En lógica matemática , la paradoja de Russell (también conocida como antinomia de Russell ), es una paradoja de la teoría de conjuntos descubierta por el filósofo y matemático británico Bertrand Russell en 1901. [1] [2] La paradoja de Russell muestra que toda teoría de conjuntos que contiene una comprensión irrestricta principio conduce a contradicciones. [3] La paradoja ya había sido descubierta de forma independiente en 1899 por el matemático alemán Ernst Zermelo . [4] Sin embargo, Zermelo no publicó la idea, que se mantuvo conocida solo por David Hilbert , Edmund Husserl y otros académicos de la Universidad de Göttingen . A fines de la década de 1890, Cantor, considerado el fundador de la teoría de conjuntos moderna, ya se había dado cuenta de que su teoría conduciría a una contradicción, que le dijo a Hilbert y Richard Dedekind por carta. [5]
De acuerdo con el principio de comprensión irrestricta, para cualquier propiedad suficientemente bien definida , existe el conjunto de todos y solo los objetos que tienen esa propiedad. Sea R el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Si R no es un miembro de sí mismo, entonces su definición implica que es un miembro de sí mismo; si es un miembro de sí mismo, entonces no es un miembro de sí mismo, ya que es el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. La contradicción resultante es la paradoja de Russell. En símbolos:
Russell también mostró que se podía derivar una versión de la paradoja en el sistema axiomático construido por el filósofo y matemático alemán Gottlob Frege , socavando así el intento de Frege de reducir las matemáticas a la lógica y cuestionando el programa lógico . En 1908 se propusieron dos formas influyentes de evitar la paradoja: la propia teoría de tipos de Russell y la teoría de conjuntos de Zermelo . En particular, los axiomas de Zermelo restringieron el principio de comprensión ilimitada. Con las contribuciones adicionales de Abraham Fraenkel , la teoría de conjuntos de Zermelo se convirtió en la ahora estándar teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (comúnmente conocida como ZFC). La principal diferencia entre la solución de Russell y Zermelo a la paradoja es que Zermelo modificó los axiomas de la teoría de conjuntos manteniendo un lenguaje lógico estándar, mientras que Russell modificó el lenguaje lógico en sí. El lenguaje de ZFC, con la ayuda de Thoralf Skolem , resultó ser el de la lógica de primer orden . [6]
Presentación informal
La mayoría de los conjuntos que se encuentran comúnmente no son miembros de sí mismos. Por ejemplo, considere el conjunto de todos los cuadrados del plano . Este conjunto no es en sí mismo un cuadrado en el plano, por lo que no es un miembro de sí mismo. Llamemos a un conjunto "normal" si no es miembro de sí mismo, y "anormal" si es miembro de sí mismo. Claramente, cada conjunto debe ser normal o anormal. El conjunto de cuadrados en el plano es normal. Por el contrario, el conjunto complementario que contiene todo lo que no es un cuadrado en el plano no es en sí mismo un cuadrado en el plano, por lo que es uno de sus propios miembros y, por lo tanto, es anormal.
Ahora consideramos el conjunto de todos los conjuntos normales, R , y tratamos de determinar si R es normal o anormal. Si R fuera normal, estaría contenido en el conjunto de todos los conjuntos normales (él mismo) y, por lo tanto, sería anormal; por otro lado, si R fuera anormal, no estaría contenido en el conjunto de todos los conjuntos normales (él mismo) y, por lo tanto, sería normal. Esto lleva a la conclusión de que R no es ni normal ni anormal: la paradoja de Russell.
Presentación formal
El término " teoría de conjuntos ingenua " se utiliza de diversas formas. En un uso, la teoría de conjuntos ingenua es una teoría formal, que podemos llamar NST, que está formulada en un lenguaje de primer orden con un predicado binario no lógico. , y eso incluye el axioma de extensionalidad :
y el esquema de axioma de comprensión irrestricta :
para cualquier fórmula con la variable x como variable libre dentro. Sustituir por . Luego, por instanciación existencial (reutilizando el símbolo) y la instanciación universal que tenemos
una contradicción. Por lo tanto, NST es inconsistente . [7]
Respuestas de la teoría de conjuntos
A partir del principio de explosión de la lógica clásica , cualquier proposición puede probarse a partir de una contradicción . Por tanto, la presencia de contradicciones como la paradoja de Russell en una teoría axiomática de conjuntos es desastrosa; ya que si alguna fórmula puede probarse como verdadera, destruye el significado convencional de verdad y falsedad. Además, dado que la teoría de conjuntos se consideraba la base de un desarrollo axiomático de todas las demás ramas de las matemáticas, la paradoja de Russell amenazaba los fundamentos de las matemáticas en su conjunto. Esto motivó una gran cantidad de investigación a principios del siglo XX para desarrollar una teoría de conjuntos consistente (libre de contradicciones).
En 1908, Ernst Zermelo propuso una axiomatización de la teoría de conjuntos que evitaba las paradojas de la teoría de conjuntos ingenua al reemplazar la comprensión de conjuntos arbitraria con axiomas de existencia más débiles, como su axioma de separación ( Aussonderung ). Las modificaciones a esta teoría axiomática propuestas en la década de 1920 por Abraham Fraenkel , Thoralf Skolem y el propio Zermelo dieron como resultado la teoría axiomática de conjuntos llamada ZFC . Esta teoría fue ampliamente aceptada una vez que el axioma de elección de Zermelo dejó de ser controvertido, y ZFC se ha mantenido como la teoría de conjuntos axiomáticos canónicos hasta el día de hoy.
ZFC no asume que, para cada propiedad, hay un conjunto de todas las cosas que satisfacen esa propiedad. Más bien, afirma que dado cualquier conjunto X , existe cualquier subconjunto de X definible mediante lógica de primer orden . El objeto R discutido anteriormente no se puede construir de esta manera y, por lo tanto, no es un conjunto ZFC. En algunas extensiones de ZFC , los objetos como R se denominan clases adecuadas .
ZFC guarda silencio sobre los tipos, aunque la jerarquía acumulativa tiene una noción de capas que se asemejan a los tipos. El propio Zermelo nunca aceptó la formulación de Skolem de ZFC utilizando el lenguaje de la lógica de primer orden. Como señala José Ferreirós, Zermelo insistió en cambio en que "las funciones proposicionales (condiciones o predicados) utilizadas para separar subconjuntos, así como las funciones de reemplazo, pueden ser 'completamente arbitrarias' [ganz beliebig ]"; la interpretación moderna dada a esta afirmación es que Zermelo quería incluir cuantificación de orden superior para evitar la paradoja de Skolem . Alrededor de 1930, Zermelo también introdujo (aparentemente independientemente de von Neumann), el axioma de fundación , por lo que -como observa Ferreirós- "al prohibir los conjuntos 'circulares' y 'sin conexión a tierra', [ZFC] incorporó una de las motivaciones cruciales de TT [ teoría de tipos] —el principio de los tipos de argumentos ". Este ZFC de segundo orden preferido por Zermelo, incluido el axioma de fundación, permitió una rica jerarquía acumulativa. Ferreirós escribe que "las 'capas' de Zermelo son esencialmente los mismos que los tipos en las versiones contemporáneas de la TT simple [teoría de tipos] ofrecida por Gödel y Tarski. Se puede describir la jerarquía acumulativa en la que Zermelo desarrolló sus modelos como el universo de un TT en el que se permiten tipos transfinitos (una vez que hemos adoptado un punto de vista impredicativo, abandonando la idea de que las clases están construidas, no es antinatural aceptar tipos transfinitos). 'esencialmente sobre los mismos objetos previstos. La principal diferencia es que TT se basa en una lógica fuerte de orden superior, mientras que Zermelo empleó lógica de segundo orden, y ZFC también puede recibir una formulación de primer orden. La' descripción 'de primer orden de la jerarquía acumulativa es mucho más débil, como lo demuestra la existencia de modelos numerables (paradoja de Skolem), pero disfruta de algunas ventajas importantes ". [8]
En ZFC, dado un conjunto A , es posible definir un conjunto B que consta exactamente de los conjuntos en A que no son miembros de sí mismos. B no puede estar en A por el mismo razonamiento en la paradoja de Russell. Esta variación de la paradoja de Russell muestra que ningún conjunto lo contiene todo.
A través del trabajo de Zermelo y otros, especialmente John von Neumann , la estructura de lo que algunos ven como los objetos "naturales" descritos por ZFC finalmente se hizo clara; que son los elementos del universo de von Neumann , V , construido a partir del conjunto vacío por la iteración transfinitely el conjunto potencia operación. Por lo tanto, ahora es posible volver a la razón acerca de los conjuntos en una forma no axiomático sin violar la paradoja de Russell, es decir, por el razonamiento acerca de los elementos de V . Si es apropiado pensar en conjuntos de esta manera es un punto de discusión entre los puntos de vista rivales sobre la filosofía de las matemáticas .
Otras soluciones a la paradoja de Russell, con una estrategia subyacente más cercana a la de la teoría de tipos , incluyen los Nuevos Fundamentos de Quine y la teoría de conjuntos de Scott-Potter .
Historia
Russell descubrió la paradoja en mayo [9] o junio de 1901. [10] Según su propio relato en su Introducción a la Filosofía Matemática de 1919 , "intentó descubrir algún defecto en la prueba de Cantor de que no existe el mayor cardenal". [11] En una carta de 1902, [12] anunció el descubrimiento a Gottlob Frege de la paradoja en la Begriffsschrift de Frege de 1879 y enmarcó el problema en términos de lógica y teoría de conjuntos, y en particular en términos de la definición de función de Frege : [ a] [b]
Solo hay un punto en el que he encontrado una dificultad. Usted afirma (p. 17 [p. 23 arriba]) que una función también puede actuar como el elemento indeterminado. Esto lo creía antes, pero ahora este punto de vista me parece dudoso debido a la siguiente contradicción. Sea w el predicado: ser un predicado que no puede predicarse por sí mismo. ¿Puede predicarse w por sí mismo? De cada respuesta se sigue su opuesto. Por tanto, debemos concluir que w no es un predicado. Asimismo, no hay clase (como totalidad) de aquellas clases que, tomadas cada una como una totalidad, no se pertenecen a sí mismas. De esto llego a la conclusión de que, en determinadas circunstancias, una colección definible [Menge] no forma una totalidad.
Russell continuaría cubriéndolo extensamente en su 1903 The Principles of Mathematics , donde repitió su primer encuentro con la paradoja: [13]
Antes de dejar las cuestiones fundamentales, es necesario examinar con más detalle la contradicción singular, ya mencionada, con respecto a los predicados no predicables por sí mismos. ... Puedo mencionar que fui conducido a ello en el esfuerzo por reconciliar la prueba de Cantor ... "
Russell le escribió a Frege sobre la paradoja justo cuando Frege estaba preparando el segundo volumen de su Grundgesetze der Arithmetik . [14] Frege respondió a Russell muy rápidamente; apareció su carta fechada el 22 de junio de 1902, con el comentario de van Heijenoort en Heijenoort 1967: 126-127. Frege luego escribió un apéndice admitiendo la paradoja, [15] y propuso una solución que Russell respaldaría en sus Principios de Matemáticas , [16] pero luego fue considerada por algunos como insatisfactoria. [17] Por su parte, Russell tenía su trabajo en las imprentas y añadió un apéndice sobre la doctrina de tipos . [18]
Ernst Zermelo en su (1908) Una nueva prueba de la posibilidad de un buen ordenamiento (publicado al mismo tiempo que publicó "la primera teoría axiomática de conjuntos") [19] reivindicó el descubrimiento previo de la antinomia en la ingenua teoría de conjuntos de Cantor . Afirma: "Y, sin embargo, incluso la forma elemental que Russell 9 dio a las antinomias de la teoría de conjuntos podría haberlos persuadido [J. König, Jourdain, F. Bernstein] de que la solución de estas dificultades no debe buscarse en la rendición del bien ordenado pero sólo en una adecuada restricción de la noción de conjunto ". [20] La nota a pie de página 9 es donde hace su reclamo:
9 1903 , págs. 366–368. Sin embargo, yo mismo había descubierto esta antinomia, independientemente de Russell, y se la había comunicado antes de 1903 al profesor Hilbert, entre otros . [21]
Frege envió una copia de su Grundgesetze der Arithmetik a Hilbert; como se señaló anteriormente, el último volumen de Frege mencionó la paradoja que Russell le había comunicado a Frege. Después de recibir el último volumen de Frege, el 7 de noviembre de 1903, Hilbert le escribió una carta a Frege en la que decía, refiriéndose a la paradoja de Russell: "Creo que el Dr. Zermelo lo descubrió hace tres o cuatro años". Un relato escrito del argumento real de Zermelo fue descubierto en el Nachlass de Edmund Husserl . [22]
En 1923, Ludwig Wittgenstein propuso "deshacerse" de la paradoja de Russell de la siguiente manera:
La razón por la que una función no puede ser su propio argumento es que el signo de una función ya contiene el prototipo de su argumento y no puede contenerse a sí mismo. Pues supongamos que la función F (fx) podría ser su propio argumento: en ese caso habría una proposición F (F (fx)) , en la que la función externa F y la función interna F deben tener significados diferentes, ya que el interior tiene la forma O (fx) y el exterior tiene la forma Y (O (fx)) . Solo la letra 'F' es común a las dos funciones, pero la letra por sí sola no significa nada. Esto queda claro de inmediato si en lugar de F (Fu) escribimos (do): F (Ou). Ou = Fu . Eso elimina la paradoja de Russell. ( Tractatus Logico-Philosophicus , 3.333)
Russell y Alfred North Whitehead escribieron sus Principia Mathematica en tres volúmenes con la esperanza de lograr lo que Frege no había podido hacer. Trataron de desterrar las paradojas de la teoría de conjuntos ingenua empleando una teoría de tipos que idearon para este propósito. Si bien lograron fundamentar la aritmética de una manera, no es en absoluto evidente que lo hicieran por medios puramente lógicos. Si bien Principia Mathematica evitó las paradojas conocidas y permite la derivación de una gran cantidad de matemáticas, su sistema dio lugar a nuevos problemas.
En cualquier caso, Kurt Gödel en 1930-1931 demostró que mientras la lógica de gran parte de Principia Mathematica , ahora conocida como lógica de primer orden , es completa , la aritmética de Peano es necesariamente incompleta si es consistente . Esto se considera muy ampliamente —aunque no universalmente— como que ha demostrado que el programa logicista de Frege es imposible de completar.
En 2001, se celebró en Munich una Conferencia Internacional del Centenario que celebra los primeros cien años de la paradoja de Russell y se han publicado sus actas. [10]
Versiones aplicadas
Hay algunas versiones de esta paradoja que se acercan más a situaciones de la vida real y pueden ser más fáciles de entender para los no lógicos. Por ejemplo, la paradoja del barbero supone un barbero que afeita a todos los hombres que no se afeitan y solo a los que no se afeitan. Cuando uno piensa en si el barbero debería afeitarse solo o no, la paradoja comienza a emerger.
Como otro ejemplo, considere cinco listas de entradas de enciclopedia dentro de la misma enciclopedia:
Lista de artículos sobre personas:
| Lista de artículos que comienzan con la letra L:
...
... | Lista de artículos sobre lugares:
| Lista de artículos sobre Japón:
| Lista de todas las listas que no se contienen a sí mismas:
...
...
|
Si la "Lista de todas las listas que no se contienen a sí mismas" se contiene a sí misma, entonces no se pertenece a sí misma y debe eliminarse. Sin embargo, si no se enumera a sí mismo, debe agregarse a sí mismo.
Mientras apela, estos simples versiones 's de la cuota de la paradoja de un inconveniente: una refutación fácil de la paradoja del peluquero parece ser que tal barbero no existe, o que el peluquero tiene la alopecia y por lo tanto no hace afeitado. El punto central de la paradoja de Russell es que la respuesta "tal conjunto no existe" significa que la definición de la noción de conjunto dentro de una teoría dada es insatisfactoria. Tenga en cuenta la diferencia entre las declaraciones "tal conjunto no existe" y "es un conjunto vacío ". Es como la diferencia entre decir "No hay balde" y decir "El balde está vacío".
Una excepción notable a lo anterior puede ser la paradoja Grelling-Nelson , en la que las palabras y el significado son los elementos del escenario más que las personas y el corte de pelo. Aunque es fácil refutar la paradoja del barbero diciendo que tal barbero no existe (y no puede ) existir, es imposible decir algo similar acerca de una palabra definida de manera significativa.
Una forma en que se ha dramatizado la paradoja es la siguiente:
- Supongamos que cada biblioteca pública tiene que compilar un catálogo de todos sus libros. Dado que el catálogo es en sí mismo uno de los libros de la biblioteca, algunos bibliotecarios lo incluyen en el catálogo para que esté completo; mientras que otros lo omiten, ya que es evidente por ser uno de los libros de la biblioteca.
- Ahora imagine que todos estos catálogos se envían a la biblioteca nacional. Algunos de ellos se incluyen a sí mismos en sus listados, otros no. El bibliotecario nacional compila dos catálogos maestros: uno de todos los catálogos que se enumeran a sí mismos y uno de todos los que no.
- La pregunta es: ¿deberían enumerarse estos catálogos maestros? El 'Catálogo de todos los catálogos que se enumeran a sí mismos' no es un problema. Si el bibliotecario no lo incluye en su propia lista, sigue siendo un verdadero catálogo de aquellos catálogos que sí se incluyen a sí mismos. Si el bibliotecario lo incluye, sigue siendo un verdadero catálogo de los que se enumeran a sí mismos.
- Sin embargo, así como el bibliotecario no puede equivocarse con el primer catálogo maestro, el bibliotecario está condenado a fallar con el segundo. Cuando se trata del 'Catálogo de todos los catálogos que no se enumeran a sí mismos', el bibliotecario no puede incluirlo en su propio listado, porque entonces se incluiría a sí mismo, y por tanto pertenece al otro catálogo, el de los catálogos que sí se incluyen . Sin embargo, si el bibliotecario lo omite, el catálogo está incompleto. De cualquier manera, nunca puede ser un verdadero catálogo maestro de catálogos que no se enumeran a sí mismos.
Paradojas tipo Russell
Como se ilustró anteriormente para la paradoja del barbero, la paradoja de Russell no es difícil de extender. Llevar:
- Un verbo transitivo
, que se puede aplicar a su forma sustantiva .
Forma la oración:
- El
er que es todos (y solo aquellos) que no ellos mismos,
A veces, "todos" se reemplaza por "todos
Un ejemplo sería "pintar":
- El pintor que pinta es todo (y solo aquellos) que no se pintan a sí mismos.
o "elegir"
- Los elegidos o ( representante ), que eligen son todos los que no se eligen a sí mismos.
Las paradojas que caen en este esquema incluyen:
- El barbero con "afeitado" .
- La paradoja de Russell original con "contener": El contenedor (Conjunto) que contiene todos los (contenedores) que no se contienen a sí mismos.
- La paradoja de Grelling-Nelson con "descriptor": el descriptor (palabra) que describe todas las palabras, que no se describen a sí mismas.
- Paradoja de Richard con "denotar": el denotador (número) que denota todos los denotadores (números) que no se denotan a sí mismos. (En esta paradoja, todas las descripciones de números reciben un número asignado. El término "que denota todos los denotadores (números) que no se denotan a sí mismos" se llama aquí richardiano ).
- "Estoy mintiendo", es decir, la paradoja del mentiroso y la paradoja de Epiménides , cuyos orígenes son antiguos
- Paradoja de Russell-Myhill
Paradojas relacionadas
- La paradoja de Burali-Forti , sobre el tipo de orden de todos los ordenamientos de pozos
- La paradoja de Kleene-Rosser , que muestra que el cálculo lambda original es inconsistente, por medio de un enunciado autonegativo
- La paradoja de Curry (llamada así por Haskell Curry ), que no requiere negación
- La paradoja del entero más pequeño y poco interesante
- La paradoja de Girard en la teoría de tipos
Ver también
- Ley fundamental V
- El argumento diagonal de Cantor
- El primer problema de Hilbert
- " Al denotar "
- La paradoja de Quine
- Autorreferencia
- Bucle extraño
- conjunto universal
Notas
- ^ A continuación, p. 17 se refiere a una página en el Begriffsschrift original, y la página 23 se refiere a la misma página en van Heijenoort 1967
- ↑ Sorprendentemente, esta carta no se publicó hasta van Heijenoort 1967; aparece con el comentario de van Heijenoort en van Heijenoort 1967: 124-125.
Referencias
- ^ Russell, Bertrand, "Correspondencia con Frege}. En Correspondencia filosófica y matemática de Gottlob Frege. Traducido por Hans Kaal., University of Chicago Press, Chicago, 1980.
- ^ Russell, Bertrand. Los principios de las matemáticas . 2d. ed. Reimpresión, Nueva York: WW Norton & Company, 1996. (Publicado por primera vez en 1903.)
- ^ Irvine, AD, H. Deutsch (2021). "Paradoja de Russell". Enciclopedia de Filosofía de Stanford (Edición de primavera de 2021), EN Zalta (ed.), URL = < https://plato.stanford.edu/entries/russell-paradox/ >
- ^ Bernhard Rang, Wolfgang Thomas: Descubrimiento de Zermelo de la "paradoja de Russell", Historia Mathematica 8.
- ^ Walter Purkert, Hans J. Ilgauds: Vita Mathematica - Georg Cantor , Birkhäuser, 1985, ISBN 3-764-31770-1
- ^ AA Fraenkel; Y. Bar-Hillel; A. Levy (1973). Fundamentos de la teoría de conjuntos . Elsevier. págs. 156-157. ISBN 978-0-08-088705-0.
- ^ Irvine, Andrew David; Deutsch, Harry (2014). "Paradoja de Russell" . En Zalta, Edward N. (ed.). La Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
- ^ José Ferreirós (2008). Laberinto de pensamiento: una historia de la teoría de conjuntos y su papel en las matemáticas modernas (2ª ed.). Saltador. § Jerarquía acumulativa de Zermelo págs. 374-378. ISBN 978-3-7643-8350-3.
- ↑ The Autobiography of Bertrand Russell , George Allen and Unwin Ltd., 1971, página 147: "Al final del período de Cuaresma [1901], volví a Fernhurst, donde me puse a trabajar para escribir la deducción lógica de las matemáticas que luego se convirtió en Principia Mathematica . Pensé que el trabajo estaba casi terminado pero en el mes de mayo [énfasis agregado] tuve un revés intelectual […]. Cantor tenía una prueba de que no hay mayor número, y me pareció que el número de todas las cosas en el mundo debería ser el mayor posible. En consecuencia, examiné su demostración con cierta minuciosidad, y traté de aplicarla a la clase de todas las cosas que existen. Esto me llevó a considerar las clases que no son miembros de sí mismos, y para preguntar si la clase de tales clases es o no un miembro de sí misma. Descubrí que cualquiera de las respuestas implica su contradicción ".
- ^ a b Godehard Link (2004), Cien años de la paradoja de Russell , p. 350, ISBN 978-3-11-017438-0, consultado el 22 de febrero de 2016
- ↑ Russell 1920: 136
- ^ Gottlob Frege, Michael Beaney (1997), El lector de Frege , p. 253, ISBN 978-0-631-19445-3, consultado el 22 de febrero de 2016. También van Heijenoort 1967: 124–125
- ↑ Russell 1903: 101
- ^ cf comentario de van Heijenoort antes de la carta de Frege a Russell en van Heijenoort 1967: 126.
- ↑ comentario de van Heijenoort, cf van Heijenoort 1967: 126; Frege comienza su análisis con este comentario excepcionalmente honesto: "No hay nada más desafortunado que pueda ocurrirle a un escritor científico que tener uno de los cimientos de su edificio sacudido una vez terminado el trabajo. Esta fue la posición en la que me colocó una carta del Sr. Bertrand Russell, justo cuando la impresión de este volumen estaba casi terminada "(Apéndice de Grundgesetze der Arithmetik, vol. II , en The Frege Reader , p.279, traducción de Michael Beaney
- ^ cf comentario de van Heijenoort, cf van Heijenoort 1967: 126. El texto agregado dice lo siguiente: " Nota . El segundo volumen de Gg., Que apareció demasiado tarde para ser notado en el Apéndice, contiene una discusión interesante de la contradicción (págs. 253-265), sugiriendo que la solución debe ser encontrado al negar que dos funciones proposicionales que determinan clases iguales deben ser equivalentes. Como parece muy probable que esta sea la solución verdadera, se recomienda encarecidamente al lector que examine el argumento de Frege sobre este punto "(Russell 1903: 522); La abreviatura Gg. significa Grundgezetze der Arithmetik de Frege. Begriffsschriftlich abgeleitet. Vol. I. Jena, 1893. Vol. II. 1903.
- ↑ Livio afirma que "Aunque Frege hizo algunos intentos desesperados por remediar su sistema de axiomas, no tuvo éxito. La conclusión pareció ser desastrosa ..." Livio 2009: 188. Pero van Heijenoort en su comentario antes de la Carta a Russell de Frege (1902)describe la "salida" propuesta por Frege con cierto detalle: el asunto tiene que ver con la "'transformación de la generalización de una igualdad en una igualdad de cursos de valores. . Para Frege una función es algo incompleto, 'insaturado' "; esto parece contradecir la noción contemporánea de una "función en extensión"; véase la redacción de Frege en la página 128: "Por cierto, me parece que la expresión 'un predicado se predica de sí mismo' no es exacta ... Por lo tanto, preferiría decir que 'un concepto se predica de su propia extensión' [ etc] ". Pero duda al final de su sugerencia de que una función-como-concepto-en-extensión puede escribirse predicando su función. van Heijenoort cita a Quine: "Para un estudio tardío y completo de la" salida "de Frege, véase Quine 1955 ": "Sobre la salida de Frege", Mind 64 , 145-159; reimpreso en Quine 1955b : Apéndice. Integridad de la teoría de la cuantificación. Teorema de Loewenheim , adjunto como folleto con parte de la tercera edición (1955) de Quine 1950 e incorporado en la edición revisada (1959), 253-260 "(cf. REFERENCIAS en van Heijenoort 1967: 649)
- ↑ Russell menciona este hecho a Frege, cf. comentario de van Heijenoort antes de la carta de Frege (1902) a Russell en van Heijenoort 1967: 126
- ^ Comentario de van Heijenoort antes de Zermelo (1908a) Investigaciones en los fundamentos de la teoría de conjuntos I en van Heijenoort 1967: 199
- ↑ van Heijenoort 1967: 190-191. En la sección anterior se opone enérgicamente a la noción de impredicatividad tal como la define Poincaré (y que pronto también será tomada por Russell en su Lógica matemática de 1908 como basada en la teoría de tipos, cf van Heijenoort 1967: 150-182).
- ↑ Ernst Zermelo (1908) Una nueva prueba de la posibilidad de un buen ordenamiento en van Heijenoort 1967: 183-198. Livio 2009: 191 informa que Zermelo "descubrió la paradoja de Russell de forma independiente ya en 1900"; Livio, a su vez, cita a Ewald 1996 y van Heijenoort 1967 (cf. Livio 2009: 268).
- ^ B. Rang y W. Thomas, "El descubrimiento de Zermelo de la 'paradoja de Russell'", Historia Mathematica , v. 8 n. 1, 1981, págs. 15-22. doi : 10.1016 / 0315-0860 (81) 90002-1
Fuentes
- Potter, Michael (15 de enero de 2004), Teoría de conjuntos y su filosofía , Clarendon Press ( Oxford University Press ), ISBN 978-0-19-926973-0
- van Heijenoort, Jean (1967), From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, (tercera edición en 1976) , Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press , ISBN 0-674-32449-8
- Livio, Mario (6 de enero de 2009), Is God a Mathematician? , Nueva York: Simon & Schuster , ISBN 978-0-7432-9405-8
enlaces externos
- "Paradoja de Russell" . Enciclopedia de Filosofía de Internet .
- Irvine, Andrew David (2016). "Paradoja de Russell" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
- Weisstein, Eric W. "Antinomia de Russell" . MathWorld .
- La paradoja de Russell al cortar el nudo