Srinivasa Ramanujan FRS ( / s r ɪ n ɪ v ɑː s r ɑː m ɑː n ʊ dʒ ən / ; [1] nacido Srinivasa Ramanujan Aiyangar , IPA: [sriːniʋaːsa ɾaːmaːnud͡ʑan ajːaŋgar] ; 22 diciembre 1887 hasta 26 abril 1920) [ 2] [3] fue un matemático indio que vivió durante el dominio británico en la India. Aunque casi no tenía una formación formal en matemáticas puras, hizo contribuciones sustanciales al análisis matemático , la teoría de números , las series infinitas y las fracciones continuas , incluidas las soluciones a problemas matemáticos que entonces se consideraban insolubles. Ramanujan desarrolló inicialmente su propia investigación matemática de forma aislada: según Hans Eysenck : "Trató de interesar a los principales matemáticos profesionales en su trabajo, pero fracasó en su mayor parte. Lo que tenía que mostrarles era demasiado novedoso, demasiado desconocido y, además, presentados de formas inusuales; no se les podía molestar ". [4] Buscando matemáticos que pudieran comprender mejor su trabajo, en 1913 inició una correspondencia postal con el matemático inglés GH Hardy en la Universidad de Cambridge , Inglaterra . Reconociendo el trabajo de Ramanujan como extraordinario, Hardy organizó un viaje a Cambridge. En sus notas, Hardy comentó que Ramanujan había producido nuevos teoremas innovadores , incluidos algunos que "me derrotaron por completo; nunca había visto nada parecido a ellos antes", [5] y algunos resultados recientemente probados pero altamente avanzados.
Srinivasa Ramanujan FRS | |
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Nació | |
Fallecido | 26 de abril de 1920 | (32 años)
Otros nombres | Srinivasa Ramanujan Aiyangar |
Ciudadanía | Raj británico |
Educación |
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Conocido por | |
Premios | Miembro de la Royal Society |
Carrera científica | |
Campos | Matemáticas |
Instituciones | Trinity College, Cambridge |
Tesis | Números altamente compuestos (1916) |
Asesores académicos | |
Influencias | GS Carr |
Influenciado | GH Hardy |
Firma | |
Durante su corta vida, Ramanujan compiló de forma independiente cerca de 3.900 resultados (en su mayoría identidades y ecuaciones ). [6] Muchos eran completamente nuevos; Sus resultados originales y muy poco convencionales, como el primo de Ramanujan , la función theta de Ramanujan , las fórmulas de partición y las funciones theta simuladas , han abierto áreas de trabajo completamente nuevas e inspirado una gran cantidad de investigación adicional. [7] Casi todas sus afirmaciones ahora han demostrado ser correctas. [8] The Ramanujan Journal , una revista científica , se estableció para publicar trabajos en todas las áreas de las matemáticas influenciadas por Ramanujan, [9] y sus cuadernos, que contienen resúmenes de sus resultados publicados e inéditos, se han analizado y estudiado durante décadas desde su la muerte como fuente de nuevas ideas matemáticas. Todavía en 2012, los investigadores continuaron descubriendo que los meros comentarios en sus escritos sobre "propiedades simples" y "resultados similares" de ciertos hallazgos eran en sí mismos resultados profundos y sutiles de la teoría de números que permanecieron insospechados hasta casi un siglo después de su muerte. [10] [11] Se convirtió en uno de los miembros más jóvenes de la Royal Society y sólo en el segundo miembro indio, y el primer indio en ser elegido miembro del Trinity College de Cambridge . De sus cartas originales, Hardy afirmó que una sola mirada era suficiente para mostrar que solo podrían haber sido escritas por un matemático del más alto calibre, comparando a Ramanujan con genios matemáticos como Euler y Jacobi .
En 1919, la mala salud, que ahora se cree que fue amebiasis hepática (una complicación de episodios de disentería muchos años antes), obligó a Ramanujan a regresar a la India, donde murió en 1920 a la edad de 32 años. Sus últimas cartas a Hardy, escritas en Enero de 1920, muestra que todavía continuaba produciendo nuevas ideas y teoremas matemáticos. Su " cuaderno perdido ", que contiene los descubrimientos del último año de su vida, causó gran revuelo entre los matemáticos cuando fue redescubierto en 1976.
Un hindú profundamente religioso , [12] Ramanujan atribuyó sus sustanciales capacidades matemáticas a la divinidad , y dijo que el conocimiento matemático que mostró le fue revelado por la diosa de su familia Namagiri Thayar . Una vez dijo: "Una ecuación para mí no tiene significado a menos que exprese un pensamiento de Dios ". [13]
Vida temprana
Ramanujan (literalmente, "hermano menor de Rama ", una deidad hindú [14] : 12 ) nació el 22 de diciembre de 1887 en una familia Tamil Brahmin Iyengar en Erode , Presidencia de Madrás (ahora Tamil Nadu, India ), en la residencia de su abuelos maternos. [14] : 11 Su padre, Kuppuswamy Srinivasa Iyengar, originario del distrito de Thanjavur , trabajaba como empleado en una tienda de saris . [14] : 17–18 [15] Su madre, Komalatammal, era ama de casa y cantaba en un templo local. [16] Vivían en una pequeña casa tradicional en la calle Sarangapani Sannidhi en la ciudad de Kumbakonam . [17] La casa familiar es ahora un museo. Cuando Ramanujan tenía un año y medio, su madre dio a luz a un hijo, Sadagopan, que murió menos de tres meses después. En diciembre de 1889, Ramanujan contrajo viruela , pero se recuperó, a diferencia de los otros 4.000 que murieron en un mal año en el distrito de Thanjavur por esta época. Se mudó con su madre a la casa de sus padres en Kanchipuram , cerca de Madrás (ahora Chennai ). Su madre dio a luz a dos hijos más, en 1891 y 1894, quienes murieron antes de su primer cumpleaños. [14] : 12
El 1 de octubre de 1892, Ramanujan se matriculó en la escuela local. [14] : 13 Después de que su abuelo materno perdió su trabajo como funcionario judicial en Kanchipuram, [14] : 19 Ramanujan y su madre regresaron a Kumbakonam y él fue inscrito en la escuela primaria Kangayan. [14] : 14 Cuando murió su abuelo paterno, lo enviaron de regreso con sus abuelos maternos, que entonces vivían en Madrás. No le gustaba la escuela en Madrás y trató de evitar asistir. Su familia reclutó a un agente local para asegurarse de que asistiera a la escuela. En seis meses, Ramanujan estaba de regreso en Kumbakonam. [14] : 14
Como el padre de Ramanujan estaba en el trabajo la mayor parte del día, su madre cuidaba al niño y tenían una relación cercana. De ella aprendió sobre la tradición y los puranas , a cantar canciones religiosas, a asistir a las pujas en el templo y a mantener hábitos alimenticios particulares, todo parte de la cultura brahmán . [14] : 20 En la escuela primaria Kangayan, Ramanujan se desempeñó bien. Justo antes de cumplir 10 años, en noviembre de 1897, aprobó sus exámenes primarios de inglés, tamil , geografía y aritmética con los mejores puntajes del distrito. [14] : 25 Ese año Ramanujan ingresó a la escuela secundaria superior de la ciudad , donde se encontró con las matemáticas formales por primera vez. [14] : 25
Un niño prodigio a los 11 años, había agotado los conocimientos matemáticos de dos estudiantes universitarios que eran inquilinos en su casa. Más tarde le prestaron un libro escrito por SL Loney sobre trigonometría avanzada. [18] [19] Dominó esto a la edad de 13 años mientras descubría teoremas sofisticados por su cuenta. A los 14 recibió certificados de mérito y premios académicos que continuaron a lo largo de su carrera escolar, y ayudó a la escuela en la logística de asignar a sus 1,200 estudiantes (cada uno con diferentes necesidades) a sus aproximadamente 35 maestros. [14] : 27 Completó los exámenes de matemáticas en la mitad del tiempo asignado y mostró familiaridad con la geometría y las series infinitas . A Ramanujan se le mostró cómo resolver ecuaciones cúbicas en 1902; desarrolló su propio método para resolver el cuártico . Al año siguiente trató de resolver la quíntica , sin saber que no podía ser resuelta por radicales.
En 1903, cuando tenía 16 años, Ramanujan obtuvo de un amigo una copia de la biblioteca de A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics , la colección de 5.000 teoremas de GS Carr . [14] : 39 [20] Según los informes, Ramanujan estudió el contenido del libro en detalle. [21] El libro es generalmente reconocido como un elemento clave para despertar su genio. [21] Al año siguiente, Ramanujan desarrolló e investigó de forma independiente los números de Bernoulli y calculó la constante de Euler-Mascheroni hasta 15 lugares decimales. [14] : 90 Sus compañeros en ese momento dijeron que "rara vez lo entendían" y que "lo admiraban respetuosamente". [14] : 27
Cuando se graduó de Town Higher Secondary School en 1904, Ramanujan recibió el premio K. Ranganatha Rao de matemáticas por el director de la escuela, Krishnaswami Iyer. Iyer presentó a Ramanujan como un estudiante sobresaliente que merecía puntajes más altos que el máximo. [14] Recibió una beca para estudiar en Government Arts College, Kumbakonam , [14] : 28 [14] : 45 pero estaba tan concentrado en las matemáticas que no podía concentrarse en ninguna otra materia y reprobó la mayoría de ellas, perdiendo su beca. en el proceso. [14] : 47 En agosto de 1905 Ramanujan se escapó de su casa, se dirigió a Visakhapatnam , y se quedó en Rajahmundry [22] durante aproximadamente un mes. [14] : 47–48 Más tarde se matriculó en el Pachaiyappa's College en Madrás. Allí pasó en matemáticas, eligiendo solo intentar preguntas que le atraían y dejando el resto sin respuesta, pero tuvo un desempeño pobre en otras materias, como inglés, fisiología y sánscrito. [23] Ramanujan reprobó su examen de Fellow of Arts en diciembre de 1906 y nuevamente un año después. Sin un título de FA, dejó la universidad y continuó realizando una investigación independiente en matemáticas, viviendo en la pobreza extrema y, a menudo, al borde de la inanición. [14] : 55–56
En 1910, después de una reunión entre Ramanujan, de 23 años, y el fundador de la Indian Mathematical Society , V. Ramaswamy Aiyer , Ramanujan comenzó a obtener reconocimiento en los círculos matemáticos de Madrás, lo que lo llevó a su inclusión como investigador en la Universidad de Madras. . [24]
Edad adulta en la India
El 14 de julio de 1909, Ramanujan se casó con Janaki (Janakiammal; 21 de marzo de 1899 - 13 de abril de 1994), [25] una niña que su madre había elegido para él un año antes y que tenía diez años cuando se casaron. [14] : 71 [26] [27] No era inusual entonces que los matrimonios se arreglaran con niñas a una edad temprana. Janaki era de Rajendram, un pueblo cercano a la estación de tren de Marudur ( distrito de Karur ). El padre de Ramanujan no participó en la ceremonia de matrimonio. [28] Como era común en ese momento, Janaki continuó quedándose en su hogar materno durante tres años después del matrimonio, hasta que alcanzó la pubertad. En 1912, ella y la madre de Ramanujan se unieron a Ramanujan en Madrás. [29]
Después del matrimonio, Ramanujan desarrolló un testículo de hidrocele . [14] : 72 La condición podría tratarse con una operación quirúrgica de rutina que liberaría el líquido bloqueado en el saco escrotal, pero su familia no podía pagar la operación. En enero de 1910, un médico se ofreció como voluntario para realizar la cirugía sin costo alguno. [30]
Después de su exitosa cirugía, Ramanujan buscó trabajo. Se quedó en casa de un amigo mientras iba de puerta en puerta por Madrás en busca de un puesto de oficina. Para ganar dinero, fue tutor de estudiantes en Presidency College que se estaban preparando para su examen FA [ aclaración necesaria ] . [14] : 73
A finales de 1910, Ramanujan volvió a enfermarse. Temía por su salud y le dijo a su amigo R. Radakrishna Iyer que "le entregara [sus cuadernos] al profesor Singaravelu Mudaliar [el profesor de matemáticas del Pachaiyappa's College] o al profesor británico Edward B. Ross, del Madras Christian College . " [14] : 74–75 Después de que Ramanujan se recuperó y recuperó sus cuadernos de Iyer, tomó un tren de Kumbakonam a Villupuram , una ciudad bajo control francés. [31] [32] En 1912, Ramanujan se mudó con su esposa y su madre a una casa en la calle Saiva Muthaiah Mudali, George Town , Madras , donde vivieron durante unos meses. [33] En mayo de 1913, tras conseguir un puesto de investigador en la Universidad de Madras, Ramanujan se mudó con su familia a Triplicane . [34]
Seguimiento de la carrera en matemáticas.
En 1910, Ramanujan conoció al coleccionista adjunto V. Ramaswamy Aiyer , quien fundó la Sociedad Matemática de la India. [14] : 77 Deseando un trabajo en el departamento de ingresos donde trabajaba Aiyer, Ramanujan le mostró sus cuadernos de matemáticas. Como Aiyer recordó más tarde:
Me sorprendieron los extraordinarios resultados matemáticos contenidos en [los cuadernos]. No tenía ninguna intención de sofocar su genio con un nombramiento en los peldaños más bajos del departamento de ingresos. [35]
Aiyer envió a Ramanujan, con cartas de presentación, a sus amigos matemáticos en Madrás. [14] : 77 Algunos de ellos miraron su trabajo y le dieron cartas de presentación a R. Ramachandra Rao , el recaudador de distrito de Nellore y el secretario de la Sociedad Matemática de la India. [36] [37] [38] Rao quedó impresionado por la investigación de Ramanujan, pero dudaba que fuera su propio trabajo. Ramanujan mencionó una correspondencia que tuvo con el profesor Saldhana, un matemático notable de Bombay , en la que Saldhana expresó una falta de comprensión de su trabajo, pero concluyó que no era un fraude. [14] : 80 CV Rajagopalachari, amigo de Ramanujan, trató de calmar las dudas de Rao sobre la integridad académica de Ramanujan. Rao accedió a darle otra oportunidad y escuchó a Ramanujan discutir las integrales elípticas , las series hipergeométricas y su teoría de las series divergentes , lo que Rao dijo que finalmente lo convenció de la brillantez de Ramanujan. [14] : 80 Cuando Rao le preguntó qué quería, Ramanujan respondió que necesitaba trabajo y apoyo financiero. Rao consintió y lo envió a Madrás. Continuó su investigación con la ayuda financiera de Rao. Con la ayuda de Aiyer, Ramanujan publicó su trabajo en el Journal of the Indian Mathematical Society. [14] : 86
Uno de los primeros problemas que planteó en la revista fue encontrar el valor de: [14]
Esperó a que se le ofreciera una solución en tres números, durante seis meses, pero no recibió ninguna. Al final, Ramanujan proporcionó la solución al problema él mismo. En la página 105 de su primer cuaderno, formuló una ecuación que podría usarse para resolver el problema de radicales infinitamente anidados .
Usando esta ecuación, la respuesta a la pregunta planteada en la Revista fue simplemente 3, obtenida al establecer x = 2 , n = 1 y a = 0 . [14] : 87 Ramanujan escribió su primer artículo formal para el Journal sobre las propiedades de los números de Bernoulli . Una propiedad que descubrió fue que los denominadores (secuencia A027642 en la OEIS ) de las fracciones de los números de Bernoulli siempre son divisibles por seis. También ideó un método para calcular B n basado en números de Bernoulli anteriores. Uno de estos métodos es el siguiente:
Se observará que si n es par pero no igual a cero,
- B n es una fracción y el numerador deB n/norte en sus términos más bajos es un número primo,
- el denominador de B n contiene cada uno de los factores 2 y 3 una vez y solo una vez,
- 2 n (2 n - 1) B n/nortees un número entero y 2 (2 n - 1) B n, en consecuencia, es un número entero impar .
En su artículo de 17 páginas "Algunas propiedades de los números de Bernoulli" (1911), Ramanujan dio tres pruebas, dos corolarios y tres conjeturas. [14] : 91 Inicialmente, su escritura tenía muchos defectos. Como señaló el editor de la revista , MT Narayana Iyengar:
Los métodos del Sr. Ramanujan eran tan concisos y novedosos y su presentación tan carente de claridad y precisión, que el [lector matemático] ordinario, no acostumbrado a semejante gimnasia intelectual, difícilmente podría seguirlo. [39]
Más tarde, Ramanujan escribió otro artículo y también continuó proporcionando problemas en el Journal . [40] A principios de 1912, consiguió un trabajo temporal en la oficina del Contador General de Madrás , con un salario mensual de 20 rupias. Duró solo unas pocas semanas. [41] Hacia el final de esa asignación, solicitó un puesto en el cargo de Contador Jefe de Madras Port Trust .
En una carta fechada el 9 de febrero de 1912, Ramanujan escribió:
Señor,
tengo entendido que hay una pasantía vacante en su oficina, y le ruego que solicite la misma. Aprobé el examen de matriculación y estudié hasta la FA, pero se me impidió continuar con mis estudios debido a varias circunstancias adversas. Sin embargo, he estado dedicando todo mi tiempo a las matemáticas y desarrollando la asignatura. Puedo decir que estoy bastante seguro de que puedo hacer justicia a mi trabajo si me nombran para el cargo. Por tanto, le ruego que tenga la amabilidad de concederme el nombramiento. [42]
Adjunto a su solicitud había una recomendación de EW Middlemast , un profesor de matemáticas en el Presidency College , quien escribió que Ramanujan era "un joven de una capacidad bastante excepcional en matemáticas". [43] Tres semanas después de presentar la solicitud, el 1 de marzo, Ramanujan se enteró de que había sido aceptado como empleado de contabilidad de clase III, grado IV, por lo que ganaba 30 rupias al mes. [14] : 96 En su oficina, Ramanujan completó fácil y rápidamente el trabajo que se le asignó y pasó su tiempo libre haciendo investigación matemática. El jefe de Ramanujan, Sir Francis Spring , y S. Narayana Iyer, un colega que también fue tesorero de la Sociedad Matemática de la India, animaron a Ramanujan en sus búsquedas matemáticas. [ cita requerida ]
Ponerse en contacto con matemáticos británicos
En la primavera de 1913, Narayana Iyer, Ramachandra Rao y EW Middlemast intentaron presentar el trabajo de Ramanujan a los matemáticos británicos. MJM Hill, del University College de Londres, comentó que los trabajos de Ramanujan estaban llenos de agujeros. [14] : 105 Dijo que aunque Ramanujan tenía "un gusto por las matemáticas y cierta habilidad", carecía de la formación y la base educativas necesarias para ser aceptado por los matemáticos. [44] Aunque Hill no se ofreció a aceptar a Ramanujan como estudiante, le dio consejos profesionales serios y exhaustivos sobre su trabajo. Con la ayuda de amigos, Ramanujan redactó cartas para destacados matemáticos de la Universidad de Cambridge. [14] : 106
Los dos primeros profesores, HF Baker y EW Hobson , devolvieron los trabajos de Ramanujan sin comentarios. [14] : 170-171 El 16 de enero de 1913, Ramanujan escribió a GH Hardy . [45] Viniendo de un matemático desconocido, las nueve páginas de matemáticas hicieron que Hardy inicialmente viera los manuscritos de Ramanujan como un posible fraude. [46] Hardy reconoció algunas de las fórmulas de Ramanujan, pero otras "parecían apenas posibles de creer". [47] : 494 Uno de los teoremas que Hardy encontró asombroso estaba en la parte inferior de la página tres (válido para 0 < a < b + 1/2):
Hardy también quedó impresionado por algunos de los otros trabajos de Ramanujan relacionados con las series infinitas:
El primer resultado ya había sido determinado por G. Bauer en 1859. El segundo era nuevo para Hardy y se derivaba de una clase de funciones llamadas series hipergeométricas , que habían sido investigadas por primera vez por Euler y Gauss. Hardy encontró estos resultados "mucho más intrigantes" que el trabajo de Gauss sobre integrales. [14] : 167 Después de ver los teoremas de Ramanujan sobre fracciones continuas en la última página de los manuscritos, Hardy dijo que los teoremas "me derrotaron por completo; nunca había visto nada en lo más mínimo como ellos antes", [14] : 168 y que "Deben ser verdaderas, porque, si no lo fueran, nadie tendría la imaginación para inventarlas". [14] : 168 Hardy le pidió a un colega, JE Littlewood , que echara un vistazo a los periódicos. Littlewood estaba asombrado por el genio de Ramanujan. Después de discutir los artículos con Littlewood, Hardy concluyó que las cartas eran "ciertamente las más notables que he recibido" y que Ramanujan era "un matemático de la más alta calidad, un hombre de excepcional originalidad y poder". [47] : 494–495 Un colega, EH Neville , comentó más tarde que "ni un [teorema] podría haberse establecido en el examen matemático más avanzado del mundo". [40]
El 8 de febrero de 1913, Hardy le escribió a Ramanujan una carta en la que expresaba interés en su trabajo, y agregaba que era "esencial que yo viese pruebas de algunas de sus afirmaciones". [48] Antes de que su carta llegara a Madrás durante la tercera semana de febrero, Hardy se puso en contacto con la Oficina de la India para planificar el viaje de Ramanujan a Cambridge. El secretario Arthur Davies del Comité Asesor para Estudiantes Indios se reunió con Ramanujan para discutir el viaje al extranjero. [49] De acuerdo con su educación brahmán, Ramanujan se negó a dejar su país para " ir a una tierra extranjera ". [14] : 185 Mientras tanto, le envió a Hardy una carta llena de teoremas, escribiendo: "Encontré un amigo en ti que ve mi trabajo con simpatía". [50]
Para complementar el respaldo de Hardy, Gilbert Walker , un ex profesor de matemáticas en el Trinity College de Cambridge , miró el trabajo de Ramanujan y expresó asombro, instando al joven a pasar un tiempo en Cambridge. [14] : 175 Como resultado del respaldo de Walker, B. Hanumantha Rao, profesor de matemáticas en una facultad de ingeniería, invitó al colega de Ramanujan, Narayana Iyer, a una reunión de la Junta de Estudios en Matemáticas para discutir "lo que podemos hacer por S. Ramanujan ". [51] La junta acordó otorgar a Ramanujan una beca de investigación mensual de 75 rupias durante los próximos dos años en la Universidad de Madrás . [52] Mientras trabajaba como estudiante de investigación, Ramanujan continuó enviando artículos al Journal of the Indian Mathematical Society. En un caso, Iyer presentó algunos de los teoremas de Ramanujan sobre la suma de series a la revista, y agregó: "El siguiente teorema se debe a S. Ramanujan, el estudiante de matemáticas de la Universidad de Madrás". Más tarde, en noviembre, el profesor británico Edward B. Ross del Madras Christian College , a quien Ramanujan había conocido unos años antes, irrumpió en su clase un día con los ojos brillantes y preguntó a sus estudiantes: "¿Ramanujan sabe polaco?" La razón fue que en un artículo, Ramanujan había anticipado el trabajo de un matemático polaco cuyo artículo acababa de llegar en el correo del día. [53] En sus artículos trimestrales, Ramanujan elaboró teoremas para hacer integrales definidas más fáciles de resolver. Trabajando a partir del teorema integral de Giuliano Frullani de 1821, Ramanujan formuló generalizaciones que podrían hacerse para evaluar integrales que antes eran inflexibles. [14] : 183
La correspondencia de Hardy con Ramanujan se agrió después de que Ramanujan se negó a ir a Inglaterra. Hardy reclutó a un colega que daba una conferencia en Madrás, EH Neville, para que fuera el mentor y llevara a Ramanujan a Inglaterra. [14] : 184 Neville le preguntó a Ramanujan por qué no iría a Cambridge. Al parecer, Ramanujan había aceptado ahora la propuesta; Neville dijo, "Ramanujan no necesitaba conversión" y "la oposición de sus padres había sido retirada". [40] Aparentemente, la madre de Ramanujan tuvo un sueño vívido en el que la diosa de la familia, la deidad de Namagiri , le ordenó "no interponerse más entre su hijo y el cumplimiento del propósito de su vida". [40] Ramanujan viajó a Inglaterra en barco, [ ¿cuándo? ] dejando a su esposa para quedarse con sus padres en la India. [ cita requerida ]
La vida en inglaterra
Ramanujan partió de Madrás a bordo del SS Nevasa el 17 de marzo de 1914. [14] : 196 Cuando desembarcó en Londres el 14 de abril, Neville lo estaba esperando con un automóvil. Cuatro días después, Neville lo llevó a su casa en Chesterton Road en Cambridge. Ramanujan inmediatamente comenzó a trabajar con Littlewood y Hardy. Después de seis semanas, Ramanujan se mudó de la casa de Neville y se instaló en Whewell's Court, a cinco minutos a pie de la habitación de Hardy. [14] : 202 Hardy y Littlewood comenzaron a mirar los cuadernos de Ramanujan. Hardy ya había recibido 120 teoremas de Ramanujan en las dos primeras letras, pero había muchos más resultados y teoremas en los cuadernos. Hardy vio que algunos estaban equivocados, otros ya habían sido descubiertos y el resto eran nuevos avances. [54] Ramanujan dejó una profunda impresión en Hardy y Littlewood. Littlewood comentó: "Puedo creer que al menos es un Jacobi ", [55] mientras que Hardy dijo que "sólo puede compararlo con Euler o Jacobi". [56]
Ramanujan pasó casi cinco años en Cambridge colaborando con Hardy y Littlewood, y publicó parte de sus hallazgos allí. Hardy y Ramanujan tenían personalidades muy contrastantes. Su colaboración fue un choque de diferentes culturas, creencias y estilos de trabajo. En las últimas décadas se habían cuestionado los fundamentos de las matemáticas y se reconoció la necesidad de pruebas matemáticamente rigurosas . Hardy era ateo y apóstol de la prueba y el rigor matemático, mientras que Ramanujan era un hombre profundamente religioso que confiaba mucho en su intuición y conocimientos. Hardy hizo todo lo posible por llenar los vacíos en la educación de Ramanujan y orientarlo en la necesidad de pruebas formales para respaldar sus resultados, sin obstaculizar su inspiración, un conflicto que ninguno de los dos encontró fácil.
Ramanujan fue galardonado con una Licenciatura en Artes por el grado de Investigación [57] [58] (el predecesor del doctorado) en marzo de 1916 por su trabajo en números altamente compuestos , secciones de la primera parte de las cuales se habían publicado el año anterior en el Actas de la London Mathematical Society . El documento tenía más de 50 páginas y demostró varias propiedades de tales números. A Hardy no le gustaba esta área temática, pero comentó que, aunque se relacionaba con lo que él llamaba el "remanso de las matemáticas", en ella Ramanujan mostraba "un dominio extraordinario sobre el álgebra de las desigualdades". [59] El 6 de diciembre de 1917, Ramanujan fue elegido miembro de la London Mathematical Society. El 2 de mayo de 1918, fue elegido miembro de la Royal Society , [60] el segundo indio admitido, después de Ardaseer Cursetjee en 1841. A los 31 años, Ramanujan era uno de los miembros más jóvenes de la historia de la Royal Society. Fue elegido "por su investigación en funciones elípticas y la teoría de los números". El 13 de octubre de 1918 fue el primer indio en ser elegido miembro del Trinity College de Cambridge . [14] : 299–300
Enfermedad y muerte
Ramanujan estuvo plagado de problemas de salud a lo largo de su vida. Su salud empeoró en Inglaterra; posiblemente también fue menos resistente debido a la dificultad de cumplir con los estrictos requisitos dietéticos de su religión allí y debido al racionamiento durante la guerra en 1914-18. Le diagnosticaron tuberculosis y una grave deficiencia de vitaminas , y lo recluyeron en un sanatorio . En 1919 regresó a Kumbakonam , presidencia de Madrás , y en 1920 murió a la edad de 32 años. Después de su muerte, su hermano Tirunarayanan compiló las notas manuscritas restantes de Ramanujan, que consisten en fórmulas en módulos singulares, series hipergeométricas y fracciones continuas. [29]
La viuda de Ramanujan, Smt. Janaki Ammal, trasladado a Bombay ; en 1931 regresó a Madrás y se instaló en Triplicane , donde se mantuvo con una pensión de la Universidad de Madras y con ingresos de la sastrería. En 1950 adoptó a un hijo, W. Narayanan, que finalmente se convirtió en funcionario del State Bank of India y formó una familia. En sus últimos años, el antiguo empleador de Ramanujan, Madras Port Trust, le otorgó una pensión vitalicia y pensiones de, entre otros, la Academia Nacional de Ciencias de la India y los gobiernos estatales de Tamil Nadu , Andhra Pradesh y Bengala Occidental . Continuó apreciando la memoria de Ramanujan y participó activamente en los esfuerzos por aumentar su reconocimiento público; matemáticos prominentes, incluidos George Andrews, Bruce C. Berndt y Béla Bollobás, se propusieron visitarla mientras se encontraban en la India. Murió en su residencia Triplicane en 1994. [28] [29]
Un análisis de 1994 de los registros médicos y los síntomas de Ramanujan realizado por el Dr. DAB Young [61] concluyó que sus síntomas médicos , incluidas sus recaídas, fiebres y afecciones hepáticas pasadas, estaban mucho más cerca de los resultantes de la amebiasis hepática , una enfermedad que en ese entonces estaba muy extendida en Madrás. , que la tuberculosis. Tuvo dos episodios de disentería antes de dejar la India. Cuando no se trata adecuadamente, la disentería amebiana puede permanecer latente durante años y provocar amebiasis hepática, cuyo diagnóstico no estaba bien establecido. [62] En ese momento, si se diagnosticaba correctamente, la amebiasis era una enfermedad tratable y, a menudo, curable; [62] [63] Los soldados británicos que la contrajeron durante la Primera Guerra Mundial se curaron con éxito de la amebiasis en la época en que Ramanujan dejó Inglaterra. [64]
Personalidad y vida espiritual
Ramanujan ha sido descrito como una persona de carácter algo tímido y tranquilo, un hombre digno con modales agradables. [65] Vivió una vida sencilla en Cambridge. [14] : 234,241 Los primeros biógrafos indios de Ramanujan lo describen como un hindú rigurosamente ortodoxo . Atribuyó su perspicacia a la diosa de su familia , Namagiri Thayar (Diosa Mahalakshmi) de Namakkal . La miró en busca de inspiración en su trabajo [14] : 36 y dijo que soñaba con gotas de sangre que simbolizaban a su consorte, Narasimha . Más tarde tuvo visiones de pergaminos de contenido matemático complejo desplegándose ante sus ojos. [14] : 281 A menudo decía: "Una ecuación para mí no tiene sentido a menos que exprese un pensamiento de Dios". [66]
Hardy cita a Ramanujan cuando comentó que todas las religiones le parecían igualmente verdaderas. [14] : 283 Hardy argumentó además que la creencia religiosa de Ramanujan había sido romantizada por los occidentales y exagerada —en referencia a su creencia, no a su práctica— por los biógrafos indios. Al mismo tiempo, comentó sobre el estricto vegetarianismo de Ramanujan . [67]
Logros matemáticos
En matemáticas hay una distinción entre comprensión y formulación o elaboración de una demostración. Ramanujan propuso una gran cantidad de fórmulas que podrían investigarse más adelante en profundidad. G. H. Hardy dijo que los descubrimientos de Ramanujan son inusualmente ricos y que a menudo hay más en ellos de lo que inicialmente parece. Como subproducto de su trabajo, se abrieron nuevas direcciones de investigación. Los ejemplos de las fórmulas más intrigantes incluyen series infinitas para π , una de las cuales se da a continuación:
Este resultado se basa en el discriminante fundamental negativo d = −4 × 58 = −232 con el número de clase h ( d ) = 2 . Además, 26390 = 5 × 7 × 13 × 58 y 16 × 9801 = 396 2 , que está relacionado con el hecho de que
Esto podría compararse con los números de Heegner , que tienen la clase número 1 y producen fórmulas similares.
La serie de Ramanujan para π converge extraordinariamente rápido y forma la base de algunos de los algoritmos más rápidos que se utilizan actualmente para calcular π . Truncar la suma al primer término también da la aproximación 9801 √ 2/4412para π , que es correcto hasta seis decimales; truncarlo a los dos primeros términos da un valor correcto a 14 lugares decimales. Véase también la serie más general Ramanujan – Sato .
Una de las capacidades notables de Ramanujan fue la rápida solución de problemas, ilustrada por la siguiente anécdota sobre un incidente en el que PC Mahalanobis planteó un problema:
Imagina que estás en una calle con casas marcadas del 1 al n . Hay una casa entre ( x ) tal que la suma de los números de las casas a su izquierda es igual a la suma de los números de las casas a su derecha. Si n está entre 50 y 500, ¿qué son n y x ? ' Este es un problema bivariado con múltiples soluciones. Ramanujan lo pensó y dio la respuesta con un giro: dio una fracción continua . Lo inusual fue que fue la solución a toda la clase de problemas. Mahalanobis se asombró y le preguntó cómo lo hacía. 'Es simple. En el momento en que escuché el problema, supe que la respuesta era una fracción continua. Qué fracción continua, me pregunté. Entonces la respuesta vino a mi mente ', respondió Ramanujan. " [68] [69]
Su intuición también lo llevó a derivar algunas identidades previamente desconocidas , como
para todos θ tal que y , donde Γ ( z ) es la función gamma , y está relacionada con un valor especial de la función eta de Dedekind . Expandir en series de potencias e igualar coeficientes de θ 0 , θ 4 y θ 8 da algunas identidades profundas para la secante hiperbólica .
En 1918, Hardy y Ramanujan estudiaron extensamente la función de partición P ( n ) . Dieron una serie asintótica no convergente que permite el cálculo exacto del número de particiones de un entero. En 1937 Hans Rademacher refinó su fórmula para encontrar una solución exacta en serie convergente a este problema. El trabajo de Ramanujan y Hardy en esta área dio lugar a un nuevo y poderoso método para encontrar fórmulas asintóticas llamado método del círculo . [70]
En el último año de su vida, Ramanujan descubrió funciones theta simuladas . [71] Durante muchos años estas funciones fueron un misterio, pero ahora se sabe que son las partes holomórficas de las formas armónicas débiles de Maass .
La conjetura de Ramanujan
Aunque hay numerosas declaraciones que podrían haber llevado el nombre de conjetura de Ramanujan, una fue muy influyente en trabajos posteriores. En particular, la conexión de esta conjetura con las de André Weil en geometría algebraica abrió nuevas áreas de investigación. Esa conjetura de Ramanujan es una afirmación sobre el tamaño de la función tau , que tiene como función generadora la forma modular discriminante Δ ( q ), una forma de cúspide típica en la teoría de las formas modulares . Finalmente fue probado en 1973, como consecuencia de la prueba de las conjeturas de Weil de Pierre Deligne . El paso de reducción involucrado es complicado. Deligne ganó una medalla Fields en 1978 por ese trabajo. [7]
En su artículo "Sobre ciertas funciones aritméticas", Ramanujan definió la llamada función delta, cuyos coeficientes se denominan τ ( n ) (la función tau de Ramanujan ). [72] Demostró muchas congruencias para estos números, como τ ( p ) ≡ 1 + p 11 mod 691 para primos p . Esta congruencia (y otras similares que demostró Ramanujan) inspiraron a Jean-Pierre Serre (Medallista Fields de 1954) a conjeturar que existe una teoría de las representaciones de Galois que "explica" estas congruencias y, en general, todas las formas modulares. Δ ( z ) es el primer ejemplo de una forma modular que se estudiará de esta manera. Deligne (en su trabajo ganador de la medalla Fields) demostró la conjetura de Serre. La demostración del último teorema de Fermat procede reinterpretando primero las curvas elípticas y las formas modulares en términos de estas representaciones de Galois. Sin esta teoría, no habría prueba del último teorema de Fermat. [73]
Cuadernos de Ramanujan
Mientras aún estaba en Madrás, Ramanujan registró la mayor parte de sus resultados en cuatro cuadernos de hojas sueltas . En su mayoría fueron redactados sin derivaciones. Este es probablemente el origen del malentendido de que Ramanujan no pudo probar sus resultados y simplemente pensó en el resultado final directamente. El matemático Bruce C. Berndt , en su revisión de estos cuadernos y el trabajo de Ramanujan, dice que Ramanujan ciertamente pudo probar la mayoría de sus resultados, pero decidió no hacerlo.
Esto puede deberse a varias razones. Dado que el papel era muy caro, Ramanujan haría la mayor parte de su trabajo y tal vez sus pruebas en pizarra , y luego transfería solo los resultados al papel. El uso de una pizarra era común para los estudiantes de matemáticas en la presidencia de Madrás en ese momento. También es muy probable que haya sido influenciado por el estilo del libro de GS Carr , que indica los resultados sin pruebas. Finalmente, es posible que Ramanujan considerara que su trabajo era solo por su interés personal y, por lo tanto, registró solo los resultados. [74]
El primer cuaderno tiene 351 páginas con 16 capítulos algo organizados y algo de material desorganizado. El segundo tiene 256 páginas en 21 capítulos y 100 páginas desorganizadas, y el tercero 33 páginas desorganizadas. Los resultados de sus cuadernos inspiraron numerosos artículos de matemáticos posteriores que intentaban probar lo que había encontrado. El propio Hardy escribió artículos explorando material del trabajo de Ramanujan, al igual que GN Watson , BM Wilson y Bruce Berndt. [74] En 1976, George Andrews redescubrió un cuarto cuaderno con 87 páginas desorganizadas, el llamado "cuaderno perdido" . [62]
Hardy – Ramanujan número 1729
El número 1729 se conoce como el número de Hardy-Ramanujan después de una famosa visita de Hardy para ver a Ramanujan en un hospital. En palabras de Hardy: [75]
Recuerdo que una vez fui a verlo cuando estaba enfermo en Putney . Había viajado en el taxi número 1729 y observé que el número me parecía bastante aburrido y que esperaba que no fuera un presagio desfavorable. "No", respondió, "es un número muy interesante; es el número más pequeño que se puede expresar como la suma de dos cubos de dos formas diferentes".
Inmediatamente antes de esta anécdota, Hardy citó a Littlewood diciendo: "Cada entero positivo era uno de los amigos personales [de Ramanujan]". [76]
Las dos formas diferentes son:
Las generalizaciones de esta idea han creado la noción de " números de taxi ".
Puntos de vista de los matemáticos sobre Ramanujan
En su obituario de Ramanujan, escrito para Nature en 1920, Hardy observó que el trabajo de Ramanujan involucró principalmente campos menos conocidos incluso entre otros matemáticos puros, concluyendo:
Su comprensión de las fórmulas fue bastante asombrosa y, en conjunto, más allá de cualquier cosa con la que me haya encontrado en cualquier matemático europeo. Quizás sea inútil especular sobre su historia si hubiera sido introducido a las ideas y métodos modernos a los dieciséis años en lugar de a los veintiséis. No es extravagante suponer que podría haberse convertido en el mayor matemático de su tiempo. Lo que hizo en realidad es bastante maravilloso ... cuando se hayan completado las investigaciones que sugiere su trabajo, probablemente parecerá mucho más maravilloso de lo que parece hoy. [47]
Hardy dijo además: [77]
Combinó un poder de generalización, un sentido de la forma y una capacidad de modificación rápida de sus hipótesis, que a menudo eran realmente sorprendentes, y lo hicieron, en su propio campo peculiar, sin un rival en su época. Las limitaciones de su conocimiento eran tan sorprendentes como su profundidad. Aquí había un hombre que podía elaborar ecuaciones y teoremas modulares ... en órdenes inauditos, cuyo dominio de las fracciones continuas estaba ... más allá del de cualquier matemático del mundo, que había encontrado por sí mismo la ecuación funcional de la función zeta. y los términos dominantes de muchos de los problemas más famosos de la teoría analítica de los números; y, sin embargo, nunca había oído hablar de una función doblemente periódica o del teorema de Cauchy , y de hecho tenía una vaga idea de lo que era una función de una variable compleja ... "
Cuando se le preguntó acerca de los métodos que empleó Ramanujan para llegar a sus soluciones, Hardy dijo que "se llegó a ellos mediante un proceso de mezcla de argumentos, intuición e inducción, del cual no pudo dar una explicación coherente". [78] También dijo que "nunca había conocido a un igual, y sólo puede compararlo con Euler o Jacobi ". [78]
K. Srinivasa Rao ha dicho: [79] "En cuanto a su lugar en el mundo de las matemáticas, citamos a Bruce C. Berndt: ' Paul Erdős nos ha transmitido las calificaciones personales de los matemáticos de Hardy. Supongamos que calificamos a los matemáticos sobre la base de de talento puro en una escala de 0 a 100. Hardy se otorgó una puntuación de 25, JE Littlewood 30, David Hilbert 80 y Ramanujan 100 ' ". Durante una conferencia en mayo de 2011 en IIT Madras , Berndt dijo que durante los últimos 40 años, como casi todas las conjeturas de Ramanujan han sido probadas, ha habido una mayor apreciación del trabajo y la brillantez de Ramanujan, y que el trabajo de Ramanujan ahora está impregnando muchas áreas de la matemática y la física modernas. [71] [80]
Reconocimiento póstumo
El año después de su muerte, Nature incluyó a Ramanujan entre otros distinguidos científicos y matemáticos en un "Calendario de pioneros científicos" que habían alcanzado la eminencia. [81] El estado natal de Ramanujan, Tamil Nadu, celebra el 22 de diciembre (cumpleaños de Ramanujan) como el "Día estatal de la tecnología de la información". Los sellos que representan a Ramanujan fueron emitidos por el gobierno de la India en 1962, 2011, 2012 y 2016. [82]
Desde el año del centenario de Ramanujan, su cumpleaños, el 22 de diciembre, se celebra anualmente como el Día de Ramanujan en el Government Arts College de Kumbakonam , donde estudió, y en el IIT Madras de Chennai . El Centro Internacional de Física Teórica (ICTP) ha creado un premio en nombre de Ramanujan para jóvenes matemáticos de países en desarrollo en cooperación con la Unión Matemática Internacional , que nomina a los miembros del comité del premio. La Universidad SASTRA , una universidad privada con sede en Tamil Nadu , ha instituido el Premio SASTRA Ramanujan de US $ 10,000 que se otorgará anualmente a un matemático que no exceda los 32 años por contribuciones sobresalientes en un área de las matemáticas influenciada por Ramanujan. Basado en las recomendaciones de un comité designado por la Comisión de Becas Universitarias (UGC), Gobierno de la India, el Centro Srinivasa Ramanujan, establecido por SASTRA, ha sido declarado un centro fuera del campus bajo el ámbito de la Universidad SASTRA. House of Ramanujan Mathematics, un museo de la vida y obra de Ramanujan, también se encuentra en este campus. SASTRA compró y renovó la casa donde vivía Ramanujan en Kumabakonam. [83]
En 2011, en el 125 aniversario de su nacimiento, el gobierno indio declaró que el 22 de diciembre se celebrará cada año como Día Nacional de las Matemáticas . [84] El entonces primer ministro indio , Manmohan Singh, también declaró que 2012 se celebraría como el Año Nacional de las Matemáticas . [85]
Ramanujan IT City es una zona económica especial (SEZ) de tecnología de la información (TI) en Chennai que se construyó en 2011. Situada junto al Parque Tidel , incluye 25 acres (10 ha) con dos zonas, con una superficie total de 5,7 millones pies cuadrados (530.000 m 2 ), incluidos 4,5 millones de pies cuadrados (420.000 m 2 ) de espacio para oficinas. [86]
En la cultura popular
- The Man Who Knew Infinity es una película de 2015 basada en el libro de Kanigel. El actor británico Dev Patel interpreta a Ramanujan. [87] [88] [89]
- Ramanujan , una película de colaboración indo-británica que narra la vida de Ramanujan, fue estrenada en 2014 por la compañía cinematográfica independiente Camphor Cinema . [90] El elenco y el equipo incluyen al director Gnana Rajasekaran , al director de fotografía Sunny Joseph y al editor B. Lenin . [91] [92] Las estrellas indias e inglesas Abhinay Vaddi, Suhasini Maniratnam , Bhama , Kevin McGowan y Michael Lieber protagonizan papeles fundamentales. [93]
- Nandan Kudhyadi dirigió los documentales indios The Genius of Srinivasa Ramanujan (2013) y Srinivasa Ramanujan: The Mathematician And His Legacy (2016) sobre el matemático. [94]
- Ramanujan (El hombre que reformó las matemáticas del siglo XX) , una película de docudrama india dirigida por Akashdeep estrenada en 2018. [95]
- La novela de suspenso de MN Krish The Steradian Trail teje a Ramanujan y su descubrimiento accidental en su trama que conecta religión, matemáticas, finanzas y economía. [96] [97]
- Partition , una obra de Ira Hauptman sobre Hardy y Ramanujan, se representó por primera vez en 2013. [98] [99] [100] [101]
- La obra First Class Man de Alter Ego Productions [102] se basó en First Class Man de David Freeman . La obra se centra en Ramanujan y su compleja y disfuncional relación con Hardy. El 16 de octubre de 2011 se anunció que Roger Spottiswoode , mejor conocido por su película de James Bond Tomorrow Never Dies , está trabajando en la versión cinematográfica, protagonizada por Siddharth . [103]
- A Disappearing Number es una producción teatral británica de la compañía Complicite que explora la relación entre Hardy y Ramanujan. [104]
- La novela de David Leavitt The Indian Clerk explora los eventos que siguieron a la carta de Ramanujan a Hardy. [105] [106]
- Google honró a Ramanujan en su 125 aniversario de nacimiento reemplazando su logo con un garabato en su página de inicio. [107] [108]
- Ramanujan fue mencionado en la película de 1997 Good Will Hunting , en una escena donde el profesor Gerald Lambeau ( Stellan Skarsgård ) le explica a Sean Maguire ( Robin Williams ) el genio de Will Hunting ( Matt Damon ) comparándolo con Ramanujan. [109]
- La brillante matemática Amita Ramanujan en el programa de televisión Numb3rs , interpretada por la actriz mitad india Navi Rawat , lleva el nombre de Ramanujan. [ cita requerida ]
Más trabajos de las matemáticas de Ramanujan
- George E. Andrews y Bruce C. Berndt , Cuaderno perdido de Ramanujan: Parte I (Springer, 2005, ISBN 0-387-25529-X ) [110]
- George E. Andrews y Bruce C. Berndt, Cuaderno perdido de Ramanujan: Parte II , (Springer, 2008, ISBN 978-0-387-77765-8 )
- George E. Andrews y Bruce C. Berndt, Cuaderno perdido de Ramanujan: Parte III , (Springer, 2012, ISBN 978-1-4614-3809-0 )
- George E. Andrews y Bruce C. Berndt, Cuaderno perdido de Ramanujan: Parte IV , (Springer, 2013, ISBN 978-1-4614-4080-2 )
- George E. Andrews y Bruce C. Berndt, Cuaderno perdido de Ramanujan: Parte V , (Springer, 2018, ISBN 978-3-319-77832-7 )
- MP Chaudhary, Una solución simple de algunas integrales dada por Srinivasa Ramanujan, (Resonancia: J. Sci. Educación - publicación de la Academia de Ciencias de la India, 2008) [111]
- MP Chaudhary, Funciones theta simuladas para simular conjeturas theta, SCIENTIA, Serie A: Matemáticas. Sci., (22) (2012) 33–46.
- MP Chaudhary, Sobre relaciones modulares para las identidades de tipo Roger-Ramanujan, Pacific J. Appl. Math., 7 (3) (2016) 177–184.
Publicaciones seleccionadas sobre Ramanujan y su obra
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- Berndt, Bruce C. (2006). Teoría de números en el espíritu de Ramanujan . 9 . Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4178-5.
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- Narlikar, Jayant V. (2003). Scientific Edge: el científico indio desde los tiempos védicos hasta los tiempos modernos . Nueva Delhi, India: Penguin Books. ISBN 978-0-14-303028-7.
- Ono, Ken ; Aczel, Amir D. (13 de abril de 2016). Mi búsqueda de Ramanujan: cómo aprendí a contar . Springer . ISBN 978-3319255668.
- Sankaran, TM (2005). "Srinivasa Ramanujan- Ganitha lokathile Mahaprathibha" (en malayalam). Kochi, India: Kerala Sastra Sahithya Parishath. Cite journal requiere
|journal=
( ayuda )
Publicaciones seleccionadas sobre obras de Ramanujan
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- Este libro se publicó originalmente en 1927 [112] después de la muerte de Ramanujan. Contiene los 37 artículos publicados en revistas profesionales por Ramanujan durante su vida. La tercera reimpresión contiene comentarios adicionales de Bruce C. Berndt.
- S. Ramanujan (1957). Cuadernos (2 volúmenes) . Bombay: Instituto Tata de Investigación Fundamental.
- Estos libros contienen fotocopias de los cuadernos originales escritos por Ramanujan.
- S. Ramanujan (1988). El cuaderno perdido y otros artículos inéditos . Nueva Delhi: Narosa. ISBN 978-3-540-18726-4.
- Este libro contiene fotocopias de las páginas del "Cuaderno perdido".
- Problemas planteados por Ramanujan , Revista de la Sociedad Matemática de la India.
- S. Ramanujan (2012). Cuadernos (2 volúmenes) . Bombay: Instituto Tata de Investigación Fundamental.
- Esto fue producido a partir de imágenes escaneadas y microfilmadas de los manuscritos originales por archiveros expertos de la Biblioteca de Investigación Roja Muthiah, Chennai.
Ver también
- 1729 (número)
- Números marrones
- Lista de matemáticos aficionados
- Lista de matemáticos indios
- Gráfico de Ramanujan
- Suma de Ramanujan
- Constante de Ramanujan
- Forma cuadrática ternaria de Ramanujan
- Rango de una partición
Referencias
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enlaces externos
Enlaces de medios
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- Largometraje sobre el genio de las matemáticas Ramanujan de Dev Benegal y Stephen Fry
- Programa de radio de la BBC sobre Ramanujan - episodio 5
- Una canción biográfica sobre la vida de Ramanujan.
Enlaces biográficos
- Srinivasa Ramanujan en el Proyecto de genealogía matemática
- O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Srinivasa Ramanujan" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
- Weisstein, Eric Wolfgang (ed.). "Ramanujan, Srinivasa (1887-1920)" . ScienceWorld .
- Una breve biografía de Ramanujan
- "Nuestro sitio dedicado para un gran genio matemático"
Otros enlaces
- Wolfram, Stephen (27 de abril de 2016). "¿Quién era Ramanujan?" .
- Un grupo de estudio para las matemáticas: Srinivasa Ramanujan Iyengar
- The Ramanujan Journal : una revista internacional dedicada a Ramanujan
- Premios de la Unión Internacional de Matemáticas , incluido un premio Ramanujan
- Hindu.com: genios matemáticos de Noruega y la India , Ramanujan - Ensayos y encuestas , la creciente influencia de Ramanujan , el mentor de Ramanujan
- Hindu.com: el patrocinador de Ramanujan
- Bruce C. Berndt; Robert A. Rankin (2000). "Los libros estudiados por Ramanujan en la India". American Mathematical Monthly . 107 (7): 595–601. doi : 10.2307 / 2589114 . JSTOR 2589114 . Señor 1786233 .
- "Resuelto el rompecabezas de la función theta simulada de Ramanujan"
- Papeles y cuadernos de Ramanujan
- Página de muestra del segundo cuaderno
- Ramanujan en Fried Eye
- Clark, Alex. "163 y Ramanujan Constant" . Numberphile . Brady Haran . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2018 . Consultado el 23 de junio de 2018 .