Los flujos atmosféricos y oceanográficos tienen lugar en escalas de longitud horizontal que son muy grandes en comparación con su escala de longitud vertical, por lo que pueden describirse utilizando las ecuaciones de aguas poco profundas . El número de Rossby es un número adimensional que caracteriza la fuerza de la inercia en comparación con la fuerza de la fuerza de Coriolis. Las ecuaciones cuasi-geostróficas son aproximaciones a las ecuaciones de aguas someras en el límite del pequeño número de Rossby, de modo que las fuerzas de inercia son un orden de magnitud más pequeñas que las de Coriolis y las fuerzas de presión. Si el número de Rossby es igual a cero, recuperamos el flujo geostrófico.
Las ecuaciones cuasi-geostróficas fueron formuladas por primera vez por Jule Charney . [3]
En coordenadas cartesianas, los componentes del viento geostrófico son
- (1a)
- (1b)
dónde es el geopotencial .
La vorticidad geostrófica
por lo tanto, se puede expresar en términos de geopotencial como
- (2)
La ecuación (2) se puede utilizar para encontrar de un campo conocido . Alternativamente, también se puede utilizar para determinar de una distribución conocida de invirtiendo el operador laplaciano .
La ecuación de vorticidad cuasi-geostrófica se puede obtener de la y componentes de la ecuación de momento cuasi geostrófico que luego se pueden derivar de la ecuación de momento horizontal
- (3)
La derivada material en (3) se define por
- (4)
- dónde es el cambio de presión que sigue al movimiento.
La velocidad horizontal se puede separar en un geostrófico y un ageostrófico parte
- (5)
Dos supuestos importantes de la aproximación cuasi-geostrófica son
- 1. , o, más precisamente .
- 2. la aproximación del plano beta con
La segunda suposición justifica dejar que el parámetro de Coriolis tenga un valor constante en la aproximación geostrófica y aproximando su variación en el término de fuerza de Coriolis por . [4] Sin embargo, debido a que la aceleración que sigue al movimiento, que se da en (1) como la diferencia entre la fuerza de Coriolis y la fuerza del gradiente de presión, depende de la salida del viento real del viento geostrófico, no está permitido simplemente reemplace la velocidad por su velocidad geostrófica en el término de Coriolis. [4] La aceleración en (3) se puede reescribir como
- (6)
Por tanto, la ecuación de la cantidad de movimiento horizontal aproximada tiene la forma
- (7)
Expresando la ecuación (7) en términos de sus componentes,
- (8a)
- (8b)
Tomando y observando que el viento geostrófico no es divergente (es decir, ), la ecuación de vorticidad es
- (9)
Porque depende solo de (es decir, ) y que la divergencia del viento ageostrófico se puede escribir en términos de basado en la ecuación de continuidad
Por tanto, la ecuación (9) se puede escribir como
- (10)
La misma identidad usando el geopotencial
Definiendo la tendencia geopotencial y teniendo en cuenta que la diferenciación parcial se puede revertir, la ecuación (10) se puede reescribir en términos de como
- (11)
El lado derecho de la ecuación (11) depende de variables y . Una ecuación análoga que depende de estas dos variables se puede derivar de la ecuación de energía termodinámica
- (12)
dónde y es la temperatura potencial correspondiente a la temperatura del estado básico. En la tropósfera media, ≈ .
Multiplicar (12) por y diferenciando con respecto a y usando la definición de rendimientos
- (13)
Si por simplicidad se establecieron en 0, eliminando en las ecuaciones (11) y (13) se obtiene [5]
- (14)
La ecuación (14) a menudo se denomina ecuación de tendencia geopotencial . Relaciona la tendencia geopotencial local (término A) con la distribución de advección de vorticidad (término B) y la advección de espesor (término C).
La misma identidad utilizando la vorticidad potencial cuasi geostrófica
Usando la regla de la cadena de diferenciación, el término C se puede escribir como
- (15)
Pero según la relación del viento térmico ,
- .
En otras palabras, es perpendicular a y el segundo término de la ecuación (15) desaparece.
El primer término se puede combinar con el término B en la ecuación (14) que, al dividir por se puede expresar en forma de ecuación de conservación [6]
- (dieciséis)
dónde es la vorticidad potencial cuasi-geostrófica definida por
- (17)
Los tres términos de la ecuación (17) son, de izquierda a derecha, la vorticidad relativa geostrófica , la vorticidad planetaria y la vorticidad de estiramiento .
A medida que una parcela de aire se mueve en la atmósfera, sus vorticidades relativas, planetarias y de estiramiento pueden cambiar, pero la ecuación (17) muestra que la suma de las tres debe conservarse después del movimiento geostrófico.
La ecuación (17) se puede utilizar para encontrar de un campo conocido . Alternativamente, también se puede utilizar para predecir la evolución del campo geopotencial dada una distribución inicial de y condiciones de contorno adecuadas mediante el uso de un proceso de inversión.
Más importante aún, el sistema cuasi-geostrófico reduce las ecuaciones primitivas de cinco variables a un sistema de una ecuación donde todas las variables tales como , y se puede obtener de o altura .
También porque y Ambos se definen en términos de , la ecuación de vorticidad se puede utilizar para diagnosticar el movimiento vertical siempre que los campos de ambos y son conocidos.