La construcción del eje de Rytz es un método básico de Geometría descriptiva para encontrar los ejes, el semieje mayor y el semieje menor y los vértices de una elipse , partiendo de dos semidiámetros conjugados . Si se determinan el centro y el semieje de una elipse, la elipse se puede dibujar usando un elipsograma o con la mano (ver elipse ).
La construcción de Rytz es una construcción clásica de la geometría euclidiana , en la que solo se permiten la brújula y la regla como ayudas. El diseño lleva el nombre de su inventor David Rytz de Brugg, 1801-1868.
Los diámetros conjugados aparecen siempre si un círculo o una elipse se proyecta paralelamente (los rayos son paralelos) como imágenes de diámetros ortogonales de un círculo (ver segundo diagrama) o como imágenes de los ejes de una elipse. Una propiedad esencial de dos diámetros conjugados es: Las tangentes en los puntos de elipse de un diámetro son paralelas al segundo diámetro (ver segundo diagrama).
Enunciado del problema y solución
La proyección paralela (sesgada u ortográfica) de un círculo que es en general una elipse (se omite el caso especial de un segmento de línea como imagen). Una tarea fundamental en geometría descriptiva es dibujar tal imagen de un círculo. El diagrama muestra una proyección militar de un cubo con 3 círculos en 3 caras del cubo. El plano de la imagen para una proyección militar es horizontal. Eso significa que el círculo en la parte superior aparece en su forma real (como círculo). Las imágenes de los círculos en las otras dos caras son obviamente elipses con ejes desconocidos. Pero se reconocen en todo caso las imágenes de dos diámetros ortogonales de los círculos. Estos diámetros de las elipses no son más ortogonales pero como imágenes de diámetros ortogonales del círculo están conjugados (¡las tangentes en los puntos finales de un diámetro son paralelas al otro diámetro!). Esta es una situación estándar en geometría descriptiva:
- Desde una elipse el centro y dos puntos en dos diámetros conjugados se conocen.
- Tarea: encuentra los ejes y semiejes de la elipse.
- pasos de la construcción
(1) girar punto alrededor por 90 °.
(2) Determine el centro del segmento de línea .
(3) Dibuja la línea y el circulo con centro mediante . Cruza el círculo y la línea. Los puntos de intersección son.
(4) Las líneas y son los ejes de la elipse.
(5) El segmento de línea puede considerarse como una tira de papel de longitud (ver elipse ) punto de generación. Por eso y son los semi-ejes . (Si luego es el semi- eje mayor .)
(6) Los vértices y co-vértices son conocidos y la elipse se puede dibujar mediante uno de los métodos de dibujo .
Si uno realiza un giro a la izquierda del punto, la configuración muestra el método 2. de la tira de papel (consulte el segundo diagrama en la siguiente sección) y y sigue siendo cierto.
Prueba de la declaración
La prueba estándar se realiza geométricamente. [1] Una prueba alternativa utiliza geometría analítica:
La prueba está hecha, si uno es capaz de demostrar que
- los puntos de intersección de la linea con los ejes de la elipse se encuentran en el círculo a través de con centro , por eso y , y
- prueba
(1): Cualquier elipse se puede representar en un sistema de coordenadas adecuado paramétricamente mediante
- .
- Dos puntos se encuentran en diámetros conjugados si (ver Elipse: diámetros conjugados ).
(2): Sea y
- dos puntos en diámetros conjugados.
- Luego y el punto medio del segmento de línea es .
(3): Línea tiene ecuación
- Los puntos de intersección de esta línea con los ejes de la elipse son
(4): Debido a los puntos Acuéstese en el círculo con el centro y radio
- Por eso
(5):
La prueba usa un giro a la derecha del punto , que conduce a un diagrama que muestra el 1. método de la tira de papel .
- variaciones
Si uno realiza un giro a la izquierda del punto, entonces los resultados (4) y (5) siguen siendo válidos y la configuración muestra ahora el 2. método de tira de papel (ver diagrama).
Si uno usa, luego la construcción y el trabajo de prueba tampoco.
Solución asistida por computadora
Para encontrar los vértices de la elipse con la ayuda de una computadora,
- las coordenadas de los tres puntos tiene que ser conocido.
Una idea sencilla es: se puede escribir un programa que realice los pasos descritos anteriormente. Una mejor idea es utilizar la representación de una elipse arbitraria de forma paramétrica:
Con (el centro) y (dos medios diámetros conjugados) se pueden calcular puntos y dibujar la elipse .
Si es necesario: Con se obtienen los 4 vértices de la elipse:
Referencias
- Rudolf Fucke; Konrad Kirch; Heinz Nickel (2007). Darstellende Geometrie für Ingenieure [ Geometría descriptiva para ingenieros ] (en alemán) (17ª ed.). München: Carl Hanser. pag. 183. ISBN 978-3446411432. Consultado el 31 de mayo de 2013 .
- Klaus Ulshöfer; Dietrich Tilp (2010). "5: Elipse como la imagen afín ortogonal del círculo unitario" [5: "Elipse como imagen afín ortogonal del círculo unitario"]. Darstellende Geometrie in systematischen Beispielen [ Geometría descriptiva en la recopilación sistemática de ejemplos ]. Übungen für die gymnasiale Oberstufe (en alemán) (1ª ed.). Bamberg: CC Buchner. ISBN 978-3-7661-6092-8.
- Alexander Ostermann; Gerhard Wanner (2012). Geometría por su Historia . Springer Science & Business Media. págs. 68–69. ISBN 9783642291630.