp}}}$ y ${\displaystyle {\Theta _{0}}}$es la temperatura potencial correspondiente a la temperatura del estado básico. En la tropósfera media,${\displaystyle {\Theta _{0}}}$ ≈ ${\displaystyle {2.5\times 10^{-6}\mathrm {m} {^{2}}\mathrm {Pa} ^{-2}\mathrm {s} ^{-2}}}$.

Multiplicar (12) por ${\displaystyle {f_{0} \over \sigma }}$ y diferenciando con respecto a ${\displaystyle {p}}$ y usando la definición de ${\displaystyle {\chi }}$ rendimientos

${\displaystyle {{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0} \over \sigma }{\partial \chi \over \partial p}}\right)}=-{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0} \over \sigma }{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}-{{f_{0}}{\partial \omega \over \partial p}}-{{f_{0}}{\partial \over \partial p}\left({kJ \over \sigma p}\right)}}}$ (13)

Si por simplicidad ${\displaystyle {J}}$ se establecieron en 0, eliminando ${\displaystyle {\omega }}$en las ecuaciones (11) y (13) se obtiene ^[5]

${\displaystyle {{\left({\nabla ^{2}+{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0}^{2} \over \sigma }{\partial \over \partial p}}\right)}}\right){\chi }}=-{{f_{0}}{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }\left({{{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\Phi }}+f}\right)}-{{\partial \over \partial p}\left({{-}{f_{0}^{2} \over \sigma }{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }\left({\partial \Phi \over \partial p}\right)}\right)}}}$ (14)

La ecuación (14) a menudo se denomina ecuación de tendencia geopotencial . Relaciona la tendencia geopotencial local (término A) con la distribución de advección de vorticidad (término B) y la advección de espesor (término C).

La misma identidad utilizando la vorticidad potencial cuasi geostrófica

Usando la regla de la cadena de diferenciación, el término C se puede escribir como

${\displaystyle {-{{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }{\partial \over \partial p}\left({{f_{0}^{2} \over \sigma }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}-{{f_{0}^{2} \over \sigma }{\partial \mathbf {V_{g}} \over \partial p}{\cdot \nabla }{\partial \Phi \over \partial p}}}}$ (15)

Pero según la relación del viento térmico ,

${\displaystyle {{f_{0}{\partial \mathbf {V_{g}} \over \partial p}}={{\hat {\mathbf {k} }}\times \nabla \left({\partial \Phi \over \partial p}\right)}}}$.

En otras palabras,${\displaystyle {\partial \mathbf {V_{g}} \over \partial p}}$ es perpendicular a ${\displaystyle {\nabla ({\partial \Phi \over \partial p})}}$ y el segundo término de la ecuación (15) desaparece.

El primer término se puede combinar con el término B en la ecuación (14) que, al dividir por ${\displaystyle {f_{0}}}$se puede expresar en forma de ecuación de conservación ^[6]

${\displaystyle {{\left({{\partial \over \partial t}+{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }}\right)q}={D_{g}q \over Dt}=0}}$ (dieciséis)

dónde ${\displaystyle {q}}$ es la vorticidad potencial cuasi-geostrófica definida por

${\displaystyle {q={{{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\Phi }}+{f}+{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0} \over \sigma }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}}}}$ (17)

Los tres términos de la ecuación (17) son, de izquierda a derecha, la vorticidad relativa geostrófica , la vorticidad planetaria y la vorticidad de estiramiento .

Trascendencia

A medida que una parcela de aire se mueve en la atmósfera, sus vorticidades relativas, planetarias y de estiramiento pueden cambiar, pero la ecuación (17) muestra que la suma de las tres debe conservarse después del movimiento geostrófico.

La ecuación (17) se puede utilizar para encontrar ${\displaystyle {q}}$ de un campo conocido ${\displaystyle {\Phi }}$. Alternativamente, también se puede utilizar para predecir la evolución del campo geopotencial dada una distribución inicial de${\displaystyle {\Phi }}$ y condiciones de contorno adecuadas mediante el uso de un proceso de inversión.

Más importante aún, el sistema cuasi-geostrófico reduce las ecuaciones primitivas de cinco variables a un sistema de una ecuación donde todas las variables tales como ${\displaystyle {u_{g}}}$, ${\displaystyle {v_{g}}}$ y ${\displaystyle {T}}$ se puede obtener de ${\displaystyle {q}}$ o altura ${\displaystyle {\Phi }}$.

También porque ${\displaystyle {\zeta _{g}}}$ y ${\displaystyle {\mathbf {V_{g}} }}$ Ambos se definen en términos de ${\displaystyle {\Phi (x,y,p,t)}}$, la ecuación de vorticidad se puede utilizar para diagnosticar el movimiento vertical siempre que los campos de ambos${\displaystyle {\Phi }}$ y ${\displaystyle {\partial \Phi \over \partial t}}$ son conocidos.

Referencias

1. Phillips, NA (1963). "Movimiento geostrófico". Reseñas de Geophysics Volume 1, No. 2., p. 123.
2. Kundu, PK y Cohen, IM (2008). Mecánica de fluidos, 4ª edición. Elsevier., Pág. 658.
3. Majda, Andrew; Wang, Xiaoming (2006). Dinámica no lineal y teorías estadísticas para flujos geofísicos básicos . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 3. ISBN 978-1-139-45227-4.
4. Holton, JR (2004). Introducción a la meteorología dinámica, cuarta edición. Elsevier., Pág. 149.
5. Holton, JR (2004). Introducción a la meteorología dinámica, cuarta edición. Elsevier., Pág. 157.
6. Holton, JR (2004). Introducción a la meteorología dinámica, cuarta edición. Elsevier., Pág. 160.