La regla 184 es una regla de autómata celular binario unidimensional , notable por resolver el problema de la mayoría , así como por su capacidad para describir simultáneamente varios sistemas de partículas aparentemente bastante diferentes :
- La regla 184 se puede utilizar como un modelo simple para el flujo de tráfico en un solo carril de una carretera y constituye la base para muchos modelos de autómatas celulares de flujo de tráfico con mayor sofisticación. En este modelo, las partículas (que representan vehículos) se mueven en una sola dirección, deteniéndose y arrancando dependiendo de los coches que se encuentren delante de ellas. El número de partículas permanece sin cambios durante la simulación. Debido a esta aplicación, la Regla 184 a veces se denomina "regla de tráfico". [1]
- La regla 184 también modela una forma de deposición de partículas sobre una superficie irregular, en la que cada mínimo local de la superficie se llena con una partícula en cada paso. En cada paso de la simulación, aumenta el número de partículas. Una vez colocada, una partícula nunca se mueve.
- La regla 184 puede entenderse en términos de aniquilación balística , un sistema de partículas que se mueven hacia la izquierda y hacia la derecha a través de un medio unidimensional. Cuando dos de estas partículas chocan, se aniquilan entre sí, de modo que en cada paso el número de partículas permanece sin cambios o disminuye.
La aparente contradicción entre estas descripciones se resuelve mediante diferentes formas de asociar características del estado del autómata con partículas.
El nombre de la Regla 184 es un código de Wolfram que define la evolución de sus estados. La primera investigación sobre la Regla 184 es de Li (1987) y Krug y Spohn (1988) . En particular, Krug y Spohn ya describen los tres tipos de sistemas de partículas modelados por la Regla 184. [2]
Definición
Un estado del autómata de la Regla 184 consiste en una matriz unidimensional de celdas, cada una de las cuales contiene un valor binario (0 o 1). En cada paso de su evolución, el autómata Regla 184 aplica la siguiente regla a cada una de las celdas de la matriz, simultáneamente para todas las celdas, para determinar el nuevo estado de la celda: [3]
patrón actual | 111 | 110 | 101 | 100 | 011 | 010 | 001 | 000 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
nuevo estado para la celda central | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
Una entrada en esta tabla define el nuevo estado de cada celda en función del estado anterior y los valores anteriores de las celdas vecinas en cada lado. El nombre de esta regla, Regla 184, es el código Wolfram que describe la tabla de estado anterior: la fila inferior de la tabla, 10111000, cuando se ve como un número binario , es igual al número decimal 184 . [4]
El conjunto de reglas para la Regla 184 también se puede describir intuitivamente, de varias formas diferentes:
- En cada paso, siempre que exista en el estado actual un 1 seguido inmediatamente por un 0, estos dos símbolos intercambian lugares. Basándose en esta descripción, Krug y Spohn (1988) llaman a la Regla 184 una versión determinista de un " modelo cinético de Ising con dinámica asimétrica de intercambio de espines".
- En cada paso, si una celda con valor 1 tiene una celda con valor 0 inmediatamente a su derecha, el 1 se mueve hacia la derecha dejando un 0 detrás. Un 1 con otro 1 a su derecha permanece en su lugar, mientras que un 0 que no tiene un 1 a su izquierda permanece en 0. Esta descripción es más adecuada para la aplicación al modelado de flujo de tráfico. [5]
- Si una celda tiene el estado 0, su nuevo estado se toma de la celda de su izquierda. De lo contrario, su nuevo estado se toma de la celda a su derecha. Es decir, cada celda puede ser implementada por un multiplexor y está estrechamente relacionada en su funcionamiento con una puerta Fredkin . [6]
Dinámica y clasificación mayoritaria
De las descripciones de las reglas anteriores, se pueden ver inmediatamente dos propiedades importantes de su dinámica. Primero, en la Regla 184, para cualquier conjunto finito de celdas con condiciones de contorno periódicas , el número de 1 y el número de 0 en un patrón permanece invariable a lo largo de la evolución del patrón. La regla 184 y su reflejo son los únicos autómatas celulares elementales no triviales [7] que tienen esta propiedad de conservación de números. [8] De manera similar, si la densidad de 1s está bien definida para una matriz infinita de celdas, permanece invariante mientras el autómata realiza sus pasos. [9] Y segundo, aunque la Regla 184 no es simétrica bajo la inversión de izquierda a derecha, tiene una simetría diferente: invertir de izquierda a derecha y al mismo tiempo intercambiar los roles de los símbolos 0 y 1 produce un autómata celular con la misma actualizar la regla.
Los patrones en la Regla 184 típicamente se estabilizan rápidamente, ya sea a un patrón en el que los estados de celda se mueven en el mismo paso una posición hacia la izquierda en cada paso, o a un patrón que se mueve una posición hacia la derecha en cada paso. Específicamente, si la densidad inicial de las celdas con el estado 1 es menor al 50%, el patrón se estabiliza en grupos de celdas en el estado 1, separados por dos unidades, con los grupos separados por bloques de celdas en el estado 0. Los patrones de este tipo se mueven a la derecha. Si, por el contrario, la densidad inicial es superior al 50%, el patrón se estabiliza en grupos de celdas en el estado 0, separados por dos unidades, con los grupos separados por bloques de celdas en el estado 1, y los patrones de este tipo se mueven hacia la izquierda. Si la densidad es exactamente del 50%, el patrón inicial se estabiliza (más lentamente) a un patrón que se puede ver de manera equivalente como que se mueve hacia la izquierda o hacia la derecha en cada paso: una secuencia alterna de 0 y 1. [10]
El problema mayoritario es el problema de construir un autómata celular que, cuando se ejecuta en cualquier conjunto finito de células, puede calcular el valor que tienen la mayoría de sus células. En cierto sentido, la Regla 184 resuelve este problema de la siguiente manera. Si la Regla 184 se ejecuta en un conjunto finito de celdas con condiciones de contorno periódicas, con un número desigual de 0 y 1, entonces cada celda eventualmente verá dos estados consecutivos del valor mayoritario infinitamente a menudo, pero verá dos estados consecutivos de la minoría. valorar sólo un número finito de veces. [11] El problema de la mayoría no puede resolverse perfectamente si se requiere que todas las células eventualmente se estabilicen al estado de mayoría [12] pero la solución de la Regla 184 evita este resultado de imposibilidad al relajar el criterio por el cual el autómata reconoce una mayoría.
Flujo de tráfico
Si se interpreta que cada celda 1 de la Regla 184 contiene una partícula, estas partículas se comportan de muchas maneras de manera similar a los automóviles en un solo carril de tráfico: avanzan a una velocidad constante si hay un espacio abierto frente a ellas, y de lo contrario ellos paran. Los modelos de tráfico como la Regla 184 y sus generalizaciones que discretizan tanto el espacio como el tiempo se denominan comúnmente modelos de salto de partículas . [13] Aunque es muy primitivo, el modelo de flujo de tráfico de la Regla 184 ya predice algunas de las características emergentes familiares del tráfico real: grupos de automóviles que se mueven libremente separados por tramos de carretera abierta cuando el tráfico es ligero y oleadas de paradas y arranques. tráfico cuando es pesado. [14]
Es difícil precisar el primer uso de la Regla 184 para la simulación de flujo de tráfico, en parte porque el enfoque de la investigación en esta área ha sido menos en lograr el mayor nivel de abstracción matemática y más en verosimilitud: incluso los artículos anteriores sobre autómatas celulares basados en La simulación del flujo de tráfico normalmente hace que el modelo sea más complejo para simular con mayor precisión el tráfico real. Sin embargo, la Regla 184 es fundamental para la simulación de tráfico mediante autómatas celulares. Wang, Kwong y Hui (1998) , por ejemplo, afirman que "el modelo de autómata celular básico que describe un problema de flujo de tráfico unidimensional es la regla 184". Nagel (1996) escribe "Gran parte del trabajo que utiliza modelos de CA para el tráfico se basa en este modelo". Varios autores describen modelos unidimensionales con vehículos que se mueven a múltiples velocidades; tales modelos degeneran en la Regla 184 en el caso de una sola velocidad. [15] Gaylord y Nishidate (1996) extienden la dinámica de la Regla 184 al tráfico de carreteras de dos carriles con cambios de carril; su modelo comparte con la Regla 184 la propiedad de que es simétrico bajo una inversión simultánea de izquierda a derecha y 0-1. Biham, Middleton y Levine (1992) describen un modelo de cuadrícula de ciudad bidimensional en el que la dinámica de los carriles de tráfico individuales es esencialmente la de la Regla 184. [16] Para un estudio en profundidad del modelado de tráfico de autómatas celulares y la mecánica estadística asociada , ver Maerivoet & De Moor (2005) y Chowdhury, Santen & Schadschneider (2000) .
Al ver la Regla 184 como un modelo de tráfico, es natural considerar la velocidad promedio de los vehículos. Cuando la densidad del tráfico es inferior al 50%, esta velocidad promedio es simplemente una unidad de distancia por unidad de tiempo: una vez que el sistema se estabiliza, ningún automóvil frena nunca. Sin embargo, cuando la densidad es un número ρ mayor que 1/2, la velocidad promedio del tráfico es. Por tanto, el sistema presenta una transición de fase cinética de segundo orden en ρ = 1/2 . Cuando la Regla 184 se interpreta como un modelo de tráfico y se parte de una configuración aleatoria cuya densidad se encuentra en este valor crítico ρ = 1/2 , entonces la velocidad promedio se acerca a su límite estacionario como la raíz cuadrada del número de pasos. En cambio, para configuraciones aleatorias cuya densidad no está en el valor crítico, la aproximación a la velocidad límite es exponencial. [17]
Deposición superficial
Como se muestra en la figura, y como describieron originalmente Krug y Spohn (1988) , [18] La regla 184 puede usarse para modelar la deposición de partículas sobre una superficie. En este modelo, uno tiene un conjunto de partículas que ocupan un subconjunto de las posiciones en un retículo cuadrado orientado diagonalmente (las partículas más oscuras en la figura). Si una partícula está presente en alguna posición de la celosía, las posiciones de la celosía debajo y a la derecha, y debajo y a la izquierda de la partícula también deben llenarse, por lo que la parte llena de la celosía se extiende infinitamente hacia abajo, hacia la izquierda y la derecha. . El límite entre las posiciones llenas y sin llenar (la delgada línea negra en la figura) se interpreta como modelando una superficie, sobre la cual se pueden depositar más partículas. En cada paso de tiempo, la superficie crece por la deposición de nuevas partículas en cada mínimo local de la superficie; es decir, en cada posición donde es posible agregar una nueva partícula que tiene partículas existentes debajo de ella en ambos lados (las partículas más ligeras en la figura).
Para modelar este proceso por la Regla 184, observe que el límite entre las posiciones de celosía llena y sin llenar se puede marcar con una línea poligonal, cuyos segmentos separan las posiciones de celosía adyacentes y tienen pendientes +1 y -1. Modele un segmento con pendiente +1 mediante una celda autómata con estado 0, y un segmento con pendiente -1 mediante una celda autómata con estado 1. Los mínimos locales de la superficie son los puntos donde un segmento de pendiente -1 se encuentra a la izquierda de un segmento de pendiente +1; es decir, en el autómata, una posición donde una celda con el estado 1 se encuentra a la izquierda de una celda con el estado 0. Agregar una partícula a esa posición corresponde a cambiar los estados de estas dos celdas adyacentes de 1,0 a 0,1 , avanzando así la línea poligonal. Este es exactamente el comportamiento de la Regla 184. [19]
El trabajo relacionado en este modelo se refiere a la deposición en la que los tiempos de llegada de partículas adicionales son aleatorios, en lugar de que las partículas lleguen a todos los mínimos locales simultáneamente. [20] Estos procesos de crecimiento estocástico pueden modelarse como un autómata celular asincrónico .
Aniquilación balística
La aniquilación balística describe un proceso mediante el cual las partículas en movimiento y las antipartículas se aniquilan entre sí cuando chocan. En la versión más simple de este proceso, el sistema consta de un solo tipo de partícula y antipartícula, que se mueven a velocidades iguales en direcciones opuestas en un medio unidimensional. [21]
Este proceso puede ser modelado por la Regla 184, como sigue. Las partículas se modelan como puntos alineados, no con las celdas del autómata, sino con los intersticios entre celdas. Dos celdas consecutivas que tienen el estado 0 modelan una partícula en el espacio entre estas dos celdas que se mueve hacia la derecha una celda en cada paso de tiempo. Simétricamente, dos células consecutivas que tienen el estado 1 modelan una antipartícula que se mueve hacia la izquierda una célula en cada paso de tiempo. Las posibilidades restantes para dos celdas consecutivas son que ambas tienen estados diferentes; esto se interpreta como modelar un material de fondo sin partículas en él, a través del cual se mueven las partículas. Con esta interpretación, las partículas y antipartículas interactúan por aniquilación balística: cuando una partícula que se mueve hacia la derecha y una antipartícula que se mueve hacia la izquierda se encuentran, el resultado es una región de fondo de la cual ambas partículas se han desvanecido, sin ningún efecto sobre las otras partículas cercanas. [22]
El comportamiento de algunos otros sistemas, como los autómatas celulares cíclicos unidimensionales , también se puede describir en términos de aniquilación balística. [23] Existe una restricción técnica sobre las posiciones de las partículas para la vista de aniquilación balística de la Regla 184 que no surge en estos otros sistemas, derivada del patrón alterno del fondo: en el sistema de partículas correspondiente a un estado de la Regla 184, si dos partículas consecutivas son del mismo tipo, deben estar separadas por un número impar de células, mientras que si son de tipos opuestos deben estar separadas por un número par de células. Sin embargo, esta restricción de paridad no influye en el comportamiento estadístico de este sistema.
Pivato (2007) utiliza una visión similar pero más complicada del sistema de partículas de la Regla 184: no solo ve regiones alternas 0-1 como fondo, sino que también considera como fondo las regiones que constan únicamente de un solo estado. Basándose en este punto de vista, describe siete partículas diferentes formadas por límites entre regiones y clasifica sus posibles interacciones. Véase Chopard y Droz (1998 , págs. 188-190) para una revisión más general de los modelos de autómatas celulares de los procesos de aniquilación.
Análisis sin contexto
En su libro A New Kind of Science , Stephen Wolfram señala que la regla 184, cuando se ejecuta en patrones con una densidad del 50%, se puede interpretar como un análisis del lenguaje libre de contexto que describe cadenas formadas a partir de paréntesis anidados . Esta interpretación está estrechamente relacionada con la visión de aniquilación balística de la regla 184: en la interpretación de Wolfram, un paréntesis abierto corresponde a una partícula que se mueve hacia la izquierda, mientras que un paréntesis cerrado corresponde a una partícula que se mueve hacia la derecha. [24]
Ver también
- Regla 30 , Regla 90 y Regla 110 , otros autómatas celulares unidimensionales con comportamiento diferente
Notas
- ^ Por ejemplo, véase Fukś (1997) .
- ↑ Se pueden encontrar muchos artículos posteriores que, al mencionar la Regla 184, citan los primeros artículos de Stephen Wolfram . Sin embargo, los artículos de Wolfram consideran solo los autómatas que son simétricos bajo inversión de izquierda a derecha y, por lo tanto, no describen la Regla 184.
- ^ Esta tabla de reglas ya se proporciona en forma abreviada con el nombre "Regla 184", pero se puede encontrar explícitamente, por ejemplo, en Fukś (1997) .
- ^ Para la definición de este código, vea Wolfram (2002) , p.53. Para el cálculo de este código para la Regla 184, véase, por ejemplo, Boccara & Fukś (1998) .
- ^ Ver, por ejemplo, Boccara & Fukś (1998) .
- ^ Li (1992) . Li usó esta interpretación como parte de una generalización de la Regla 184 a las estructuras de vecindarios no locales.
- ^ Las reglas 170, 204 y 240 exhiben trivialmente esta propiedad, ya que en cada una de estas reglas, cada celda simplemente se copia de una de las tres celdas que están encima de ella en cada paso.
- ^ Boccara y Fukś (1998) ; Alonso-Sanz (2011) .
- ↑ Boccara & Fukś (1998) han investigado autómatas más generales con propiedades de conservación similares , al igual que Moreira (2003) .
- ^ Li (1987) .
- ^ Capcarrere, Sipper y Tomassini (1996) ; Fukś (1997) ; Sukumar (1998) .
- ^ Land y Belew (1995) .
- ^ Nagel (1996) ; Chowdhury, Santen y Schadschneider (2000) .
- ^ Tadaki y Kikuchi (1994) .
- ↑ Para varios modelos de este tipo, ver Nagel & Schreckenberg (1992) , Fukui & Ishibashi (1996) y Fukś & Boccara (1998) . Nagel (1996) observa la equivalencia de estos modelos con la regla 184 en el caso de una sola velocidad y enumera varios artículos adicionales sobre este tipo de modelo.
- ^ Ver también Tadaki & Kikuchi (1994) para un análisis adicional de este modelo.
- ^ Fukś y Boccara (1998) .
- ^ Ver también Belitsky & Ferrari (1995) y Chopard & Droz (1998 , p. 29).
- ^ Krug y Spohn (1988) .
- ^ También discutido por Krug y Spohn (1988) .
- ^ Redner (2001) .
- ^ Krug y Spohn (1988) ; Belitsky y Ferrari (1995) .
- ^ Belitsky y Ferrari (1995) .
- ^ Wolfram (2002 , págs. 989 , 1109 ).
Referencias
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enlaces externos
- Regla 184 en el atlas de autómatas celulares de Wolfram