Espacio de coordenadas real

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La estructura del producto cartesiano de

R 2

en el plano cartesiano de pares ordenados

(x, y)

. Las líneas azules significan ejes de coordenadas , líneas verdes horizontales son número entero

y

, líneas cian verticales son número entero

x

, líneas marrón-naranja muestran medio-número entero

x

o

y

sus tinte mostrar los múltiplos de, magenta y décimo (mejor visto bajo ampliación)

En matemáticas , un verdadero espacio de coordenadas de dimensión $n$ , escrito $R n$ ( / ɑr ɛ n / Ar- ES ) o , es un espacio de coordenadas a través de los números reales . Esto significa que es el conjunto de $n$ tuplas de números reales (secuencias de $n$ números reales). Con la suma de componentes y la multiplicación escalar, es un espacio vectorial real . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Normalmente, las coordenadas cartesianas de los elementos de un espacio euclidiano forman un espacio de coordenadas real. Esto explica el nombre del espacio de coordenadas y el hecho de que los términos geométricos se utilizan a menudo cuando se trabaja con espacios de coordenadas. Por ejemplo, $R 2$ es un avión .

Los espacios de coordenadas se utilizan mucho en geometría y física , ya que sus elementos permiten ubicar puntos en espacios euclidianos y calcular con ellos.

Definición y estructuras [ editar ]

Para cualquier número natural $n$ , el conjunto $R n$ consta de todas las $n$ - tuplas de números reales ( $R$ ). Se llama " espacio real $n-$ dimensional" o "espacio $n$ real ".

Por tanto, un elemento de $R n$ es una $n-$ tupla, y se escribe

{\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}

donde cada $x i$ es un número real. Entonces, en el cálculo multivariable , el dominio de una función de varias variables reales y el codominio de una función valuada por vector real son subconjuntos de $R n$ para algunos $n$ .

El espacio $n$ real tiene varias propiedades más, en particular:

Con la suma por componentes y la multiplicación escalar , es un espacio vectorial real . Todo espacio vectorial real $n-$ dimensional es isomórfico a él.
Con el producto escalar (suma del producto término por término de los componentes), es un espacio de producto interno . Cada espacio de producto interno real $n-$ dimensional es isomorfo a él.
Como todo espacio de producto interno, es un espacio topológico y un espacio vectorial topológico .
Es un espacio euclidiano y un espacio afín real , y todo espacio euclidiano o afín es isomórfico a él.
Es una variedad analítica y puede considerarse como el prototipo de todas las variedades , ya que, por definición, una variedad es, cerca de cada punto, isomorfa a un subconjunto abierto de $R n$ .
Es una variedad algebraica y toda variedad algebraica real es un subconjunto de $R n$ .

Estas propiedades y estructuras de $R n lo$ hacen fundamental en casi todas las áreas de las matemáticas y sus dominios de aplicación, como la estadística , la teoría de la probabilidad y muchas partes de la física .

El dominio de una función de varias variables [ editar ]

Cualquier función $f (x 1, x 2,\dots, x n)$ de $n$ variables reales se puede considerar como una función en $R n$ (es decir, con $R n$ como su dominio ). El uso del espacio $n$ real , en lugar de varias variables consideradas por separado, puede simplificar la notación y sugerir definiciones razonables. Considere, para $n = 2$ , una composición de funciones de la siguiente forma:

{\ Displaystyle F (t) = f (g_ {1} (t), g_ {2} (t)),}

donde las funciones $g 1$ y $g 2$ son continuas . Si

\forall x 1 \in R : f (x 1, \cdot)

es continua (por

x 2

)

\forall x 2 \in R : f (\cdot, x 2)

es continua (por

x 1

)

entonces $F$ no es necesariamente continua. La continuidad es una condición más fuerte: la continuidad de $f$ en lo natural $R 2$ topología ( se discute a continuación ), también llamado continuidad multivariable , que es suficiente para la continuidad de la composición $F$ .

Esta sección necesita expansión . Puede ayudar agregando más . ( Abril de 2013 )

Espacio vectorial [ editar ]

El espacio de coordenadas $R n$ forma un espacio vectorial $n-$ dimensional sobre el campo de los números reales con la adición de la estructura de linealidad , y a menudo todavía se denota $R$ $n$ . Las operaciones en $R$ $n$ como un espacio vectorial se definen típicamente por

{\ Displaystyle \ mathbf {x} + \ mathbf {y} = (x_ {1} + y_ {1}, x_ {2} + y_ {2}, \ ldots, x_ {n} + y_ {n})}

{\ Displaystyle \ alpha \ mathbf {x} = (\ alpha x_ {1}, \ alpha x_ {2}, \ ldots, \ alpha x_ {n}).}

El vector cero viene dado por

{\ Displaystyle \ mathbf {0} = (0,0, \ ldots, 0)}

y el inverso aditivo del vector $x$ viene dado por

{\ Displaystyle - \ mathbf {x} = (- x_ {1}, - x_ {2}, \ ldots, -x_ {n}).}

Esta estructura es importante porque cualquier espacio vectorial real $n-$ dimensional es isomorfo al espacio vectorial $R n$ .

Notación matricial [ editar ]

En la notación matricial estándar , cada elemento de $R n$ se escribe típicamente como un vector de columna

{\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {bmatrix}}}

y a veces como un vector de fila :

\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}.

El espacio de coordenadas $R n$ puede interpretarse entonces como el espacio de todos los vectores de columna de $n \times 1$ , o todos los vectores de fila de $1 \times$ $n$ con las operaciones matriciales ordinarias de suma y multiplicación escalar .

Las transformaciones lineales de $R n$ a $R m$ pueden escribirse como matrices $m \times n$ que actúan sobre los elementos de $R n$ mediante la multiplicación por la izquierda (cuando los elementos de $R n$ son vectores columna) y sobre los elementos de $R m$ mediante la multiplicación por la derecha (cuando son vectores de fila). La fórmula para la multiplicación por la izquierda, un caso especial de multiplicación de matrices , es:

(A{\mathbf {x} })_{k}=\sum \limits _{l=1}^{n}A_{kl}x_{l}

Cualquier transformación lineal es una función continua (ver más abajo ). Además, una matriz define un mapa abierto de $R n$ a $R m$ si y solo si el rango de la matriz es igual a $m$ .

Base estándar [ editar ]

El espacio de coordenadas $R n$ viene con una base estándar:

{\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&=(1,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=(0,1,\ldots ,0)\\&{}\;\;\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=(0,0,\ldots ,1)\end{aligned}}

Para ver que esto es una base, tenga en cuenta que un vector arbitrario en $R n$ se puede escribir de forma única en la forma

\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}.

Propiedades y usos geométricos [ editar ]

Orientación [ editar ]

El hecho de que los números reales , a diferencia de muchos otros campos , constituyan un campo ordenado, produce una estructura de orientación en $R n$ . Cualquier mapa lineal de rango completo de $R n$ a sí mismo conserva o invierte la orientación del espacio dependiendo del signo del determinante de su matriz. Si se permuta coordenadas (o, en otras palabras, elementos de la base), la orientación resultante dependerá de la paridad de la permutación .

Los difeomorfismos de $R n$ o dominios en él , por su virtud de evitar el jacobiano cero , también se clasifican en conservación de orientación y reversión de orientación. Tiene importantes consecuencias para la teoría de las formas diferenciales , cuyas aplicaciones incluyen la electrodinámica .

Otra manifestación de esta estructura es que la reflexión puntual en $R n$ tiene diferentes propiedades dependiendo de la uniformidad de n . Para $n$ par conserva la orientación, mientras que para $n$ impar se invierte (ver también rotación incorrecta ).

Espacio afín [ editar ]

$R n$ entendido como espacio afín es el mismo espacio, donde $R n$ como espacio vectorial actúa por traslación . A la inversa, un vector debe entenderse como una " diferencia entre dos puntos", generalmente ilustrado por un segmento de línea dirigido que conecta dos puntos. La distinción dice que no hay unaelección canónica de dóndedebe irel origen en unespacio $n$ afín, porque se puede traducir en cualquier lugar.

Convexidad [ editar ]

El n -simplex (ver más abajo ) es el conjunto convexo estándar, que se asigna a cada politopo, y es la intersección del hiperplano afín estándar

(n + 1)

(espacio afín estándar) y el estándar

(n + 1)

orthant (estándar cono).

En un espacio vectorial real, como $R n$ , se puede definir un cono convexo , que contiene todas las combinaciones lineales no negativas de sus vectores. El concepto correspondiente en un espacio afín es un conjunto convexo , que solo permite combinaciones convexas (combinaciones lineales no negativas que suman 1).

En el lenguaje del álgebra universal , un espacio vectorial es un álgebra sobre el espacio vectorial universal $R \infty$ de secuencias finitas de coeficientes, correspondientes a sumas finitas de vectores, mientras que un espacio afín es un álgebra sobre el hiperplano afín universal en este espacio (de secuencias finitas que suman 1), un cono es un álgebra sobre el orto universal (de secuencias finitas de números no negativos), y un conjunto convexo es un álgebra sobre el simplex universal (de secuencias finitas de números no negativos que suman 1). Esto geometriza los axiomas en términos de "sumas con (posibles) restricciones en las coordenadas".

Otro concepto del análisis convexo es una función convexa de $R n$ a números reales, que se define mediante una desigualdad entre su valor en una combinación convexa de puntos y la suma de valores en aquellos puntos con los mismos coeficientes.

Espacio euclidiano [ editar ]

El producto escalar

\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}

define la norma $| x | = \sqrt x \cdot x$ en el espacio vectorial $R n$ . Si cada vector tiene su norma euclidiana , entonces para cualquier par de puntos la distancia

d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}

se define, proporcionando una estructura espacial métrica en $R n$ además de su estructura afín.

En cuanto a la estructura del espacio vectorial, normalmente se supone que el producto escalar y la distancia euclidiana existen en $R n$ sin explicaciones especiales. Sin embargo, el espacio $n$ real y un espacio $n$ euclidiano son objetos distintos, estrictamente hablando. Cualquier espacio $n$ euclidiano tiene un sistema de coordenadas donde el producto escalar y la distancia euclidiana tienen la forma que se muestra arriba, llamada cartesiana . Pero hay muchos sistemas de coordenadas cartesianos en un espacio euclidiano.

Por el contrario, la fórmula anterior para la métrica euclidiana define la estructura euclidiana estándar en $R n$ , pero no es la única posible. En realidad, cualquier forma cuadrática positiva-definida $q$ define su propia "distancia" $\sqrt q (x - y)$ , pero no es muy diferente de la euclidiana en el sentido de que

\exists C_{1}>0,\ \exists C_{2}>0,\ \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}:C_{1}d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\leq {\sqrt {q(\mathbf {x} -\mathbf {y} )}}\leq C_{2}d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).

Tal cambio de la métrica conserva algunas de sus propiedades, por ejemplo, la propiedad de ser un espacio métrico completo . Esto también implica que cualquier transformación lineal de rango completo de $R n$ , o su transformación afín , no magnifica las distancias más que por algún $C 2$ fijo , y no hace que las distancias sean menores que $1 ∕ C 1$ veces, un número finito fijo veces menor. . ^{[ aclaración necesaria ]}

La equivalencia antes mencionada de funciones métricas sigue siendo válida si $\sqrt q (x - y)$ se reemplaza con $M (x - y)$ , donde $M$ es cualquier función homogénea positiva convexa de grado 1, es decir, una norma vectorial (ver la distancia de Minkowski para ejemplos útiles) . Debido a este hecho de que cualquier métrica "natural" en $R n$ no es especialmente diferente de la métrica euclidiana, $R n$ no siempre se distingue de un espacio $n$ euclidiano incluso en trabajos matemáticos profesionales.

En geometría algebraica y diferencial [ editar ]

Aunque la definición de una variedad no requiere que su espacio modelo sea $R n$ , esta elección es la más común y casi exclusiva en geometría diferencial .

Por otro lado, los teoremas de inclusión de Whitney establecen que cualquier variedad m- dimensional diferenciable real puede integrarse en $R 2 m$ .

Esta sección necesita expansión . Puede ayudar agregando más . ( Abril de 2013 )

Otras apariciones [ editar ]

Otras estructuras consideradas en $R n$ incluyen la de un espacio pseudo-euclidiano , estructura simpléctica ( $n$ par ) y estructura de contacto ( $n$ impar ). Todas estas estructuras, aunque pueden definirse sin coordenadas, admiten formas estándar (y razonablemente simples) en coordenadas.

$R n$ también es un subespacio de vector real de $C n$ que es invariante a la conjugación compleja ; ver también complexificación .

Politopos en R ⁿ [ editar ]

Hay tres familias de politopos que tienen representaciones simples en espacios $R n$ , para cualquier $n$ , y se pueden usar para visualizar cualquier sistema de coordenadas afines en un espacio $n$ real . Los vértices de un hipercubo tienen coordenadas $(x 1, x 2,\dots, x n)$ donde cada $x k$ toma uno de los dos valores, generalmente 0 o 1. Sin embargo, se pueden elegir dos números cualesquiera en lugar de 0 y 1, por ejemplo −1 y 1. Un $n-$ hipercubo se puede considerar como el producto cartesiano de $n$ intervalos idénticos (como el intervalo unitario $[0,1]$ ) en la línea real. Como subconjunto $n-$ dimensional, se puede describir con un sistema de 2 n desigualdades :

\displaystyle {\begin{matrix}0\leq x_{1}\leq 1\\\vdots \\0\leq x_{n}\leq 1\end{matrix}}

(para

[0,1]

)

\displaystyle {\begin{matrix}|x_{1}|\leq 1\\\vdots \\|x_{n}|\leq 1\end{matrix}}

(para

[-1,1]

)

Cada vértice del politopo cruzado tiene, para algunos $k$ , la coordenada $x k$ igual a ± 1 y todas las demás coordenadas iguales a 0 (de modo que es el $k-$ ésimo vector base estándar hasta el signo ). Este es un politopo dual de hipercubo. Como subconjunto $n-$ dimensional, se puede describir con una única desigualdad que utiliza la operación de valor absoluto :

\sum \limits _{k=1}^{n}|x_{k}|\leq 1\,,

pero esto también se puede expresar con un sistema de $2 n$ desigualdades lineales.

El tercer politopo con coordenadas simplemente enumerables es el simplex estándar , cuyos vértices son $n$ vectores base estándar y el origen $(0, 0,\dots, 0)$ . Como subconjunto $n-$ dimensional se describe con un sistema de $n + 1$ desigualdades lineales:

{\begin{matrix}0\leq x_{1}\\\vdots \\0\leq x_{n}\\\sum \limits _{k=1}^{n}x_{k}\leq 1\end{matrix}}

La sustitución de todo "≤" por "<" da los interiores de estos politopos.

Propiedades topológicas [ editar ]

La estructura topológica de $R n$ (denominada topología estándar , topología euclidiana o topología habitual ) se puede obtener no solo del producto cartesiano . También es idéntica a la topología natural inducida por la métrica euclidiana discutida anteriormente : un conjunto está abierto en la topología euclidiana si y solo si contiene una bola abierta alrededor de cada uno de sus puntos. Además, $R n$ es un espacio topológico lineal (ver continuidad de mapas linealesarriba), y solo hay una topología posible (no trivial) compatible con su estructura lineal. Como hay muchos mapas lineales abiertos desde $R n$ a sí mismo que no son isometrías , puede haber muchas estructuras euclidianas en $R n$ que correspondan a la misma topología. En realidad, no depende mucho ni siquiera de la estructura lineal: hay muchos difeomorfismos no lineales (y otros homeomorfismos) de $R n$ sobre sí mismo, o sus partes como una bola abierta euclidiana o el interior de un hipercubo ).

$R n$ tiene la dimensión topológica $n$ . Un resultado importante en la topología de $R n$ , que está lejos de ser superficial, esla invariancia de dominio de Brouwer . Cualquier subconjunto de $R$ $n$ (con su topología subespacial ) que sea homeomorfo a otro subconjunto abierto de $R$ $n$ es en sí mismo abierto. Una consecuencia inmediata de esto es que $R$ $m$ no es homeomorfo a $R$ $n$ si $m$ $\neq$ $n$ - un resultado intuitivamente "obvio" que, no obstante, es difícil de probar.

A pesar de la diferencia en la dimensión topológica, y contrariamente a una percepción ingenua, es posible mapear un espacio real de menor dimensión ^{[ aclaración necesaria ] de forma} continua y sobreyectiva sobre $R n$ . Es posible una curva de llenado de espacio continua (aunque no suave) (una imagen de $R 1$ ). ^{[ aclaración necesaria ]}

Ejemplos [ editar ]

Vector de columna vacía ,
el único elemento de

R 0

R 1

n ≤ 1 [ editar ]

Los casos de $0 \leq n \leq 1$ no ofrecen nada nuevo: $R 1$ es la línea real , mientras que $R 0$ (el espacio que contiene el vector columna vacía) es un singleton , entendido como un espacio vectorial cero . Sin embargo, es útil incluirlos como casos triviales de teorías que describen diferentes $n$ .

n = 2 [ editar ]

Tanto el hipercubo como el politopo cruzado en

R 2

son cuadrados , pero las coordenadas de los vértices están dispuestas de manera diferente

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n = 3 [ editar ]

Cubo (el hipercubo) y octaedro (el politopo cruzado) de

R 3

. No se muestran las coordenadas

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n = 4 [ editar ]

$R 4$ se puede imaginar usando el hecho de que 16 puntos $(x 1, x 2, x 3, x 4)$ , donde cada $x k$ es 0 o 1, son vértices de un tesseract (en la imagen), el 4-hipercubo (ver arriba ).

El primer uso importante de $R 4$ es un modelo de espacio-tiempo : tres coordenadas espaciales más una temporal . Esto generalmente se asocia con la teoría de la relatividad , aunque se usaron cuatro dimensiones para tales modelos desde Galilei . Sin embargo, la elección de la teoría conduce a una estructura diferente: en la relatividad galileana la coordenada $t$ es privilegiada, pero en la relatividad de Einstein no lo es. La relatividad especial se sitúa en el espacio de Minkowski . La relatividad general usa espacios curvos, que se pueden considerar como $R 4$ con una métrica curvapara la mayoría de los propósitos prácticos. Ninguna de estas estructuras proporciona una métrica (definida positiva) en $R 4$ .

Euclidean $R 4$ también atrae la atención de los matemáticos, por ejemplo, debido a su relación con los cuaterniones , un álgebra real de 4 dimensiones en sí mismos. Consulte las rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones para obtener más información.

En geometría diferencial, $n = 4$ es el único caso en el que $R n$ admite una estructura diferencial no estándar : ver la exótica R 4 .

Normas sobre $R n$ [ editar ]

Se podrían definir muchas normas sobre el espacio vectorial $R n$ . Algunos ejemplos comunes son

la p-norma , definida por para todos donde es un número entero positivo. El caso es muy importante, porque es exactamente la norma euclidiana . ${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{p}:={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}}}$ $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ $p$ $p=2$
la -norm o norma máxima , definida por para todo $R$ $n$ . Este es el límite de todos los p-normas : . $\infty$ $\|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ ${\textbf {x}}\in$ ${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}}}$

Un resultado realmente sorprendente y útil es que todas las normas definidas en $R n$ son equivalentes . Esto significa que para dos normas arbitrarias y en $R$ $n$ siempre puede encontrar números reales positivos , tales que $\|\cdot \|$ $\|\cdot \|'$ $\alpha ,\beta >0$

$\alpha \cdot \|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} \|'\leq \beta \cdot \|\mathbf {x} \|$ para todos . ${\textbf {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$

Esto define una relación de equivalencia en el conjunto de todas las normas sobre $R n$ . Con este resultado se puede comprobar que una secuencia de vectores en $R n$ converge con si y solo si converge con . $\|\cdot \|$ $\|\cdot \|'$

Aquí hay un bosquejo de cómo se vería una prueba de este resultado:

Debido a la relación de equivalencia , basta con mostrar que toda norma sobre $R n$ es equivalente a la norma euclidiana . Sea una norma arbitraria en $R$ $n$ . La prueba se divide en dos pasos: $\|\cdot \|_{2}$ $\|\cdot \|$

Demostramos que existe un , tal que para todos . En este paso se utiliza el hecho de que cada se puede representar como una combinación lineal de la norma base : . Luego con la desigualdad de Cauchy-Schwarz , donde . $\beta >0$ $\|\mathbf {x} \|\leq \beta \cdot \|\mathbf {x} \|_{2}$ ${\textbf {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\textbf {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\textstyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}e_{i}\cdot x_{i}}$ $\|\mathbf {x} \|=\left\|\sum _{i=1}^{n}e_{i}\cdot x_{i}\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|\cdot |x_{i}|\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}=\beta \cdot \|\mathbf {x} \|_{2}$ $\beta :={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|^{2}}}$
Ahora tenemos que encontrar un , tal que para todos . Suponga que no existe tal . Entonces existe para cada a , tal que . Defina una segunda secuencia por . Esta secuencia está limitada porque . Entonces, debido al teorema de Bolzano-Weierstrass, existe una subsecuencia convergente con límite $R$ $n$ . Ahora mostramos ese pero , lo cual es una contradicción. Es , porque y , así . Esto implica , entonces . Por otro lado , porque . Esto nunca puede ser cierto, por lo que la suposición era falsa y existe tal . $\alpha >0$ $\alpha \cdot \|\mathbf {x} \|_{2}\leq \|\mathbf {x} \|$ ${\textbf {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$ $\alpha$ $k\in \mathbb {N}$ $\mathbf {x} _{k}\in \mathbb {R} ^{n}$ $\|\mathbf {x} _{k}\|_{2}>k\cdot \|\mathbf {x} _{k}\|$ $({\tilde {\textbf {x}}}_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ ${\textstyle {\tilde {\mathbf {x} }}_{k}:={\frac {\mathbf {x} _{k}}{\|\mathbf {x} _{k}\|_{2}}}}$ $\|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k}\|_{2}=1$ $({\tilde {\textbf {x}}}_{k_{j}})_{j\in \mathbb {N} }$ ${\textbf {a}}\in$ $\|\mathbf {a} \|_{2}=1$ ${\textbf {a}}={\textbf {0}}$ $\|\mathbf {a} \|\leq \left\|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|+\left\|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|\leq \beta \cdot \left\|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|_{2}+{\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}\ {\overset {j\to \infty }{\to }}\ 0$ $\|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\|\to 0$ $0\leq {\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}<{\frac {1}{k_{j}}}$ ${\frac {\|{\textbf {x}}_{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}\to 0$ $\|\mathbf {a} \|=0$ ${\textbf {a}}={\textbf {0}}$ $\|\mathbf {a} \|_{2}=1$ $\|\mathbf {a} \|_{2}=\left\|\lim _{j\to \infty }{\tilde {\textbf {x}}}_{k_{j}}\right\|_{2}=\lim _{j\to \infty }\left\|{\tilde {\textbf {x}}}_{k_{j}}\right\|_{2}=1$ $\alpha >0$

Ver también [ editar ]

Objeto exponencial , para explicación teórica de la notación de superíndice
Espacio proyectivo real

Notas al pie [ editar ]

Referencias [ editar ]

Kelley, John L. (1975). Topología general . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
Munkres, James (1999). Topología . Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.

Espacio de coordenadas real

Definición y estructuras [ editar ]

El dominio de una función de varias variables [ editar ]

Espacio vectorial [ editar ]

Notación matricial [ editar ]

Base estándar [ editar ]

Propiedades y usos geométricos [ editar ]

Orientación [ editar ]

Espacio afín [ editar ]

Convexidad [ editar ]

Espacio euclidiano [ editar ]

En geometría algebraica y diferencial [ editar ]

Otras apariciones [ editar ]

Politopos en R n [ editar ]

Propiedades topológicas [ editar ]

Ejemplos [ editar ]

n ≤ 1 [ editar ]

n = 2 [ editar ]

n = 3 [ editar ]

n = 4 [ editar ]

Normas sobre R n [ editar ]

Ver también [ editar ]

Notas al pie [ editar ]

Referencias [ editar ]

Politopos en R ⁿ [ editar ]

Normas sobre $R n$ [ editar ]