En teoría y estadística de probabilidad , la distribución de Rayleigh es una distribución de probabilidad continua para variables aleatorias con valores no negativos . Es esencialmente una distribución de chi con dos grados de libertad .
Función de densidad de probabilidad | |||
Función de distribución acumulativa | |||
Parámetros | escala: | ||
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A menudo se observa una distribución de Rayleigh cuando la magnitud general de un vector está relacionada con sus componentes direccionales . Un ejemplo en el que surge naturalmente la distribución de Rayleigh es cuando la velocidad del viento se analiza en dos dimensiones . Suponiendo que cada componente no está correlacionado , distribuido normalmente con la misma varianza y media cero , entonces la velocidad general del viento ( magnitud vectorial ) se caracterizará por una distribución de Rayleigh. Un segundo ejemplo de distribución surge en el caso de números complejos aleatorios cuyos componentes reales e imaginarios son gaussianos distribuidos de forma independiente e idéntica con igual varianza y media cero. En ese caso, el valor absoluto del número complejo tiene una distribución de Rayleigh.
La distribución se nombra después de Lord Rayleigh ( / r eɪ l i / ). [1]
Definición
La función de densidad de probabilidad de la distribución de Rayleigh es [2]
dónde es el parámetro de escala de la distribución. La función de distribución acumulativa es [2]
por
Relación con la longitud del vector aleatorio
Considere el vector bidimensional que tiene componentes que están distribuidos normalmente, centrados en cero e independientes. Luego y tienen funciones de densidad
Dejar ser la longitud de . Es decir, Luego tiene función de distribución acumulativa
dónde es el disco
Escribiendo la integral doble en coordenadas polares , se convierte en
Finalmente, la función de densidad de probabilidad para es la derivada de su función de distribución acumulativa, que según el teorema fundamental del cálculo es
que es la distribución de Rayleigh. Es sencillo generalizar a vectores de dimensión que no sea 2. También son generalizaciones cuando los componentes tienen una varianza desigual o correlaciones, o cuando el vector Y sigue un Student bivariante t distribución t . [3]
Generalización a la distribución t de Student bivariada |
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Suponer es un vector aleatorio con componentes que sigue una distribución t multivariante . Si ambos componentes tienen media cero, igual varianza y son independientes, la distribución t de Student bivariada toma la forma: Dejar ser la magnitud de . Entonces la función de distribución acumulada (CDF) de la magnitud es: dónde es el disco definido por: La conversión a coordenadas polares conduce a que la CDF se convierta en: Finalmente, se puede derivar la función de densidad de probabilidad (PDF) de la magnitud: En el limite como , la distribución de Rayleigh se recupera porque: |
Propiedades
Los momentos crudos vienen dados por:
dónde es la función gamma .
La media de una variable aleatoria de Rayleigh es así:
La desviación estándar de una variable aleatoria de Rayleigh es:
La varianza de una variable aleatoria de Rayleigh es:
El modo es y el pdf máximo es
La asimetría viene dada por:
El exceso de curtosis viene dado por:
La función característica viene dada por:
dónde es la función de error imaginario . La función generadora de momentos está dada por
dónde es la función de error .
Entropía diferencial
La entropía diferencial viene dada por [ cita requerida ]
dónde es la constante de Euler-Mascheroni .
Estimación de parámetros
Dada una muestra de N variables aleatorias de Rayleigh independientes e idénticamente distribuidas con parámetro ,
- es la estimación de máxima verosimilitud y también es insesgada .
- es un estimador sesgado que se puede corregir mediante la fórmula
- [4]
Intervalos de confianza
Para encontrar el intervalo de confianza (1 - α ), primero encuentre los límites dónde:
entonces el parámetro de escala caerá dentro de los límites
- [5]
Generando variantes aleatorias
Dada una variable aleatoria U extraída de la distribución uniforme en el intervalo (0, 1), entonces la variable
tiene una distribución de Rayleigh con parámetro . Esto se obtiene aplicando el método de muestreo por transformada inversa .
Distribuciones relacionadas
- se distribuye Rayleigh si , dónde y son variables aleatorias normales independientes . [6] (Esto motiva el uso del símbolo "sigma" en la parametrización anterior de la densidad de Rayleigh).
- La magnitud de una variable estándar compleja normalmente distribuida z tendrá la distribución de Rayleigh.
- La distribución chi con v = 2 es equivalente a la distribución de Rayleigh con σ = 1.
- Si , luego tiene una distribución chi-cuadrado con parámetro, grados de libertad, igual a dos ( N = 2)
- Si , luego tiene una distribución gamma con parámetros y
- La distribución de Rice es una generalización no central de la distribución de Rayleigh:.
- La distribución de Weibull con el "parámetro de forma" k = 2 produce una distribución de Rayleigh. Entonces el parámetro de distribución de Rayleigh está relacionado con el parámetro de escala de Weibull según
- La distribución de Maxwell-Boltzmann describe la magnitud de un vector normal en tres dimensiones.
- Si tiene una distribución exponencial , luego
- La distribución media normal es el caso especial univariante de la distribución de Rayleigh.
Aplicaciones
Se puede encontrar una aplicación de la estimación de σ en la formación de imágenes por resonancia magnética (IRM). Como las imágenes de resonancia magnética se registran como imágenes complejas, pero la mayoría de las veces se ven como imágenes de magnitud, los datos de fondo se distribuyen en Rayleigh. Por lo tanto, la fórmula anterior se puede utilizar para estimar la variación del ruido en una imagen de resonancia magnética a partir de datos de fondo. [7] [8]
La distribución de Rayleigh también se utilizó en el campo de la nutrición para vincular los niveles de nutrientes de la dieta y las respuestas de los seres humanos y los animales . De esta manera, el parámetro σ puede usarse para calcular la relación de respuesta de nutrientes. [9]
En el campo de la balística , la distribución de Rayleigh se utiliza para calcular el error circular probable , una medida de la precisión de un arma.
En oceanografía física , la altura significativa de las olas puede derivarse analíticamente, ya que la distribución de las alturas de las olas sigue aproximadamente una distribución de Rayleigh. [10]
Ver también
- Rayleigh desvaneciéndose
- Distribución de la mezcla de Rayleigh
- Error circular probable
Referencias
- ^ "La teoría ondulatoria de la luz", Enciclopédica Britannica 1888; "El problema del paseo aleatorio", Nature 1905 vol.72 p.318
- ^ a b Papoulis, Athanasios; Pillai, S. (2001) Probabilidad, variables aleatorias y procesos estocásticos . ISBN 0073660116 , ISBN 9780073660110 [ página necesaria ]
- ^ Röver, C. (2011). "Filtro basado en Student-t para una detección de señal robusta". Physical Review D . 84 (12): 122004. arXiv : 1109.0442 . Código Bibliográfico : 2011PhRvD..84l2004R . doi : 10.1103 / physrevd.84.122004 .
- ^ Siddiqui, MM (1964) "Inferencia estadística para distribuciones de Rayleigh", The Journal of Research de la Oficina Nacional de Normas, Sec. D: Radio Science , vol. 68D, núm. 9, pág. 1007
- ^ Siddiqui, MM (1961) "Algunos problemas relacionados con las distribuciones de Rayleigh", The Journal of Research de la Oficina Nacional de Normas; Segundo. D: Propagación por radio , vol. 66D, núm. 2, pág. 169
- ^ Hogema, Jeroen (2005) "Estadísticas del grupo de disparos"
- ^ Sijbers, J .; den Dekker, AJ; Raman, E .; Van Dyck, D. (1999). "Estimación de parámetros a partir de imágenes de RM de magnitud". Revista internacional de sistemas y tecnología de imágenes . 10 (2): 109-114. CiteSeerX 10.1.1.18.1228 . doi : 10.1002 / (sici) 1098-1098 (1999) 10: 2 <109 :: aid-ima2> 3.0.co; 2-r .
- ^ den Dekker, AJ; Sijbers, J. (2014). "Distribuciones de datos en imágenes de resonancia magnética: una revisión". Physica Medica . 30 (7): 725–741. doi : 10.1016 / j.ejmp.2014.05.002 . PMID 25059432 .
- ^ Ahmadi, Hamed (21 de noviembre de 2017). "Una función matemática para la descripción de la curva de respuesta a los nutrientes" . PLOS ONE . 12 (11): e0187292. Código bibliográfico : 2017PLoSO..1287292A . doi : 10.1371 / journal.pone.0187292 . ISSN 1932-6203 . PMC 5697816 . PMID 29161271 .
- ^ "Distribución de probabilidad de Rayleigh aplicada a alturas de onda aleatorias" (PDF) . Academia Naval de los Estados Unidos.