Media cuadrática

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En las matemáticas y sus aplicaciones, la raíz cuadrada media ( RMS o RMS ) se define como la raíz cuadrada de la media cuadrática (la media aritmética de los cuadrados de un conjunto de números). ^[1] Los RMS también se conoce como la media cuadrática ^{[2] [3]} y es un caso particular de la generalizada media con exponente 2. RMS también se pueden definir para una variación continua función en términos de una integral de los cuadrados de los valores instantáneos durante un ciclo.

Para corriente eléctrica alterna , RMS es igual al valor de la corriente continua constante que produciría la misma disipación de potencia en una carga resistiva . ^[1]

En la teoría de la estimación , la desviación de la raíz cuadrada media de un estimador es una medida de la imperfección del ajuste del estimador a los datos.

Definición

El valor RMS de un conjunto de valores (o una forma de onda de tiempo continuo ) es la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de los valores, o el cuadrado de la función que define la forma de onda continua. En física, el valor de corriente RMS también se puede definir como el "valor de la corriente continua que disipa la misma potencia en una resistencia".

En el caso de un conjunto de n valores , el RMS es${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}}$

${\displaystyle x_{\text{RMS}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right)}}.}$

La fórmula correspondiente para una función continua (o forma de onda) f ( t ) definida sobre el intervalo es${\displaystyle T_{1}\leq t\leq T_{2}}$

${\displaystyle f_{\text{RMS}}={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2}\,dt}}},}$

y el RMS para una función durante todo el tiempo es

${\displaystyle f_{\text{RMS}}=\lim _{T\rightarrow \infty }{\sqrt {{1 \over {2T}}{\int _{-T}^{T}{[f(t)]}^{2}\,dt}}}.}$

El RMS durante todo el tiempo de una función periódica es igual al RMS de un período de la función. El valor RMS de una función o señal continua se puede aproximar tomando el RMS de una muestra que consta de observaciones igualmente espaciadas. Además, el valor RMS de varias formas de onda también se puede determinar sin cálculo , como lo muestra Cartwright. ^[4]

En el caso de la estadística RMS de un proceso aleatorio , se usa el valor esperado en lugar de la media.

En formas de onda comunes

Formas de onda sinusoidal , cuadrada , triangular y de diente de sierra . En cada uno, la línea central está en 0, el pico positivo está en y el pico negativo está en${\displaystyle y=A_{1}}$${\displaystyle y=-A_{1}}$

Una onda de pulso rectangular de ciclo de trabajo D, la relación entre la duración del pulso ( ) y el período (T); ilustrado aquí con a = 1.${\displaystyle \tau }$

Gráfico del voltaje de una onda sinusoidal frente al tiempo (en grados), que muestra los voltajes RMS, pico (PK) y pico a pico (PP).

Si la forma de onda es una onda sinusoidal pura , las relaciones entre las amplitudes (pico a pico, pico) y RMS son fijas y conocidas, como lo son para cualquier onda periódica continua . Sin embargo, esto no es cierto para una forma de onda arbitraria, que puede no ser periódica o continua. Para una onda sinusoidal de media cero, la relación entre RMS y amplitud pico a pico es:

Pico a pico ${\displaystyle =2{\sqrt {2}}\times {\text{RMS}}\approx 2.8\times {\text{RMS}}.}$

Para otras formas de onda, las relaciones no son las mismas que para las ondas sinusoidales. Por ejemplo, para una onda triangular o de diente de sierra

Pico a pico ${\displaystyle =2{\sqrt {3}}\times {\text{RMS}}\approx 3.5\times {\text{RMS}}.}$

Forma de onda	Variables y operadores	RMS
corriente continua	${\displaystyle y=A_{0}\,}$	${\displaystyle A_{0}\,}$
Onda sinusoidal	${\displaystyle y=A_{1}\sin(2\pi ft)\,}$	${\displaystyle {\frac {A_{1}}{\sqrt {2}}}}$
Ola cuadrada	${\displaystyle y={\begin{cases}A_{1}&\operatorname {frac} (ft)<0.5\\-A_{1}&\operatorname {frac} (ft)>0.5\end{cases}}}$	${\displaystyle A_{1}\,}$
Onda cuadrada desplazada DC	${\displaystyle y=A_{0}+{\begin{cases}A_{1}&\operatorname {frac} (ft)<0.5\\-A_{1}&\operatorname {frac} (ft)>0.5\end{cases}}}$	${\displaystyle {\sqrt {A_{0}^{2}+A_{1}^{2}}}\,}$
Onda sinusoidal modificada	${\displaystyle y={\begin{cases}0&\operatorname {frac} (ft)<0.25\\A_{1}&0.25<\operatorname {frac} (ft)<0.5\\0&0.5<\operatorname {frac} (ft)<0.75\\-A_{1}&\operatorname {frac} (ft)>0.75\end{cases}}}$	${\displaystyle {\frac {A_{1}}{\sqrt {2}}}}$
Onda triangular	${\displaystyle y=\left|2A_{1}\operatorname {frac} (ft)-A_{1}\right|}$	${\displaystyle A_{1} \over {\sqrt {3}}}$
Onda de diente de sierra	${\displaystyle y=2A_{1}\operatorname {frac} (ft)-A_{1}\,}$	${\displaystyle A_{1} \over {\sqrt {3}}}$
Onda de pulso	${\displaystyle y={\begin{cases}A_{1}&\operatorname {frac} (ft)<D\\0&\operatorname {frac} (ft)>D\end{cases}}}$	${\displaystyle A_{1}{\sqrt {D}}}$
Voltaje de fase a fase	${\displaystyle y=A_{1}\sin(t)-A_{1}\sin \left(t-{\frac {2\pi }{3}}\right)\,}$	${\displaystyle A_{1}{\sqrt {\frac {3}{2}}}}$
dónde: y es el desplazamiento, t es el tiempo, f es frecuencia, A i es la amplitud (valor pico), D es el ciclo de trabajo o la proporción del período de tiempo (1 / f ) gastado alto, frac ( r ) es la parte fraccionaria de r .

En combinaciones de formas de onda

Las formas de onda hechas sumando formas de onda simples conocidas tienen un valor RMS que es la raíz de la suma de cuadrados de los valores RMS de los componentes, si las formas de onda de los componentes son ortogonales (es decir, si el promedio del producto de una forma de onda simple con otra es cero para todos los pares que no sean el tiempo de una forma de onda). ^[5]

${\displaystyle {\text{RMS}}_{\text{Total}}={\sqrt {{\text{RMS}}_{1}^{2}+{\text{RMS}}_{2}^{2}+\cdots +{\text{RMS}}_{n}^{2}}}}$

Alternativamente, para formas de onda que están perfectamente correlacionadas positivamente, o "en fase" entre sí, sus valores RMS se suman directamente.

Usos

En ingeniería eléctrica

Voltaje

Más información: Tensión de CA cuadrática media raíz

Un caso especial de RMS de combinaciones de formas de onda es: ^[6]

${\displaystyle {\text{RMS}}_{\text{AC+DC}}={\sqrt {{\text{RMS}}_{\text{DC}}^{2}+{\text{RMS}}_{\text{AC}}^{2}}}}$

donde se refiere al componente de corriente continua , o promedio, de la señal y es el componente de corriente alterna de la señal.${\displaystyle {\text{RMS}}_{\text{DC}}}$${\displaystyle {\text{RMS}}_{\text{AC}}}$

Potencia eléctrica media

Más información: alimentación de CA

Los ingenieros eléctricos a menudo necesitan saber la potencia , P , disipada por una resistencia eléctrica , R . Es fácil hacer el cálculo cuando hay una corriente constante , I , a través de la resistencia. Para una carga de R ohmios, la potencia se define simplemente como:

${\displaystyle P=I^{2}R.}$

Sin embargo, si la corriente es una función variable en el tiempo, I ( t ), esta fórmula debe ampliarse para reflejar el hecho de que la corriente (y por lo tanto la potencia instantánea) varía con el tiempo. Si la función es periódica (como la energía de CA doméstica), todavía es significativo discutir la potencia promedio disipada a lo largo del tiempo, que se calcula tomando la disipación de energía promedio:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{av}&=\left(I(t)^{2}R\right)_{av}&&{\text{where }}\left(\cdots \right)_{av}{\text{ denotes the temporal mean of a function}}\\[3pt]&=\left(I(t)^{2}\right)_{av}R&&{\text{(as }}R{\text{ does not vary over time, it can be factored out)}}\\[3pt]&=I_{\text{RMS}}^{2}R&&{\text{by definition of root-mean-square}}\end{aligned}}}$

Entonces, el valor RMS, I _RMS , de la función I ( t ) es la corriente constante que produce la misma disipación de potencia que la disipación de potencia promediada en el tiempo de la corriente I ( t ).

La potencia promedio también se puede encontrar usando el mismo método que en el caso de un voltaje variable en el tiempo , V ( t ), con valor _RMS V _RMS ,

${\displaystyle P_{\text{Avg}}={V_{\text{RMS}}^{2} \over R}.}$

Esta ecuación se puede utilizar para cualquier forma de onda periódica , como una forma de onda sinusoidal o de diente de sierra , lo que nos permite calcular la potencia media entregada en una carga específica.

Al tomar la raíz cuadrada de ambas ecuaciones y multiplicarlas, se encuentra que la potencia es:

${\displaystyle P_{\text{Avg}}=V_{\text{RMS}}I_{\text{RMS}}.}$

Ambas derivaciones dependen de que el voltaje y la corriente sean proporcionales (es decir, la carga, R , es puramente resistiva). Reactivos cargas (es decir, cargas capaces no sólo de disipación de energía, sino también su almacenamiento) se tratan en el tema de la alimentación de CA .

En el caso común de corriente alterna cuando I ( t ) es una corriente sinusoidal , como es aproximadamente cierto para la red eléctrica, el valor RMS es fácil de calcular a partir de la ecuación del caso continuo anterior. Si I _p se define como la corriente máxima, entonces:

${\displaystyle I_{\text{RMS}}={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\int _{T_{1}}^{T_{2}}\left[I_{\text{p}}\sin(\omega t)\right]^{2}dt}},}$

donde t es el tiempo y ω es la frecuencia angular ( ω  = 2 π / T , donde T es el período de la onda).

Dado que I _p es una constante positiva:

${\displaystyle I_{\text{RMS}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{\sin ^{2}(\omega t)}\,dt}}}.}$

Usando una identidad trigonométrica para eliminar la cuadratura de la función trigonométrica:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\text{RMS}}&=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{1-\cos(2\omega t) \over 2}\,dt}}}\\[3pt]&=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}-{\sin(2\omega t) \over 4\omega }\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}\end{aligned}}}$

pero dado que el intervalo es un número entero de ciclos completos (por definición de RMS), los términos sinusoidales se cancelarán, dejando:

${\displaystyle I_{\text{RMS}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}\left[{t \over 2}\right]_{T_{1}}^{T_{2}}}}=I_{\text{p}}{\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{{T_{2}-T_{1}} \over 2}}}={I_{\text{p}} \over {\sqrt {2}}}.}$

Un análisis similar conduce a la ecuación análoga para voltaje sinusoidal:

${\displaystyle V_{\text{RMS}}={V_{\text{p}} \over {\sqrt {2}}},}$

donde I _P representa el pico de corriente y V _P representa el pico de voltaje.

Debido a su utilidad para realizar cálculos de potencia, los voltajes enumerados para las tomas de corriente (por ejemplo, 120  V en EE. UU. O 230  V en Europa) casi siempre se expresan en valores RMS y no en valores máximos. Los valores máximos se pueden calcular a partir de los valores RMS de la fórmula anterior, lo que implica V _P  =  V _RMS  ×  √ 2 , asumiendo que la fuente es una onda sinusoidal pura. Por lo tanto, el valor máximo de la tensión de red en EE. UU. Es de aproximadamente 120 ×  √ 2, o alrededor de 170 voltios. El voltaje pico a pico, siendo el doble, es de unos 340 voltios. Un cálculo similar indica que la tensión de red máxima en Europa es de unos 325 voltios y la tensión de red de pico a pico, de unos 650 voltios.

Las cantidades RMS, como la corriente eléctrica, generalmente se calculan en un ciclo. Sin embargo, para algunos propósitos, se requiere la corriente RMS durante un período más largo al calcular las pérdidas de potencia de transmisión. Se aplica el mismo principio y (por ejemplo) una corriente de 10 amperios utilizada durante 12 horas cada día de 24 horas representa una corriente promedio de 5 amperios, pero una corriente eficaz de 7,07 amperios, a largo plazo.

El término potencia RMS a veces se utiliza erróneamente en la industria del audio como sinónimo de potencia media o potencia media (es proporcional al cuadrado del voltaje RMS o la corriente RMS en una carga resistiva). Para obtener más información sobre las medidas de potencia de audio y sus deficiencias, consulte Potencia de audio .

Velocidad

Artículo principal: Velocidad cuadrática media

En la física de las moléculas de gas , la velocidad cuadrática media se define como la raíz cuadrada de la velocidad cuadrática media. La velocidad RMS de un gas ideal se calcula mediante la siguiente ecuación:

${\displaystyle v_{\text{RMS}}={\sqrt {3RT \over M}}}$

donde R representa la constante del gas , 8.314 J / (mol · K), T es la temperatura del gas en kelvin y M es la masa molar del gas en kilogramos por mol. En física, la velocidad se define como la magnitud escalar de la velocidad. Para un gas estacionario, la velocidad promedio de sus moléculas puede ser del orden de miles de km / h, aunque la velocidad promedio de sus moléculas sea cero.

Error

Artículo principal: Desviación cuadrática media

Cuando se comparan dos conjuntos de datos, uno de la predicción teórica y el otro de la medición real de alguna variable física, por ejemplo, el RMS de las diferencias por pares de los dos conjuntos de datos puede servir como una medida de qué tan lejos en promedio está el error. de 0. La media de los valores absolutos de las diferencias por pares podría ser una medida útil de la variabilidad de las diferencias. Sin embargo, el RMS de las diferencias suele ser la medida preferida, probablemente debido a la convención matemática y la compatibilidad con otras fórmulas.

En el dominio de la frecuencia

El RMS se puede calcular en el dominio de la frecuencia, utilizando el teorema de Parseval . Para una señal muestreada , ¿dónde está el período de muestreo?${\displaystyle x[n]=x(t=nT)}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{x^{2}[n]}={\frac {1}{N}}\sum _{m=1}^{N}\left|X[m]\right|^{2},}$

donde y N es el tamaño de la muestra, es decir, el número de observaciones en la muestra y los coeficientes FFT.${\displaystyle X[m]=\operatorname {FFT} \{x[n]\}}$

En este caso, el valor eficaz calculado en el dominio del tiempo es el mismo que en el dominio de la frecuencia:

${\displaystyle {\text{RMS}}\{x[n]\}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{n}{x^{2}[n]}}}={\sqrt {{\frac {1}{N^{2}}}\sum _{m}{{\bigl |}X[m]{\bigr |}}^{2}}}={\sqrt {\sum _{m}{\left|{\frac {X[m]}{N}}\right|^{2}}}}.}$

Relación con otras estadísticas

Prueba geométrica sin palabras que max  ( a , b ) > media cuadrática ( RMS ) o media cuadrática ( QM ) > media aritmética ( AM ) > media geométrica ( GM ) > media armónica ( HM ) > min  ( a , b ) de dos números positivos a y b ^[7]

Si es la media aritmética y la desviación estándar de una población o una forma de onda , entonces: ^[8]${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle \sigma _{x}}$

${\displaystyle x_{\text{rms}}^{2}={\overline {x}}^{2}+\sigma _{x}^{2}={\overline {x^{2}}}.}$

De esto se desprende claramente que el valor RMS es siempre mayor o igual que el promedio, ya que el RMS incluye también el "error" / desviación al cuadrado.

Los científicos físicos a menudo usan el término raíz cuadrada media como sinónimo de desviación estándar cuando se puede suponer que la señal de entrada tiene una media cero, es decir, se refiere a la raíz cuadrada de la desviación cuadrática media de una señal desde una línea de base o ajuste dado. ^{[9] [10]} Esto es útil para los ingenieros eléctricos al calcular el valor eficaz de "sólo CA" de una señal. La desviación estándar es el valor eficaz de la variación de una señal con respecto a la media, en lugar de alrededor de 0, el componente de CC se elimina (es decir, RMS (señal) = stdev (señal) si la señal media es 0).

Ver también

• Valor medio rectificado (ARV)
• Momento central
• Significado geometrico
• Norma L2
• Mínimos cuadrados
• Lista de símbolos matemáticos
• Desplazamiento cuadrático medio
• Convertidor de verdadero valor eficaz

Referencias

1. Un diccionario de física (6 ed.) . Prensa de la Universidad de Oxford. 2009. ISBN 9780199233991.
2. Thompson, Sylvanus P. (1965). Cálculo simplificado . Macmillan International Higher Education. pag. 185. ISBN 9781349004874. Consultado el 5 de julio de 2020 .
3. Jones, Alan R. (2018). Probabilidad, estadística y otras cosas aterradoras . Routledge. pag. 48. ISBN 9781351661386. Consultado el 5 de julio de 2020 .
4. Cartwright, Kenneth V (otoño de 2007). "Determinación del voltaje efectivo o RMS de varias formas de onda sin cálculo" (PDF) . Interfaz de tecnología . 8 (1): 20 páginas.
5. Nastase, Adrian S. "Cómo derivar el valor RMS de formas de onda cuadradas y de pulso" . MasteringElectronicsDesign.com . Consultado el 21 de enero de 2015 .
6. "Realice mejores mediciones de CA RMS con su multímetro digital" (PDF) . Keysight . Keysight . Consultado el 15 de enero de 2019 .
7. Si AC = una y BC = b . OC = AM de una y b , y el radio r = QO = OG.
   Usando el teorema de Pitágoras , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
   Usando el teorema de Pitágoras, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² - OG² = GM .
   Usando triángulos similares ,HC/GC = GC/jefe ∴ HC = GC²/jefe= HM .
8. Chris C. Bissell; David A. Chapman (1992). Transmisión de señales digitales (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 64. ISBN 978-0-521-42557-5.
9. Weisstein, Eric W. "Raíz-media-cuadrada" . MathWorld .
10. "RAÍZ, TH1: GetRMS" .

Enlaces externos

• Un caso de por qué RMS es un nombre inapropiado cuando se aplica a la potencia de audio
• Un subprograma de Java sobre el aprendizaje de RMS