Métodos de Runge-Kutta

En el análisis numérico , los métodos de Runge-Kutta ( inglés: / ˈ r ʊ ŋ ə ˈ k ʊ t ɑː / ( escucha ) RUUNG -ə- KUUT -tah ^[1] ) son una familia de métodos iterativos implícitos y explícitos , que incluyen la conocida rutina denominada Método de Euler , utilizada en discretización temporal para las soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales ordinarias . ^[2]Estos métodos fueron desarrollados alrededor de 1900 por los matemáticos alemanes Carl Runge y Wilhelm Kutta .

El miembro más conocido de la familia Runge-Kutta generalmente se conoce como "RK4", el "método clásico de Runge-Kutta" o simplemente como "el método Runge-Kutta".

Aquí hay una función desconocida (escalar o vectorial) del tiempo , que nos gustaría aproximar; se nos dice que , la velocidad a la que cambia, es una función de sí misma. En el tiempo inicial el valor correspondiente es . Se dan la función y las condiciones iniciales . ${\ estilo de visualización y}$${\ estilo de visualización t}$${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}}$${\ estilo de visualización y}$${\ estilo de visualización t}$${\ estilo de visualización y}$${\ estilo de visualización t_ {0}}$${\ estilo de visualización y}$${\displaystyle y_{0}}$${\ estilo de visualización f}$ ${\ estilo de visualización t_ {0}}$${\displaystyle y_{0}}$

Aquí está la aproximación RK4 de , y el siguiente valor ( ) está determinado por el valor presente ( ) más el promedio ponderado de cuatro incrementos, donde cada incremento es el producto del tamaño del intervalo, h , y una pendiente estimada especificada por función f en el lado derecho de la ecuación diferencial.${\displaystyle y_{n+1}}$${\ estilo de visualización y (t_ {n + 1})}$${\displaystyle y_{n+1}}$${\displaystyle y_{n}}$

Al promediar las cuatro pendientes, se da mayor peso a las pendientes en el punto medio. Si es independiente de , de modo que la ecuación diferencial es equivalente a una integral simple, entonces RK4 es la regla de Simpson . ^[5]${\ estilo de visualización f}$${\ estilo de visualización y}$

El método RK4 es un método de cuarto orden, lo que significa que el error de truncamiento local es del orden de , mientras que el error total acumulado es del orden de .${\ estilo de visualización O (h ^ {5})}$${\ estilo de visualización O (h ^ {4})}$

Comparación de los métodos de Runge-Kutta para la ecuación diferencial (el rojo es la solución exacta)${\displaystyle y'=\sin(t)^{2}\cdot y}$

Pendientes utilizadas por el método clásico de Runge-Kutta