En matemáticas , el anillo de los enteros de un campo de número de algebraica K es el anillo de todos los elementos integrales contenidas en K . Un elemento integral es la raíz de un polinomio monico con coeficientes enteros , x n + c n −1 x n −1 + ... + c 0 . Este anillo a menudo se denota por O K o. Dado que cualquier número entero pertenece a K y es un elemento integral de K , el anillo Z es siempre un subanillo de O K .
El anillo de números enteros Z es el anillo de números enteros más simple posible. [1] A saber, Z = O Q donde Q es el campo de los números racionales . [2] Y de hecho, en la teoría algebraica de números, los elementos de Z a menudo se denominan "enteros racionales" debido a esto.
El siguiente ejemplo más simple es el anillo de números enteros gaussianos Z [ i ] , que consta de números complejos cuyas partes real e imaginaria son números enteros. Es el anillo de números enteros en el campo numérico Q ( i ) de números complejos cuyas partes real e imaginaria son números racionales. Como los enteros racionales, es un dominio euclidiano .
El anillo de números enteros de un campo numérico algebraico es el orden máximo único en el campo. Siempre es un dominio de Dedekind . [3]
Propiedades
El anillo de los enteros O K es un finitamente generado- Z - módulo . De hecho, es un módulo Z libre y, por lo tanto, tiene una base integral , es decir, una base b 1 , ..., b n ∈ O K del espacio de vectores Q K tal que cada elemento x en O K puede ser representado de forma única como
con un i ∈ Z . [4] El rango n de O K como libre Z -módulo es igual al grado de K sobre Q .
Ejemplos de
Herramienta computacional
Una herramienta útil para calcular el cierre integral del anillo de números enteros en un campo algebraico K / Q es usar el discriminante. Si K es de grado n sobre Q , yformar una base de K sobre Q , establecer. Luego,es un submódulo del módulo Z dividido por[5] pág. 33 . De hecho, si d es libre de cuadrados, entonces esto forma una base integral para[5] pág. 35 .
Extensiones ciclotómicas
Si p es un primo , ζ es una p- ésima raíz de la unidad y K = Q ( ζ ) es el campo ciclotómico correspondiente , entonces una base integral de O K = Z [ ζ ] está dada por (1, ζ , ζ 2 , ..., ζ p −2 ) . [6]
Extensiones cuadráticas
Si es un número entero libre de cuadrados yes el campo cuadrático correspondiente , entonceses un anillo de números enteros cuadráticos y su base integral está dada por (1, (1 + √ d ) / 2) si d ≡ 1 ( mod 4) y por (1, √ d ) si d ≡ 2, 3 (mod 4 ) . [7] Esto se puede encontrar calculando el polinomio mínimo de un elemento arbitrario. dónde .
Estructura multiplicativa
En un anillo de números enteros, cada elemento tiene una factorización en elementos irreductibles , pero el anillo no necesita tener la propiedad de factorización única : por ejemplo, en el anillo de números enteros Z [ √ −5 ] , el elemento 6 tiene dos factorizaciones esencialmente diferentes. en irreducibles: [3] [8]
Un anillo de números enteros es siempre un dominio de Dedekind , por lo que tiene una factorización única de ideales en ideales principales . [9]
Las unidades de un anillo de números enteros O K es un grupo abeliano generado finitamente por el teorema de la unidad de Dirichlet . El subgrupo de torsión consiste en las raíces de la unidad de K . Un conjunto de generadores sin torsión se denomina conjunto de unidades fundamentales . [10]
Generalización
Uno define el anillo de números enteros de un campo local F no arquimediano como el conjunto de todos los elementos de F con valor absoluto ≤ 1 ; este es un anillo debido a la fuerte desigualdad del triángulo. [11] Si F es la finalización de un campo numérico algebraico, su anillo de números enteros es la finalización del anillo de números enteros de este último. El anillo de números enteros de un campo numérico algebraico se puede caracterizar como los elementos que son números enteros en toda terminación no arquimediana. [2]
Por ejemplo, los p -enteros ádicos Z p son el anillo de enteros de los p -números ádicos Q p .
Ver también
- Polinomio mínimo (teoría de campos)
- Cierre integral : proporciona una técnica para calcular cierres integrales.
Referencias
- Cassels, JWS (1986). Campos locales . Textos estudiantiles de la London Mathematical Society. 3 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006 .
- Neukirch, Jürgen (1999). Teoría algebraica de números . Grundlehren der mathischen Wissenschaften . 322 . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. Señor 1697859 . Zbl 0956.11021 .
- Samuel, Pierre (1972). Teoría algebraica de números . Hermann / Kershaw.
Notas
- ^ El anillo de números enteros , sin especificar el campo, se refiere al anillo Z de los números enteros "ordinarios", el objeto prototípico de todos esos anillos. Es una consecuencia de la ambigüedad de la palabra " entero " en el álgebra abstracta.
- ↑ a b Cassels (1986) p. 192
- ↑ a b Samuel (1972) p.49
- ^ Cassels (1986) p. 193
- ^ a b Panadero. "Teoría algebraica de números" (PDF) . págs. 33–35.
- ↑ Samuel (1972) p.43
- ^ Samuel (1972) p.35
- ^ Artin, Michael (2011). Álgebra . Prentice Hall. pag. 360. ISBN 978-0-13-241377-0.
- ↑ Samuel (1972) p.50
- ^ Samuel (1972) págs. 59-62
- ^ Cassels (1986) p. 41