En matemáticas , una representación es una relación muy general que expresa similitudes (o equivalencias) entre objetos o estructuras matemáticos . [1] En términos generales, se puede decir que una colección Y de objetos matemáticos representa otra colección X de objetos, siempre que las propiedades y relaciones existentes entre los objetos representativos y i se ajusten, de alguna manera coherente, a las existentes entre los correspondientes representados. objetos x i . Más específicamente, dado un conjunto Π de propiedades y relaciones , unaΠ -representación de alguna estructura X es una estructura Y que es la imagen de X bajo un homomorfismo que conserva Π . La representación de la etiqueta a veces también se aplica al homomorfismo en sí mismo (como el homomorfismo de grupo en la teoría de grupos ). [2] [3]
Teoría de la representación
Quizás el ejemplo más desarrollado de esta noción general es el subcampo del álgebra abstracta llamado teoría de la representación , que estudia la representación de elementos de estructuras algebraicas mediante transformaciones lineales de espacios vectoriales . [3]
Otros ejemplos
Aunque el término teoría de la representación está bien establecido en el sentido algebraico discutido anteriormente, existen muchos otros usos del término representación en las matemáticas.
Teoría de grafos
Un área activa de la teoría de grafos es la exploración de isomorfismos entre grafos y otras estructuras. Una clase clave de tales problemas surge del hecho de que, como la adyacencia en los gráficos no dirigidos , la intersección de conjuntos (o, más precisamente, la no dislocación ) es una relación simétrica . Esto da lugar al estudio de gráficos de intersección para innumerables familias de conjuntos. [4] Un resultado fundamental aquí, debido a Paul Erdős y sus colegas, es que cada n - vértice gráfico puede ser representado en términos de intersección entre los subconjuntos de un conjunto de tamaño no más de n 2 /4. [5]
La representación de un gráfico mediante estructuras algebraicas como su matriz de adyacencia y la matriz laplaciana da lugar al campo de la teoría de grafos espectrales . [6]
Teoría del orden
Doble a la observación anterior de que cada gráfico es un gráfico de intersección es el hecho de que cada conjunto parcialmente ordenado (también conocido como poset) es isomorfo a una colección de conjuntos ordenados por la relación de inclusión (o contención) ⊆. Algunos posets que surgen como órdenes de inclusión para clases naturales de objetos incluyen las celosías booleanas y los órdenes de dimensión n . [7]
Muchos órdenes parciales surgen de (y, por lo tanto, pueden representarse mediante) colecciones de objetos geométricos . Entre ellos se encuentran las órdenes n -ball . Los órdenes de 1 bola son los órdenes de contención de intervalo, y los órdenes de 2 bolas son los llamados órdenes circulares , los posets representables en términos de contención entre discos en el plano. Un resultado particularmente bueno en este campo es la caracterización de los gráficos planos , como aquellos gráficos cuyas relaciones de incidencia vértice-borde son órdenes de círculo. [8]
También hay representaciones geométricas que no se basan en la inclusión. De hecho, una de las clases mejor estudiadas entre estos son los órdenes de intervalo , [9] que representan el orden parcial en términos de lo que podría llamarse precedencia disjunta de intervalos en la línea real : cada elemento x del poset está representado por un intervalo [ x 1 , x 2 ], de modo que para cualquier y y z en el conjunto, y está por debajo de z si y sólo si y 2 < z 1 .
Lógica
En lógica , la representabilidad de las álgebras como estructuras relacionales se usa a menudo para probar la equivalencia de la semántica algebraica y relacional . Ejemplos de esto incluyen la representación de Stone de álgebras de Boole como campos de conjuntos , [10] la representación de Esakia de álgebras de Heyting como álgebras de Heyting de conjuntos, [11] y el estudio de álgebras de relaciones representables y álgebras cilíndricas representables . [12]
Polisemia
Bajo ciertas circunstancias, una sola función f : X → Y es a la vez un isomorfismo de varias estructuras matemáticas en X . Dado que cada una de esas estructuras puede pensarse, intuitivamente, como un significado de la imagen Y (una de las cosas que Y está tratando de decirnos), este fenómeno se llama polisemia, un término tomado de la lingüística . Algunos ejemplos de polisemia incluyen:
- polisemia de intersección: pares de gráficos G 1 y G 2 en un conjunto de vértices común V que se pueden representar simultáneamente mediante una sola colección de conjuntos S v , de modo que cualquier vértice distinto u y w en V son adyacentes en G 1 , si y solo si sus conjuntos correspondientes se intersecan ( S u ∩ S w ≠ Ø), y son adyacentes en G 2 si y solo si los complementos lo hacen ( S u C ∩ S w C ≠ Ø). [13]
- polisemia de competencia: motivada por el estudio de las redes alimentarias ecológicas , en las que parejas de especies pueden tener presas en común o depredadores en común. Un par de gráficos G 1 y G 2 en un conjunto de vértices es competencia polisémico, si y sólo si existe un único grafo dirigido D en el mismo conjunto de vértices, de tal manera que ningún vértices distintos u y v son adyacentes en G 1, si y sólo si hay un vértice w tal que tanto uw y vw son arcos en D , y son adyacentes en G 2, si y sólo si existe un vértice w tal que tanto wu y wv son arcos en D . [14]
- polisemia de intervalo: pares de posets P 1 y P 2 en un conjunto de terreno común que puede ser representado simultáneamente por una sola colección de intervalos reales, que es una representación de orden de intervalo de P 1 y una representación de contención de intervalo de P 2 . [15]
Ver también
- Representación grupal
- Teoremas de representación
- Teoría de modelos
Referencias
- ^ "El glosario definitivo de jerga matemática superior - representación matemática" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Representación de grupo" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
- ^ a b Teleman, Constantin. "Teoría de la representación" (PDF) . math.berkeley.edu . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
- ^ McKee, Terry A .; McMorris, FR (1999), Temas de la teoría de grafos de intersección , Monografías de SIAM sobre matemáticas y aplicaciones discretas, Filadelfia: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, doi : 10.1137 / 1.9780898719802 , ISBN 978-0-89871-430-2, MR 1672910
- ^ Erdős, Paul ; Goodman, AW; Pósa, Louis (1966), "La representación de un gráfico por intersecciones de conjuntos", Canadian Journal of Mathematics , 18 (1): 106–112, CiteSeerX 10.1.1.210.6950 , doi : 10.4153 / cjm-1966-014-3 , MR 0186575
- ^ Biggs, Norman (1994), Teoría de grafos algebraicos , Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45897-9, MR 1271140
- ^ Trotter, William T. (1992), Combinatoria y conjuntos parcialmente ordenados: teoría de la dimensión , Johns Hopkins Series in the Mathematical Sciences, Baltimore: The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-4425-6, MR 1169299
- ^ Scheinerman, Edward (1991), "A note on planar graphs and circle orders", SIAM Journal on Discrete Mathematics , 4 (3): 448–451, doi : 10.1137 / 0404040 , MR 1105950
- ^ Fishburn, Peter C. (1985), Órdenes de intervalo y gráficos de intervalo: un estudio de conjuntos ordenados parcialmente , Serie Wiley-Interscience en matemáticas discretas, John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-81284-5, MR 0776781
- ^ Marshall H. Stone (1936) " La teoría de las representaciones de álgebras de Boole ", Transacciones de la American Mathematical Society 40 : 37-111.
- ^ Esakia, Leo (1974). "Modelos topológicos de Kripke". Matemáticas soviéticas . 15 (1): 147-151.
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- ^ Fischermann, Miranca; Knoben, Werner; Kremer, Dirk; Rautenbachh, Dieter (2004), "Polisemia de la competencia", Matemáticas discretas , 282 (1-3): 251-255, doi : 10.1016 / j.disc.2003.11.014 , MR 2059526
- ^ Tanenbaum, Paul J. (1996), "Representación simultánea de intervalos y órdenes de contención de intervalo", Orden , 13 (4): 339–350, CiteSeerX 10.1.1.53.8988 , doi : 10.1007 / BF00405593 , MR 1452517