Número Real

Para conocer los números reales utilizados en la teoría de conjuntos descriptiva, consulte Espacio de Baire (teoría de conjuntos) . Para el tipo de datos informáticos, consulte Número de coma flotante .

Número que representa una cantidad continua

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Un símbolo para el conjunto de números reales.

En matemáticas , un número real es un valor de una cantidad continua que puede representar una distancia a lo largo de una línea (o, alternativamente, una cantidad que se puede representar como una expansión decimal infinita ). El adjetivo real en este contexto fue introducido en el siglo XVII por René Descartes , quien distinguió entre raíces reales e imaginarias de polinomios . Los números reales incluyen todos los números racionales , como el entero -5 y la fracción 4/3, y todos los números irracionales , como√ 2 (1.41421356 ..., la raíz cuadrada de 2 , un número algebraico irracional ). Incluidos dentro de los irracionales están los números trascendentales reales , como π (3,14159265 ...). ^[1] Además de medir la distancia, los números reales se pueden usar para medir cantidades como el tiempo , la masa , la energía , la velocidad y muchas más. El conjunto de números reales se denota mediante el símbolo R o ^{[2] [3]} y, a veces, se denomina "los reales". ^[4]${\displaystyle \mathbb {R} }$

Los números reales se pueden considerar como puntos en una línea infinitamente larga llamada línea numérica o línea real , donde los puntos correspondientes a números enteros están igualmente espaciados. Cualquier número real puede determinarse mediante una representación decimal posiblemente infinita , como la de 8.632, donde cada dígito consecutivo se mide en unidades una décima parte del tamaño del anterior. La recta real se puede considerar como parte del plano complejo , y los números reales se pueden considerar como parte de los números complejos .

Los números reales se pueden considerar como puntos en una recta numérica infinitamente larga.

Estas descripciones de los números reales no son lo suficientemente rigurosas según los estándares modernos de las matemáticas puras. El descubrimiento de una definición adecuadamente rigurosa de los números reales —de hecho, la comprensión de que se necesitaba una mejor definición— fue uno de los desarrollos más importantes de las matemáticas del siglo XIX. La definición axiomática estándar actual es que los números reales forman el único campo ordenado completo de Dedekind (  ; +; ·; <), hasta un isomorfismo , ^[a] mientras que las definiciones constructivas populares de números reales incluyen declararlos como clases de equivalencia de secuencias de Cauchy (de números racionales), cortes de Dedekind , o infinito ${\displaystyle \mathbb {R} }$ representaciones decimales , junto con interpretaciones precisas para las operaciones aritméticas y la relación de orden. Todas estas definiciones satisfacen la definición axiomática y, por tanto, son equivalentes.

El conjunto de todos los números reales es incontable , en el sentido de que si bien tanto el conjunto de todos los números naturales como el conjunto de todos los números reales son conjuntos infinitos , no puede haber una función uno a uno de los números reales a los números naturales. . De hecho, la cardinalidad del conjunto de todos los números reales, denotado y llamado cardinalidad del continuo , ^[2] es estrictamente mayor que la cardinalidad del conjunto de todos los números naturales (denotado , 'aleph-nught' ^[2] ). ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$

La afirmación de que no existe un subconjunto de los reales con cardinalidad estrictamente mayor y estrictamente menor que se conoce como hipótesis del continuo (CH). Se sabe que no es demostrable ni refutable utilizando los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, incluido el axioma de elección (ZFC), el fundamento estándar de las matemáticas modernas. De hecho, algunos modelos de ZFC satisfacen a CH, mientras que otros la violan.${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Historia

Los números reales incluyen los números racionales , que incluyen los números enteros , que a su vez incluyen los números naturales.${\displaystyle (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle (\mathbb {N} )}$

Los egipcios utilizaron fracciones simples alrededor del año 1000 a. C. los " Shulba Sutras " védicos ("Las reglas de los acordes") en, c. 600 aC , incluye lo que puede ser el primer "uso" de números irracionales . El concepto de irracionalidad fue aceptado implícitamente por los primeros matemáticos indios como Manava ( c. 750–690 a . C.) , que sabían que las raíces cuadradas de ciertos números, como 2 y 61, no podían determinarse con exactitud. ^[5] Alrededor del 500 a. C., los matemáticos griegos dirigidos por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de números irracionales, en particular la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 .

La Edad Media trajo consigo la aceptación del cero , los números negativos , los enteros y los números fraccionarios , primero por matemáticos indios y chinos , y luego por matemáticos árabes , quienes también fueron los primeros en tratar los números irracionales como objetos algebraicos (esto último se hizo posible por el desarrollo del álgebra). ^[6] Los matemáticos árabes fusionaron los conceptos de " número " y " magnitud " en una idea más general de los números reales. ^[7] El matemático egipcio Abū Kāmil Shujā ibn Aslam ( c.850-930) fue el primero en aceptar números irracionales como soluciones a ecuaciones cuadráticas , o como coeficientes en una ecuación (a menudo en forma de raíces cuadradas, raíces cúbicas y cuartas raíces ). ^[8]

En el siglo XVI, Simon Stevin creó la base para la notación decimal moderna e insistió en que no hay diferencia entre números racionales e irracionales a este respecto.

En el siglo XVII, Descartes introdujo el término "real" para describir las raíces de un polinomio, distinguiéndolas de las "imaginarias".

En los siglos XVIII y XIX, se trabajó mucho sobre números irracionales y trascendentales . Johann Heinrich Lambert (1761) dio la primera prueba errónea de que π no puede ser racional; Adrien-Marie Legendre (1794) completó la demostración, ^[9] y demostró que π no es la raíz cuadrada de un número racional. ^[10] Paolo Ruffini (1799) y Niels Henrik Abel (1842) construyeron demostraciones del teorema de Abel-Ruffini : que las ecuaciones quínticas generales o superiores no pueden resolverse mediante una fórmula general que involucre sólo operaciones aritméticas y raíces.

Évariste Galois (1832) desarrolló técnicas para determinar si una ecuación dada podía resolverse mediante radicales, lo que dio lugar al campo de la teoría de Galois . Joseph Liouville (1840) demostró que ni e ni e ² pueden ser la raíz de una ecuación cuadrática entera , y luego estableció la existencia de números trascendentales; Georg Cantor (1873) amplió y simplificó enormemente esta demostración. ^[11] Charles Hermite (1873) demostró por primera vez que e es trascendental, y Ferdinand von Lindemann (1882), demostró que πes trascendental. La demostración de Lindemann fue mucho más simplificada por Weierstrass (1885), aún más por David Hilbert (1893), y finalmente ha sido elemental por Adolf Hurwitz ^[12] y Paul Gordan . ^[13]

El desarrollo del cálculo en el siglo XVIII utilizó todo el conjunto de números reales sin haberlos definido rigurosamente. La primera definición rigurosa fue publicada por Georg Cantor en 1871. En 1874, mostró que el conjunto de todos los números reales es incontablemente infinito , pero el conjunto de todos los números algebraicos es infinito contablemente . Contrariamente a las creencias generalizadas, su primer método no fue su famoso argumento diagonal , que publicó en 1891. Para obtener más información, consulte la primera prueba de incontablecimiento de Cantor .

Definición

Artículo principal: Construcción de números reales

El sistema de números reales se puede definir axiomáticamente hasta un isomorfismo , que se describe a continuación. También hay muchas formas de construir "el" sistema de números reales, y un enfoque popular implica comenzar con números naturales, luego definir números racionales algebraicamente y finalmente definir números reales como clases de equivalencia de sus secuencias de Cauchy o como cortes de Dedekind , que son ciertos subconjuntos de números racionales. Otro enfoque es partir de alguna axiomatización rigurosa de la geometría euclidiana (digamos de Hilbert o de Tarski) y luego definir geométricamente el sistema numérico real. Se ha demostrado que todas estas construcciones de los números reales son equivalentes, en el sentido de que los sistemas numéricos resultantes son${\displaystyle (\mathbb {R} ;{}+{};{}\cdot {};{}<{})}$isomorfo .

Enfoque axiomático

Dejar que denotan el conjunto de todos los números reales, entonces:${\displaystyle \mathbb {R} }$

• El conjunto es un campo , lo que significa que la suma y la multiplicación están definidas y tienen las propiedades habituales.${\displaystyle \mathbb {R} }$
• El campo está ordenado , lo que significa que hay un orden total ≥ tal que para todos los números reales x , y y z :${\displaystyle \mathbb {R} }$
  • si x ≥ y , entonces x + z ≥ y + z ;
  • si x ≥ 0 y y ≥ 0, entonces xy ≥ 0.
• El orden es Dedekind-completo , lo que significa que cada subconjunto no vacío S de con un límite superior en tiene un límite superior mínimo (también conocido como supremum) en .${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

La última propiedad es la que diferencia los reales de los racionales (y de otros campos ordenados más exóticos ). Por ejemplo, tiene un límite superior racional (por ejemplo, 1,42), pero no menos límite superior racional, porque no es racional.${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}}$ 2 {\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}

Estas propiedades implican la propiedad de Arquímedes (que no está implícita en otras definiciones de completitud), que establece que el conjunto de números enteros no tiene límite superior en los reales. De hecho, si esto fuera falso, entonces los enteros tendrían un límite superior mínimo N ; entonces, N - 1 no sería un límite superior, y no habría un número entero n tal que n > N - 1 , y por lo tanto n + 1> N , que es una contradicción con la propiedad superior-bound de N .

Los números reales están especificados de forma única por las propiedades anteriores. Más precisamente, dados cualesquiera dos campos ordenados completos de Dedekind y , existe un isomorfismo de campo único de a . Esta singularidad nos permite pensar en ellos como esencialmente el mismo objeto matemático.${\displaystyle \mathbb {R} _{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{1}}$${\displaystyle \mathbb {R_{2}} }$

Para otra axiomatización de , vea la axiomatización de lo real de Tarski .${\displaystyle \mathbb {R} }$

Construcción a partir de números racionales

Los números reales se pueden construir como una terminación de los números racionales, de tal manera que una secuencia definida por una expansión decimal o binaria como (3; 3.1; 3.14; 3.141; 3.1415; ...) converja en un número real único. —En este caso π . Para detalles y otras construcciones de números reales, vea construcción de números reales .

Propiedades

Propiedades básicas

• Cualquier número real distinto de cero es negativo o positivo .
• La suma y el producto de dos números reales no negativos es nuevamente un número real no negativo, es decir, se cierran bajo estas operaciones y forman un cono positivo , dando lugar a un orden lineal de los números reales a lo largo de un número. línea .
• Los números reales forman un conjunto infinito de números que no pueden ser injectively asigna al conjunto infinito de números naturales , es decir, hay uncountably un número infinito de números reales, mientras que los números naturales se llaman infinito numerable . Esto establece que, en cierto sentido, hay más números reales que elementos en cualquier conjunto contable.
• Existe una jerarquía de subconjuntos numerables infinitos de los números reales, por ejemplo, los enteros , los racionales , los números algebraicos y los números computables , siendo cada conjunto un subconjunto propio del siguiente en la secuencia. Los complementos de todos estos conjuntos ( números reales irracionales , trascendentales y no computables) en los reales son todos conjuntos infinitos incontables.
• Los números reales se pueden utilizar para expresar medidas de cantidades continuas . Pueden expresarse mediante representaciones decimales , la mayoría de ellas con una secuencia infinita de dígitos a la derecha del punto decimal ; estos a menudo se representan como 324.823122147 ..., donde la elipsis (tres puntos) indica que todavía habrá más dígitos por venir. Esto sugiere el hecho de que podemos denotar con precisión sólo unos pocos números reales seleccionados con un número finito de símbolos.

Más formalmente, los números reales tienen las dos propiedades básicas de ser un campo ordenado y tener la propiedad de límite superior mínimo . El primero dice que los números reales comprenden un campo , con suma y multiplicación, así como división por números distintos de cero, que se pueden ordenar totalmente en una recta numérica de una manera compatible con la suma y la multiplicación. El segundo dice que, si un conjunto no vacío de números reales tiene un límite superior , entonces tiene un límite superior mínimo real.. La segunda condición distingue los números reales de los números racionales: por ejemplo, el conjunto de números racionales cuyo cuadrado es menor que 2 es un conjunto con un límite superior (por ejemplo, 1,5) pero sin límite superior mínimo (racional): de ahí los números racionales no satisfacen la propiedad del límite superior mínimo.

Integridad

Artículo principal: integridad de los números reales

Una razón principal para usar números reales es que muchas secuencias tienen límites . Más formalmente, los reales son completos (en el sentido de espacios métricos o espacios uniformes , que es un sentido diferente al de la completitud de Dedekind del orden en la sección anterior):

Una secuencia ( x _n ) de números reales se llama secuencia de Cauchy si para cualquier ε> 0 existe un entero N (posiblemente dependiendo de ε) tal que la distancia | x _n - x _m | es menor que ε para todo n y m , que son ambos mayores que N . Esta definición, originalmente proporcionada por Cauchy , formaliza el hecho de que las x _n eventualmente vienen y permanecen arbitrariamente cercanas entre sí.

Una secuencia ( x _n ) converge al límite x si sus elementos eventualmente llegan y permanecen arbitrariamente cerca de x , es decir, si para cualquier ε> 0 existe un número entero N (posiblemente dependiendo de ε) tal que la distancia | x _n - x | es menor que ε para n mayor que N .

Toda secuencia convergente es una secuencia de Cauchy, y lo contrario es cierto para los números reales, y esto significa que el espacio topológico de los números reales está completo.

El conjunto de números racionales no está completo. Por ejemplo, la secuencia (1; 1.4; 1.41; 1.414; 1.4142; 1.41421; ...), donde cada término suma un dígito de la expansión decimal de la raíz cuadrada positiva de 2, es Cauchy pero no converge a una número racional (en los números reales, por el contrario, converge a la raíz cuadrada positiva de 2).

La propiedad de completitud de los reales es la base sobre la que se construye el cálculo y, en general, el análisis matemático . En particular, la prueba de que una secuencia es una secuencia de Cauchy permite probar que una secuencia tiene un límite, sin calcularlo, e incluso sin saberlo.

Por ejemplo, la serie estándar de la función exponencial

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

converge a un número real para cada x , porque las sumas

${\displaystyle \sum _{n=N}^{M}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

puede hacerse arbitrariamente pequeño (independientemente de M ) eligiendo N suficientemente grande. Esto prueba que la secuencia es de Cauchy, y por lo tanto converge, mostrando que está bien definida para cada x .${\displaystyle e^{x}}$

"El campo ordenado completo"

Los números reales se describen a menudo como "el campo ordenado completo", una frase que se puede interpretar de varias formas.

Primero, un pedido puede estar completo en celosía . Es fácil ver que ningún campo ordenado puede estar completo en celosía, porque no puede tener el elemento más grande (dado que cualquier elemento z , z + 1 es más grande), por lo que este no es el sentido al que se refiere.

Además, un pedido puede ser Dedekind-completo , como se define en la sección, Enfoque axiomático . El resultado de unicidad al final de esa sección justifica el uso de la palabra "el" en la frase "campo ordenado completo" cuando este es el sentido de "completo" que se quiere decir. Esta sensación de completitud está más estrechamente relacionada con la construcción de los reales a partir de los cortes de Dedekind, ya que esa construcción comienza a partir de un campo ordenado (los racionales) y luego forma la compleción de Dedekind de un modo estándar.

Estas dos nociones de completitud ignoran la estructura del campo. Sin embargo, un grupo ordenado (en este caso, el grupo aditivo del campo) define una estructura uniforme , y las estructuras uniformes tienen una noción de completitud ; la descripción en § Completitud es un caso especial. (Nos referimos a la noción de completitud en espacios uniformes en lugar de la noción relacionada y más conocida de espacios métricos , ya que la definición de espacio métrico se basa en tener ya una caracterización de los números reales). No es cierto que sea ​​la única uniformidad campo ordenado completo, pero es el único campo de Arquímedes uniformemente completo${\displaystyle \mathbb {R} }$y, de hecho, a menudo se escucha la frase "campo completo de Arquímedes" en lugar de "campo completo ordenado". Todo campo de Arquímedes uniformemente completo también debe estar completo de Dedekind (y viceversa), justificando el uso de "el" en la frase "el campo de Arquímedes completo". Esta sensación de completitud está más estrechamente relacionada con la construcción de los reales a partir de secuencias de Cauchy (la construcción realizada en su totalidad en este artículo), ya que parte de un campo de Arquímedes (los racionales) y forma la compleción uniforme de él en un estándar. camino.

Pero el uso original de la frase "campo completo de Arquímedes" fue por David Hilbert , quien todavía quería decir algo más con ella. Quería decir que los números reales forman el campo de Arquímedes más grande en el sentido de que todos los demás campos de Arquímedes son un subcampo de . Por lo tanto, es "completo" en el sentido de que no se le puede agregar nada más sin que deje de ser un campo de Arquímedes. Este sentido de completitud está más estrechamente relacionado con la construcción de los reales a partir de números surrealistas , ya que esa construcción comienza con una clase adecuada que contiene todos los campos ordenados (los surrealistas) y luego selecciona de ella el subcampo de Arquímedes más grande.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Propiedades avanzadas

Ver también: Línea real

Los reales son incontables ; es decir, hay estrictamente más números reales que números naturales , aunque ambos conjuntos son infinitos . De hecho, la cardinalidad de los reales es igual a la del conjunto de subconjuntos (es decir, el conjunto de potencias) de los números naturales, y el argumento diagonal de Cantor establece que la cardinalidad de este último conjunto es estrictamente mayor que la cardinalidad de . Dado que el conjunto de números algebraicos es contable, casi todos los números reales son trascendentales . La inexistencia de un subconjunto de los reales con cardinalidad estrictamente entre el de los enteros y los reales se conoce como hipótesis del continuo.${\displaystyle \mathbb {N} }$. La hipótesis del continuo no se puede probar ni refutar; es independiente de los axiomas de la teoría de conjuntos .

Como espacio topológico, los números reales son separables . Esto se debe a que el conjunto de racionales, que es contable, es denso en números reales. Los números irracionales también son densos en los números reales, sin embargo, son incontables y tienen la misma cardinalidad que los reales.

Los números reales forman un espacio métrico : la distancia entre x y y se define como el valor absoluto | x - y | . En virtud de ser un conjunto totalmente ordenado , también llevan una topología de orden ; la topología que surge de la métrica y la que surge del orden son idénticas, pero producen presentaciones diferentes para la topología: en la topología de orden como intervalos ordenados, en la topología métrica como épsilon-bolas. La construcción de cortes de Dedekind usa la presentación de topología de orden, mientras que la construcción de secuencias de Cauchy usa la presentación de topología métrica. Los reales forman un contractible(por lo tanto conectado y simplemente conectado ), espacio métrico separable y completo de dimensión  1 de Hausdorff . Los números reales son localmente compactos pero no compactos . Hay varias propiedades que las especifican de forma única; por ejemplo, todas las topologías de orden ilimitadas, conectadas y separables son necesariamente homeomórficas a las reales.

Todo número real no negativo tiene una raíz cuadrada en , aunque ningún número negativo la tiene. Esto muestra que el orden en está determinado por su estructura algebraica. Además, cada polinomio de grado impar admite al menos una raíz real: estas dos propiedades constituyen el ejemplo principal de un campo cerrado real . Demostrar esto es la primera mitad de una prueba del teorema fundamental del álgebra .${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Los reales llevan una medida canónica , la medida de Lebesgue , que es la medida de Haar en su estructura como un grupo topológico normalizado de modo que el intervalo unitario [0; 1] tiene medida 1. Existen conjuntos de números reales que no son medibles en Lebesgue, por ejemplo, conjuntos Vitali .

El axioma supremo de los reales se refiere a subconjuntos de los reales y, por lo tanto, es un enunciado lógico de segundo orden. No es posible caracterizar los reales solo con lógica de primer orden : el teorema de Löwenheim-Skolem implica que existe un subconjunto denso numerable de números reales que satisfacen exactamente las mismas oraciones en lógica de primer orden que los números reales mismos. El conjunto de números hiperrealistas satisface las mismas oraciones de primer orden que . Campos ordenados que satisfacen las mismas oraciones de primer orden que se denominan modelos no estándar de . Esto es lo que hace que el análisis no sea estándar${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$trabaja; al probar un enunciado de primer orden en algún modelo no estándar (que puede ser más fácil que probarlo en ), sabemos que el mismo enunciado también debe ser cierto de .${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

El campo de los números reales es un campo de extensión del campo de los números racionales, y por lo tanto, puede ser visto como un espacio vectorial sobre . La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección garantiza la existencia de una base de este espacio vectorial: existe un conjunto B de números reales tal que cada número real puede escribirse de forma única como una combinación lineal finita de elementos de este conjunto, utilizando coeficientes racionales solamente, y tales que ningún elemento de B${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$es una combinación lineal racional de los demás. Sin embargo, este teorema de existencia es puramente teórico, ya que tal base nunca se ha descrito explícitamente.

El buen orden teorema implica que los números reales pueden ser bien ordenados , si se asume el axioma de elección: existe un orden total de la propiedad de que cada no vacío subconjunto de tiene un elemento menos en este orden. (El orden estándar ≤ de los números reales no es un buen orden, ya que, por ejemplo, un intervalo abierto no contiene un elemento mínimo en este orden). De nuevo, la existencia de un buen orden es puramente teórico, ya que no ha sido descrito explícitamente. Si se supone V = L además de los axiomas de ZF, se puede demostrar que un buen ordenamiento de los números reales se puede definir explícitamente mediante una fórmula.${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$^[14]

Un número real puede ser computable o no computable ; ya sea algorítmicamente aleatorio o no; y aritméticamente aleatorio o no.

Aplicaciones y conexiones a otras áreas

Números reales y lógica

Los números reales se formalizan con mayor frecuencia utilizando la axiomatización de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , pero algunos matemáticos estudian los números reales con otros fundamentos lógicos de las matemáticas. En particular, los números reales también se estudian en matemáticas inversas y en matemáticas constructivas . ^[15]

Los números hiperreales desarrollados por Edwin Hewitt , Abraham Robinson y otros amplían el conjunto de los números reales al introducir números infinitesimales e infinitesimales, lo que permite construir el cálculo infinitesimal de una manera más cercana a las intuiciones originales de Leibniz , Euler , Cauchy y otros.

La teoría de conjuntos internos de Edward Nelson enriquece sintácticamente la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel al introducir un predicado unario "estándar". En este enfoque, los infinitesimales son elementos (no "estándar") del conjunto de números reales (en lugar de ser elementos de una extensión del mismo, como en la teoría de Robinson).

La hipótesis del continuo postula que la cardinalidad del conjunto de los números reales es ; es decir, el número cardinal infinito más pequeño después de la cardinalidad de los enteros. Paul Cohen demostró en 1963 que es un axioma independiente de los otros axiomas de la teoría de conjuntos; es decir: se puede elegir entre la hipótesis del continuo o su negación como axioma de la teoría de conjuntos, sin contradicción.${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$

En física

En las ciencias físicas, la mayoría de las constantes físicas, como la constante gravitacional universal, y las variables físicas, como la posición, la masa, la velocidad y la carga eléctrica, se modelan utilizando números reales. De hecho, las teorías físicas fundamentales como la mecánica clásica , el electromagnetismo , la mecánica cuántica , la relatividad general y el modelo estándar se describen utilizando estructuras matemáticas, típicamente variedades suaves o espacios de Hilbert , que se basan en los números reales, aunque medidas reales de cantidades físicas. son de exactitud y precisión finitas .

Los físicos han sugerido ocasionalmente que una teoría más fundamental reemplazaría los números reales con cantidades que no forman un continuo, pero tales propuestas siguen siendo especulativas. ^[dieciséis]

En computación

Con algunas excepciones , la mayoría de las calculadoras no funcionan con números reales. En cambio, trabajan con aproximaciones de precisión finita llamadas números de punto flotante . De hecho, la mayoría de los cálculos científicos utilizan aritmética de punto flotante. Los números reales satisfacen las reglas habituales de la aritmética , pero los números de coma flotante no .

Las computadoras no pueden almacenar directamente números reales arbitrarios con infinitos dígitos. La precisión alcanzable está limitada por el número de bits asignados para almacenar un número, ya sea como números de coma flotante o números de precisión arbitraria . Sin embargo, los sistemas de álgebra por computadora pueden operar en cantidades irracionales exactamente manipulando fórmulas para ellas (como o ) en lugar de su aproximación racional o decimal. ^[17] En general, no es posible determinar si dos de esas expresiones son iguales (el problema constante ).${\displaystyle {\sqrt {2}},}$ ${\displaystyle \arcsin(2/23),}$${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{1}x^{x}\,dx}$

Un número real se llama computable si existe un algoritmo que arroja sus dígitos. Debido a que solo hay muchos algoritmos contables , ^[18] pero un número incontable de reales, casi todos los números reales no son computables. Además, la igualdad de dos números computables es un problema indecidible . Algunos constructivistas aceptan la existencia de solo aquellos reales que son computables. El conjunto de números definibles es más amplio, pero sigue siendo solo contable.

"Reales" en la teoría de conjuntos

En la teoría de conjuntos , específicamente la teoría de conjuntos descriptiva , el espacio de Baire se utiliza como sustituto de los números reales, ya que estos últimos tienen algunas propiedades topológicas (conectividad) que son un inconveniente técnico. Los elementos del espacio de Baire se denominan "reales".

Vocabulario y notación

Los matemáticos usan el símbolo R o, alternativamente, la letra "R" en negrita de pizarra (codificada en Unicode como U + 211D ℝ DOBLE-STRUCK CAPITAL R (HTML  · )), para representar el conjunto de todos los números reales. Como este conjunto está naturalmente dotado de la estructura de un campo , el campo de expresión de números reales se utiliza con frecuencia cuando se están considerando sus propiedades algebraicas.${\displaystyle \mathbb {R} }$ ℝ  ℝ, ℝ

Los conjuntos de números reales positivos y números reales negativos a menudo se indican y , ^[19] respectivamente; y también se utilizan. ^[20] Se pueden anotar los números reales no negativos, pero a menudo se ve este conjunto anotado ^[19] En las matemáticas francesas, los números reales positivos y los números reales negativos comúnmente incluyen cero , y estos conjuntos se anotan respectivamente y ^[20] En este comprensión, los conjuntos respectivos sin cero se denominan números reales estrictamente positivos y números reales estrictamente negativos, y se indican y ^[20]${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{-}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}.}$${\displaystyle \mathbb {R_{+}} }$${\displaystyle \mathbb {R_{-}} .}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}*}$${\displaystyle \mathbb {R} _{-}*.}$

La notación se refiere al producto cartesiano de n copias de , que es un n - dimensional espacio vectorial sobre el campo de los números reales; este espacio vectorial puede identificarse con el espacio n - dimensional de la geometría euclidiana tan pronto como se haya elegido un sistema de coordenadas en este último. Por ejemplo, un valor de consiste en una tupla de tres números reales y especifica las coordenadas de un punto en un espacio tridimensional.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

En matemáticas, real se usa como adjetivo, lo que significa que el campo subyacente es el campo de los números reales (o el campo real ). Por ejemplo, verdadera matriz , verdadera polinomio y verdadera álgebra de Lie . La palabra también se usa como sustantivo , lo que significa un número real (como en "el conjunto de todos los reales").

Generalizaciones y extensiones

Los números reales se pueden generalizar y ampliar en varias direcciones diferentes:

• Los números complejos contienen soluciones para todas las ecuaciones polinomiales y, por lo tanto, son un campo algebraicamente cerrado a diferencia de los números reales. Sin embargo, los números complejos no son un campo ordenado .
• El sistema de números reales afinadamente extendido agrega dos elementos + ∞ y −∞. Es un espacio compacto . Ya no es un campo, ni siquiera un grupo aditivo, pero todavía tiene un orden total ; además, es una celosía completa .
• La línea proyectiva real agrega solo un valor ∞. También es un espacio compacto. Nuevamente, ya no es un campo, ni siquiera un grupo aditivo. Sin embargo, permite la división de un elemento distinto de cero por cero. Tiene un orden cíclico descrito por una relación de separación .
• La línea real larga pega juntas ℵ ₁ * + ℵ ₁ copias de la línea real más un solo punto (aquí ℵ ₁ * denota el orden inverso de ℵ ₁ ) para crear un conjunto ordenado que es "localmente" idéntico a los números reales, pero de alguna manera más; por ejemplo, hay una incrustación de preservación del orden de ℵ ₁ en la línea real larga pero no en los números reales. La línea real larga es el conjunto ordenado más grande que está completo y localmente de Arquímedes. Como en los dos ejemplos anteriores, este conjunto ya no es un campo o un grupo aditivo.
• Los campos ordenados que extienden los reales son los números hiperreales y los números surrealistas ; ambos contienen números infinitesimales e infinitamente grandes y, por lo tanto, son campos ordenados no arquimedianos .
• Los operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert (por ejemplo, matrices cuadradas complejas autoadjuntas ) generalizan los reales en muchos aspectos: pueden estar ordenados (aunque no totalmente ordenados), están completos, todos sus valores propios son reales y forman un álgebra asociativa real . Los operadores positivos-definidos corresponden a los reales positivos y los operadores normales corresponden a los números complejos.

Ver también

• Completitud de los números reales
• Fracción continua
• Números reales definibles
• Números reales positivos
• Análisis real

Notas

1. Más precisamente, dados dos campos completos totalmente ordenados, existe unisomorfismo único entre ellos. Esto implica que la identidad es el automorfismo de campo único de los reales que es compatible con el ordenamiento.

Referencias

Citas

1. "Número real | matemáticas" . Enciclopedia Británica . Consultado el 11 de agosto de 2020 .
2. "Compendio de símbolos matemáticos" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-01 . Consultado el 11 de agosto de 2020 .
3. Weisstein, Eric W. "Número real" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 11 de agosto de 2020 .
4. Diccionario de inglés de Oxford , 3ª edición, 2008, sv 'real', n.2 , B.4 : " Matemáticas. Un número real. Generalmente en plural ".
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Fuentes

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Enlaces externos

• "Número real" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]