En astrodinámica y mecánica celeste, una trayectoria radial es una órbita de Kepler con momento angular cero . Dos objetos en una trayectoria radial se mueven directamente hacia o alejándose uno del otro en línea recta.
Clasificación
Hay tres tipos de trayectorias radiales (órbitas). [1]
- Trayectoria elíptica radial : una órbita que corresponde a la parte de una elipse degenerada desde el momento en que los cuerpos se tocan y se alejan hasta que se vuelven a tocar. La velocidad relativa de los dos objetos es menor que la velocidad de escape . Ésta es una órbita elíptica con eje semi-menor = 0 y excentricidad = 1. Aunque la excentricidad es 1, esta no es una órbita parabólica. Si el coeficiente de restitución de los dos cuerpos es 1 (perfectamente elástico) esta órbita es periódica. Si el coeficiente de restitución es menor que 1 (inelástico), esta órbita no es periódica.
- Trayectoria parabólica radial , una órbita no periódica donde la velocidad relativa de los dos objetos es siempre igual a la velocidad de escape. Hay dos casos: los cuerpos se alejan o se acercan.
- Trayectoria hiperbólica radial : una órbita no periódica donde la velocidad relativa de los dos objetos siempre excede la velocidad de escape. Hay dos casos: los cuerpos se alejan o se acercan. Ésta es una órbita hiperbólica con eje semi-menor = 0 y excentricidad = 1. Aunque la excentricidad es 1, esta no es una órbita parabólica.
A diferencia de las órbitas estándar que se clasifican por su excentricidad orbital , las órbitas radiales se clasifican por su energía orbital específica , la suma constante de la energía cinética y potencial total, dividida por la masa reducida :
donde x es la distancia entre los centros de las masas, v es la velocidad relativa yes el parámetro gravitacional estándar .
Otra constante viene dada por:
- Para trayectorias elípticas, w es positivo. Es la inversa de la distancia de apoapsis (distancia máxima).
- Para trayectorias parabólicas, w es cero.
- Para trayectorias hiperbólicas, w es negativo, es dónde es la velocidad a una distancia infinita.
El tiempo en función de la distancia
Dada la separación y la velocidad en cualquier momento, y la masa total, es posible determinar la posición en cualquier otro momento.
El primer paso es determinar la constante w. Utilice el signo de w para determinar el tipo de órbita.
dónde y son la separación y la velocidad relativa en cualquier momento.
Trayectoria parabólica
donde t es el tiempo desde o hasta el momento en que las dos masas, si fueran masas puntuales, coincidirían, yx es la separación.
Esta ecuación se aplica solo a las trayectorias parabólicas radiales; para las trayectorias parabólicas generales, consulte la ecuación de Barker .
Trayectoria elíptica
donde t es el tiempo desde o hasta el momento en que las dos masas, si fueran masas puntuales, coincidirían, yx es la separación.
Esta es la ecuación radial de Kepler . [2]
Véanse también las ecuaciones para un cuerpo que cae .
Trayectoria hiperbólica
donde t es el tiempo desde o hasta el momento en que las dos masas, si fueran masas puntuales, coincidirían, yx es la separación.
Forma universal (cualquier trayectoria)
La ecuación radial de Kepler se puede hacer "universal" (aplicable a todas las trayectorias):
o expandiendo en una serie de potencias:
El problema radial de Kepler (distancia en función del tiempo)
El problema de encontrar la separación de dos cuerpos en un momento dado, dada su separación y velocidad en otro momento, se conoce como el problema de Kepler . Esta sección resuelve el problema de Kepler para órbitas radiales.
El primer paso es determinar la constante . Usa el signo de para determinar el tipo de órbita.
Dónde y son la separación y la velocidad en cualquier momento.
Trayectoria parabólica
Véase también la posición como función del tiempo en una órbita de escape recta .
Forma universal (cualquier trayectoria)
Se utilizan dos cantidades intermedias: w, y la separación en el tiempo t que tendrían los cuerpos si estuvieran en una trayectoria parabólica, p.
¿Dónde es el momento? es la posición inicial, es la velocidad inicial, y .
La ecuación radial inversa de Kepler es la solución al problema radial de Kepler:
Evaluar esto rinde:
Las series de potencias se pueden diferenciar fácilmente término por término. La diferenciación repetida da las fórmulas para la velocidad, aceleración, tirón, chasquido, etc.
Órbita dentro de un eje radial
La órbita dentro de un eje radial en un cuerpo esférico uniforme [3] sería un movimiento armónico simple , porque la gravedad dentro de dicho cuerpo es proporcional a la distancia al centro. Si el cuerpo pequeño entra y / o sale del cuerpo grande en su superficie, la órbita cambia de o hacia uno de los discutidos anteriormente. Por ejemplo, si el eje se extiende de una superficie a otra, es posible una órbita cerrada que consta de partes de dos ciclos de movimiento armónico simple y partes de dos órbitas elípticas radiales diferentes (pero simétricas).
Ver también
Referencias
- Cowell, Peter (1993), Resolviendo la ecuación de Kepler durante tres siglos, William Bell.
enlaces externos
- Ecuación de Kepler en Mathworld [1]