En la teoría de control y la teoría de la estabilidad , el análisis del lugar de las raíces es un método gráfico para examinar cómo cambian las raíces de un sistema con la variación de un determinado parámetro del sistema, comúnmente una ganancia dentro de un sistema de retroalimentación . Esta es una técnica utilizada como criterio de estabilidad en el campo de la teoría de control clásica desarrollada por Walter R. Evans que puede determinar la estabilidad del sistema. El lugar de las raíces traza los polos de la función de transferencia de lazo cerrado en el plano s complejo como una función de un parámetro de ganancia (vergráfico polo-cero ).
Una vez se usó un método gráfico que usa un transportador especial llamado "Spirule" para determinar ángulos y dibujar los lugares de las raíces. [1]
Usos
Además de determinar la estabilidad del sistema, el lugar de las raíces se puede utilizar para diseñar la relación de amortiguamiento ( ζ ) y la frecuencia natural ( ω n ) de un sistema de retroalimentación. Las líneas de coeficiente de amortiguamiento constante se pueden dibujar radialmente desde el origen y las líneas de frecuencia natural constante se pueden dibujar como un arcocoseno cuyos puntos centrales coinciden con el origen. Al seleccionar un punto a lo largo del lugar de las raíces que coincida con una relación de amortiguación y una frecuencia natural deseadas, se puede calcular e implementar una ganancia K en el controlador. En la mayoría de los libros de texto de control se encuentran disponibles técnicas más elaboradas de diseño de controladores que utilizan el lugar de las raíces: por ejemplo, los controladores de retardo, adelanto , PI, PD y PID pueden diseñarse aproximadamente con esta técnica.
La definición de la relación de amortiguamiento y la frecuencia natural presupone que el sistema de retroalimentación general está bien aproximado por un sistema de segundo orden; es decir, el sistema tiene un par de polos dominantes. Este no suele ser el caso, por lo que es una buena práctica simular el diseño final para comprobar si se cumplen los objetivos del proyecto.
Definición
El lugar de las raíces de un sistema de retroalimentación es la representación gráfica en el plano s complejo de las posibles ubicaciones de sus polos en bucle cerrado para valores variables de un determinado parámetro del sistema. Los puntos que forman parte del lugar de las raíces satisfacen la condición de ángulo . El valor del parámetro para un cierto punto del lugar de las raíces se puede obtener usando la condición de magnitud .
Supongamos que hay un sistema de retroalimentación con señal de entrada. y señal de salida . La función de transferencia de ruta hacia adelante es; la función de transferencia de la ruta de retroalimentación es.
Para este sistema, la función de transferencia de bucle cerrado viene dada por [2]
Por lo tanto, los polos de bucle cerrado de la función de transferencia de bucle cerrado son las raíces de la ecuación característica . Las raíces de esta ecuación se pueden encontrar dondequiera.
En sistemas sin pura demora, el producto es una función polinomial racional y puede expresarse como [3]
dónde son los ceros , son los polos, y es una ganancia escalar. Por lo general, un diagrama del lugar de las raíces indicará las ubicaciones de los polos de la función de transferencia para los valores variables del parámetro. Un gráfico del lugar de las raíces será todos aquellos puntos en el plano s donde por cualquier valor de .
La factorización de y el uso de monomios simples significa que la evaluación del polinomio racional se puede hacer con técnicas vectoriales que suman o restan ángulos y multiplican o dividen magnitudes. La formulación vectorial surge del hecho de que cada término monomial en el factorizado representa el vector de a en el plano s. El polinomio se puede evaluar considerando las magnitudes y ángulos de cada uno de estos vectores.
Según las matemáticas vectoriales, el ángulo del resultado del polinomio racional es la suma de todos los ángulos en el numerador menos la suma de todos los ángulos en el denominador. Entonces, para probar si un punto en el plano s está en el lugar de las raíces, solo se deben considerar los ángulos de todos los polos y ceros de bucle abierto. Esto se conoce como condición de ángulo .
De manera similar, la magnitud del resultado del polinomio racional es el producto de todas las magnitudes en el numerador dividido por el producto de todas las magnitudes en el denominador. Resulta que el cálculo de la magnitud no es necesario para determinar si un punto en el plano s es parte del lugar de las raíces porquevaría y puede tomar un valor real arbitrario. Para cada punto del lugar de las raíces, un valor dese puede calcular. Esto se conoce como condición de magnitud.
El lugar de las raíces solo proporciona la ubicación de los polos de bucle cerrado como ganancia es variado. El valor deno afecta la ubicación de los ceros. Los ceros de lazo abierto son los mismos que los ceros de lazo cerrado.
Condición de ángulo
Un punto del plano s complejo satisface la condición de ángulo si
que es lo mismo que decir que
es decir, la suma de los ángulos desde los ceros en lazo abierto hasta el punto (medido por cero con una horizontal que atraviesa ese cero) menos los ángulos desde los polos de bucle abierto hasta el punto (medido por polo con una horizontal que atraviesa ese polo) tiene que ser igual a o 180 grados . Tenga en cuenta que estas interpretaciones no deben confundirse con las diferencias de ángulo entre el punto y los ceros / polos.
Condición de magnitud
Un valor de satisface la condición de magnitud para una determinada punto del lugar de las raíces si
que es lo mismo que decir que
- .
Dibujar el lugar de las raíces
Usando algunas reglas básicas, el método del lugar de las raíces puede trazar la forma general del camino (lugar) atravesado por las raíces como el valor de varía. La gráfica del lugar de las raíces da una idea de la estabilidad y dinámica de este sistema de retroalimentación para diferentes valores de. [4] [5] Las reglas son las siguientes:
- Marcar polos y ceros en lazo abierto
- Marque la parte del eje real a la izquierda de un número impar de polos y ceros
- Encuentra asíntotas
Sea P el número de polos y Z el número de ceros:
Las asíntotas cortan el eje real en (que se llama centroide) y parten en ángulo dada por:
dónde es la suma de todas las ubicaciones de los polos, es la suma de todas las ubicaciones de los ceros explícitos y denota que solo nos interesa la parte real.
- Condición de fase en el punto de prueba para encontrar el ángulo de salida
- Calcule los puntos de ruptura / robo
Los puntos de ruptura se encuentran en las raíces de la siguiente ecuación:
Una vez que resuelvas para z , las raíces reales te dan los puntos de fuga / reentrada. Las raíces complejas corresponden a una falta de ruptura / reentrada.
Trazado del lugar de las raíces
Dado el polinomio racional general del denominador de bucle cerrado
la ecuación característica se puede simplificar a
Las soluciones de a esta ecuación están los lugares de las raíces de la función de transferencia de bucle cerrado.
Ejemplo
Dado
tendremos la ecuación característica
El siguiente código MATLAB trazará el lugar de las raíces de la función de transferencia de bucle cerrado como varía utilizando el método manual descrito, así como la rlocus
función incorporada:
% Método manualK_array = ( 0 : 0.1 : 220 ). ' ; NK = longitud ( K_array ); x_array = ceros ( NK , 3 ); matriz_y = ceros ( NK , 3 ); para nK = 1 : NK K = K_array ( nK ); C = [ 1 , 3 , ( 5 + K ), ( 1 + 3 * K )]; r = raíces ( C ). ' ; matriz_x ( nK , :) = real ( r ); matriz_y ( nK , :) = imag ( r ); finalfigura ();plot ( matriz_x , matriz_y ); cuadrícula encendida ; % Método incorporadosys = tf ([ 1 , 3 ], [ 1 , 3 , 5 , 1 ]); figura ();rlocus ( sys );
plano z versus plano s
El método del lugar de las raíces también se puede utilizar para el análisis de sistemas de datos muestreados calculando el lugar de las raíces en el plano z , la contraparte discreta del plano s . La ecuación z = e sT mapea polos continuos del plano s (no ceros) en el dominio z , donde T es el período de muestreo. El plano s de la mitad izquierda estable se mapea en el interior del círculo unitario del plano z , con el origen del plano s igual a | z | = 1 (porque e 0 = 1). Una línea diagonal de amortiguamiento constante en el plano s se asigna alrededor de una espiral desde (1,0) en el plano z a medida que se curva hacia el origen. Los criterios de alias de Nyquist se expresan gráficamente en el plano z por el eje x , donde ωnT = π . La línea de amortiguación constante que se acaba de describir forma espirales indefinidamente, pero en los sistemas de datos muestreados, el contenido de frecuencia se reduce a frecuencias más bajas mediante múltiplos integrales de la frecuencia de Nyquist . Es decir, la respuesta muestreada aparece como una frecuencia más baja y también mejor amortiguada, ya que la raíz en el plano z se asigna igualmente bien al primer bucle de una curva espiral diferente, mejor amortiguada, de amortiguación constante. Se pueden describir muchas otras propiedades de mapeo interesantes y relevantes, entre ellas que los controladores del plano z , que tienen la propiedad de que pueden implementarse directamente desde la función de transferencia del plano z (relación cero / polos de polinomios), se pueden imaginar gráficamente en un Gráfico de plano z de la función de transferencia de bucle abierto, y se analiza inmediatamente utilizando el lugar de las raíces.
Desde lugar de las raíces es una técnica de ángulo de gráfica, las reglas de raíz locus funcionan de la misma en la z y s aviones.
La idea de un lugar de raíces se puede aplicar a muchos sistemas en los que se varía un solo parámetro K. Por ejemplo, es útil barrer cualquier parámetro del sistema cuyo valor exacto sea incierto para determinar su comportamiento.
Ver también
Referencias
- ^ Evans, Walter R. (1965), Instrucciones de Spirule , Whittier, CA: The Spirule Company
- ^ Kuo 1967 , p. 331.
- ^ Kuo 1967 , p. 332.
- ^ Evans, WR (enero de 1948), "Análisis gráfico de sistemas de control", Trans. AIEE , 67 (1): 547–551, doi : 10.1109 / T-AIEE.1948.5059708 , ISSN 0096-3860 , S2CID 51634121
- ^ Evans, WR (enero de 1950), "Síntesis de sistemas de control mediante el método del lugar de las raíces", Trans. AIEE , 69 (1): 66–69, doi : 10.1109 / T-AIEE.1950.5060121 , ISSN 0096-3860 , S2CID 51633514
- Kuo, Benjamin C. (1967). "Técnica del lugar de las raíces". Sistemas de control automático (segunda ed.). Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall. págs. 329–388. ASIN B000KPT04C . LCCN 67016388 . OCLC 3805225 .
Otras lecturas
- Ash, RH; Ash, GH (octubre de 1968), "Cálculo numérico de los lugares de las raíces mediante la técnica de Newton-Raphson", Transacciones de IEEE sobre control automático , 13 (5): 576–582, doi : 10.1109 / TAC.1968.1098980
- Williamson, SE (mayo de 1968), "Datos de diseño para ayudar al trazado de los lugares de las raíces (Parte I)", Revista Control , 12 (119): 404–407
- Williamson, SE (junio de 1968), "Datos de diseño para ayudar al trazado de los lugares de las raíces (Parte II)", Revista Control , 12 (120): 556–559
- Williamson, SE (julio de 1968), "Datos de diseño para ayudar al trazado de los lugares de las raíces (Parte III)", Revista Control , 12 (121): 645–647
- Williamson, SE (15 de mayo de 1969), "Programa informático para obtener la respuesta en el tiempo de sistemas de datos muestreados", Electronics Letters , 5 (10): 209-210, doi : 10.1049 / el: 19690159
- Williamson, SE (julio de 1969), "Trazado preciso del lugar de las raíces, incluidos los efectos del retardo de tiempo puro. Descripción del programa de computadora" , Actas de la Institución de Ingenieros Eléctricos , 116 (7): 1269-1271, doi : 10.1049 / piee. 1969.0235
enlaces externos
- Wikilibros: sistemas de control / ubicación raíz
- Tutorial Carnegie Mellon / Universidad de Michigan
- Excelentes ejemplos. Comience con el ejemplo 5 y continúe hacia atrás del 4 al 1. Visite también la página principal
- El método del lugar de las raíces: técnicas de dibujo a mano
- "RootLocs": un trazador de lugar de raíces con múltiples funciones gratuito para plataformas Mac y Windows
- "Root Locus": un trazador / analizador de lugar de raíces gratuito para Windows
- Lugar de raíces en ControlTheoryPro.com
- Análisis del lugar de las raíces de los sistemas de control
- Función MATLAB para calcular el lugar de las raíces de un modelo de bucle abierto SISO
- Wechsler, ER (enero-marzo de 1983), "Algoritmos del lugar de las raíces para calculadoras de bolsillo programables" (PDF) , Informe de progreso de adquisición de datos y telecomunicaciones , NASA, 73 : 60–64, Bibcode : 1983TDAPR..73 ... 60W
- Función de Mathematica para graficar el lugar de las raíces
- Šekara, Tomislav B .; Rapaić, Milan R. (1 de octubre de 2015). "Una revisión del método del lugar de las raíces con aplicaciones". Revista de Control de Procesos . 34 : 26–34. doi : 10.1016 / j.jprocont.2015.07.007 .