En geometría diferencial , el radio de curvatura , R , es el recíproco de la curvatura . Para una curva , es igual al radio del arco circular que mejor se aproxima a la curva en ese punto. Para las superficies , el radio de curvatura es el radio de un círculo que se ajusta mejor a una sección normal o combinaciones de las mismas. [1] [2] [3]
Definición
En el caso de una curva espacial , el radio de curvatura es la longitud del vector de curvatura .
En el caso de una curva plana , R es el valor absoluto de [3]
donde s es la longitud del arco desde un punto fijo en la curva, φ es el ángulo tangencial y κ es la curvatura .
Fórmula
En 2D
Si la curva se da en coordenadas cartesianas como y ( x ) , entonces el radio de curvatura es (asumiendo que la curva es diferenciable hasta el orden 2):
y | z | denota el valor absoluto de z .
Si la curva está dada paramétricamente por las funciones x ( t ) e y ( t ) , entonces el radio de curvatura es
Heurísticamente, este resultado se puede interpretar como [2]
En n dimensiones
Si γ : ℝ → ℝ n es una curva parametrizada en ℝ n, entonces el radio de curvatura en cada punto de la curva, ρ : ℝ → ℝ , viene dado por [3]
- .
Como caso especial, si f ( t ) es una función de ℝ a ℝ , entonces el radio de curvatura de su gráfica , γ ( t ) = ( t , f ( t )) , es
Derivación
Sea γ como arriba y fije t . Queremos encontrar el radio ρ de un círculo parametrizado que coincide con γ en sus derivadas cero, primera y segunda en t . Claramente, el radio no dependerá de la posición γ ( t ) , solo de la velocidad γ ′ ( t ) y la aceleración γ ″ ( t ) . Sólo hay tres escalares independientes que pueden obtenerse de dos vectores v y w , a saber, v · v , v · w y w · w . Por tanto, el radio de curvatura debe ser función de los tres escalares | γ ′ ( t ) | 2 , | γ ″ ( t ) | 2 y γ ′ ( t ) · γ ″ ( t ) . [3]
La ecuación general para un círculo parametrizado en ℝ n es
donde c ∈ ℝ n es el centro del círculo (irrelevante ya que desaparece en las derivadas), a , b ∈ ℝ n son vectores perpendiculares de longitud ρ (es decir, a · a = b · b = ρ 2y a · b = 0 ), y h : ℝ → ℝ es una función arbitraria que es dos veces diferenciable en t .
Las derivadas relevantes de g resultan ser
Si ahora equiparamos estas derivadas de g con las correspondientes derivadas de γ en t obtenemos
Estas tres ecuaciones en tres incógnitas ( ρ , h ′ ( t ) y h ″ ( t ) ) se pueden resolver para ρ , dando la fórmula para el radio de curvatura:
o, omitiendo el parámetro t para mejorar la legibilidad,
Ejemplos de
Semicírculos y círculos
Para un semicírculo de radio a en el semiplano superior
Para un semicírculo de radio a en el semiplano inferior
El círculo de radio a tiene un radio de curvatura igual a a .
Elipses
En una elipse con eje mayor 2 a y eje menor 2 b , los vértices del eje mayor tienen el radio de curvatura más pequeño de cualquier punto, R =b 2/a; y los vértices del eje menor tienen el mayor radio de curvatura de cualquier punto, R = un 2/B.
Aplicaciones
- Para el uso en geometría diferencial , consulte la ecuación de Cesàro .
- Para el radio de curvatura de la tierra (aproximado por un elipsoide achatado); ver también: medición de arco
- El radio de curvatura también se usa en una ecuación de tres partes para la flexión de vigas .
- Radio de curvatura (óptica)
- Tecnologías de películas delgadas
- Electrónica impresa
Estrés en estructuras semiconductoras
El estrés en la estructura del semiconductor que involucra películas delgadas evaporadas generalmente resulta de la expansión térmica (estrés térmico) durante el proceso de fabricación. El estrés térmico se produce porque las deposiciones de la película generalmente se realizan por encima de la temperatura ambiente. Al enfriarse desde la temperatura de deposición hasta la temperatura ambiente, la diferencia en los coeficientes de expansión térmica del sustrato y la película causa estrés térmico. [4]
El estrés intrínseco resulta de la microestructura creada en la película cuando los átomos se depositan sobre el sustrato. La tensión de tracción resulta de microhuecos (pequeños agujeros, considerados defectos) en la película delgada, debido a la interacción atractiva de los átomos a través de los vacíos.
La tensión en las estructuras semiconductoras de película delgada da como resultado el pandeo de las obleas. El radio de la curvatura de la estructura estresada está relacionado con el tensor de tensión en la estructura y puede describirse mediante la fórmula de Stoney modificada . [5] La topografía de la estructura sometida a esfuerzos, incluidos los radios de curvatura, se puede medir utilizando métodos de escáner óptico. Las modernas herramientas de escaneo tienen la capacidad de medir la topografía completa del sustrato y medir los dos radios de curvatura principales, al tiempo que proporcionan una precisión del orden del 0,1% para radios de curvatura de 90 metros y más. [6]
Ver también
- Sonda AFM
- Radio de la curva base
- Radio de doblaje
- Curva
- Curvatura
- Grado de curvatura (ingeniería civil)
- Diámetro
- Radio mínimo de curva de ferrocarril
- Círculo osculante
- Curva inversa
- Seguimiento de la curva de transición
- Curva de transición
Referencias
- ^ Weisstien, Eric. "Radio de curvatura" . Wolfram Mathworld . Consultado el 15 de agosto de 2016 .
- ^ a b Kishan, Hari (2007). Cálculo diferencial . Atlantic Publishers & Dist. ISBN 9788126908202.
- ^ a b c d Con cariño, Clyde E .; Rainville, Earl D. (1962). Cálculo diferencial e integral (Sexta ed.). Nueva York: MacMillan.
- ^ "Control del estrés en películas delgadas" . Flipchips.com . Consultado el 22 de abril de 2016 .
- ^ "Sobre la determinación de la tensión de la película a partir de la flexión del sustrato: fórmula de Stoney y sus límites" (PDF) . Qucosa.de . Consultado el 22 de abril de 2016 .
- ^ Peter Walecki. "Modelo X" . Zebraoptical.com . Consultado el 22 de abril de 2016 .
Otras lecturas
- do Carmo, Manfredo (1976). Geometría diferencial de curvas y superficies . ISBN 0-13-212589-7.
enlaces externos
- El centro de geometría: curvaturas principales
- 15.3 Curvatura y radio de curvatura
- Weisstein, Eric W. "Curvaturas principales" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Radio de curvatura principal" . MathWorld .