En matemáticas , una hipérbola ( escuchar ) (forma adjetiva hiperbólica , escuchar ) ( hipérbolas plural , o hipérbolae ( escuchar )) es un tipo de curva suave que se encuentra en un plano , definida por sus propiedades geométricas o por ecuaciones para las que es la solución. colocar. Una hipérbola tiene dos piezas, llamadas componentes conectados o ramas, que son imágenes especulares entre sí y se asemejan a dos arcos infinitos . La hipérbola es uno de los tres tipos de sección cónica , formada por la intersección de un plano. y un cono doble . (Las otras secciones cónicas son la parábola y la elipse . Un círculo es un caso especial de elipse). Si el plano interseca ambas mitades del cono doble pero no pasa por el vértice de los conos, entonces la cónica es una hipérbola. .
Las hipérbolas surgen de muchas formas:
- como la curva que representa la función en el plano cartesiano , [1]
- como el camino que sigue la sombra de la punta de un reloj de sol ,
- como la forma de una órbita abierta (a diferencia de una órbita elíptica cerrada), como la órbita de una nave espacial durante un giro asistido por gravedad de un planeta o, más generalmente, cualquier nave espacial que exceda la velocidad de escape del planeta más cercano,
- como el camino de un cometa de aparición única (uno que viaja demasiado rápido para regresar al sistema solar),
- como la trayectoria de dispersión de una partícula subatómica (sobre la que actúan fuerzas repulsivas en lugar de atractivas, pero el principio es el mismo),
- en la navegación por radio , cuando se puede determinar la diferencia entre las distancias a dos puntos, pero no las distancias en sí mismas,
y así.
Cada rama de la hipérbola tiene dos brazos que se vuelven más rectos (curvatura más baja) más lejos del centro de la hipérbola. Los brazos diagonalmente opuestos, uno de cada rama, tienden en el límite a una línea común, llamada asíntota de esos dos brazos. Entonces, hay dos asíntotas, cuya intersección está en el centro de simetría de la hipérbola, que se puede considerar como el punto espejo sobre el cual cada rama se refleja para formar la otra rama. En el caso de la curvalas asíntotas son los dos ejes de coordenadas . [2]
Las hipérbolas comparten muchas de las propiedades analíticas de las elipses, como excentricidad , enfoque y directriz . Normalmente, la correspondencia se puede realizar con nada más que un cambio de signo en algún término. Muchos otros objetos matemáticos tienen su origen en la hipérbola, como los paraboloides hiperbólicos (superficies de silla), los hiperboloides ("papeleras"), la geometría hiperbólica ( la célebre geometría no euclidiana de Lobachevsky ), las funciones hiperbólicas (sinh, cosh, tanh, etc. .), y los espacios de girovectores (una geometría propuesta para su uso tanto en la relatividad como en la mecánica cuántica que no es euclidiana ).
Etimología e historia
La palabra "hipérbola" deriva del griego ὑπερβολή , que significa "exagerado" o "excesivo", del cual también se deriva el término inglés hipérbole . Las hipérbolas fueron descubiertas por Menaechmus en sus investigaciones sobre el problema de doblar el cubo , pero luego fueron llamadas secciones de conos obtusos. [3] Se cree que el término hipérbola fue acuñado por Apolonio de Perge (c. 262-c. 190 a. C.) en su obra definitiva sobre las secciones cónicas , las cónicas . [4] Los nombres de las otras dos secciones cónicas generales, la elipse y la parábola , derivan de las palabras griegas correspondientes para "deficiente" y "aplicado"; los tres nombres están tomados de la terminología pitagórica anterior que se refería a una comparación del lado de los rectángulos de un área fija con un segmento de línea dado. El rectángulo podría "aplicarse" al segmento (es decir, tener la misma longitud), ser más corto que el segmento o exceder el segmento. [5]
Definiciones
Como lugar geométrico de puntos
Una hipérbola se puede definir geométricamente como un conjunto de puntos ( lugar geométrico de puntos ) en el plano euclidiano:
- Una hipérbola es un conjunto de puntos, tal que para cualquier punto del conjunto, la diferencia absoluta de las distancias a dos puntos fijos (los focos ) es constante, generalmente denotado por [6]
El punto medio del segmento de línea que une los focos se denomina centro de la hipérbola. [7] La línea que pasa por los focos se llama eje mayor . Contiene los vértices , que tienen distancia hacia el centro. La distanciade los focos al centro se llama distancia focal o excentricidad lineal . El cocientees la excentricidad .
La ecuacion se puede ver de una manera diferente (ver diagrama):
Si es el círculo con punto medio y radio , luego la distancia de un punto de la rama derecha al círculo es igual a la distancia al foco :
se llama directriz circular (relacionada con el enfoque) de la hipérbola. [8] [9] Para obtener la rama izquierda de la hipérbola, uno tiene que usar la directriz circular relacionada con. Esta propiedad no debe confundirse con la definición de una hipérbola con la ayuda de una directriz (línea) a continuación.
Hipérbola con ecuación y = A / x
Si el sistema de coordenadas xy se gira alrededor del origen por el ángulo y nuevas coordenadas están asignados, entonces .
La hipérbola rectangular (cuyos semiejes son iguales) tiene la nueva ecuación . Resolviendo para rendimientos
Así, en un sistema de coordenadas xy , la gráfica de una función con ecuación
- es una hipérbola rectangular enteramente en el primer y tercer cuadrantes con
- los ejes de coordenadas como asíntotas ,
- la línea como eje mayor ,
- el centro y el semieje
- los vértices
- el recto semilato y el radio de curvatura en los vértices
- la excentricidad lineal y la excentricidad
- la tangente en el punto
Una rotación de la hipérbola original por da como resultado una hipérbola rectangular enteramente en el segundo y cuarto cuadrantes, con las mismas asíntotas, centro, recto semilato, radio de curvatura en los vértices, excentricidad lineal y excentricidad que en el caso de rotación, con ecuación
- los semi-ejes
- la línea como eje mayor,
- los vértices
Cambiando la hipérbola con ecuación para que el nuevo centro sea , produce la nueva ecuación
y las nuevas asíntotas son y .
Los parámetros de forma permanece inalterable.
Por la propiedad de la directriz
Las dos líneas a distancia desde el centro y paralelas al eje menor se denominan directrices de la hipérbola (ver diagrama).
Por un punto arbitrario de la hipérbola el cociente de la distancia a un foco y a la directriz correspondiente (ver diagrama) es igual a la excentricidad:
La prueba de la pareja se sigue del hecho de que y satisfacer la ecuación
El segundo caso se prueba de forma análoga.
El enunciado inverso también es verdadero y se puede usar para definir una hipérbola (de manera similar a la definición de una parábola):
Por cualquier punto (foco), cualquier línea (directriz) no a través de y cualquier numero real con el conjunto de puntos (lugar geométrico de puntos), para el cual el cociente de las distancias al punto y a la recta es
- es una hipérbola.
(La elección produce una parábola y siuna elipse .)
- Prueba
Dejar y asumir es un punto en la curva. La directriz tiene ecuación . Con, la relación produce las ecuaciones
- y
La sustitucion rendimientos
Esta es la ecuación de una elipse () o una parábola () o una hipérbola (). Todas estas cónicas no degeneradas tienen en común el origen como vértice (ver diagrama).
Si , introducir nuevos parámetros así que eso , y luego la ecuación anterior se convierte en
que es la ecuación de una hipérbola con centro , el eje x como eje mayor y el semieje mayor / menor.
- Construcción de una directriz
Porque punto de directriz (ver diagrama) y enfoque son inversos con respecto a la inversión del círculo en el círculo(en el diagrama verde). De ahí el puntose puede construir usando el teorema de Tales (no se muestra en el diagrama). La directriz es la perpendicular a la recta a través del punto .
Construcción alternativa de: El cálculo muestra, ese punto es la intersección de la asíntota con su perpendicular a través (ver diagrama).
Como sección plana de un cono
La intersección de un cono doble vertical por un plano que no pasa por el vértice con pendiente mayor que la pendiente de las líneas del cono es una hipérbola (ver diagrama: curva roja). Para probar la propiedad definitoria de una hipérbola (ver arriba) se usan dos esferas Dandelin , que son esferas que tocan el cono a lo largo de círculos , y el plano de intersección (hipérbola) en los puntos y . Resulta:son los focos de la hipérbola.
- Dejar ser un punto arbitrario de la curva de intersección.
- La generatriz del cono que contiene interseca el círculo en el punto y circulo en un punto .
- Los segmentos de línea y son tangenciales a la esfera y, por tanto, tienen la misma longitud.
- Los segmentos de línea y son tangenciales a la esfera y, por tanto, tienen la misma longitud.
- El resultado es: es independiente del punto de hipérbola , porque no importa donde apunte es, tienes que estar en círculos , y segmento de línea tiene que cruzar el ápice. Por lo tanto, como punto se mueve a lo largo de la curva roja (hipérbola), segmento de línea simplemente gira alrededor del ápice sin cambiar su longitud.
Construcción de pasadores y cuerdas
La definición de una hipérbola por sus focos y sus directrices circulares (ver arriba) puede usarse para dibujar un arco con la ayuda de alfileres, una cuerda y una regla: [10]
(0) Elija los focos , los vértices y una de las directrices circulares , por ejemplo (círculo con radio )
(1) Una regla se fija en el punto libre para rotar . Punto está marcado a distancia .
(2) Una cuerda con longitudEsta preparado.
(3) Un extremo de la cuerda está clavado en el punto en la regla, el otro extremo está clavado para señalar .
(4) Tome un bolígrafo y sujete la cuerda con fuerza al borde de la regla.
(5) Girar la regla alrededor hace que el bolígrafo dibuje un arco de la rama derecha de la hipérbola, debido a (ver la definición de hipérbola por directrices circulares ).
Steiner generación de una hipérbola
El siguiente método para construir puntos únicos de una hipérbola se basa en la generación Steiner de una sección cónica no degenerada :
- Dado dos lápices de líneas en dos puntos (todas las líneas que contienen y , respectivamente) y un mapeo proyectivo pero no de perspectiva de sobre , entonces los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman una sección cónica proyectiva no degenerada.
Para la generación de puntos de la hipérbola uno usa los lápices en los vértices . Dejar ser un punto de la hipérbola y . El segmento de línea se divide en n segmentos igualmente espaciados y esta división se proyecta paralela a la diagonal como dirección en el segmento de línea (ver diagrama). La proyección paralela es parte del mapeo proyectivo entre los lápices en y necesario. Los puntos de intersección de dos líneas relacionadas y son puntos de la hipérbola definida unívocamente.
Observación: la subdivisión podría extenderse más allá de los puntos y para obtener más puntos, pero la determinación de los puntos de intersección se volvería más inexacta. Una mejor idea es extender los puntos ya construidos por simetría (ver animación).
Observación:
- La generación Steiner también existe para elipses y parábolas.
- La generación de Steiner a veces se denomina método de paralelogramo porque se pueden usar otros puntos en lugar de los vértices, que comienza con un paralelogramo en lugar de un rectángulo.
Ángulos inscritos para hipérbolas y = a / ( x - b ) + cy la forma de 3 puntos
Una hipérbola con ecuación está determinado de forma única por tres puntos con diferentes x - y Y coordenadas x. Una forma sencilla de determinar los parámetros de forma.usa el teorema del ángulo inscrito para hipérbolas:
- Para medir un ángulo entre dos rectas con ecuaciones en este contexto se usa el cociente
De manera análoga al teorema del ángulo inscrito para círculos, se obtiene el
Teorema del ángulo inscrito para hipérbolas: ,: [11] [12]
- Por cuatro puntos (ver diagrama) la siguiente afirmación es cierta:
- Los cuatro puntos están en una hipérbola con ecuación si y solo si los ángulos en y son iguales en el sentido de la medida anterior. Eso significa que si
(Prueba: cálculo sencillo. Si los puntos están en una hipérbola, se puede suponer que la ecuación de la hipérbola es .)
Una consecuencia del teorema del ángulo inscrito para hipérbolas es la
Forma de 3 puntos de la ecuación de una hipérbola:
- La ecuación de la hipérbola determinada por 3 puntos es la solución de la ecuación
- por .
Como imagen afín de la unidad hipérbola x ² - y ² = 1
Otra definición de hipérbola usa transformaciones afines :
- Cualquier hipérbola es la imagen afín de la hipérbola unitaria con ecuación .
- representación paramétrica
Una transformación afín del plano euclidiano tiene la forma , dónde es una matriz regular (su determinante no es 0) yes un vector arbitrario. Si son los vectores columna de la matriz , la hipérbola de la unidad está mapeado en la hipérbola
es el centro, un punto de la hipérbola y un vector tangente en este punto.
- vértices
En general los vectores no son perpendiculares. Eso significa, en generalno son los vértices de la hipérbola. Peroapunte en las direcciones de las asíntotas. El vector tangente en el punto es
Como en un vértice la tangente es perpendicular al eje mayor de la hipérbola, se obtiene el parámetro de un vértice de la ecuación
y por lo tanto de
cuyos rendimientos
(Las fórmulas fueron usados.)
Los dos vértices de la hipérbola son
- representación implícita
Resolviendo la representación paramétrica para por la regla de Cramer y usando, se obtiene la representación implícita
- .
- hipérbola en el espacio
La definición de hipérbola en esta sección da una representación paramétrica de una hipérbola arbitraria, incluso en el espacio, si se lo permite. ser vectores en el espacio.
Como imagen afín de la hipérbola y = 1 / x
Porque la hipérbola de la unidad es afinamente equivalente a la hipérbola , una hipérbola arbitraria puede considerarse como la imagen afín (ver sección anterior) de la hipérbola
es el centro de la hipérbola, los vectores tienen las direcciones de las asíntotas y es un punto de la hipérbola. El vector tangente es
En un vértice, la tangente es perpendicular al eje mayor. Por eso
y el parámetro de un vértice es
es equivalente a y son los vértices de la hipérbola.
Las siguientes propiedades de una hipérbola se prueban fácilmente utilizando la representación de una hipérbola presentada en esta sección.
Construcción tangente
El vector tangente se puede reescribir mediante factorización:
Esto significa que
- la diagonal del paralelogramo es paralelo a la tangente en el punto de hipérbola (ver diagrama).
Esta propiedad proporciona una forma de construir la tangente en un punto de la hipérbola.
Esta propiedad de una hipérbola es una versión afín de la degeneración de 3 puntos del teorema de Pascal . [13]
- Área del paralelogramo gris
El área del paralelogramo gris en el diagrama de arriba es
y por lo tanto independiente del punto . La última ecuación se deriva de un cálculo para el caso, donde es un vértice y la hipérbola en su forma canónica
Construcción de puntos
Para una hipérbola con representación paramétrica (por simplicidad, el centro es el origen) lo siguiente es cierto:
- Para dos puntos cualesquiera los puntos
- son colineales con el centro de la hipérbola (ver diagrama).
La prueba simple es una consecuencia de la ecuación .
Esta propiedad ofrece la posibilidad de construir puntos de una hipérbola si se dan las asíntotas y un punto.
Esta propiedad de una hipérbola es una versión afín de la degeneración de 4 puntos del teorema de Pascal . [14]
Asíntotas-tangente-triángulo
Por simplicidad, el centro de la hipérbola puede ser el origen y los vectores tienen la misma longitud. Si no se cumple la última suposición, primero se puede aplicar una transformación de parámetro (ver arriba) para que la suposición sea verdadera. Por eso son los vértices, abarcan el eje menor y se obtiene y .
Para los puntos de intersección de la tangente en el punto con las asíntotas se obtienen los puntos
El area del triangulo se puede calcular mediante un determinante 2 × 2:
(véanse las reglas para conocer los determinantes ). es el área del rombo generada por . El área de un rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales. Las diagonales son los semiejesde la hipérbola. Por eso:
- El area del triangulo es independiente del punto de la hipérbola:
Reciprocidad de un círculo
La reciprocidad de un círculo B en un círculo C siempre produce una sección cónica como una hipérbola. El proceso de "reciprocidad en un círculo C " consiste en reemplazar cada línea y punto en una figura geométrica con su polo y polar correspondientes, respectivamente. El polo de una línea es la inversión de su punto más cercano al círculo C , mientras que el polar de un punto es el inverso, es decir, una línea cuyo punto más cercano a C es la inversión del punto.
La excentricidad de la sección cónica obtenida por el movimiento alternativo es la relación de las distancias entre los centros de los dos círculos al radio r del círculo de movimiento alternativo C . Si B y C representan los puntos en los centros de los círculos correspondientes, entonces
Desde la excentricidad de una hipérbola es siempre mayor que uno, el centro B debe se encuentran fuera del círculo de movimiento alternativo C .
Esta definición implica que la hipérbola es tanto el lugar geométrico de los polos de las líneas tangentes al círculo B , así como la dotación de las líneas polares de los puntos B . Por el contrario, el círculo B es la envolvente de los polos de los puntos de la hipérbola y el lugar geométrico de los polos de las rectas tangentes a la hipérbola. Dos rectas tangentes a B no tienen polos (finitos) porque pasan por el centro C del círculo recíproco C ; los polares de los puntos tangentes correspondientes en B son las asíntotas de la hipérbola. Las dos ramas de la hipérbola corresponden a las dos partes del círculo B que están separadas por estos puntos tangentes.
Ecuación cuadrática
Una hipérbola también se puede definir como una ecuación de segundo grado en las coordenadas cartesianas ( x , y ) en el plano ,
siempre que las constantes A xx , A xy , A yy , B x , B y y C satisfagan la condición determinante
Este determinante se denomina convencionalmente discriminante de la sección cónica. [15]
Un caso especial de hipérbola, la hipérbola degenerada que consta de dos líneas que se cruzan, ocurre cuando otro determinante es cero:
Este determinante Δ a veces se denomina discriminante de la sección cónica. [dieciséis]
Dada la parametrización general anterior de la hipérbola en coordenadas cartesianas, la excentricidad se puede encontrar usando la fórmula en la sección Cónica # Excentricidad en términos de coeficientes .
El centro ( x c , y c ) de la hipérbola se puede determinar a partir de las fórmulas
En términos de nuevas coordenadas, ξ = x - x c y η = y - y c , la ecuación de definición de la hipérbola se puede escribir
Los ejes principales de la hipérbola forman un ángulo φ con el eje x positivo que viene dado por
Al rotar los ejes de coordenadas para que el eje x esté alineado con el eje transversal, la ecuación adquiere su forma canónica.
Los semiejes mayor y menor a y b son definidos por las ecuaciones
donde λ 1 y λ 2 son las raíces de la ecuación cuadrática
A modo de comparación, la ecuación correspondiente para una hipérbola degenerada (que consta de dos líneas que se cruzan) es
La recta tangente a un punto dado ( x 0 , y 0 ) en la hipérbola está definida por la ecuación
donde E , F y G se definen por
La recta normal a la hipérbola en el mismo punto viene dada por la ecuación
La recta normal es perpendicular a la recta tangente y ambas pasan por el mismo punto ( x 0 , y 0 ).
De la ecuación
el enfoque izquierdo es y el enfoque correcto es donde e es la excentricidad. Denote las distancias desde un punto ( x, y ) a los focos izquierdo y derecho como y Por un punto en la rama derecha,
y por un punto en la rama izquierda,
Esto se puede probar de la siguiente manera:
Si ( x , y ) es un punto en la hipérbola, la distancia al punto focal izquierdo es
Al punto focal derecho la distancia es
Si ( x , y ) es un punto en la rama derecha de la hipérbola, entonces y
Restando estas ecuaciones uno obtiene
Si ( x, y ) es un punto en la rama izquierda de la hipérbola, entonces y
Restando estas ecuaciones uno obtiene
En coordenadas cartesianas
Ecuación
Si se introducen coordenadas cartesianas de manera que el origen es el centro de la hipérbola y el eje x es el eje mayor, entonces la hipérbola se llama apertura este-oeste y
- los focos son los puntos , [17]
- los vértices son . [18]
Por un punto arbitrario la distancia al foco es y al segundo foco . De ahí el punto está en la hipérbola si se cumple la siguiente condición
Quite las raíces cuadradas mediante cuadraturas adecuadas y use la relación para obtener la ecuación de la hipérbola:
Esta ecuación se denomina forma canónica de una hipérbola, porque cualquier hipérbola, independientemente de su orientación relativa a los ejes cartesianos e independientemente de la ubicación de su centro, puede transformarse a esta forma mediante un cambio de variables, dando una hipérbola que es congruente con el original (ver más abajo ).
Los ejes de simetría o ejes principales son el eje transversal (que contiene el segmento de longitud 2 a con extremos en los vértices) y el eje conjugado (que contiene el segmento de longitud 2 b perpendicular al eje transversal y con el punto medio en el centro de la hipérbola) . [19] A diferencia de una elipse, una hipérbola tiene solo dos vértices:. Los dos puntosen los ejes conjugados no están en la hipérbola.
De la ecuación se deduce que la hipérbola es simétrica con respecto a ambos ejes de coordenadas y, por tanto, simétrica con respecto al origen.
Excentricidad
Para una hipérbola en la forma canónica anterior, la excentricidad viene dada por
Dos hipérbolas son geométricamente similares entre sí, lo que significa que tienen la misma forma, de modo que una se puede transformar en la otra mediante movimientos rígidos hacia la izquierda y hacia la derecha , rotación , toma de una imagen especular y escalado (aumento), si y solo si tienen la misma excentricidad.
Asíntotas
Resolviendo la ecuación (arriba) de la hipérbola para rendimientos
De esto se deduce que la hipérbola se aproxima a las dos líneas
para grandes valores de . Estas dos líneas se cruzan en el centro (origen) y se denominan asíntotas de la hipérbola.[20]
Con la ayuda de la segunda figura se puede ver que
- La distancia perpendicular desde un foco a cualquiera de las asíntotas es (el eje semi-menor).
De la forma normal de Hesse de las asíntotas y la ecuación de la hipérbola se obtiene: [21]
- El producto de las distancias desde un punto de la hipérbola a ambas asíntotas es la constante que también se puede escribir en términos de la excentricidad e como
De la ecuación de la hipérbola (arriba) se puede derivar:
- El producto de las pendientes de las rectas desde un punto P a los dos vértices es la constante
Además, de (2) arriba se puede demostrar que [21]
- El producto de las distancias desde un punto de la hipérbola a las asíntotas a lo largo de las líneas paralelas a las asíntotas es la constante
Recto semilato
La longitud de la cuerda a través de uno de los focos, perpendicular al eje mayor de la hipérbola, se denomina latus recto . La mitad es el recto semi-latus. . Un cálculo muestra
El recto semilato también puede verse como el radio de curvatura en los vértices.
Tangente
La forma más sencilla de determinar la ecuación de la tangente en un punto es diferenciar implícitamente la ecuaciónde la hipérbola. Denotando dy / dx como y ′ , esto produce
Con respecto a , la ecuación de la tangente en el punto es
Una línea tangente particular distingue la hipérbola de las otras secciones cónicas. [22] Sea f la distancia desde el vértice V (tanto en la hipérbola como en su eje a través de los dos focos) hasta el foco más cercano. Entonces, la distancia, a lo largo de una línea perpendicular a ese eje, desde ese foco hasta un punto P en la hipérbola es mayor que 2 f . La tangente a la hipérbola en P interseca ese eje en el punto Q en un ángulo ∠PQV mayor que 45 °.
Hipérbola rectangular
En el caso la hipérbola se llama rectangular (o equilátero ), porque sus asíntotas se cruzan en ángulos rectos. Para este caso, la excentricidad lineal es, la excentricidad y el recto semi-latus . La gráfica de la ecuación es una hipérbola rectangular.
Representación paramétrica con seno / coseno hiperbólico
Uso de las funciones de seno y coseno hiperbólicas , una representación paramétrica de la hipérbola se puede obtener, que es similar a la representación paramétrica de una elipse:
que satisface la ecuación cartesiana porque
Se dan más representaciones paramétricas en la sección Ecuaciones paramétricas a continuación.
Hipérbola conjugada
Intercambio y para obtener la ecuación de la hipérbola conjugada (ver diagrama):
- también escrito como
En coordenadas polares
Para polo = foco:
Las coordenadas polares utilizadas más comúnmente para la hipérbola se definen en relación con el sistema de coordenadas cartesiano que tiene su origen en un foco y su eje x apunta hacia el origen del "sistema de coordenadas canónico" como se ilustra en el primer diagrama.
En este caso el ángulose llama verdadera anomalía .
En relación con este sistema de coordenadas uno tiene que
y
para polo = centro:
Con coordenadas polares relativas al "sistema de coordenadas canónico" (ver segundo diagrama) uno tiene que
Para la rama derecha de la hipérbola, el rango de es
Ecuaciones paramétricas
Una hipérbola con ecuación se puede describir mediante varias ecuaciones paramétricas:
- ( representación racional ).
- Pendiente tangente como parámetro:
- Una representación paramétrica, que usa la pendiente de la tangente en un punto de la hipérbola se puede obtener de forma análoga al caso de la elipse: Reemplazar en el caso de la elipse por y utilizar fórmulas para las funciones hiperbólicas . Uno consigue
- es el superior, y la mitad inferior de la hipérbola. Los puntos con tangentes verticales (vértices ) no están cubiertos por la representación.
- La ecuación de la tangente en el punto es
- Esta descripción de las tangentes de una hipérbola es una herramienta esencial para la determinación de la ortóptica de una hipérbola.
Funciones hiperbólicas
Así como las funciones trigonométricas se definen en términos del círculo unitario , también las funciones hiperbólicas se definen en términos de la hipérbola unitaria , como se muestra en este diagrama. En un círculo unitario, el ángulo (en radianes) es igual al doble del área del sector circular que subtiende ese ángulo. El ángulo hiperbólico análogo se define igualmente como el doble del área de un sector hiperbólico .
Dejar ser el doble del área entre el eje y un rayo a través del origen que cruza la unidad hipérbola, y como las coordenadas del punto de intersección. Entonces el área del sector hiperbólico es el área del triángulo menos la región curva más allá del vértice en:
lo que simplifica al área del coseno hiperbólico
Resolviendo para produce la forma exponencial del coseno hiperbólico:
De uno obtiene
y su inversa el área del seno hiperbólico :
Otras funciones hiperbólicas se definen según el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico, por ejemplo
Propiedades
La tangente biseca el ángulo entre las líneas a los focos
La tangente en un punto biseca el ángulo entre las líneas .
- Prueba
Dejar ser el punto en la línea con la distancia al foco (ver diagrama, es el semieje mayor de la hipérbola). Línea es la bisectriz del ángulo entre las líneas . Para probar que es la recta tangente en el punto , se comprueba que cualquier punto en línea que es diferente de no puede estar en la hipérbola. Por eso tiene un solo punto en común con la hipérbola y es, por tanto, la tangente en el punto .
Del diagrama y la desigualdad del triángulo se reconoce que sostiene, lo que significa: . Pero si es un punto de la hipérbola, la diferencia debe ser .
Puntos medios de acordes paralelos
Los puntos medios de las cuerdas paralelas de una hipérbola se encuentran en una línea que pasa por el centro (ver diagrama).
Los puntos de cualquier acorde pueden estar en diferentes ramas de la hipérbola.
La prueba de la propiedad en los puntos medios se realiza mejor para la hipérbola . Porque cualquier hipérbola es una imagen afín de la hipérbola(consulte la sección siguiente) y una transformación afín conserva el paralelismo y los puntos medios de los segmentos de línea, la propiedad es verdadera para todas las hipérbolas:
para dos puntos de la hipérbola
- el punto medio del acorde es
- la pendiente de la cuerda es
Para cuerdas paralelas, la pendiente es constante y los puntos medios de las cuerdas paralelas se encuentran en la línea.
Consecuencia: por cualquier par de puntos de un acorde existe una reflexión sesgada con un eje (conjunto de puntos fijos) que pasa por el centro de la hipérbola, que intercambia los puntosy deja fija la hipérbola (en su conjunto). Un reflejo sesgado es una generalización de un reflejo ordinario a través de una línea., donde todos los pares de imágenes de puntos están en una línea perpendicular a .
Debido a que un reflejo sesgado deja la hipérbola fija, el par de asíntotas también lo es. De ahí el punto medio de un acorde divide el segmento de línea relacionado también entre las asíntotas en mitades. Esto significa que. Esta propiedad se puede utilizar para la construcción de más puntos. de la hipérbola si un punto y se dan las asíntotas.
Si el acorde degenera en una tangente , entonces el punto de contacto divide el segmento de línea entre las asíntotas en dos mitades.
Tangentes ortogonales - ortópticos
Por una hipérbola los puntos de intersección de las tangentes ortogonales se encuentran en el círculo.
Este círculo se llama ortóptico de la hipérbola dada.
Las tangentes pueden pertenecer a puntos en diferentes ramas de la hipérbola.
En caso de no hay pares de tangentes ortogonales.
Relación polo-polar para una hipérbola
Cualquier hipérbola se puede describir en un sistema de coordenadas adecuado mediante una ecuación . La ecuación de la tangente en un punto. de la hipérbola es Si uno permite el punto ser un punto arbitrario diferente del origen, entonces
- punto está mapeado en la línea , no a través del centro de la hipérbola.
Esta relación entre puntos y líneas es una biyección .
Los mapas de función inversa
- línea en el punto y
- línea en el punto
Tal relación entre puntos y líneas generada por una cónica se llama relación polo-polar o simplemente polaridad . El polo es el punto, el polar la línea. Ver Polo y polar .
Mediante cálculo se comprueban las siguientes propiedades de la relación polo-polar de la hipérbola:
- Para un punto (polo) en la hipérbola, el polar es la tangente en este punto (ver diagrama:).
- Por un poste fuera de la hipérbola los puntos de intersección de su polar con la hipérbola son los puntos de tangencia de las dos tangentes que pasan (ver diagrama: ).
- Para un punto dentro de la hipérbola, lo polar no tiene ningún punto en común con la hipérbola. (ver diagrama:).
Observaciones:
- El punto de intersección de dos polares (por ejemplo: ) es el polo de la línea a través de sus polos (aquí: ).
- Los focos y respectivamente y las directrices y pertenecen respectivamente a pares de polos y polares.
También existen relaciones polo-polares para elipses y parábolas.
Otras propiedades
- Los siguientes son concurrentes : (1) un círculo que pasa por los focos de la hipérbola y se centra en el centro de la hipérbola; (2) cualquiera de las rectas que son tangentes a la hipérbola en los vértices; y (3) cualquiera de las asíntotas de la hipérbola. [23] [24]
- Los siguientes también son concurrentes: (1) el círculo que está centrado en el centro de la hipérbola y que pasa por los vértices de la hipérbola; (2) cualquier directriz; y (3) cualquiera de las asíntotas. [24]
Longitud de arco
La longitud del arco de una hipérbola no tiene una expresión de forma cerrada . La mitad superior de una hipérbola se puede parametrizar como
Entonces la integral que da la longitud del arco de a se puede calcular numéricamente :
Después de usar la sustitución , esto también se puede representar usando la integral elíptica del segundo tipo con el parámetro:
Curvas derivadas
Varias otras curvas pueden derivarse de la hipérbola por inversión , las llamadas curvas inversas de la hipérbola. Si se elige el centro de inversión como centro propio de la hipérbola, la curva inversa es la lemniscata de Bernoulli ; la lemniscata es también la envoltura de círculos centrados en una hipérbola rectangular y que pasan por el origen. Si el centro de inversión se elige en un foco o un vértice de la hipérbola, las curvas inversas resultantes son un limaçon o un estrofoide , respectivamente.
Coordenadas elípticas
Una familia de hipérbolas confocales es la base del sistema de coordenadas elípticas en dos dimensiones. Estas hipérbolas se describen mediante la ecuación
donde los focos se encuentran a una distancia c del origen en el eje x , y donde θ es el ángulo de las asíntotas con el eje x . Cada hipérbola de esta familia es ortogonal a cada elipse que comparte los mismos focos. Esta ortogonalidad puede mostrarse mediante un mapa conforme del sistema de coordenadas cartesianas w = z + 1 / z , donde z = x + iy son las coordenadas cartesianas originales y w = u + iv son las posteriores a la transformación.
Otros sistemas de coordenadas bidimensionales ortogonales que implican hipérbolas pueden obtenerse mediante otros mapeos conformes. Por ejemplo, el mapeo w = z 2 transforma el sistema de coordenadas cartesianas en dos familias de hipérbolas ortogonales.
Análisis de la sección cónica de la apariencia hiperbólica de los círculos.
Además de proporcionar una descripción uniforme de círculos, elipses, parábolas e hipérbolas, las secciones cónicas también pueden entenderse como un modelo natural de la geometría de la perspectiva en el caso de que la escena que se visualiza consta de círculos, o más generalmente una elipse. El espectador suele ser una cámara o el ojo humano y la imagen de la escena es una proyección central sobre un plano de la imagen, es decir, todos los rayos de proyección pasan por un punto fijo O , el centro. El plano de lente es un plano paralelo al plano de la imagen a la lente O .
La imagen de un círculo c es
- a) un círculo , si el círculo c está en una posición especial, por ejemplo, paralelo al plano de la imagen y otros (ver proyección estereográfica),
- b) una elipse , si c no tiene ningún punto con el plano de la lente en común,
- c) una parábola , si c tiene un punto con el plano de la lente en común y
- d) una hipérbola , si c tiene dos puntos con el plano de la lente en común.
(Se omiten las posiciones especiales donde el plano del círculo contiene el punto O ).
Estos resultados se pueden entender si se reconoce que el proceso de proyección se puede ver en dos pasos: 1) el círculo cy el punto O generan un cono que es 2) cortado por el plano de la imagen, para generar la imagen.
Uno ve una hipérbola cada vez que ve una porción de un círculo cortado por el plano de la lente. La incapacidad de ver gran parte de los brazos de la rama visible, combinada con la ausencia total de la segunda rama, hace que sea prácticamente imposible para el sistema visual humano reconocer la conexión con las hipérbolas.
Aplicaciones
Relojes de sol
Las hipérbolas se pueden ver en muchos relojes de sol . En un día cualquiera, el sol gira en un círculo sobre la esfera celeste , y sus rayos que inciden en la punta de un reloj de sol trazan un cono de luz. La intersección de este cono con el plano horizontal del suelo forma una sección cónica. En la mayoría de las latitudes pobladas y en la mayor parte del año, esta sección cónica es una hipérbola. En términos prácticos, la sombra de la punta de un poste traza una hipérbola en el suelo durante el transcurso de un día (este camino se llama línea de declinación ). La forma de esta hipérbola varía con la latitud geográfica y con la época del año, ya que esos factores afectan el cono de los rayos del sol con respecto al horizonte. Los griegos llamaban pelekinon a la colección de tales hipérbolas durante todo un año en un lugar determinado , ya que se asemeja a un hacha de doble hoja.
Multilateración
Una hipérbola es la base para resolver problemas de multilateración , la tarea de ubicar un punto a partir de las diferencias en sus distancias a puntos dados - o, de manera equivalente, la diferencia en los tiempos de llegada de señales sincronizadas entre el punto y los puntos dados. Estos problemas son importantes en la navegación, especialmente en el agua; un barco puede localizar su posición a partir de la diferencia en los tiempos de llegada de las señales de un LORAN o transmisores GPS . A la inversa, se puede localizar una baliza de retorno o cualquier transmisor comparando los tiempos de llegada de sus señales en dos estaciones receptoras independientes; tales técnicas pueden usarse para rastrear objetos y personas. En particular, el conjunto de posibles posiciones de un punto que tiene una diferencia de distancia de 2 a desde dos puntos dados es una hipérbola de separación de vértices 2 a cuyos focos son los dos puntos dados.
Camino seguido por una partícula
El camino seguido por cualquier partícula en el problema clásico de Kepler es una sección cónica . En particular, si la energía total E de la partícula es mayor que cero (es decir, si la partícula no está unida), la trayectoria de dicha partícula es una hipérbola. Esta propiedad es útil para estudiar las fuerzas atómicas y subatómicas mediante la dispersión de partículas de alta energía; por ejemplo, el experimento de Rutherford demostró la existencia de un núcleo atómico al examinar la dispersión de partículas alfa de los átomos de oro . Si se ignoran las interacciones nucleares de corto alcance, el núcleo atómico y la partícula alfa interactúan solo por una fuerza repulsiva de Coulomb , que satisface el requisito de la ley del cuadrado inverso para un problema de Kepler.
Ecuación de Korteweg – de Vries
La función trigonométrica hiperbólica aparece como una solución a la ecuación de Korteweg-de Vries que describe el movimiento de una onda solitón en un canal.
Trisección de ángulo
Como lo demostró en primer lugar Apolonio de Perge , se puede utilizar una hipérbola para trisecar cualquier ángulo , un problema de geometría bien estudiado. Teniendo en cuenta un ángulo, dibujar primero un círculo centrado en su vértice O , que corta los lados del ángulo en los puntos A y B . A continuación, dibuje el segmento de línea con los puntos finales A y B y su bisectriz perpendicular. Construya una hipérbola de excentricidad e = 2 concomo directriz y B como foco. Sea P la intersección (superior) de la hipérbola con el círculo. El ángulo POB triseca el ángulo AOB .
Para probar esto, refleje el segmento de línea OP sobre la líneaobtener el punto P' como la imagen de P . El segmento AP ' tiene la misma longitud que el segmento BP debido a la reflexión, mientras que el segmento PP' tiene la misma longitud que el segmento BP debido a la excentricidad de la hipérbola. Como OA , OP ' , OP y OB son todos radios del mismo círculo (y por tanto, tienen la misma longitud), los triángulos OAP' , OPP ' y OPB son todos congruentes. Por lo tanto, el ángulo se ha trisecado, ya que 3 × POB = AOB . [25]
Frontera de cartera eficiente
En la teoría de carteras , el lugar de las carteras eficientes de varianza media (llamado frontera eficiente) es la mitad superior de la rama de apertura este de una hipérbola dibujada con la desviación estándar del rendimiento de la cartera trazada horizontalmente y su valor esperado trazado verticalmente; según esta teoría, todos los inversores racionales elegirían una cartera caracterizada por algún punto de este locus.
Bioquímica
En bioquímica y farmacología , la ecuación de Hill y la ecuación de Hill-Langmuir describen respectivamente las respuestas biológicas y la formación de complejos de proteína-ligando como funciones de la concentración de ligando. Ambos son hipérbolas rectangulares.
Hipérbolas como secciones planas de cuadrículas
Las hipérbolas aparecen como secciones planas de las siguientes cuadrículas :
- Cono elíptico
- Cilindro hiperbólico
- Paraboloide hiperbólico
- Hiperboloide de una hoja
- Hiperboloide de dos hojas
Cono elíptico
Cilindro hiperbólico
Paraboloide hiperbólico
Hiperboloide de una hoja
Hiperboloide de dos hojas
Ver también
Otras secciones cónicas
- Circulo
- Elipse
- Parábola
- Cónica degenerada
- Coordenadas elípticas , un sistema de coordenadas ortogonales basado en familias de elipses e hipérbolas.
- Crecimiento hiperbólico
- Ecuación diferencial parcial hiperbólica
- Sector hiperbólico
- Estructura hiperbólica
- Trayectoria hiperbólica
- Hiperboloide
- Multilateración
- Rotación de ejes
- Traducción de axes
- Hipérbola unitaria
Notas
- ↑ Oakley (1944 , p. 17)
- ↑ Oakley (1944 , p. 17)
- ^ Heath, Sir Thomas Little (1896), "Capítulo I. El descubrimiento de las secciones cónicas. Menaechmus", Apolonio de Perga: Tratado sobre las secciones cónicas con introducciones que incluyen un ensayo sobre la historia anterior sobre el tema , Cambridge University Press, págs. Xvii –Xxx.
- ^ Boyer, Carl B .; Merzbach, Uta C. (2011), A History of Mathematics , Wiley, p. 73, ISBN 9780470630563,
Fue Apolonio (posiblemente siguiendo una sugerencia de Arquímedes) que introdujo el nombre "elipse" y "hipérbola" en relación con estas curvas.
- ^ Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry (Vol. One) , Allyn y Bacon, págs. 30–31
- ^ Protter y Morrey (1970 , págs. 308-310)
- ^ Protter y Morrey (1970 , p. 310)
- ^ Apostol, Tom M .; Mnatsakanian, Mamikon A. (2012), New Horizons in Geometry , The Dolciani Mathematical Expositions # 47, The Mathematical Association of America, p. 251, ISBN 978-0-88385-354-2
- ↑ El término alemán para este círculo es Leitkreis, que puede traducirse como "círculo del director", pero ese término tiene un significado diferente en la literatura inglesa (ver círculo del director ).
- ↑ Frans van Schooten : Mathematische Oeffeningen , Leyden, 1659, p. 327
- ↑ E. Hartmann: Lecture Note ' Planar Circle Geometries' , an Introduction to Möbius-, Laguerre- and Minkowski Planes, p. 93
- ↑ W. Benz: Vorlesungen über Geomerie der Algebren , Springer (1973)
- ^ Nota de conferencia Geometrías de círculo plano, una introducción a los planos de Moebius, Laguerre y Minkowski , S. 33, (PDF; 757 kB)
- ^ Nota de conferencia Geometrías de círculo plano, una introducción a los planos de Moebius, Laguerre y Minkowski , S. 32, (PDF; 757 kB)
- ^ Fanchi, John R. (2006), Actualización matemática para científicos e ingenieros , John Wiley and Sons, págs. 44–45, ISBN 0-471-75715-2, Sección 3.2, página 45
- ^ Korn, Granino A. y Korn, Theresa M. Manual matemático para científicos e ingenieros: definiciones, teoremas y fórmulas de referencia y revisión , Dover Publ., Segunda edición, 2000: p. 40.
- ^ Protter y Morrey (1970 , p. 310)
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- ^ Protter y Morrey (1970 , págs. APP-29-APP-30)
- ↑ a b Mitchell, Douglas W., "Una propiedad de las hipérbolas y sus asíntotas", Mathematical Gazette 96, julio de 2012, 299-301.
- ^ JW Downs, Practical Conic Sections , Dover Publ., 2003 (orig. 1993): p. 26.
- ^ "Hipérbola" . Mathafou.free.fr . Consultado el 26 de agosto de 2018 .
- ^ a b "Copia archivada" . Archivado desde el original el 2 de febrero de 2017 . Consultado el 22 de junio de 2011 .CS1 maint: copia archivada como título ( enlace )
- ↑ Esta construcción se debe a Pappus of Alexandria (circa 300 DC) y la prueba proviene de Kazarinoff (1970 , pg.62 ) .
Referencias
- Kazarinoff, Nicholas D. (2003), Ruler and the Round , Mineola, NY: Dover, ISBN 0-486-42515-0
- Oakley, CO, Ph.D. (1944), Un esquema del cálculo , Nueva York: Barnes & Noble
- Protter, Murray H .; Morrey, Charles B., Jr. (1970), Cálculo universitario con geometría analítica (2a ed.), Lectura: Addison-Wesley , LCCN 76087042
enlaces externos
- "Hipérbola" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- La derivación de Apolonio de la hipérbola en la convergencia
- Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen , 1659
- Weisstein, Eric W. "Hipérbola" . MathWorld .