En la física y la ingeniería , el factor de calidad o Q factor de es una dimensión parámetro que describe cómo subamortiguado un oscilador o resonador es. Se define aproximadamente como la relación entre la energía inicial almacenada en el resonador y la energía perdida en un radianes del ciclo de oscilación. [1] El factor Q se define alternativamente como la relación entre la frecuencia central de un resonador y su ancho de banda cuando está sujeto a una fuerza impulsora oscilante. Estas dos definiciones dan resultados numéricamente similares, pero no idénticos. [2]Una Q más alta indica una tasa más baja de pérdida de energía y las oscilaciones se extinguen más lentamente. Un péndulo suspendido de un cojinete de alta calidad, que oscila en el aire, tiene una Q alta , mientras que un péndulo sumergido en aceite tiene una baja. Los resonadores con factores de alta calidad tienen una amortiguación baja , por lo que suenan o vibran por más tiempo.
Explicación
El factor Q es un parámetro que describe el comportamiento de resonancia de un oscilador armónico subamortiguado (resonador). Los resonadores impulsados sinusoidalmente que tienen factores Q más altos resuenan con mayores amplitudes (en la frecuencia de resonancia) pero tienen un rango más pequeño de frecuencias alrededor de la frecuencia para la que resuenan; el rango de frecuencias para el cual resuena el oscilador se llama ancho de banda. Por lo tanto, un circuito sintonizado de alta Q en un receptor de radio sería más difícil de sintonizar, pero tendría más selectividad ; Haría un mejor trabajo al filtrar las señales de otras estaciones que se encuentran cercanas en el espectro. Los osciladores de alta Q oscilan con un rango de frecuencias más pequeño y son más estables. (Ver ruido de fase del oscilador ).
El factor de calidad de los osciladores varía sustancialmente de un sistema a otro, dependiendo de su construcción. Los sistemas para los que la amortiguación es importante (como los amortiguadores que evitan que una puerta se cierre de golpe) tienen Q cerca de 1 ⁄ 2 . Los relojes, láseres y otros sistemas de resonancia que necesitan una fuerte resonancia o estabilidad de alta frecuencia tienen factores de alta calidad. Los diapasones tienen factores de calidad de alrededor de 1000. El factor de calidad de los relojes atómicos , las cavidades de RF superconductoras utilizadas en los aceleradores y algunos láseres de alta Q pueden alcanzar hasta 10 11 [3] y más. [4]
Hay muchas cantidades alternativas utilizadas por físicos e ingenieros para describir qué tan amortiguado está un oscilador. Entre los ejemplos importantes se incluyen: la relación de amortiguación , el ancho de banda relativo , el ancho de línea y el ancho de banda medidos en octavas .
El concepto de Q se originó con KS Johnson del Departamento de Ingeniería de Western Electric Company mientras evaluaba la calidad de las bobinas (inductores). Su elección del símbolo Q fue solo porque, en ese momento, se tomaron todas las demás letras del alfabeto. El término no fue concebido como una abreviatura de "calidad" o "factor de calidad", aunque estos términos han crecido hasta asociarse con él. [5] [6] [7]
Definición
La definición de Q desde su primer uso en 1914 se ha generalizado para aplicarse a bobinas y condensadores, circuitos resonantes, dispositivos resonantes, líneas de transmisión resonantes, resonadores de cavidad, material Q y líneas espectrales. [5]
Dispositivos resonantes
En el contexto de los resonadores, hay dos definiciones comunes para Q , que no son exactamente equivalentes. Se vuelven aproximadamente equivalentes a medida que Q aumenta, lo que significa que el resonador se vuelve menos amortiguado. Una de estas definiciones es la relación frecuencia-ancho de banda del resonador: [5]
donde f r es la frecuencia de resonancia, Δ f es el ancho de resonancia o el ancho completo a la mitad del máximo (FWHM), es decir, el ancho de banda sobre el cual la potencia de vibración es mayor que la mitad de la potencia a la frecuencia de resonancia, ω r = 2 π f r es la frecuencia de resonancia angular y Δ ω es el ancho de banda angular de potencia media.
Según esta definición, Q es el recíproco del ancho de banda fraccional .
Bobinas y condensadores
La otra definición casi equivalente común para Q es la relación entre la energía almacenada en el resonador oscilante y la energía disipada por ciclo por los procesos de amortiguación: [8] [9] [5]
El factor 2 π hace que Q sea expresable en términos más simples, involucrando solo los coeficientes de la ecuación diferencial de segundo orden que describe la mayoría de los sistemas resonantes, eléctricos o mecánicos. En los sistemas eléctricos, la energía almacenada es la suma de las energías almacenadas en inductores y condensadores sin pérdidas ; la energía perdida es la suma de las energías disipadas en resistencias por ciclo. En los sistemas mecánicos, la energía almacenada es la máxima energía almacenada posible, o la energía total, es decir, la suma de las energías potencial y cinética en algún momento; la energía perdida es el trabajo realizado por una fuerza conservadora externa , por ciclo, para mantener la amplitud.
De manera más general y en el contexto de la especificación de componentes reactivos (especialmente inductores), se utiliza la definición de Q dependiente de la frecuencia: [8] [10] [ verificación fallida - ver discusión ] [9]
donde ω es la frecuencia angular a la que se miden la energía almacenada y la pérdida de potencia. Esta definición es consistente con su uso en la descripción de circuitos con un solo elemento reactivo (condensador o inductor), donde se puede demostrar que ser igual a la relación de la potencia reactiva a poder real . ( Consulte Componentes reactivos individuales ).
Factor Q y amortiguación
El factor Q determina el comportamiento cualitativo de osciladores amortiguados simples. (Para obtener detalles matemáticos sobre estos sistemas y su comportamiento, consulte el oscilador armónico y el sistema invariante en el tiempo lineal (LTI) ).
- Un sistema con factor de calidad bajo ( Q < 1 ⁄ 2 ) se dice que está sobreamortiguado . Un sistema de este tipo no oscila en absoluto, pero cuando se desplaza de su salida de estado estable de equilibrio, regresa a él mediante un decaimiento exponencial , acercándose asintóticamente al valor de estado estable. Tiene una respuesta de impulso que es la suma de dos funciones exponenciales decrecientes con diferentes tasas de decaimiento. A medida que el factor de calidad disminuye, el modo de decaimiento más lento se vuelve más fuerte en relación con el modo más rápido y domina la respuesta del sistema, lo que resulta en un sistema más lento. Un filtro de paso bajo de segundo ordencon un factor de calidad muy bajo tiene una respuesta escalonada de casi primer orden; la salida del sistema responde a unaentrada escalonada aumentando lentamente hacia una asíntota .
- Un sistema con factor de alta calidad ( Q > 1 ⁄ 2 ) se dice que está subamortiguado . Los sistemas subamortiguados combinan la oscilación a una frecuencia específica con una disminución de la amplitud de la señal. Sistemas subamortiguados con un factor de calidad bajo (un poco por encima de Q = 1 ⁄ 2 ) puede oscilar solo una o varias veces antes de desaparecer. A medida que aumenta el factor de calidad, disminuye la cantidad relativa de amortiguación. Una campana de alta calidad suena con un solo tono puro durante mucho tiempo después de ser golpeada. Un sistema puramente oscilatorio, como una campana que suena eternamente, tiene un factor de calidad infinito. De manera más general, la salida de un filtro de paso bajo de segundo ordencon un factor de calidad muy alto responde a una entrada escalonada elevándose rápidamente por encima, oscilando y finalmente convergiendo a un valor de estado estable.
- Un sistema con un factor de calidad intermedio ( Q = 1 ⁄ 2 ) se dice que está críticamente amortiguado . Como un sistema sobreamortiguado, la salida no oscila y no sobrepasa su salida de estado estacionario (es decir, se acerca a una asíntota de estado estacionario). Como una respuesta subamortiguada, la salida de dicho sistema responde rápidamente a una entrada de paso unitario. La amortiguación crítica da como resultado la respuesta más rápida (aproximación al valor final) posible sin sobreimpulso. Las especificaciones del sistema real generalmente permiten un sobreimpulso para una respuesta inicial más rápida o requieren una respuesta inicial más lenta para proporcionar un margen de seguridad contra el sobreimpulso.
En los sistemas de retroalimentación negativa , la respuesta de circuito cerrado dominante a menudo está bien modelada por un sistema de segundo orden. El margen de fase del sistema de bucle abierto establece el factor de calidad Q del sistema de bucle cerrado; a medida que disminuye el margen de fase, el sistema de bucle cerrado de segundo orden aproximado se vuelve más oscilante (es decir, tiene un factor de calidad más alto).
Algunos ejemplos
- Una topología de filtro de paso bajo Sallen-Key de ganancia unitaria con capacitores iguales y resistencias iguales está críticamente amortiguada (es decir, Q = 1 ⁄ 2 ).
- Un filtro de Bessel de segundo orden (es decir, un filtro de tiempo continuo con un retardo de grupo más plano ) tiene un Q = subamortiguado1 ⁄ √ 3 .
- Un filtro Butterworth de segundo orden (es decir, un filtro de tiempo continuo con la respuesta de frecuencia de banda de paso más plana) tiene un Q = subamortiguado1 ⁄ √ 2 . [11]
- El factor Q de un péndulo es: , donde M es la masa del péndulo , ω = 2 π / T es la frecuencia de oscilación en radianes del péndulo y Γ es la fuerza de amortiguación por fricción sobre el péndulo por unidad de velocidad.
- El diseño de una alta energía (cerca de THz) gyrotron considera tanto difractiva factor Q, en función de la longitud del resonador (L) y la longitud de onda () y factor Q óhmico (modos) , dónde es el radio de la pared de la cavidad, es la profundidad de la piel de la pared de la cavidad,es el escalar de valor propio (m es el índice de azimut, p es el índice radial) (nota: la profundidad de la piel en esta aplicación es) [12]
Interpretación física
Físicamente hablando, Q es aproximadamente la relación entre la energía almacenada y la energía disipada en un radianes de oscilación; o casi de manera equivalente, a valores de Q suficientemente altos, 2 π veces la relación entre la energía total almacenada y la energía perdida en un solo ciclo. [13]
Es un parámetro adimensional que compara la constante de tiempo exponencial τ para el decaimiento de la amplitud de un sistema físico oscilante con su período de oscilación . De manera equivalente, compara la frecuencia a la que un sistema oscila con la velocidad a la que disipa su energía. Más precisamente, la frecuencia y el período utilizados deben basarse en la frecuencia natural del sistema, que a valores de Q bajos es algo más alta que la frecuencia de oscilación medida por los cruces por cero.
De manera equivalente (para valores grandes de Q ), el factor Q es aproximadamente el número de oscilaciones requeridas para que la energía de un sistema de oscilación libre caiga a e −2 π , o aproximadamente 1 ⁄ 535 o 0,2%, de su energía original. [14] Esto significa que la amplitud cae a aproximadamente e - π o 4% de su amplitud original. [15]
El ancho (ancho de banda) de la resonancia viene dado por (aproximadamente):
donde f N es la frecuencia natural y Δ f , el ancho de banda , es el ancho del rango de frecuencias para las cuales la energía es al menos la mitad de su valor pico.
La frecuencia de resonancia a menudo se expresa en unidades naturales (radianes por segundo), en lugar de usar f N en hercios , como
Los factores Q , la relación de amortiguamiento ζ , la frecuencia natural ω N , la tasa de atenuación α y la constante de tiempo exponencial τ están relacionados de manera que: [16]
y la relación de amortiguación se puede expresar como:
La envolvente de oscilación decae proporcionalmente a e - αt o e - t / τ , donde α y τ se pueden expresar como:
y
La energía de oscilación, o disipación de potencia, decae dos veces más rápido, es decir, como el cuadrado de la amplitud, que e −2 αt o e −2 t / τ .
Para un filtro de paso bajo de dos polos, la función de transferencia del filtro es [16]
Para este sistema, cuando Q > 1 ⁄ 2 (es decir, cuando el sistema está subamortiguado), tiene dospolos conjugados complejos, cada uno de los cuales tiene una parte real de - α . Es decir, el parámetro de atenuación α representa la tasa de caída exponencial de las oscilaciones (es decir, de la salida después de un impulso ) en el sistema. Un factor de calidad más alto implica una tasa de atenuación más baja, por lo que lossistemas de Q altooscilan durante muchos ciclos. Por ejemplo, las campanas de alta calidad tienen un tono sinusoidal aproximadamente puro durante mucho tiempo después de haber sido golpeadas por un martillo.
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Sistemas eléctricos
Para un sistema de resonancia eléctrica, el factor Q representa el efecto de la resistencia eléctrica y, para los resonadores electromecánicos como los cristales de cuarzo , la fricción mecánica .
Relación entre Q y ancho de banda
El ancho de banda de 2 caras con respecto a una frecuencia de resonancia de F 0 Hz es F 0 / Q .
Por ejemplo, una antena sintonizada para tener un valor Q de 10 y una frecuencia central de 100 kHz tendría un ancho de banda de 3 dB de 10 kHz.
En audio, el ancho de banda a menudo se expresa en términos de octavas . Entonces la relación entre Q y el ancho de banda es
donde BW es el ancho de banda en octavas. [18]
Circuitos RLC
En un circuito RLC en serie ideal y en un receptor de radiofrecuencia sintonizado (TRF), el factor Q es: [19]
donde R , L y C son la resistencia , inductancia y capacitancia del circuito sintonizado, respectivamente. Cuanto más grande es la resistencia en serie, menor es el circuito Q .
Para un circuito RLC en paralelo , el factor Q es el inverso del caso en serie: [20] [19]
- [21]
Considere un circuito donde R , L y C están todos en paralelo. Cuanto menor es la resistencia en paralelo, más efecto que tendrá en la amortiguación del circuito y por lo tanto menor es la Q . Esto es útil en el diseño de filtros para determinar el ancho de banda.
En un circuito LC en paralelo donde la pérdida principal es la resistencia del inductor, R , en serie con la inductancia, L , Q es como en el circuito en serie. Esta es una circunstancia común para los resonadores, donde limitar la resistencia del inductor para mejorar Q y reducir el ancho de banda es el resultado deseado.
Componentes reactivos individuales
La Q de un componente reactivo individual depende de la frecuencia a la que se evalúa, que suele ser la frecuencia de resonancia del circuito en el que se utiliza. La Q de un inductor con una resistencia de pérdida en serie es la Q de un circuito resonante que utiliza ese inductor (incluida su pérdida en serie) y un condensador perfecto. [22]
dónde:
- ω 0 es la frecuencia de resonancia en radianes por segundo,
- L es la inductancia,
- X L es la reactancia inductiva y
- R L es la resistencia en serie del inductor.
La Q de un capacitor con una resistencia de pérdida en serie es la misma que la Q de un circuito resonante que usa ese capacitor con un inductor perfecto: [22]
dónde:
- ω 0 es la frecuencia de resonancia en radianes por segundo,
- C es la capacitancia,
- X C es la reactancia capacitiva y
- R C es la resistencia en serie del condensador.
En general, la Q de un resonador que involucra una combinación en serie de un capacitor y un inductor se puede determinar a partir de los valores Q de los componentes, ya sea que sus pérdidas provengan de la resistencia en serie o de otra manera: [22]
Sistemas mecánicos
Para un único sistema de masa-resorte amortiguado, el factor Q representa el efecto de la amortiguación viscosa simplificada o el arrastre , donde la fuerza de amortiguación o la fuerza de arrastre es proporcional a la velocidad. La fórmula del factor Q es:
donde M es la masa, k es la constante del resorte y D es el coeficiente de amortiguamiento, definido por la ecuación F amortiguamiento = - Dv , donde v es la velocidad. [23]
Sistemas acústicos
La Q de un instrumento musical es fundamental; una Q excesivamente alta en un resonador no amplificará uniformemente las múltiples frecuencias que produce un instrumento. Por esta razón, los instrumentos de cuerda a menudo tienen cuerpos con formas complejas, por lo que producen una amplia gama de frecuencias de manera bastante uniforme.
La Q de un instrumento de viento o de metal debe ser lo suficientemente alta como para elegir una frecuencia del zumbido de los labios o la lengüeta de espectro más amplio. Por el contrario, una vuvuzela está hecha de plástico flexible y, por lo tanto, tiene una Q muy baja para un instrumento de metal, lo que le da un tono embarrado y entrecortado. Los instrumentos hechos de plástico, latón o madera más rígidos tienen un Q más alto. Una Q excesivamente alta puede hacer que sea más difícil tocar una nota. Q en un instrumento puede variar en las frecuencias, pero esto puede no ser deseable.
Los resonadores de Helmholtz tienen un Q muy alto, ya que están diseñados para seleccionar un rango de frecuencias muy estrecho.
Sistemas ópticos
En óptica , el factor Q de una cavidad resonante viene dado por
donde f o es la frecuencia de resonancia, E es la energía almacenada en la cavidad y P = -Delaware/dtes el poder disipado. El Q óptico es igual a la relación entre la frecuencia de resonancia y el ancho de banda de la resonancia de la cavidad. La vida media de un fotón resonante en la cavidad es proporcional al Q de la cavidad . Si el factor Q de la cavidad de un láser cambia abruptamente de un valor bajo a uno alto, el láser emitirá un pulso de luz que es mucho más intenso que la salida continua normal del láser. Esta técnica se conoce como Q -switching . El factor Q es de particular importancia en plasmónicos , donde la pérdida está relacionada con la amortiguación de la resonancia del plasmón superficial . [24] Si bien la pérdida se considera normalmente un obstáculo en el desarrollo de dispositivos plasmónicos, es posible aprovechar esta propiedad para presentar nuevas funcionalidades mejoradas. [25]
Ver también
- Resonancia acústica
- Atenuación
- Límite de Chu – Harrington
- Propiedades del material piezoeléctrico
- Margen de fase
- Medidor de Q
- Multiplicador de Q
- Factor de disipación
Referencias
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Otras lecturas
- Agarwal, Anant ; Lang, Jeffrey (2005). Fundamentos de circuitos electrónicos analógicos y digitales . Morgan Kaufmann. ISBN 1-55860-735-8.
enlaces externos
- Cálculo de las frecuencias de corte cuando se da la frecuencia central y el factor Q
- Explicación del factor Q en los circuitos de sintonización de radio