En álgebra lineal , el cociente de un espacio vectorial V por un subespacio N es un espacio vectorial obtenido "colapsando" N a cero. El espacio obtenido se llama espacio de cociente y se denota V / N (lea V mod N o V por N ).
Definición
Formalmente, la construcción es la siguiente. [1] Let V haber un espacio vectorial sobre un campo K , y dejar que N sea un subespacio de V . Definimos una relación de equivalencia ~ en V al afirmar que x ~ y si x - y ∈ N . Es decir, x se relaciona con y si uno se puede obtener de la otra mediante la adición de un elemento de N . De esta definición, se puede deducir que cualquier elemento de N está relacionado con el vector cero; más precisamente, todos los vectores en N se mapean en la clase de equivalencia del vector cero.
La clase de equivalencia (o, en este caso, la clase lateral ) de x a menudo se denota
- [ x ] = x + N
ya que está dado por
- [ x ] = { x + n : n ∈ N }.
El espacio del cociente V / N se define entonces como V / ~, el conjunto de todas las clases de equivalencia sobre V por ~. La multiplicación y la suma escalares se definen en las clases de equivalencia por [2] [3]
- α [ x ] = [α x ] para todo α ∈ K , y
- [ x ] + [ y ] = [ x + y ].
No es difícil comprobar que estas operaciones están bien definidas (es decir, no dependen de la elección del representante). Estas operaciones convierten el espacio del cociente V / N en un espacio vectorial sobre K, siendo N la clase cero, [0].
El mapeo que asocia a v ∈ V la clase de equivalencia [ v ] se conoce como mapa de cocientes .
Expresado alternativamente, el espacio del cociente es el conjunto de todos los subconjuntos afines deque son paralelos a. [4]
Ejemplos de
Deje que X = R 2 es el plano cartesiano estándar, y dejar que Y sea una línea a través del origen en X . A continuación, el espacio cociente X / Y se puede identificar con el espacio de todas las líneas en X que son paralelas a Y . Es decir que, los elementos del conjunto X / Y son líneas en X paralelo a Y . Tenga en cuenta que los puntos a lo largo de cualquier línea de uno de tales satisfarán la relación de equivalencia porque sus vectores de diferencia pertenecen a Y . Esto proporciona una forma de visualizar geométricamente los espacios de cociente. (Al volver a parametrizar estas líneas, el espacio del cociente se puede representar de manera más convencional como el espacio de todos los puntos a lo largo de una línea que pasa por el origen que no es paralelo a Y. De manera similar, el espacio del cociente para R 3 por una línea que pasa por el origen puede de nuevo se representará como el conjunto de todas las líneas co-paralelas, o alternativamente se representará como el espacio vectorial que consiste en un plano que solo interseca la línea en el origen).
Otro ejemplo es el cociente de R n por el subespacio generado por los primeros m vectores de base estándar. El espacio R n consta de todas las n tuplas de números reales ( x 1 ,…, x n ) . El subespacio, identificado con R m , consta de todas las n tuplas de modo que las últimas n - m entradas son cero: ( x 1 ,…, x m , 0, 0,…, 0) . Dos vectores de R n están en la misma clase de congruencia módulo el subespacio si y solo si son idénticos en las últimas n - m coordenadas. El espacio del cociente R n / R m es isomorfo a R n - m de una manera obvia.
De manera más general, si V es una suma directa (interna) de los subespacios U y W,
entonces el espacio cociente V / U es naturalmente isomorfo a W . [5]
Un ejemplo importante de un espacio de cociente funcional es un espacio L p .
Propiedades
Hay un epimorfismo natural de V al espacio cociente V / U dado al enviar x a su clase de equivalencia [ x ]. El kernel (o espacio nulo) de esta epimorfismo es el subespacio U . Esta relación está claramente resumida por la breve secuencia exacta
Si U es un subespacio de V , la dimensión de V / T se llama el codimensión de U en V . Dado que una base de V puede construirse a partir de una base A de U y una base B de V / U agregando un representante de cada elemento de B a A , la dimensión de V es la suma de las dimensiones de U y V / U . Si V es de dimensión finita , se deduce que la codimensión de U en V es la diferencia entre las dimensiones de V y U : [6] [7]
Sea T : V → W un operador lineal . El núcleo de T , ker denotado ( T ), es el conjunto de todos los x ∈ V tal que Tx = 0. El núcleo es un subespacio de V . El primer teorema de isomorfismo del álgebra lineal dice que el espacio cociente V / ker ( T ) es isomorfo a la imagen de V en W . Un corolario inmediato, para espacios de dimensión finita, es el teorema de rango-nulidad : la dimensión de V es igual a la dimensión del núcleo (la nulidad de T ) más la dimensión de la imagen (el rango de T ).
El cokernel de un operador lineal T : V → W se define como el espacio del cociente W / im ( T ).
Cociente de un espacio de Banach por un subespacio
Si X es un espacio de Banach y M es un subespacio cerrado de X , entonces el cociente X / M es nuevamente un espacio de Banach. El espacio del cociente ya está dotado de una estructura de espacio vectorial por la construcción de la sección anterior. Definimos una norma en X / M por
Cuando X está completo, entonces el espacio del cociente X / M está completo con respecto a la norma y, por lo tanto, un espacio de Banach. [ cita requerida ]
Ejemplos de
Sea C [0,1] el espacio de Banach de funciones continuas de valor real en el intervalo [0,1] con la norma sup . Denotar el subespacio de todas las funciones f ∈ C [0,1] con f (0) = 0 por M . A continuación, la clase de equivalencia de alguna función g se determina por su valor en 0, y el espacio cociente C [0,1] / M es isomorfo a R .
Si X es un espacio de Hilbert , entonces el espacio cociente X / M es isomorfo al complemento ortogonal de M .
Generalización a espacios localmente convexos
El cociente de un espacio localmente convexo por un subespacio cerrado es de nuevo localmente convexo. [8] De hecho, suponga que X es localmente convexo de modo que la topología de X es generada por una familia de seminormas { p α | α ∈ A } donde A es un conjunto de índices. Sea M un subespacio cerrado, y defina seminormas q α en X / M por
Entonces X / M es un espacio localmente convexo y la topología en él es la topología del cociente .
Si, además, X es metrizable , entonces también lo es X / M . Si X es un espacio de Fréchet , entonces también lo es X / M . [9]
Ver también
- Grupo cociente
- Módulo de cociente
- Conjunto de cociente
- Espacio de cociente (topología)
Referencias
- ^ Halmos (1974) págs. 33-34 §§ 21-22
- ^ Katznelson y Katznelson (2008) p. 9 § 1.2.4
- ^ Roman (2005) p. 75-76, cap. 3
- ^ Axler (2015) p. 95, párrafo 3.83
- ^ Halmos (1974) p. 34, § 22, Teorema 1
- ^ Axler (2015) p. 97, párrafo 3.89
- ^ Halmos (1974) p. 34, § 22, Teorema 2
- ^ Dieudonné (1976) p. 65, párrafo 12.14.8
- ^ Dieudonné (1976) p. 54, párrafo 12.11.3
Fuentes
- Axler, Sheldon (2015). Álgebra lineal bien hecha . Textos de Licenciatura en Matemáticas (3ª ed.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
- Dieudonné, Jean (1976), Tratado de análisis , 2 , Academic Press , ISBN 978-0122155024
- Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Espacios vectoriales de dimensión finita . Textos de Licenciatura en Matemáticas (2ª ed.). Springer . ISBN 0-387-90093-4.
- Katznelson, Yitzhak ; Katznelson, Yonatan R. (2008). Una introducción (concisa) al álgebra lineal . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4419-9.
- Roman, Steven (2005). Álgebra lineal avanzada . Textos de Posgrado en Matemáticas (2ª ed.). Springer . ISBN 0-387-24766-1.