El radián , denotado por el símbolo, [1] es la unidad SI para medir ángulos y es la unidad estándar de medida angular utilizada en muchas áreas de las matemáticas . Anteriormente, la unidad era una unidad suplementaria del SI (antes de que se aboliera esa categoría en 1995) y el radián es ahora una unidad derivada del SI . [2] El radianes se define en el SI como un valor adimensional y, por consiguiente, su símbolo se omite a menudo, especialmente en la escritura matemática.
Radián | |
---|---|
Unidad de sistema | Unidad derivada del SI |
Unidad de | Ángulo |
Símbolo | rad, co r |
En unidades | Adimensional con una longitud de arco igual al radio, es decir, 1 metro/metro |
Conversiones | |
1 rad en ... | ... es igual a ... |
milliradianos | 1000 mrad |
vueltas | 1/2 π turno |
grados | 180/π ≈ 57.296 ° |
graduados | 200/π≈ 63,662 g |
Definición
Un radián se define como el ángulo subtendido desde el centro de un círculo que intercepta un arco de longitud igual al radio del círculo. [3] De manera más general, la magnitud en radianes de un ángulo subtendido es igual a la relación entre la longitud del arco y el radio del círculo; es decir, θ = s / r , donde θ es el ángulo subtendido en radianes, s es la longitud del arco y r es el radio. A la inversa, la longitud del arco interceptado es igual al radio multiplicado por la magnitud del ángulo en radianes; es decir, s = rθ .
Como razón de dos longitudes, el radianes es un número puro . [a] En SI, el radianes se define con el valor 1 . [7] Como consecuencia, en la escritura matemática, el símbolo "rad" casi siempre se omite. Al cuantificar un ángulo en ausencia de cualquier símbolo, se asumen radianes, y cuando se refieren a grados, se utiliza el signo de grados ° .
De ello se deduce que la magnitud en radianes de una revolución completa (360 grados) es la longitud de toda la circunferencia dividida por el radio, o 2 π r / r , o 2 π . Así, 2 pi radianes es igual a 360 grados, lo que significa que un radián es igual a 180 / pi ≈ 57.29577 95.130 82.320 876 grados. [8]
La relación 2 π rad = 360 ° se puede derivar usando la fórmula para la longitud del arco . Tomando la fórmula para la longitud del arco, o. Suponiendo un círculo unitario; por lo tanto, el radio es 1. Dado que el radio es la medida de un ángulo que subtiende un arco de una longitud igual al radio del círculo,. Esto se puede simplificar aún más para. Multiplicar ambos lados por 360 ° da 360 ° = 2 π rad .
Historia
El concepto de medida en radianes, en oposición al grado de un ángulo, normalmente se le atribuye a Roger Cotes en 1714. [9] [10] Describió el radianes en todo menos en el nombre, y reconoció su naturalidad como una unidad de medida angular. Antes de que el término radián se generalizara, la unidad se llamaba comúnmente medida circular de un ángulo. [11]
La idea de medir ángulos por la longitud del arco ya estaba en uso por otros matemáticos. Por ejemplo, al-Kashi (c. 1400) usó las llamadas partes de diámetro como unidades, donde una parte de diámetro era 1/60radián. También utilizaron subunidades sexagesimales de la parte de diámetro. [12]
El término radian apareció impreso por primera vez el 5 de junio de 1873, en las preguntas de examen establecidos por James Thomson (hermano de Lord Kelvin ) en la universidad de la reina , Belfast . Había utilizado el término ya en 1871, mientras que en 1869, Thomas Muir , entonces de la Universidad de St Andrews , vacilaba entre los términos rad , radial y radián . En 1874, después de una consulta con James Thomson, Muir adoptó el radián . [13] [14] [15] El nombre radián no se adoptó universalmente durante algún tiempo después de esto. La trigonometría escolar de Longmans todavía se llamaba medida circular en radianes cuando se publicó en 1890. [16]
Símbolo de la unidad
La Oficina Internacional de Pesas y Medidas [17] y la Organización Internacional de Normalización [18] especifican rad como símbolo del radianes. Los símbolos alternativos usados hace 100 años son c (la letra c en superíndice, para "medida circular"), la letra r, o un superíndice R , [19] pero estas variantes se usan con poca frecuencia, ya que pueden confundirse con un símbolo de grado ( °) o un radio (r). Por tanto, un valor de 1,2 radianes se escribiría normalmente como 1,2 rad; otras notaciones incluyen 1,2 R, 1,2 rad , 1,2 c , o 1,2 R .
Conversiones
Vueltas | Radianes | Grados | Gradianos o gons |
---|---|---|---|
0 | 0 | 0 ° | 0 g |
1/24 | π/12 | 15 ° | dieciséis+2/3gramo |
1/dieciséis | π/8 | 22,5 ° | 25 g |
1/12 | π/6 | 30 ° | 33+1/3gramo |
1/10 | π/5 | 36 ° | 40 g |
1/8 | π/4 | 45 ° | 50 g |
1/2 π | 1 | C. 57,3 ° | C. 63,7 g |
1/6 | π/3 | 60 ° | 66+2/3gramo |
1/5 | 2 π/5 | 72 ° | 80 g |
1/4 | π/2 | 90 ° | 100 g |
1/3 | 2 π/3 | 120 ° | 133+1/3gramo |
2/5 | 4 π/5 | 144 ° | 160 g |
1/2 | π | 180 ° | 200 g |
3/4 | 3 π/2 | 270 ° | 300 g |
1 | 2 π | 360 ° | 400 g |
Conversión entre radianes y grados
Como se dijo, un radianes es igual a . Por lo tanto, para convertir de radianes a grados, multiplique por.
Por ejemplo:
Por el contrario, para convertir de grados a radianes, multiplique por .
Por ejemplo:
Los radianes se pueden convertir en vueltas (revoluciones completas) dividiendo el número de radianes por 2 π .
Derivación de conversión de radianes a grados
La longitud de la circunferencia de un círculo está dada por , dónde es el radio del círculo.
Entonces la siguiente relación equivalente es verdadera:
[Desde un se necesita un barrido para dibujar un círculo completo]
Según la definición de radianes, un círculo completo representa:
Combinando las dos relaciones anteriores:
Conversión entre radianes y gradianes
radianes es igual a una vuelta , que es por definición 400 gradianes (400 gons o 400 g ). Entonces, para convertir de radianes a gradianes, multiplique por, y para convertir de gradianes a radianes, multiplique por . Por ejemplo,
Ventajas de medir en radianes
En cálculo y en la mayoría de las otras ramas de las matemáticas más allá de la geometría práctica , los ángulos se miden universalmente en radianes. Esto se debe a que los radianes tienen una "naturalidad" matemática que conduce a una formulación más elegante de una serie de resultados importantes.
Más notablemente, los resultados en análisis que involucran funciones trigonométricas pueden expresarse elegantemente, cuando los argumentos de las funciones se expresan en radianes. Por ejemplo, el uso de radianes conduce a la fórmula de límite simple
que es la base de muchas otras identidades en matemáticas, incluyendo
- [8]
Debido a estas y otras propiedades, las funciones trigonométricas aparecen en soluciones a problemas matemáticos que no están obviamente relacionados con los significados geométricos de las funciones (por ejemplo, las soluciones de la ecuación diferencial , la evaluación de la integral y así). En todos estos casos, se encuentra que los argumentos de las funciones se escriben más naturalmente en la forma que corresponde, en contextos geométricos, a la medida de ángulos en radianes.
Las funciones trigonométricas también tienen expansiones en serie simples y elegantes cuando se utilizan radianes. Por ejemplo, cuando x está en radianes, la serie de Taylor para sen x se convierte en:
Si x se expresara en grados, entonces la serie contendría factores desordenados que involucren potencias de π / 180: si x es el número de grados, el número de radianes es y = π x / 180 , entonces
En un espíritu similar, las relaciones matemáticamente importantes entre las funciones seno y coseno y la función exponencial (ver, por ejemplo, la fórmula de Euler ) se pueden enunciar elegantemente, cuando los argumentos de las funciones están en radianes (y desordenados en caso contrario).
Análisis dimensional
Aunque el radianes es una unidad de medida, es una cantidad adimensional . Esto se puede ver en la definición dada anteriormente: el ángulo subtendido en el centro de un círculo, medido en radianes, es igual a la relación entre la longitud del arco encerrado y la longitud del radio del círculo. Dado que las unidades de medida se cancelan, esta relación es adimensional.
Aunque las coordenadas polares y esféricas usan radianes para describir coordenadas en dos y tres dimensiones, la unidad se deriva de la coordenada del radio, por lo que la medida del ángulo sigue siendo adimensional. [20]
Uso en física
El radián se usa ampliamente en física cuando se requieren medidas angulares. Por ejemplo, la velocidad angular se mide típicamente en radianes por segundo (rad / s). Una revolución por segundo es igual a 2 π radianes por segundo.
De manera similar, la aceleración angular a menudo se mide en radianes por segundo por segundo (rad / s 2 ).
A los efectos del análisis dimensional, las unidades de velocidad angular y aceleración angular son s −1 y s −2 respectivamente.
Asimismo, la diferencia de fase de dos ondas también se puede medir en radianes. Por ejemplo, si la diferencia de fase de dos ondas es ( k ⋅2 π ) radianes, donde k es un número entero, se consideran en fase , mientras que si la diferencia de fase de dos ondas es ( k ⋅2 π + π ), donde k es un número entero, se consideran en antifase.
Múltiplos SI
Los prefijos métricos tienen un uso limitado con radianes y ninguno en matemáticas. Un milirradián (mrad) es una milésima de radianes y un microrradián (μrad) es una millonésima de radianes, es decir, 1 rad = 10 3 mrad = 10 6 μrad .
Hay 2 π × 1000 milirradianes (≈ 6283.185 mrad) en un círculo. Así que un milliradiano está justo por debajo 1/6283del ángulo subtendido por un círculo completo. Esta unidad "real" de medida angular de un círculo está en uso por los fabricantes de visores telescópicos que utilizan telémetro (estadiamétrico) en retículas . La divergencia de los rayos láser también se suele medir en milirradianes.
La OTAN y otras organizaciones militares utilizan una aproximación del milirradiano (0,001 rad) en la artillería y los objetivos . Cada mil angulares representa 1/6400 de un círculo y es 15/8% o 1.875% más pequeño que el milirradian. Para los ángulos pequeños que se encuentran típicamente en el trabajo de focalización, la conveniencia de usar el número 6400 en el cálculo supera los pequeños errores matemáticos que introduce. En el pasado, otros sistemas de artillería han utilizado diferentes aproximaciones para 1/2000 π; por ejemplo Suecia usó el 1/6300 streck y la URSS utilizaron 1/6000. Al estar basado en el milirradiano, el mil de la OTAN subtiende aproximadamente 1 m en un rango de 1000 m (en ángulos tan pequeños, la curvatura es insignificante).
Unidades más pequeñas como microrradianes (μrad) y nanorradianes (nrad) se utilizan en astronomía y también se pueden utilizar para medir la calidad del haz de láseres con divergencia ultrabaja. Más común es el segundo de arco , que es π/648.000 rad (alrededor de 4.8481 microradianes). De manera similar, los prefijos más pequeños que mili- son potencialmente útiles para medir ángulos extremadamente pequeños.
Ver también
- Frecuencia angular
- Minuto y segundo de arco
- Estereorradián , un análogo de mayor dimensión del radián que mide un ángulo sólido
- Trigonometría
Notas
- ^ Si bien el radián se define normalmente como la relación de dos longitudes (es un "número puro"), Mohr y Phillips [4] y otros [5] [6] señalan que pueden surgir problemas si los ángulos se definen como adimensionales .
Referencias
- ^ "Lista de símbolos de geometría y trigonometría" . Bóveda de matemáticas . 2020-04-17 . Consultado el 31 de agosto de 2020 .
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enlaces externos
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