En matemáticas , una relación binaria R en un conjunto X es reflexiva si relaciona todos los elementos de X consigo mismo. [1] [2]
Un ejemplo de una relación reflexiva es la relación " es igual a " en el conjunto de números reales , ya que todo número real es igual a sí mismo. Se dice que una relación reflexiva tiene la propiedad reflexiva o se dice que posee reflexividad . Junto con la simetría y la transitividad , la reflexividad es una de las tres propiedades que definen las relaciones de equivalencia .
Definiciones
Relaciones binarias | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Un " ✓ " indica que la propiedad de la columna es necesaria en la definición de la fila. Por ejemplo, la definición de una relación de equivalencia requiere que sea simétrica. Todas las definiciones requieren tácitamente transitividad y reflexividad . |
Dejar ser una relación binaria en un conjunto , que por definición es solo un subconjunto de Para cualquier la notación significa que mientras no " significa que
La relación se llama reflexivo si para cada o de manera equivalente, si dónde denota la relación de identidad enEl cierre reflexivo de es la unión que se puede definir de manera equivalente como el más pequeño (con respecto a ) relación reflexiva sobre eso es un superconjunto de Una relación es reflexiva si y sólo si es igual a su cierre reflexivo.
La reducción reflexiva o núcleo irreflexivo de es el más pequeño (con respecto a ) relación en que tiene el mismo cierre reflexivo que Es igual a El núcleo irreflexivo de puede, en cierto sentido, ser visto como una construcción que es el "opuesto" del cierre reflexivo de Por ejemplo, el cierre reflexivo de la desigualdad estricta canónica en los reales es la desigualdad no estricta habitual mientras que la reducción reflexiva de es
Definiciones relacionadas
Existen varias definiciones relacionadas con la propiedad reflexiva. La relación se llama:
- Irreflexivo o Antirreflejos
- Si no relaciona ningún elemento consigo mismo; es decir, si no para cada Una relación es irreflexiva si y sólo si su complemento en es reflexivo. Una relación asimétrica es necesariamente irreflexiva. Una relación transitiva e irreflexiva es necesariamente asimétrica.
- Cuasi reflexivo izquierdo
- Si cuando sea son tales que entonces necesariamente [3]
- Cuasi reflexivo derecho
- Si cuando sea son tales que entonces necesariamente
- Cuasi reflexivo
- Si cada elemento que está relacionado con algún elemento también está relacionado con él mismo. Explícitamente, esto significa que siempre que son tales que entonces necesariamente yDe manera equivalente, una relación binaria es cuasi reflexiva si y solo si es cuasi reflexiva izquierda y cuasi reflexiva derecha. Una relación es cuasi reflexivo si y solo si su cierre simétrico es cuasi reflexivo izquierdo (o derecho).
- Antisimétrico
- Si cuando sea son tales que y entonces necesariamente
- Coreflexivo
- Si cuando sea son tales que entonces necesariamente [4] Una relación es coreflexivo si y solo si su cierre simétrico es antisimétrico .
Una relación reflexiva en un conjunto no vacío no puede ser irreflexivo ni asimétrico (se llama asimétrico si implica que no ), ni antitransitivo (es antitransitivo si y implica que no ).
Ejemplos de
Ejemplos de relaciones reflexivas incluyen:
- "es igual a" ( igualdad )
- "es un subconjunto de" (inclusión de conjuntos)
- "divide" ( divisibilidad )
- "es mayor o igual a"
- "es menor o igual que"
Ejemplos de relaciones irreflexivas incluyen:
- "no es igual a"
- "es coprime a" (para los enteros> 1, ya que 1 es coprime a sí mismo)
- "es un subconjunto adecuado de"
- "es mayor que"
- "es menos que"
Un ejemplo de una relación irreflexiva, lo que significa que no relaciona ningún elemento consigo mismo, es la relación "mayor que" () sobre los números reales . No toda relación que no sea reflexiva es irreflexiva; es posible definir relaciones donde algunos elementos están relacionados entre sí pero otros no (es decir, ni todos ni ninguno lo están). Por ejemplo, la relación binaria "el producto de y es par "es reflexivo sobre el conjunto de números pares , irreflexivo sobre el conjunto de números impares, y no reflexivo ni irreflexivo sobre el conjunto de números naturales .
Un ejemplo de relación cuasi-reflexiva es "tiene el mismo límite que" en el conjunto de secuencias de números reales: no todas las secuencias tienen un límite y, por lo tanto, la relación no es reflexiva, pero si una secuencia tiene el mismo límite que alguna secuencia, entonces tiene el mismo límite como él mismo. Un ejemplo de una relación cuasi reflexiva izquierda es una relación euclidiana izquierda , que siempre es cuasi reflexiva izquierda pero no necesariamente cuasi reflexiva derecha y, por lo tanto, no necesariamente cuasi reflexiva.
Un ejemplo de una relación coreflexiva es la relación de números enteros en la que cada número impar está relacionado consigo mismo y no hay otras relaciones. La relación de igualdad es el único ejemplo de una relación tanto reflexiva como coreflexiva, y cualquier relación coreflexiva es un subconjunto de la relación de identidad. La unión de una relación coreflexiva y una relación transitiva en el mismo conjunto es siempre transitiva.
Número de relaciones reflexivas
El número de relaciones reflexivas en un conjunto de n elementos es 2 n 2 - n . [5]
Elementos | Alguna | Transitivo | Reflexivo | Hacer un pedido | Orden parcial | Reserva total | Orden total | Relación de equivalencia |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
2 | dieciséis | 13 | 4 | 4 | 3 | 3 | 2 | 2 |
3 | 512 | 171 | 64 | 29 | 19 | 13 | 6 | 5 |
4 | 65,536 | 3.994 | 4.096 | 355 | 219 | 75 | 24 | 15 |
norte | 2 n 2 | 2 n 2 - n | ∑n k = 0 k ! S ( n , k ) | n ! | ∑n k = 0 S ( n , k ) | |||
OEIS | A002416 | A006905 | A053763 | A000798 | A001035 | A000670 | A000142 | A000110 |
Lógica filosófica
Los autores de lógica filosófica a menudo usan terminología diferente. Las relaciones reflexivas en el sentido matemático se denominan totalmente reflexivas en lógica filosófica, y las relaciones cuasi reflexivas se denominan reflexivas . [6] [7]
Notas
- ^ Levy 1979: 74
- ^ Matemáticas relacionales, 2010
- ↑ La Enciclopedia Británica llama a esta propiedad cuasi-reflexividad.
- ^ Fonseca de Oliveira, JN y Pereira Cunha Rodrigues, CDJ (2004). Transposición de relaciones: de funciones Maybe a tablas hash. En Matemáticas de la construcción de programas (p. 337).
- ^ Enciclopedia en línea de secuencias de enteros A053763
- ^ Alan Hausman; Howard Kahane; Paul Tidman (2013). Lógica y filosofía: una introducción moderna . Wadsworth. ISBN 1-133-05000-X. Aquí: p.327-328
- ^ DS Clarke; Richard Behling (1998). Lógica deductiva: una introducción a las técnicas de evaluación y la teoría lógica . University Press of America. ISBN 0-7618-0922-8. Aquí: p.187
Referencias
- Levy, A. (1979) Teoría básica de conjuntos , Perspectivas en lógica matemática, Springer-Verlag. Reimpreso en 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5
- Lidl, R. y Pilz, G. (1998). Álgebra abstracta aplicada , Textos de pregrado en Matemáticas , Springer-Verlag. ISBN 0-387-98290-6
- Quine, WV (1951). Lógica matemática , edición revisada. Reimpreso en 2003, Harvard University Press. ISBN 0-674-55451-5
- Gunther Schmidt, 2010. Matemáticas relacionales . Prensa de la Universidad de Cambridge, ISBN 978-0-521-76268-7 .
enlaces externos
- "Reflexividad" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]