La regla 30 es un autómata celular elemental introducido por Stephen Wolfram en 1983. [2] Usando el esquema de clasificación de Wolfram , la regla 30 es una regla de clase III, que muestra un comportamiento aperiódico y caótico .
Esta regla es de particular interés porque produce patrones complejos, aparentemente aleatorios, a partir de reglas simples y bien definidas. Debido a esto, Wolfram cree que la Regla 30, y los autómatas celulares en general, son la clave para comprender cómo las reglas simples producen estructuras y comportamientos complejos en la naturaleza. Por ejemplo, un patrón que se asemeja a la Regla 30 aparece en el caparazón del textil Conus de la especie de caracol cono ampliamente difundido . La regla 30 también se ha utilizado como generador de números aleatorios en Mathematica , [3] y también se ha propuesto como un posible cifrado de flujo para su uso en criptografía . [4] [5]
La regla 30 se llama así porque 30 es el código de Wolfram más pequeño que describe su conjunto de reglas (como se describe a continuación). La imagen especular, el complemento y el complemento especular de la Regla 30 tienen los códigos Wolfram 86, 135 y 149, respectivamente.
Conjunto de reglas
En todos los autómatas celulares elementales de Wolfram, se considera una matriz unidimensional infinita de células autómatas celulares con sólo dos estados, con cada célula en algún estado inicial. A intervalos de tiempo discretos, cada celda cambia de estado espontáneamente en función de su estado actual y el estado de sus dos vecinas. Para la Regla 30, el conjunto de reglas que gobierna el siguiente estado del autómata es:
patrón actual | 111 | 110 | 101 | 100 | 011 | 010 | 001 | 000 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
nuevo estado para la celda central | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
La fórmula correspondiente es [left_cell XOR (central_cell OR right_cell)]. Se llama Regla 30 porque en binario , 00011110 2 = 30.
El siguiente diagrama muestra el patrón creado, con celdas coloreadas según el estado anterior de su vecindario. Los colores más oscuros representan "1" y los colores más claros representan "0". El tiempo aumenta por el eje vertical.
Estructura y propiedades
El siguiente patrón surge de un estado inicial en el que una sola celda con el estado 1 (que se muestra en negro) está rodeada por celdas con el estado 0 (blanco).
Regla 30 autómata celular
Aquí, el eje vertical representa el tiempo y cualquier sección transversal horizontal de la imagen representa el estado de todas las celdas de la matriz en un punto específico de la evolución del patrón. Varios motivos están presentes en esta estructura, como la frecuente aparición de triángulos blancos y un patrón de rayas bien definido en el lado izquierdo; sin embargo, la estructura en su conjunto no tiene un patrón discernible. El número de células negras en la generación. viene dada por la secuencia
y es aproximadamente .
Caos
Wolfram basó su clasificación de la Regla 30 como caótica basándose principalmente en su apariencia visual, [ cita requerida ] y más tarde se demostró que cumplía con definiciones más rigurosas de caos propuestas por Devaney y Knudson. En particular, de acuerdo con los criterios de Devaney, la Regla 30 muestra una dependencia sensible de las condiciones iniciales (dos configuraciones iniciales que difieren solo en un pequeño número de celdas divergen rápidamente), sus configuraciones periódicas son densas en el espacio de todas las configuraciones, según la topología de Cantor en el espacio de configuraciones (hay una configuración periódica con cualquier patrón finito de celdas), y se mezcla (para dos patrones finitos de celdas cualesquiera, hay una configuración que contiene un patrón que eventualmente conduce a una configuración que contiene el otro patrón) . Según los criterios de Knudson, muestra una dependencia sensible y hay una órbita densa (una configuración inicial que eventualmente muestra cualquier patrón finito de células). Ambas caracterizaciones del comportamiento caótico de la regla se derivan de una propiedad más simple y fácil de verificar de la Regla 30: se deja permutativa , lo que significa que si dos configuraciones C y D difieren en el estado de una sola celda en la posición i , luego de una En un solo paso, las nuevas configuraciones diferirán en la celda i + 1 . [6]
Aplicaciones
Generación de números aleatorios
Como es evidente en la imagen de arriba, la Regla 30 genera una aparente aleatoriedad a pesar de la falta de cualquier cosa que pueda considerarse razonablemente como entrada aleatoria. Stephen Wolfram propuso usar su columna central como un generador de números pseudoaleatorios (PRNG); pasa muchas pruebas estándar de aleatoriedad, y Wolfram usó previamente esta regla en el producto de Mathematica para crear números enteros aleatorios. [7]
Sipper y Tomassini han demostrado que, como generador de números aleatorios, la Regla 30 presenta un comportamiento deficiente en una prueba de chi cuadrado cuando se aplica a todas las columnas de la regla en comparación con otros generadores celulares basados en autómatas. [8] Los autores también expresaron su preocupación de que "los resultados relativamente bajos obtenidos por la regla 30 CA pueden deberse al hecho de que consideramos N secuencias aleatorias generadas en paralelo, en lugar de la única considerada por Wolfram". [9]
Decoración
La estación de tren de Cambridge North está decorada con paneles arquitectónicos que muestran la evolución de la Regla 30 (o, de manera equivalente, bajo la inversión de blanco y negro, Regla 135). [10] El arquitecto describió el diseño como inspirado en el Juego de la vida de Conway , un autómata celular diferente estudiado por el matemático de Cambridge John Horton Conway , pero en realidad no se basa en Life. [11] [12]
Ver también
Referencias
- ^ Stephen Coombes (febrero de 2009). "La geometría y pigmentación de las conchas marinas" (PDF) . www.maths.nottingham.ac.uk . Universidad de Nottingham . Consultado el 10 de abril de 2013 .
- ^ Wolfram, S. (1983). "Mecánica estadística de autómatas celulares". Rev. Mod. Phys . 55 (3): 601–644. Código Bibliográfico : 1983RvMP ... 55..601W . doi : 10.1103 / RevModPhys.55.601 .
- ^ "Generación de números aleatorios" . Documentación de Wolfram Mathematica 8 . Consultado el 31 de diciembre de 2011 .
- ^ Wolfram, S. (1985). "Criptografía con autómatas celulares". Actas de avances en criptología - CRYPTO '85 . Lecture Notes in Computer Science 218, Springer-Verlag. pag. 429. doi : 10.1007 / 3-540-39799-X_32 .
- ^ Meier, Willi; Staffelbach, Othmar (1991). "Análisis de secuencias pseudoaleatorias generadas por autómatas celulares". Avances en criptología: Proc. Taller de Teoría y Aplicación de Técnicas Criptográficas, EUROCRYPT '91 . Lecture Notes in Computer Science 547, Springer-Verlag. pag. 186. doi : 10.1007 / 3-540-46416-6_17 .
- ^ Cattaneo, Gianpiero; Finelli, Michele; Márgara, Luciano (2000). "Investigando el caos topológico por dinámica de autómatas celulares elementales". Informática Teórica . 244 (1–2): 219–241. doi : 10.1016 / S0304-3975 (98) 00345-4 . Señor 1774395 .
- ^ Lex Fridman (2018-03-02), MIT AGI: Computational Universe (Stephen Wolfram) , consultado el 2018-03-07
- ^ Sipper, Moshe; Tomassini, Marco (1996). "Generación de generadores de números aleatorios en paralelo mediante programación celular". International Journal of Modern Physics C . 7 (2): 181-190. Código Bibliográfico : 1996IJMPC ... 7..181S . doi : 10.1142 / S012918319600017X .
- ^ Página 6 de Sipper, Moshe; Tomassini, Marco (1996). "Generación de generadores de números aleatorios en paralelo mediante programación celular". International Journal of Modern Physics C . 7 (2): 181-190. Código Bibliográfico : 1996IJMPC ... 7..181S . doi : 10.1142 / S012918319600017X .
- ^ Wolfram, Stephen (1 de junio de 2017), "¡Dios mío, está cubierto por la regla 30!" , El blog de Stephen Wolfram
- ^ Lawson-Perfect, Christian (23 de mayo de 2017), "Respuesta correcta por la razón equivocada: autómata celular en la nueva estación Cambridge North" , The Aperiodical
- ^ Purtill, Corinne. "El tributo de una estación de tren del Reino Unido a un matemático famoso hizo que todo saliera bien, excepto sus matemáticas" . Cuarzo . Consultado el 12 de junio de 2017 .
- Wolfram, Stephen, 1985, Criptografía con autómatas celulares , CRYPTO'85.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Regla 30" . MathWorld .
- "Anunciando los premios de la Regla 30" . Escritos de Stephen Wolfram . 1 de octubre de 2019.
- Regla 30 en el atlas de autómatas celulares de Wolfram
- Regla 30: Generador de bits pseudoaleatorio de Wolfram . Receta 32 en Primordial Soup Kitchen de David Griffeath .
- Repetición de patrones de la Regla 30 . Una lista de patrones que, cuando se repiten para llenar las celdas de un autómata de la Regla 30, se repiten después de una cantidad finita de pasos de tiempo. Frans Faase, 2003. Archivado desde el original el 8 de agosto de 2013.
- Pavimentación de mosaico fractal . Introducción básica al patrón de la Regla 30 desde la perspectiva de un experto en software LOGO Olivier Schmidt-Chevalier.
- Charla TED de febrero de 2010 . Stephen Wolfram habla de computar una teoría del todo donde habla de la regla 30 entre otras cosas.