De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a navegación Saltar a búsqueda
La función zeta de Riemann ζ ( z ) graficada con coloración de dominio . [1]
El polo en y dos ceros en la línea crítica.

La función zeta de Riemann o la función zeta de Euler-Riemann , ζ ( s ) , es una función matemática de una variable compleja s , y se puede expresar como:

La función zeta de Riemann juega un papel fundamental en la teoría analítica de números y tiene aplicaciones en física , teoría de probabilidad y estadística aplicada .

Leonhard Euler introdujo y estudió por primera vez la función en la primera mitad del siglo XVIII, utilizando solo números reales , ya que no se disponía de análisis complejos en ese momento. El artículo de Bernhard Riemann de 1859 " Sobre el número de primos menores que una magnitud dada " extendió la definición de Euler a una variable compleja , demostró su continuación meromórfica y ecuación funcional , y estableció una relación entre sus ceros y la distribución de números primos . [2]

Euler calculó los valores de la función zeta de Riemann en números enteros positivos pares. El primero de ellos, ζ (2) , proporciona una solución al problema de Basilea . En 1979 Roger Apéry demostró la irracionalidad de ζ (3) . Los valores en puntos enteros negativos, también encontrados por Euler, son números racionales y juegan un papel importante en la teoría de formas modulares . Muchas generalizaciones de la función zeta de Riemann, como la serie de Dirichlet , Dirichlet L -Funciones y L -Funciones , son conocidos.

Definición [ editar ]

El artículo de Bernhard Riemann Sobre el número de primos por debajo de una magnitud dada .

La función zeta de Riemann ζ ( s ) es una función de una variable compleja s = σ + it . (La notación s , σ , y t se utiliza tradicionalmente en el estudio de la función de zeta, después de Riemann.) Cuando Re ( s ) = σ > 1 , la función puede ser escrita como una suma convergente o integral:

dónde

es la función gamma . La función zeta de Riemann se define para otros valores complejos mediante la continuación analítica de la función definida para σ > 1 .

Leonhard Euler consideró la serie anterior en 1740 para valores enteros positivos de s , y más tarde Chebyshev extendió la definición a [3]

La serie anterior es una serie de Dirichlet prototípica que converge absolutamente a una función analítica para s tal que σ > 1 y diverge para todos los demás valores de s . Riemann demostró que la función definida por la serie en el semiplano de convergencia se puede continuar analíticamente para todos los valores complejos s ≠ 1 . Para s = 1 , la serie es la serie armónica que diverge a + ∞ , y

Por lo tanto, la función zeta de Riemann es una función meromórfica en todo el plano complejo s , que es holomórfico en todas partes excepto en un polo simple en s = 1 con residuo 1 .

Valores específicos [ editar ]

Para cualquier entero par positivo 2 n :

donde B 2 n es el número 2 n -ésimo de Bernoulli .

Para los números enteros positivos impares, no se conoce una expresión tan simple, aunque se cree que estos valores están relacionados con la teoría K algebraica de los números enteros; ver los valores especiales de L -Funciones .

Para enteros no positivos, uno tiene

para n ≥ 0 (utilizando la convención de que B 1 = -1/2).

En particular, ζ desaparece en los enteros pares negativos porque B m = 0 para todos los m impares distintos de 1. Estos son los llamados "ceros triviales" de la función zeta.

A través de la continuación analítica , se puede demostrar que:

Esto da un pretexto para asignar un valor finito a la serie divergente 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ , que se ha utilizado en ciertos contextos ( suma de Ramanujan ) como la teoría de cuerdas . [4]
De manera similar a lo anterior, esto asigna un resultado finito a la serie 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ .
  • −1,460 354 508 809 586 812 88 ... ( OEIS :  A059750 )
Esto se emplea en el cálculo de problemas de capa límite cinética de ecuaciones cinéticas lineales. [5]
Si nos acercamos a números mayores que 1, esta es la serie armónica . Pero su valor principal de Cauchy
existe y es la constante de Euler-Mascheroni γ = 0.5772… .
  • 2.612 375 348 685 488 343 348 ... ( OEIS :  A078434 )
Esto se emplea para calcular la temperatura crítica para un condensado de Bose-Einstein en una caja con condiciones de contorno periódicas y para la física de ondas de espín en sistemas magnéticos.
  • 1.644 934 066 848 226 436 472 ... ( OEIS :  A013661 )
La demostración de esta igualdad se conoce como el problema de Basilea . El recíproco de esta suma responde a la pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que dos números seleccionados al azar sean relativamente primos ? [6]
  • 1.202 056 903 159 594 285 399 ... ( OEIS :  A002117 )
Este número se llama constante de Apéry .
  • 1.082 323 233 711 138 191 516 ... ( OEIS :  A013662 )
Esto aparece al integrar la ley de Planck para derivar la ley de Stefan-Boltzmann en física.

Tomando el límite , se obtiene .

Fórmula de producto de Euler [ editar ]

En 1737, Euler descubrió la conexión entre la función zeta y los números primos , quien demostró la identidad

donde, por definición, el lado izquierdo es ζ ( s ) y el producto infinito en el lado derecho se extiende sobre todos los números primos p (tales expresiones se denominan productos de Euler ):

Ambos lados de la fórmula del producto de Euler convergen para Re ( s )> 1 . La prueba de la identidad de Euler usa solo la fórmula para la serie geométrica y el teorema fundamental de la aritmética . Dado que la serie armónica , obtenida cuando s = 1 , diverge, la fórmula de Euler (que se convierte en p pag/p - 1) implica que hay infinitos números primos . [7]

La fórmula del producto de Euler se puede utilizar para calcular la probabilidad asintótica que es números enteros seleccionados al azar se establecen en cuanto a primos entre sí . Intuitivamente, la probabilidad de que cualquier número sea divisible por un primo (o un número entero) p es1/pag. Por tanto, la probabilidad de que s números sean todos divisibles por este primo es1/p s, y la probabilidad de que al menos uno de ellos no lo sea es 1 -1/p s. Ahora, para números primos distintos, estos eventos de divisibilidad son mutuamente independientes porque los divisores candidatos son primos entre sí (un número es divisible por divisores coprimos n y m si y sólo si es divisible por  nm , un evento que se produce con una probabilidad 1/Nuevo Méjico). Por tanto, la probabilidad asintótica de que s números sean coprimos viene dada por un producto sobre todos los primos,

Ecuación funcional de Riemann [ editar ]

La función zeta satisface la ecuación funcional

donde Γ ( s ) es la función gamma . Esta es una igualdad de funciones meromórficas válida en todo el plano complejo . La ecuación relaciona valores de la función zeta de Riemann en los puntos s y 1 - s , en particular en relación enteros positivos pares con enteros negativos impares. Debido a los ceros de la función seno, la ecuación funcional implica que ζ ( s ) tiene un cero simple en cada entero negativo par s = −2 n , conocido como los ceros triviales de ζ ( s ) . Cuándos es un entero positivo par, el producto pecado (π s/2) Γ (1 - s ) a la derecha no es cero porque Γ (1 - s ) tiene un polo simple , que cancela el cero simple del factor seno.

La ecuación funcional fue establecida por Riemann en su artículo de 1859 " Sobre el número de primos menores que una magnitud dada " y se utilizó para construir la continuación analítica en primer lugar. Euler había conjeturado una relación equivalente más de cien años antes, en 1749, para la función eta de Dirichlet (función zeta alternante):

Por cierto, esta relación da una ecuación para calcular ζ ( s ) en la región 0 < Re ( s ) <1, es decir

donde la serie η es convergente (aunque no absolutamente ) en el semiplano más grande s > 0 (para un estudio más detallado de la historia de la ecuación funcional, véase, por ejemplo, Blagouchine [8] [9] ).

Riemann también encontró una versión simétrica de la ecuación funcional que se aplica a la función xi:

que satisface:

(La ξ ( t ) original de Riemann era ligeramente diferente).

Ceros, la línea crítica y la hipótesis de Riemann [ editar ]

Aparte de los ceros triviales, la función zeta de Riemann no tiene ceros a la derecha de σ = 1 ni a la izquierda de σ = 0 (tampoco los ceros pueden estar demasiado cerca de esas líneas). Además, los ceros no triviales son simétricos con respecto al eje real y la línea σ =1/2y, de acuerdo con la hipótesis de Riemann , todos se encuentran en la línea σ =1/2.
Esta imagen muestra una gráfica de la función zeta de Riemann a lo largo de la línea crítica para valores reales de t que van de 0 a 34. Los primeros cinco ceros en la tira crítica son claramente visibles como el lugar donde las espirales pasan por el origen.
La parte real (roja) y la parte imaginaria (azul) de la función zeta de Riemann a lo largo de la línea crítica Re ( s ) = 1/2. Los primeros ceros no triviales se pueden ver en Im ( s ) = ± 14.135, ± 21.022 y ± 25.011.

La ecuación funcional muestra que la función zeta de Riemann tiene ceros en −2, −4,… . Estos se llaman ceros triviales . Son triviales en el sentido de que su existencia es relativamente fácil de probar, por ejemplo, a partir del pecado.π s/2siendo 0 en la ecuación funcional. Los ceros no triviales han captado mucha más atención porque su distribución no solo se comprende mucho menos, sino que, lo que es más importante, su estudio arroja resultados impresionantes con respecto a los números primos y los objetos relacionados en la teoría de números. Se sabe que cualquier cero no trivial se encuentra en la franja abierta { s  : 0 <Re ( s ) <1} , que se denomina franja crítica . La hipótesis de Riemann , considerado uno de los mayores problemas sin resolver en matemáticas, afirma que cualquier cero no trivial s tiene Re ( s ) =1/2. En la teoría de la función zeta de Riemann, el conjunto { s  : Re ( s ) =1/2}  se llama la línea crítica . Para la función zeta de Riemann en la línea crítica, véase Z -función .

Las conjeturas de Hardy-Littlewood [ editar ]

En 1914, Godfrey Harold Hardy demostró que ζ (1/2+ it ) tiene un número infinito de ceros reales.

Hardy y John Edensor Littlewood formularon dos conjeturas sobre la densidad y la distancia entre los ceros de ζ (1/2+ it ) en intervalos de grandes números reales positivos. A continuación, N ( T ) es el número total de ceros reales y N 0 ( T ) el número total de ceros de orden impar de la función ζ (1/2+ it ) que se encuentra en el intervalo (0, T ] .

  1. Para cualquier ε > 0 , existe un T 0 ( ε )> 0 tal que cuando
    el intervalo ( T , T + H ] contiene un cero de orden impar.
  2. Para cualquier ε > 0 , existe un T 0 ( ε )> 0 y c ε > 0 tal que la desigualdad
    aguanta cuando

Estas dos conjeturas abrieron nuevas direcciones en la investigación de la función zeta de Riemann.

Región libre de cero [ editar ]

La ubicación de los ceros de la función zeta de Riemann es de gran importancia en la teoría de los números. El teorema de los números primos equivale al hecho de que no hay ceros de la función zeta en la línea Re ( s ) = 1 . [12] Un mejor resultado [13] que se sigue de una forma efectiva del teorema del valor medio de Vinogradov es que ζ ( σ + it ) ≠ 0 siempre que | t | ≥ 3 y

El resultado más fuerte de este tipo que uno puede esperar es la verdad de la hipótesis de Riemann, que tendría muchas consecuencias profundas en la teoría de los números.

Otros resultados [ editar ]

Se sabe que hay una infinidad de ceros en la línea crítica. Littlewood mostró que si la secuencia ( γ n ) contiene las partes imaginarias de todos los ceros en el semiplano superior en orden ascendente, entonces

El teorema de la línea crítica afirma que una proporción positiva de los ceros no triviales se encuentra en la línea crítica. (La hipótesis de Riemann implicaría que esta proporción es 1.)

En la franja crítica, el cero con la parte imaginaria no negativa más pequeña es 1/2+ 14.13472514… i ( OEIS :  A058303 ). El hecho de que

para todo complejo s ≠ 1 implica que los ceros de la función zeta de Riemann son simétricos con respecto al eje real. Combinando esta simetría con la ecuación funcional, además, se ve que los ceros no triviales son simétricos con respecto a la recta crítica Re ( s ) =1/2.

Varias propiedades [ editar ]

Para las sumas que involucran la función zeta en valores enteros y medio enteros, consulte la serie zeta racional .

Recíproco [ editar ]

El recíproco de la función zeta se puede expresar como una serie de Dirichlet sobre la función de Möbius μ ( n ) :

para cada número complejo s con parte real mayor que 1. Hay varias relaciones similares que involucran varias funciones multiplicativas bien conocidas ; estos se dan en el artículo sobre la serie Dirichlet .

La hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que esta expresión es válida cuando la parte real de s es mayor que1/2.

Universalidad [ editar ]

La franja crítica de la función zeta de Riemann tiene la notable propiedad de universalidad . Esta universalidad de la función zeta establece que existe alguna ubicación en la franja crítica que se aproxima arbitrariamente bien a cualquier función holomórfica . Dado que las funciones holomorfas son muy generales, esta propiedad es bastante notable. La primera prueba de universalidad fue proporcionada por Sergei Mikhailovitch Voronin en 1975. [14] Un trabajo más reciente ha incluido versiones efectivas del teorema de Voronin [15] y su extensión a las funciones L de Dirichlet . [16] [17]

Estimaciones del máximo del módulo de la función zeta [ editar ]

Deje que las funciones F ( T ; H ) y G ( s 0 ; Δ) sean definidas por las igualdades

Aquí T es un número positivo suficientemente grande, 0 < H ≪ ln ln T , s 0 = σ 0 + iT ,1/2σ 0 ≤ 1 , 0 <Δ <1/3. La estimación de los valores F y G desde abajo muestra qué tan grandes (en módulo) los valores ζ ( s ) pueden tomar en intervalos cortos de la línea crítica o en pequeños vecindarios de puntos que se encuentran en la franja crítica 0 ≤ Re ( s ) ≤ 1 .

El caso H ≫ ln ln T fue estudiado por Kanakanahalli Ramachandra ; el caso Δ> c , donde c es una constante suficientemente grande, es trivial.

Anatolii Karatsuba demostró, [18] [19] en particular, que si los valores H y Δ exceden ciertas constantes suficientemente pequeñas, entonces las estimaciones

mantener, donde c 1 y c 2 son ciertas constantes absolutas.

El argumento de la función zeta de Riemann [ editar ]

La función

se llama el argumento de la función zeta de Riemann. Aquí arg ζ (1/2+ it ) es el incremento de una rama continua arbitraria de arg ζ ( s ) a lo largo de la línea discontinua que une los puntos 2 , 2 + it y1/2+ eso .

Existen algunos teoremas sobre las propiedades de la función S ( t ) . Entre esos resultados [20] [21] se encuentran los teoremas del valor medio para S ( t ) y su primera integral

en intervalos de la recta real, y también el teorema que afirma que cada intervalo ( T , T + H ] para

contiene al menos

puntos donde la función S ( t ) cambia de signo. Atle Selberg obtuvo resultados anteriores similares para el caso

Representaciones [ editar ]

Serie Dirichlet [ editar ]

Se puede obtener una extensión del área de convergencia reordenando la serie original. [22] La serie

converge para Re ( s )> 0 , mientras que

converge incluso para Re ( s )> −1 . De esta manera, el área de convergencia se puede extender a Re ( s )> - k para cualquier entero negativo - k .

Integrales tipo Mellin [ editar ]

La transformada de Mellin de una función f ( x ) se define como

en la región donde se define la integral. Hay varias expresiones para la función zeta como integrales de tipo transformada de Mellin. Si la parte real de s es mayor que uno, tenemos

donde Γ denota la función gamma . Al modificar el contorno, Riemann demostró que

para todo s (donde H denota el contorno de Hankel ).

Comenzando con la fórmula integral se puede mostrar [23] por sustitución y diferenciación iterada para natural

usando la notación de cálculo umbral donde cada potencia debe ser reemplazada por , por ejemplo, para tenemos un tiempo para esto se convierte en

También podemos encontrar expresiones que se relacionen con los números primos y el teorema de los números primos . Si π ( x ) es la función de conteo de primos , entonces

para valores con Re ( s )> 1 .

Una transformada de Mellin similar implica la función de Riemann J ( x ) , que cuenta los poderes primos p n con un peso de1/norte, así que eso

Ahora tenemos

Estas expresiones se pueden utilizar para demostrar el teorema de los números primos mediante la transformada inversa de Mellin. Es más fácil trabajar con la función de conteo de primos de Riemann , y π ( x ) se puede recuperar mediante la inversión de Möbius .

Funciones theta [ editar ]

La función zeta de Riemann puede estar dada por una transformada de Mellin [24]

en términos de la función theta de Jacobi

Sin embargo, esta integral solo converge si la parte real de s es mayor que 1, pero se puede regularizar. Esto da la siguiente expresión para la función zeta, que está bien definida para todos los s excepto 0 y 1:

Serie Laurent [ editar ]

La función zeta de Riemann es meromórfica con un solo polo de orden uno en s = 1 . Por lo tanto, se puede ampliar como una serie de Laurent sobre s = 1 ; el desarrollo de la serie es entonces

Las constantes γ n aquí se denominan constantes de Stieltjes y pueden definirse por el límite

El término constante γ 0 es la constante de Euler-Mascheroni .

Integral [ editar ]

Para todo sC , s ≠ 1 , la relación integral (cf. fórmula de Abel-Plana )

es cierto, lo que puede usarse para una evaluación numérica de la función zeta.

Factorial en alza [ editar ]

Otro desarrollo de la serie que utiliza el factorial ascendente válido para todo el plano complejo es [ cita requerida ]

Esto se puede utilizar de forma recursiva para ampliar la definición de la serie de Dirichlet a todos los números complejos.

La función zeta de Riemann también aparece en una forma similar a la transformada de Mellin en una integral sobre el operador Gauss-Kuzmin-Wirsing que actúa sobre x s - 1 ; ese contexto da lugar a una expansión de la serie en términos de la caída del factorial . [25]

Producto Hadamard [ editar ]

Sobre la base del teorema de factorización de Weierstrass , Hadamard dio la expansión infinita del producto

donde el producto está sobre los ceros no triviales ρ de ζ y la letra γ nuevamente denota la constante de Euler-Mascheroni . Una expansión de producto infinita más simple es

Esta forma muestra claramente el polo simple en s = 1 , los ceros triviales en -2, -4, ... debido al término de la función gamma en el denominador y los ceros no triviales en s = ρ . (Para asegurar la convergencia en la última fórmula, el producto debe tomarse sobre "pares coincidentes" de ceros, es decir, los factores para un par de ceros de la forma ρ y 1 - ρ deben combinarse).

Serie globalmente convergente [ editar ]

Una serie globalmente convergente para la función zeta, válida para todos los números complejos s excepto s = 1 +i/En 2n para algún número entero n , fue conjeturado por Konrad Knopp [26] y probado por Helmut Hasse en 1930 [27] (cf. Resumen de Euler ):

La serie apareció en un apéndice del artículo de Hasse y fue publicada por segunda vez por Jonathan Sondow en 1994. [28]

Hasse también demostró ser la serie globalmente convergente

en la misma publicación. [27] La investigación de Iaroslav Blagouchine [29] [26] ha encontrado que Joseph Ser publicó una serie equivalente similar en 1926. [30] Otras series similares globalmente convergentes incluyen

donde H n son los números armónicos , son los números de Stirling del primer tipo , es el símbolo de Pochhammer , G n son los coeficientes de Gregory , G( k )
n
son los coeficientes de Gregory de orden superior, C n son los números de Cauchy del segundo tipo ( C 1 = 1/2 , C 2 = 5/12 , C 3 = 3/8 , ...), y ψ n ( a ) son los polinomios de Bernoulli del segundo tipo . Vea el artículo de Blagouchine. [26]

Peter Borwein ha desarrollado un algoritmo que aplica polinomios de Chebyshev a la función eta de Dirichlet para producir una serie convergente muy rápidamente adecuada para cálculos numéricos de alta precisión . [31]

Representación de series en enteros positivos a través del primorial [ editar ]

Aquí p n # es la secuencia primordial y J k es la función totient de Jordan . [32]

Representación de series por números incompletos de poli-Bernoulli [ editar ]

La función ζ se puede representar, para Re ( s )> 1 , por la serie infinita

donde k ∈ {-1, 0} , W k es el k ésimo rama de la Lambert W -Función , y B( μ )
n , ≥2
es un número poli-Bernoulli incompleto. [33]

La transformada de Mellin del mapa de Engel [ editar ]

La función: se itera para encontrar los coeficientes que aparecen en las expansiones de Engel . [34]

La transformada de Mellin del mapa está relacionada con la función zeta de Riemann por la fórmula

Representación de series como suma de series geométricas [ editar ]

En analogía con el producto de Euler, que se puede probar usando series geométricas, la función zeta para Re ( s )> 1 se puede representar como una suma de series geométricas:

¿Dónde está el n: ésimo poder no perfecto ? [35]

Algoritmos numéricos [ editar ]

Un algoritmo clásico, en uso antes de alrededor de 1930, procede por aplicación de la fórmula de Euler-Maclaurin para obtener, por n y m números enteros positivos,

donde, dejando denotar el número de Bernoulli indicado ,

y el error satisface

con σ = Re ( s ). [36]

Un algoritmo numérico moderno es el algoritmo Odlyzko-Schönhage .

Aplicaciones [ editar ]

La función zeta ocurre en estadística aplicada (ver la ley de Zipf y la ley de Zipf-Mandelbrot ).

La regularización de la función Zeta se utiliza como un posible medio de regularización de series divergentes e integrales divergentes en la teoría cuántica de campos . En un ejemplo notable, la función zeta de Riemann aparece explícitamente en un método de cálculo del efecto Casimir . La función zeta también es útil para el análisis de sistemas dinámicos . [37]

Serie infinita [ editar ]

La función zeta evaluada en enteros positivos equidistantes aparece en representaciones en serie infinita de varias constantes. [38]

De hecho, los términos pares e impares dan las dos sumas

y

Las versiones parametrizadas de las sumas anteriores están dadas por

y

con y donde y son la función poligamma y la constante de Euler , así como

todos los cuales son continuos en . Otras sumas incluyen

donde Im denota la parte imaginaria de un número complejo.

Hay aún más fórmulas en el artículo Número armónico.

Generalizaciones [ editar ]

Hay una serie de funciones zeta relacionadas que pueden considerarse generalizaciones de la función zeta de Riemann. Estos incluyen la función zeta de Hurwitz

(la representación de la serie convergente fue dada por Helmut Hasse en 1930, [27] cf. función zeta de Hurwitz ), que coincide con la función zeta de Riemann cuando q = 1 (el límite inferior de suma en la función zeta de Hurwitz es 0, no 1 ), los Dirichlet L -Funciones y la función zeta de Dedekind . Para otras funciones relacionadas ver los artículos zeta función y L -función .

El polilogaritmo viene dado por

que coincide con la función zeta de Riemann cuando z = 1 .

El trascendente Lerch está dado por

que coincide con la función zeta de Riemann cuando z = 1 y q = 1 (el límite inferior de la suma en el trascendente Lerch es 0, no 1).

La función de Clausen Cl s ( θ ) que se puede elegir como la parte real o imaginaria de Li s ( e ) .

Las múltiples funciones zeta están definidas por

Uno puede continuar analíticamente estas funciones en el espacio complejo n- dimensional. Los valores especiales que toman estas funciones en argumentos enteros positivos se denominan valores zeta múltiples por los teóricos de los números y se han relacionado con muchas ramas diferentes en matemáticas y física.

Ver también [ editar ]

  • 1 + 2 + 3 + 4 + ···
  • Función zeta aritmética
  • Hipótesis de Riemann generalizada
  • Par de Lehmer
  • Función Prime zeta
  • Función de Riemann Xi
  • Renormalización
  • Función theta de Riemann-Siegel
  • ZetaGrid

Notas [ editar ]

  1. ^ "Visor de Jupyter Notebook" . Nbviewer.ipython.org . Consultado el 4 de enero de 2017 .
  2. Este artículo también contenía la hipótesis de Riemann , una conjetura sobre la distribución de ceros complejos de la función zeta de Riemann que muchos matemáticos consideran el problema sin resolver más importante de las matemáticas puras . Bombieri, Enrico. "La hipótesis de Riemann - descripción oficial del problema" (PDF) . Instituto Clay de Matemáticas . Consultado el 8 de agosto de 2014 .
  3. ^ Devlin, Keith (2002). Los problemas del milenio: los siete mayores acertijos matemáticos sin resolver de nuestro tiempo . Nueva York: Barnes & Noble. págs. 43–47. ISBN 978-0-7607-8659-8.
  4. ^ Polchinski, Joseph (1998). Introducción a la cuerda bosónica . Teoria de las cuerdas. Yo . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 22. ISBN 978-0-521-63303-1.
  5. ^ Kainz, AJ; Titulaer, UM (1992). "Un método preciso de momento de dos corrientes para problemas de capa límite cinética de ecuaciones cinéticas lineales". J. Phys. A: Matemáticas. Gen . 25 (7): 1855–1874. Código Bibliográfico : 1992JPhA ... 25.1855K . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 25/7/026 .
  6. ^ Ogilvy, CS ; Anderson, JT (1988). Excursiones en teoría de números . Publicaciones de Dover. págs. 29–35. ISBN 0-486-25778-9.
  7. ^ Sandifer, Charles Edward (2007). Cómo lo hizo Euler . Asociación Matemática de América. pag. 193. ISBN 978-0-88385-563-8.
  8. ^ IV Blagouchine La historia de la ecuación funcional de la función zeta. Seminario sobre Historia de las Matemáticas, Instituto de Matemáticas Steklov en San Petersburgo, 1 de marzo de 2018. PDF
  9. ^ IV Blagouchine Redescubrimiento de las integrales de Malmsten, su evaluación por métodos de integración de contorno y algunos resultados relacionados. The Ramanujan Journal, vol. 35, no. 1, págs. 21-110, 2014. Anexo: vol. 42, págs. 777–781, 2017. PDF
  10. ^ Eric Weisstein . "Ceros de la función Zeta de Riemann" . Consultado el 24 de abril de 2021 .
  11. ^ Las funciones L y la base de datos de formularios modulares. "Ceros de ζ ( s )" .
  12. ^ Diamante, Harold G. (1982). "Métodos elementales en el estudio de la distribución de números primos" . Boletín de la American Mathematical Society . 7 (3): 553–89. doi : 10.1090 / S0273-0979-1982-15057-1 . Señor 0670132 . 
  13. ^ Ford, K. (2002). "Integral y límites de Vinogradov para la función zeta de Riemann". Proc. London Math. Soc . 85 (3): 565–633. arXiv : 1910.08209 . doi : 10.1112 / S0024611502013655 . S2CID 121144007 . 
  14. ^ Voronin, SM (1975). "Teorema de la universalidad de la función Zeta de Riemann". Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Matem . 39 : 475–486.Reimpreso en matemáticas. URSS Izv. (1975) 9 : 443–445.
  15. ^ Ramūnas Garunkštis; Antanas Laurinčikas; Kohji Matsumoto; Jörn Steuding; Rasa Steuding (2010). "Aproximación uniforme eficaz por la función zeta de Riemann" . Publicacions Matemàtiques . 54 (1): 209–219. doi : 10.1090 / S0025-5718-1975-0384673-1 . JSTOR 43736941 . 
  16. ^ Bhaskar Bagchi (1982). "Un teorema de universalidad conjunta para las funciones L de Dirichlet". Mathematische Zeitschrift . 181 (3): 319–334. doi : 10.1007 / bf01161980 . ISSN 0025-5874 . S2CID 120930513 .  
  17. ^ Steuding, Jörn (2007). Valor-Distribución de funciones L . Apuntes de clase en matemáticas. 1877 . Berlín: Springer. pag. 19. arXiv : 1711.06671 . doi : 10.1007 / 978-3-540-44822-8 . ISBN 978-3-540-26526-9.
  18. ^ Karatsuba, AA (2001). "Límites inferiores para el módulo máximo de ζ ( s ) en pequeños dominios de la franja crítica". Estera. Zametki . 70 (5): 796–798.
  19. ^ Karatsuba, AA (2004). "Límites inferiores para el módulo máximo de la función zeta de Riemann en segmentos cortos de la línea crítica". Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat . 68 (8): 99-104. Código Bibliográfico : 2004IzMat..68.1157K . doi : 10.1070 / IM2004v068n06ABEH000513 .
  20. ^ Karatsuba, AA (1996). "Teorema de la densidad y el comportamiento del argumento de la función zeta de Riemann". Estera. Zametki (60): 448–449.
  21. ^ Karatsuba, AA (1996). "Sobre la función S ( t ) ". Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat . 60 (5): 27–56.
  22. ^ Knopp, Konrad (1947). Teoría de las funciones, segunda parte . Nueva York, publicaciones de Dover. págs.  51–55 .
  23. ^ "Evaluación de la integral definida ..." math.stackexchange.com .
  24. ^ Neukirch, Jürgen (1999). Teoría algebraica de números . Saltador. pag. 422. ISBN 3-540-65399-6.
  25. ^ "Una representación en serie para el Riemann Zeta derivada del operador Gauss-Kuzmin-Wirsing" (PDF) . Linas.org . Consultado el 4 de enero de 2017 .
  26. ↑ a b c Blagouchine, Iaroslav V. (2018). "Tres notas sobre las representaciones de Ser y Hasse para las funciones Zeta" . INTEGERS: La revista electrónica de teoría de números combinatorios . 18A : 1–45. arXiv : 1606.02044 . Código bibliográfico : 2016arXiv160602044B .
  27. ↑ a b c Hasse, Helmut (1930). "Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ -Reihe" [Un método de suma para la serie Riemann ζ]. Mathematische Zeitschrift (en alemán). 32 (1): 458–464. doi : 10.1007 / BF01194645 . S2CID 120392534 . 
  28. ^ Sondow, Jonathan (1994). "Continuación analítica de la función zeta de Riemann y valores en enteros negativos a través de la transformación de series de Euler" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 120 (2): 421–424. doi : 10.1090 / S0002-9939-1994-1172954-7 .
  29. Blagouchine, Iaroslav V. (2016). "Expansiones de las constantes de Euler generalizadas en la serie de polinomios en π −2 y en la serie envolvente formal con coeficientes racionales solamente". Revista de teoría de números . 158 : 365–396. arXiv : 1501.00740 . doi : 10.1016 / j.jnt.2015.06.012 .
  30. Ser, Joseph (1926). "Sur une expression de la fonction ζ (s) de Riemann" [Sobre una expresión para la función ζ de Riemann]. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (en francés). 182 : 1075-1077.
  31. ^ Borwein, Peter (2000). "Un algoritmo eficiente para la función Zeta de Riemann" (PDF) . En Théra, Michel A. (ed.). Análisis constructivo, experimental y no lineal . Actas de la conferencia, Canadian Mathematical Society. 27 . Providence, RI: American Mathematical Society , en nombre de la Canadian Mathematical Society . págs. 29–34. ISBN  978-0-8218-2167-1.
  32. Mező, István (2013). "El primorial y la función zeta de Riemann". The American Mathematical Monthly . 120 (4): 321.
  33. ^ Komatsu, Takao; Mező, István (2016). "Números de poli-Bernoulli incompletos asociados con números de Stirling incompletos". Publicationes Mathematicae Debrecen . 88 (3–4): 357–368. arXiv : 1510.05799 . doi : 10.5486 / pmd.2016.7361 . S2CID 55741906 . 
  34. ^ "A220335 - OEIS" . oeis.org . Consultado el 17 de abril de 2019 .
  35. Munkhammar, Joakim (2020). "La función zeta de Riemann como suma de series geométricas". La Gaceta Matemática . 104 (561): 527–530. doi : 10.1017 / mag.2020.110 .
  36. ^ Odlyzko, AM ; Schönhage, A. (1988), "Algoritmos rápidos para evaluaciones múltiples de la función zeta de Riemann", Trans. Amer. Matemáticas. Soc. , 309 (2): 797–809, doi : 10.2307 / 2000939 , JSTOR 2000939 , MR 0961614  .
  37. ^ "Trabajo en cadenas de hilado por A. Knauf, et. Al" . Empslocal.ex.ac.uk . Consultado el 4 de enero de 2017 .
  38. ^ La mayoría de las fórmulas en esta sección son del § 4 de JM Borwein et al. (2000)

Referencias [ editar ]

  • Apostol, TM (2010), "Zeta y funciones relacionadas" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
  • Borwein, Jonathan ; Bradley, David M .; Crandall, Richard (2000). "Estrategias computacionales para la función Zeta de Riemann" (PDF) . J. Comp. App. Matemáticas . 121 (1–2): 247–296. Código bibliográfico : 2000JCoAM.121..247B . doi : 10.1016 / S0377-0427 (00) 00336-8 .
  • Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (2002). "Representaciones integrales de la función Zeta de Riemann para argumentos de números enteros impares" . J. Comp. App. Matemáticas . 142 (2): 435–439. Código bibliográfico : 2002JCoAM.142..435C . doi : 10.1016 / S0377-0427 (02) 00358-8 . Señor  1906742 .
  • Cvijović, Djurdje; Klinowski, Jacek (1997). "Expansiones de fracción continua para la función zeta de Riemann y polilogaritmos" . Proc. Amer. Matemáticas. Soc . 125 (9): 2543-2550. doi : 10.1090 / S0002-9939-97-04102-6 .
  • Edwards, HM (1974). Función Zeta de Riemann . Prensa académica. ISBN 0-486-41740-9. Tiene una traducción al inglés del artículo de Riemann.
  • Hadamard, Jacques (1896). "Sur la distribution des zéros de la fonction ζ ( s ) et ses conséquences arithmétiques" . Bulletin de la Société Mathématique de France . 14 : 199–220. doi : 10.24033 / bsmf.545 .
  • Hardy, GH (1949). Serie divergente . Clarendon Press, Oxford.
  • Hasse, Helmut (1930). "Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ -Reihe". Matemáticas. Z . 32 : 458–464. doi : 10.1007 / BF01194645 . Señor  1545177 . S2CID  120392534 . (Expresión de serie globalmente convergente).
  • Ivic, A. (1985). La función Zeta de Riemann . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-80634-X.
  • Motohashi, Y. (1997). Teoría espectral de la función zeta de Riemann . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0521445205.
  • Karatsuba, AA ; Voronin, SM (1992). La función Zeta de Riemann . Berlín: W. de Gruyter.
  • Mező, István; Dil, Ayhan (2010). "Serie hiperarmónica que implica la función zeta de Hurwitz". Revista de teoría de números . 130 (2): 360–369. doi : 10.1016 / j.jnt.2009.08.005 . hdl : 2437/90539 . Señor  2564902 .
  • Montgomery, Hugh L .; Vaughan, Robert C. (2007). Teoría de números multiplicativos. I. Teoría clásica . Tratados de Cambridge en matemáticas avanzadas. 97 . Prensa de la Universidad de Cambridge. Ch. 10. ISBN 978-0-521-84903-6.
  • Newman, Donald J. (1998). Teoría analítica de números . Textos de Posgrado en Matemáticas . 177 . Springer-Verlag. Ch. 6. ISBN 0-387-98308-2.
  • Raoh, Guo (1996). "La distribución de la derivada logarítmica de la función Zeta de Riemann". Actas de la London Mathematical Society . s3–72: 1–27. arXiv : 1308.3597 . doi : 10.1112 / plms / s3-72.1.1 .
  • Riemann, Bernhard (1859). "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" . Monatsberichte der Berliner Akademie .. En Gesammelte Werke , Teubner, Leipzig (1892), reimpreso por Dover, Nueva York (1953).
  • Sondow, Jonathan (1994). "Continuación analítica de la función zeta de Riemann y valores en enteros negativos a través de la transformación de series de Euler" (PDF) . Proc. Amer. Matemáticas. Soc . 120 (2): 421–424. doi : 10.1090 / S0002-9939-1994-1172954-7 .
  • Titchmarsh, EC (1986). Heath-Brown (ed.). La teoría de la función Zeta de Riemann (2ª ed. Rev.). Prensa de la Universidad de Oxford.
  • Whittaker, ET ; Watson, GN (1927). Un curso de análisis moderno (4ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. Ch. 13.
  • Zhao, Jianqiang (1999). "Continuación analítica de múltiples funciones zeta" . Proc. Amer. Matemáticas. Soc . 128 (5): 1275-1283. doi : 10.1090 / S0002-9939-99-05398-8 . Señor  1670846 .

Enlaces externos [ editar ]

  • Medios relacionados con la función zeta de Riemann en Wikimedia Commons
  • "Función Zeta" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
  • Función Zeta de Riemann, en Wolfram Mathworld : una explicación con un enfoque más matemático
  • Tablas de ceros seleccionados
  • Los números primos se enganchan Una descripción general y no técnica del significado de la función zeta en relación con los números primos.
  • Rayos X de la función Zeta Investigación orientada visualmente de dónde es real o puramente imaginario zeta.
  • Fórmulas e identidades para la función Zeta de Riemann functions.wolfram.com
  • Función Zeta de Riemann y otras sumas de poderes recíprocos , sección 23.2 de Abramowitz y Stegun
  • Frenkel, Edward . "Problema matemático del millón de dólares" (video) . Brady Haran . Consultado el 11 de marzo de 2014 .
  • Transformada de Mellin y ecuación funcional de la función Zeta de Riemann : ejemplos computacionales de métodos de transformada de Mellin que involucran la función Zeta de Riemann