En topología algebraica , una rama de las matemáticas , la homología (singular) de un espacio topológico en relación con un subespacio es una construcción en homología singular , para pares de espacios . La homología relativa es útil e importante de varias formas. Intuitivamente, ayuda a determinar qué parte de un grupo de homología absoluta proviene de qué subespacio.
DefiniciónDado un subespacio , uno puede formar la breve secuencia exacta
dónde denota las cadenas singulares en el espacio X . El mapa de límites en sale de invariante una y, por tanto, desciende a un mapa de los límitesen el cociente. Si denotamos este cociente por, entonces tenemos un complejo
Por definición, el n- ésimo grupo de homología relativa del par de espacios es
Se dice que la homología relativa viene dada por los ciclos relativos , cadenas cuyos límites son cadenas en A , módulo los límites relativos (cadenas que son homólogas a una cadena en A , es decir, cadenas que serían límites, módulo A nuevamente). [1]
PropiedadesLas secuencias exactas cortas anteriores que especifican los grupos de cadenas relativos dan lugar a un complejo de cadenas de secuencias exactas cortas. Una aplicación del lema de la serpiente produce una secuencia larga y exacta.
El mapa de conexión toma un ciclo relativo, lo que representa una clase de homología en , hasta su límite (que es un ciclo en A ). [2]
Resulta que , dónde es un punto en X , es el n -ésimo reducida homología grupo de X . En otras palabras, para todos . Cuándo, es el módulo gratuito de un rango menos que . El componente conectado que contiene se vuelve trivial en homología relativa.
El teorema de la escisión dice que eliminar un subconjunto suficientemente bueno deja los grupos de homología relativa sin alterar. Usando la larga secuencia exacta de pares y el teorema de la escisión, se puede demostrar quees el mismo que el n -ésimo grupos de homología reducida del espacio del cociente.
La homología relativa se extiende fácilmente al triple por .
Se puede definir la característica de Euler para un par por
La exactitud de la secuencia implica que la característica de Euler es aditiva , es decir, si, uno tiene
Homología localLa -th grupo de homología local de un espacio en un punto , denotado
se define como el grupo de homología relativa . Informalmente, esta es la homología "local" de cerca de .
Homología local del cono CX en el origen
Un ejemplo sencillo de homología local es calcular la homología local del cono (topología) de un espacio en el origen del cono. Recuerda que el cono se define como el espacio del cociente.
dónde tiene la topología del subespacio. Entonces, el origen es la clase de equivalencia de puntos . Usando la intuición de que el grupo de homología local de a captura la homología de "cerca" del origen, deberíamos esperar que esta sea la homología de desde tiene un retracto de homotopia para. Luego, se puede calcular la cohomología local utilizando la secuencia larga exacta en homología
Debido a que el cono de un espacio es contráctil , los grupos de homología medios son todos cero, lo que da el isomorfismo
desde es contractible a .
En geometría algebraica
Tenga en cuenta que la construcción anterior se puede probar en geometría algebraica utilizando el cono afín de una variedad proyectiva utilizando cohomología local .
Homología local de un punto en una variedad suave
Otro cálculo para la homología local se puede calcular en un punto de un colector . Entonces, deja ser un barrio compacto de isomorfo a un disco cerrado y deja . Usando el teorema de la escisión hay un isomorfismo de grupos de homología relativa
por lo tanto, la homología local de un punto se reduce a la homología local de un punto en una bola cerrada . Debido a la equivalencia de homotopía
y el hecho
la única parte no trivial de la larga secuencia exacta del par es
por lo tanto, el único grupo de homología local distinto de cero es .
FunctorialidadAl igual que en la homología absoluta, los mapas continuos entre espacios inducen homomorfismos entre grupos de homología relativa. De hecho, este mapa es exactamente el mapa inducido sobre grupos de homología, pero desciende al cociente.
Dejar y ser pares de espacios tales que y , y deja ser un mapa continuo. Luego hay un mapa inducidoen los grupos de la cadena (absoluta). Si, luego . Dejar
ser las proyecciones naturales que llevan elementos a sus clases de equivalencia en los grupos de cocientes . Entonces el mapaes un homomorfismo de grupo. Desde, this map descends to the quotient, inducing a well-defined map such that the following diagram commutes:[3]
Chain maps induce homomorphisms between homology groups, so induces a map on the relative homology groups.[2]
Ejemplos deOne important use of relative homology is the computation of the homology groups of quotient spaces . In the case that is a subspace of fulfilling the mild regularity condition that there exists a neighborhood of that has as a deformation retract, then the group is isomorphic to . We can immediately use this fact to compute the homology of a sphere. We can realize as the quotient of an n-disk by its boundary, i.e. . Applying the exact sequence of relative homology gives the following:
Because the disk is contractible, we know its reduced homology groups vanish in all dimensions, so the above sequence collapses to the short exact sequence:
Therefore, we get isomorphisms . We can now proceed by induction to show that . Now because is the deformation retract of a suitable neighborhood of itself in , we get that .
Another insightful geometric example is given by the relative homology of where . Then we can use the long exact sequence
Using exactness of the sequence we can see that contains a loop counterclockwise around the origin. Since the cokernel of fits into the exact sequence
it must be isomorphic to . One generator for the cokernel is the -chain since its boundary map is
Ver tambiénNotasReferencias