En cálculo , la regla del cociente es un método para encontrar la derivada de una función que es la razón de dos funciones diferenciables. [1] [2] [3] Dejedonde tanto g como h son diferenciables yLa regla del cociente establece que la derivada de f ( x ) es
Ejemplos de
- Un ejemplo básico:
- La regla del cociente se puede usar para encontrar la derivada de como sigue.
Pruebas
Prueba de la definición de derivada y propiedades límite
Dejar Aplicando la definición de la derivada y las propiedades de los límites se obtiene la siguiente prueba.
Prueba mediante diferenciación implícita
Dejar entonces La regla del producto entonces da Resolviendo para y sustituyendo de nuevo por da:
Prueba usando la regla de la cadena
Dejar Entonces la regla del producto da
Para evaluar la derivada en el segundo término, aplique la regla de la potencia junto con la regla de la cadena :
Finalmente, reescribe como fracciones y combina términos para obtener
Fórmulas de orden superior
Diferenciación implícita se puede utilizar para calcular el n º derivado de un cociente (parcialmente en términos de su primera n - 1 derivados). Por ejemplo, diferenciando dos veces (resultando en ) y luego resolviendo para rendimientos
Referencias
- ^ Stewart, James (2008). Cálculo: principios trascendentales (6ª ed.). Brooks / Cole . ISBN 0-495-01166-5.
- ^ Larson, Ron ; Edwards, Bruce H. (2009). Cálculo (9ª ed.). Brooks / Cole . ISBN 0-547-16702-4.
- ^ Thomas, George B .; Weir, Maurice D .; Hass, Joel (2010). Cálculo de Thomas: principios trascendentales (12ª ed.). Addison-Wesley . ISBN 0-321-58876-2.