Proporción

En matemáticas , una razón indica cuántas veces un número contiene a otro. Por ejemplo, si hay ocho naranjas y seis limones en un tazón de fruta, entonces la proporción de naranjas a limones es de ocho a seis (es decir, 8∶6, que es equivalente a la proporción 4 the3). De manera similar, la proporción de limones a naranjas es 6∶8 (o 3∶4) y la proporción de naranjas a la cantidad total de fruta es 8∶14 (o 4∶7).

La relación entre la anchura y la altura de la televisión de definición estándar.

Los números en una razón pueden ser cantidades de cualquier tipo, como recuentos de personas u objetos, o como medidas de longitudes, pesos, tiempo, etc. En la mayoría de los contextos, ambos números están restringidos a ser positivos.

Una razón puede especificarse dando ambos números constitutivos, escritos como " a a b " o " a ∶ b ", ^[1] o dando solo el valor de su cociente. a/B. ^{[2] [3] [4]} Cocientes iguales corresponden a proporciones iguales.

En consecuencia, una razón puede considerarse como un par ordenado de números, una fracción con el primer número en el numerador y el segundo en el denominador, o como el valor denotado por esta fracción. Las proporciones de conteos, dadas por números naturales (distintos de cero) , son números racionales y, a veces, pueden ser números naturales. Cuando se miden dos cantidades con la misma unidad, como suele ser el caso, su relación es un número adimensional . Un cociente de dos cantidades que se miden con diferentes unidades se llama tasa . ^[5]

Notación y terminología

La relación de los números A y B se puede expresar como: ^[6]

• la relación de A a B
• A ∶ B
• A es para B (cuando está seguido de "como C es para D  "; ver más abajo)
• una fracción con A como numerador y B como denominador que representa el cociente (es decir, A dividido por B, o ${\displaystyle {\tfrac {A}{B}}}$). Esto se puede expresar como una fracción simple o decimal, o como un porcentaje, etc. ^[7]

A menudo se utilizan dos puntos (:) en lugar del símbolo de proporción, ^[1] Unicode U + 2236 (∶).

Los números A y B a veces se denominan términos de la razón , siendo A el antecedente y B el consecuente . ^[8]

Una declaración que expresa la igualdad de dos relaciones de A : B y C : D se llama una proporción , ^[9] escrito como A : B = C : D o A : B ∷ C : D . Esta última forma, cuando se habla o escribe en el idioma inglés, a menudo se expresa como

( A es para B ) como ( C es para D ).

A , B , C y D se denominan términos de la proporción. A y D se denominan extremos , y B y C se denominan medias . La igualdad de tres o más razones, como A ∶ B = C ∶ D = E ∶ F , se llama proporción continua . ^[10]

Las proporciones a veces se usan con tres o incluso más términos, por ejemplo, la proporción para las longitudes de los bordes de un " dos por cuatro " que tiene diez pulgadas de largo es por lo tanto

${\displaystyle {\text{thickness : width : length }}=2:4:10;}$

(medidas sin cepillar; los dos primeros números se reducen ligeramente cuando la madera se cepilla suavemente)

una buena mezcla de hormigón (en unidades de volumen) a veces se cita como

${\displaystyle {\text{cement : sand : gravel }}=1:2:4.}$^[11]

Para una mezcla (bastante seca) de 4/1 partes en volumen de cemento a agua, se podría decir que la proporción de cemento a agua es 4∶1, que hay 4 veces más cemento que agua, o que hay un cuarto (1/4) de agua que de cemento.

El significado de tal proporción de razones con más de dos términos es que la razón de dos términos cualesquiera en el lado izquierdo es igual a la razón de los dos términos correspondientes en el lado derecho.

Historia y etimología

Es posible rastrear el origen de la palabra "ratio" en el griego antiguo λόγος ( logos ). Los primeros traductores tradujeron esto al latín como ratio ("razón"; como en la palabra "racional"). Una interpretación más moderna ^{[en comparación con? ]} del significado de Euclides es más parecido a la computación o al ajuste de cuentas. ^[12] Los escritores medievales usaron la palabra providencia ("proporción") para indicar ratio y proporcionalitas ("proporcionalidad") para la igualdad de proporciones. ^[13]

Euclid recopiló los resultados que aparecen en los Elementos de fuentes anteriores. Los pitagóricos desarrollaron una teoría de razón y proporción aplicada a los números. ^[14] La concepción del número de los pitagóricos incluía solo lo que hoy se llamarían números racionales, lo que arroja dudas sobre la validez de la teoría en geometría donde, como también descubrieron los pitagóricos, existen proporciones inconmensurables (correspondientes a números irracionales ). El descubrimiento de una teoría de proporciones que no asume conmensurabilidad probablemente se deba a Eudoxo de Cnidus . La exposición de la teoría de las proporciones que aparece en el Libro VII de Los Elementos refleja la teoría anterior de las proporciones de los conmensurables. ^[15]

La existencia de múltiples teorías parece innecesariamente compleja, ya que las razones se identifican, en gran medida, con los cocientes y sus valores prospectivos. Sin embargo, este es un desarrollo relativamente reciente, como puede verse por el hecho de que los libros de texto de geometría modernos todavía usan terminología y notación distintas para las proporciones y cocientes. Las razones de esto son dos: primero, existía la renuencia mencionada anteriormente a aceptar números irracionales como números verdaderos, y segundo, la falta de un simbolismo ampliamente utilizado para reemplazar la terminología ya establecida de proporciones retrasó la aceptación total de las fracciones como alternativa hasta que el siglo XVI. ^[dieciséis]

Definiciones de Euclides

El libro V de los elementos de Euclides tiene 18 definiciones, todas las cuales se relacionan con las proporciones. ^[17] Además, Euclides usa ideas que eran de uso tan común que no incluyó definiciones para ellas. Las dos primeras definiciones dicen que una parte de una cantidad es otra cantidad que la "mide" y, a la inversa, un múltiplo de una cantidad es otra cantidad que mide. En la terminología moderna, esto significa que un múltiplo de una cantidad es esa cantidad multiplicada por un número entero mayor que uno, y una parte de una cantidad (es decir, parte alícuota ) es una parte que, cuando se multiplica por un número entero mayor que uno, da la cantidad.

Euclides no define el término "medida" como se usa aquí. Sin embargo, se puede inferir que si una cantidad se toma como una unidad de medida, y una segunda cantidad se da como un número entero de estas unidades, entonces la primera cantidad mide el segundo. Estas definiciones se repiten, casi palabra por palabra, como definiciones 3 y 5 en el libro VII.

La definición 3 describe qué es una razón de manera general. No es riguroso en un sentido matemático y algunos lo han atribuido a los editores de Euclides en lugar del propio Euclides. ^[18] Euclides define una razón como entre dos cantidades del mismo tipo , por lo que por esta definición se definen las razones de dos longitudes o de dos áreas, pero no la razón de una longitud y un área. La definición 4 hace que esto sea más riguroso. Establece que existe una razón de dos cantidades, cuando hay un múltiplo de cada una que excede a la otra. En notación moderna, existe una relación entre las cantidades p y q , si existen números enteros m y n tales que pf > q y nq > p . Esta condición se conoce como propiedad de Arquímedes .

La definición 5 es la más compleja y difícil. Define lo que significa que dos proporciones sean iguales. Hoy en día, esto se puede hacer simplemente indicando que las razones son iguales cuando los cocientes de los términos son iguales, pero tal definición no habría tenido sentido para Euclides. En notación moderna, la definición de la igualdad de Euclides es que dada cantidades p , q , r y s , p : q ∷ r  : s si y sólo si, para cualquier enteros positivos m y n , np < mq , np = mq , o np > mq según nr < ms , nr = ms o nr > ms , respectivamente. ^[19] Esta definición tiene afinidades con los cortes de Dedekind ya que, con n y q ambos positivos, np representa mq como pag/q representa el número racional metro/norte(dividiendo ambos términos por nq ). ^[20]

La definición 6 dice que las cantidades que tienen la misma razón son proporcionales o en proporción . Euclides usa el griego ἀναλόγον (analogon), esto tiene la misma raíz que λόγος y está relacionado con la palabra inglesa "analogon".

Definición 7 define lo que significa para una proporción sea menor o mayor que otro y se basa en las ideas presentes en la definición 5. En notación moderna se dice que dada cantidades p , q , r y s , p : q > r : s si hay números enteros positivos m y n de modo que np > mq y nr ≤ ms .

Al igual que con la definición 3, algunos consideran que la definición 8 es una inserción posterior de los editores de Euclides. Define tres términos p , q y r a estar en proporción cuando p : q ∷ q : r . Esta se extiende a 4 términos p , q , r y s como p : q ∷ q : r ∷ r : s , y así sucesivamente. Las secuencias que tienen la propiedad de que las proporciones de términos consecutivos son iguales se denominan progresiones geométricas . Definiciones 9 y 10 se aplican esto, diciendo que si p , q y r son en proporción a continuación, p : r es la relación de duplicado de p : q y si p , q , r y s están en proporción a continuación, p : s es la razón triplicada de p ∶ q .

Número de términos y uso de fracciones

En general, una comparación de las cantidades de una razón de dos entidades se puede expresar como una fracción derivada de la razón. Por ejemplo, en una proporción de 2∶3, la cantidad, tamaño, volumen o cantidad de la primera entidad es${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ el de la segunda entidad.

Si hay 2 naranjas y 3 manzanas, la proporción de naranjas a manzanas es 2∶3, y la proporción de naranjas al número total de piezas de fruta es 2∶5. Estas proporciones también se pueden expresar en forma fraccionaria: hay 2/3 tantas naranjas como manzanas, y 2/5 de las piezas de fruta son naranjas. Si el concentrado de jugo de naranja se va a diluir con agua en la proporción 1∶4, entonces una parte de concentrado se mezcla con cuatro partes de agua, dando cinco partes en total; la cantidad de concentrado de jugo de naranja es 1/4 de la cantidad de agua, mientras que la cantidad de concentrado de jugo de naranja es 1/5 del líquido total. Tanto en las proporciones como en las fracciones, es importante tener claro qué se está comparando con qué, y los principiantes a menudo cometen errores por esta razón.

Las fracciones también se pueden inferir de razones con más de dos entidades; sin embargo, una razón con más de dos entidades no se puede convertir completamente en una sola fracción, porque una fracción solo puede comparar dos cantidades. Se puede usar una fracción separada para comparar las cantidades de cualesquiera dos de las entidades cubiertas por la razón: por ejemplo, a partir de una razón de 2∶3 we7 podemos inferir que la cantidad de la segunda entidad es${\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}$ el de la tercera entidad.

Proporciones y ratios porcentuales

Si multiplicamos todas las cantidades involucradas en una razón por el mismo número, la razón sigue siendo válida. Por ejemplo, una razón de 3∶2 es lo mismo que 12∶8. Es habitual reducir los términos al mínimo común denominador o expresarlos en partes por cien ( porcentaje ).

Si una mezcla contiene las sustancias A, B, C y D en la proporción 5∶9∶4∶2, entonces hay 5 partes de A por cada 9 partes de B, 4 partes de C y 2 partes de D. Como 5 + 9 + 4 + 2 = 20, la mezcla total contiene 5/20 de A (5 partes de 20), 9/20 de B, 4/20 de C y 2/20 de D. Si dividimos todos los números por el total y multiplicar por 100, hemos convertido a porcentajes : 25% A, 45% B, 20% C y 10% D (equivalente a escribir la relación como 25∶45∶20∶10).

Si las dos o más cantidades de relación abarcan todas las cantidades en una situación particular, se dice que "el todo" contiene la suma de las partes: por ejemplo, una canasta de frutas que contiene dos manzanas y tres naranjas y no se hace ninguna otra fruta. de dos partes de manzanas y tres partes de naranjas. En este caso,${\displaystyle {\tfrac {2}{5}}}$, o el 40% del total son manzanas y ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$, o el 60% del total son naranjas. Esta comparación de una cantidad específica con "el todo" se llama proporción.

Si la razón consta de solo dos valores, se puede representar como una fracción, en particular como una fracción decimal. Por ejemplo, los televisores más antiguos tienen una relación de aspecto de 4∶3 , lo que significa que el ancho es 4/3 de la altura (esto también se puede expresar como 1,33∶1 o solo 1,33 redondeado a dos lugares decimales). Los televisores de pantalla ancha más recientes tienen una relación de aspecto de 16∶9, o 1,78 redondeado a dos lugares decimales. Uno de los formatos de película de pantalla ancha más populares es 2,35∶1 o simplemente 2,35. Representar razones como fracciones decimales simplifica su comparación. Al comparar 1,33, 1,78 y 2,35, es obvio qué formato ofrece una imagen más amplia. Esta comparación funciona solo cuando los valores que se comparan son consistentes, como siempre expresar el ancho en relación con la altura.

Reducción

Las razones se pueden reducir (como lo son las fracciones) dividiendo cada cantidad por los factores comunes de todas las cantidades. En cuanto a las fracciones, se considera la forma más simple aquella en la que los números de la razón son los enteros más pequeños posibles.

Por lo tanto, la razón 40∶60 es equivalente en significado a la razón 2∶3, la última se obtiene de la primera dividiendo ambas cantidades por 20. Matemáticamente, escribimos 40∶60 = 2∶3, o equivalentemente 40∶60∷ 2∶3. El equivalente verbal es "40 es 60 como 2 es 3."

Una razón que tiene números enteros para ambas cantidades y que no se puede reducir más (usando números enteros) se dice que está en la forma más simple o en los términos más bajos.

A veces es útil escribir una razón en la forma 1∶ x o x ∶1, donde x no es necesariamente un número entero, para permitir comparaciones de diferentes razones. Por ejemplo, la razón 4∶5 se puede escribir como 1∶1,25 (dividiendo ambos lados entre 4). Alternativamente, se puede escribir como 0,8∶1 (dividiendo ambos lados entre 5).

Cuando el contexto aclara el significado, una razón en esta forma a veces se escribe sin el 1 y el símbolo de razón (∶), aunque, matemáticamente, esto lo convierte en un factor o multiplicador .

Razones irracionales

También se pueden establecer relaciones entre cantidades inconmensurables (cantidades cuya relación, como valor de una fracción, equivale a un número irracional ). El primer ejemplo descubierto, encontrado por los pitagóricos , es la razón entre la longitud de la diagonal d y la longitud de un lado s de un cuadrado , que es la raíz cuadrada de 2 , formalmente${\displaystyle a:d=1:{\sqrt {2}}.}$Otro ejemplo es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, que se llama π , y no es solo un número algebraicamente irracional , sino un irracional trascendental .

También conocido es el cociente de oro de dos (en su mayoría) longitudes de un y b , que se define por la proporción

${\displaystyle a:b=(a+b):a\quad }$ o equivalente ${\displaystyle \quad a:b=(1+b/a):1.}$

Tomando las razones como fracciones y ${\displaystyle a:b}$como teniendo el valor x , da como resultado la ecuación

${\displaystyle x=1+{\tfrac {1}{x}}\quad }$ o ${\displaystyle \quad x^{2}-x-1=0,}$

que tiene la solución positiva e irracional ${\displaystyle x={\tfrac {a}{b}}={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$Por lo tanto al menos uno de un y b tiene que ser irracional para ellos estar en la proporción áurea. Un ejemplo de una ocurrencia de la proporción áurea en matemáticas es como el valor límite de la proporción de dos números de Fibonacci consecutivos : aunque todas estas proporciones son proporciones de dos números enteros y, por lo tanto, son racionales, el límite de la secuencia de estas proporciones racionales es la proporción áurea irracional.

Del mismo modo, la proporción de plata de una y b se define por la proporción

${\displaystyle a:b=(2a+b):a\quad (=(2+b/a):1),}$ correspondiente a ${\displaystyle x^{2}-2x-1=0.}$

Esta ecuación tiene la solución positiva e irracional ${\displaystyle x={\tfrac {a}{b}}=1+{\sqrt {2}},}$Así que de nuevo al menos una de las dos cantidades a y b en la proporción de plata debe ser irracional.

Impares

Las probabilidades (como en los juegos de azar) se expresan como una proporción. Por ejemplo, las probabilidades de "7 a 3 en contra" (7∶3) significan que hay siete posibilidades de que el evento no suceda cada tres posibilidades de que suceda. La probabilidad de éxito es del 30%. En cada diez ensayos, se espera que haya tres victorias y siete derrotas.

Unidades

Las razones pueden no tener unidades , ya que en el caso de que se relacionen cantidades en unidades de la misma dimensión , incluso si sus unidades de medida son inicialmente diferentes. Por ejemplo, la relación 1 minuto ∶ 40 segundos se puede reducir cambiando el primer valor a 60 segundos, por lo que la relación se convierte en 60 segundos ∶ 40 segundos . Una vez que las unidades son las mismas, se pueden omitir y la proporción se puede reducir a 3∶2.

Por otro lado, existen ratios adimensionales, también conocidos como tasas . ^{[21] [22]} En química, las relaciones de concentración de masa generalmente se expresan como fracciones de peso / volumen. Por ejemplo, una concentración del 3% p / v generalmente significa 3 g de sustancia en cada 100 ml de solución. Esto no se puede convertir a una relación adimensional, como en fracciones peso / peso o volumen / volumen.

Coordenadas triangulares

Las ubicaciones de los puntos relativos a un triángulo con vértices A , B y C y lados AB , BC y CA a menudo se expresan en forma de razón extendida como coordenadas triangulares .

En coordenadas baricéntricas , un punto con coordenadas α, β, γ es el punto sobre el cual una hoja de metal ingrávida con la forma y el tamaño de un triángulo se equilibraría exactamente si se pusieran pesos en los vértices, con la relación de los pesos en A y B es α ∶ β , la relación de los pesos en B y C es β ∶ γ y, por lo tanto, la relación de los pesos en A y C es α ∶ γ .

En coordenadas trilineales , un punto con coordenadas x  : y  : z tiene distancias perpendiculares al lado BC (frente al vértice A ) y al lado CA (frente al vértice B ) en la razón x  ∶ y , distancias al lado CA y al lado AB (transversal de C ) en la razón y  ∶ z , y por lo tanto las distancias a los lados BC y AB en la razón x  ∶ z .

Dado que toda la información se expresa en términos de proporciones (los números individuales indicados por α, β, γ, x, y y z no tienen significado por sí mismos), se aplica un análisis de triángulos que utiliza coordenadas baricéntricas o trilineales independientemente del tamaño del triángulo. .

Ver también

• Proporción de dilución
• Relación desplazamiento-longitud
• Cantidad adimensional
• Ratio financiero
• Doblar el cambio
• Intervalo (música)
• Razón de probabilidades
• Notación de partes por
• Relación precio-rendimiento
• Proporcionalidad (matemáticas)
• Distribución de razón
• Estimador de ratios
• Tasa (matemáticas)
• Razón de tasas
• Riesgo relativo
• Regla de tres (matemáticas)
• Escala (mapa)
• Escala (proporción)
• La proporción de sexos
• Relación superparticular
• Pendiente

Referencias

1. "Compendio de símbolos matemáticos" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-01 . Consultado el 22 de agosto de 2020 .
2. Nueva enciclopedia internacional
3. "Ratios" . www.mathsisfun.com . Consultado el 22 de agosto de 2020 .
4. Stapel, Elizabeth. "Ratios" . Purplemath . Consultado el 22 de agosto de 2020 .
5. "El cociente de dos números (o cantidades); los tamaños relativos de dos números (o cantidades)" , "El diccionario de matemáticas" [1]
6. Nueva enciclopedia internacional
7. Las fracciones decimales se utilizan con frecuencia en áreas tecnológicas donde las comparaciones de proporciones son importantes, como las proporciones (imágenes), las proporciones de compresión (motores o almacenamiento de datos), etc.
8. de la Encyclopædia Britannica
9. Heath, p. 126
10. Nueva enciclopedia internacional
11. Sugerencias de mezcla de concreto de Belle Group
12. Penny Cyclopaedia, p. 307
13. Smith, pág. 478
14. Heath, p. 112
15. Heath, p. 113
16. Smith, pág. 480
17. Heath, referencia para la sección
18. "Geometría, euclidiana" Encyclopædia Britannica undécima edición p682.
19. Heath p.114
20. Heath p. 125
21. "'Velocidad' se puede definir como la relación ... 'Densidad de población' es la relación ... 'Consumo de gasolina' se mide como la relación ..." , "Relación y proporción: investigación y enseñanza en profesores de matemáticas" [2]
22. " Razón como tasa . El primer tipo [de razón] definido por Freudenthal , arriba, se conoce como tasa e ilustra una comparación entre dos variables con unidades de diferencia. (...) Una razón de este tipo produce una nuevo concepto con su propia entidad, y este nuevo concepto generalmente no se considera una proporción, per se, sino una tasa o densidad ". , "Razón y proporción: investigación y enseñanza en profesores de matemáticas" [3]

Otras lecturas

• "Proporción" The Penny Cyclopædia vol. 19 , La Sociedad para la Difusión del Conocimiento Útil (1841) Charles Knight and Co., Londres pp. 307ff
• Nueva Enciclopedia Internacional "Proporción" , vol. 19 2ª ed. (1916) Dodd Mead & Co. págs.270-271
• "Razón y proporción" Fundamentos de matemáticas prácticas , George Wentworth, David Eugene Smith, Herbert Druery Harper (1922) Ginn and Co. págs. 55 y sig.
• Los trece libros de Euclid's Elements, vol 2 . trans. Sir Thomas Little Heath (1908). Universidad de Cambridge. Prensa. 1908. págs. 112ff.
• DE Smith, Historia de las Matemáticas, vol 2 Ginn and Company (1925) pp. 477ff. Reimpreso en 1958 por Dover Publications.

enlaces externos