En física teórica , la dualidad S (abreviatura de dualidad fuerte-débil ) es una equivalencia de dos teorías físicas, que pueden ser teorías cuánticas de campos o teorías de cuerdas . La dualidad S es útil para hacer cálculos en física teórica porque relaciona una teoría en la que los cálculos son difíciles con una teoría en la que son más fáciles. [1]
En la teoría cuántica de campos, la dualidad S generaliza un hecho bien establecido de la electrodinámica clásica , a saber, la invariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo el intercambio de campos eléctricos y magnéticos . Uno de los primeros ejemplos conocidos de dualidad S en la teoría cuántica de campos es la dualidad Montonen-Olive, que relaciona dos versiones de una teoría cuántica de campos denominada N = 4 teoría supersimétrica de Yang-Mills . El trabajo reciente de Anton Kapustin y Edward Witten sugiere que la dualidad Montonen-Olive está estrechamente relacionada con un programa de investigación en matemáticas llamado programa geométrico Langlands. Otra realización de la dualidad S en la teoría cuántica de campos es la dualidad de Seiberg , que relaciona dos versiones de una teoría llamada N = 1 teoría supersimétrica de Yang-Mills .
También hay muchos ejemplos de dualidad S en la teoría de cuerdas. La existencia de estas dualidades de cuerdas implica que formulaciones aparentemente diferentes de la teoría de cuerdas son en realidad físicamente equivalentes. Esto llevó a la conclusión, a mediados de la década de 1990, que todos los cinco consistentes teorías de supercuerdas son sólo los diferentes casos límite de una sola teoría de once dimensiones llamada teoría-M . [2]
Descripción general
En la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas, una constante de acoplamiento es un número que controla la fuerza de las interacciones en la teoría. Por ejemplo, la fuerza de la gravedad es descrito por un número llamado constante de Newton , que aparece en la ley de gravedad de Newton y también en las ecuaciones de Albert Einstein 's teoría general de la relatividad . De manera similar, la fuerza de la fuerza electromagnética se describe mediante una constante de acoplamiento, que está relacionada con la carga transportada por un solo protón .
Para calcular cantidades observables en la teoría cuántica de campos o la teoría de cuerdas, los físicos suelen aplicar los métodos de la teoría de perturbaciones . En la teoría de la perturbación, las cantidades llamadas amplitudes de probabilidad , que determinan la probabilidad de que ocurran varios procesos físicos, se expresan como sumas de un número infinito de términos , donde cada término es proporcional a una potencia de la constante de acoplamiento.:
- .
Para que dicha expresión tenga sentido, la constante de acoplamiento debe ser menor que 1 para que las potencias superiores de se vuelven insignificantes y la suma es finita. Si la constante de acoplamiento no es menor que 1, entonces los términos de esta suma crecerán cada vez más y la expresión dará una respuesta infinita sin sentido. En este caso, se dice que la teoría está fuertemente acoplada y no se puede usar la teoría de la perturbación para hacer predicciones.
Para ciertas teorías, la dualidad S proporciona una forma de hacer cálculos con un fuerte acoplamiento al traducir estos cálculos en diferentes cálculos en una teoría débilmente acoplada. La S-dualidad es un ejemplo particular de una noción general de dualidad en física. El término dualidad se refiere a una situación en la que dos sistemas físicos aparentemente diferentes resultan ser equivalentes de una manera no trivial. Si dos teorías están relacionadas por una dualidad, significa que una teoría puede transformarse de alguna manera para que termine pareciéndose a la otra teoría. Entonces se dice que las dos teorías son duales entre sí bajo la transformación. Dicho de otra manera, las dos teorías son descripciones matemáticamente diferentes de los mismos fenómenos.
La dualidad S es útil porque relaciona una teoría con la constante de acoplamiento a una teoría equivalente con constante de acoplamiento . Por lo tanto, relaciona una teoría fuertemente acoplada (donde la constante de acoplamiento es mucho mayor que 1) a una teoría débilmente acoplada (donde la constante de acoplamiento es mucho menor que 1 y los cálculos son posibles). Por esta razón, la dualidad S se denomina dualidad fuerte-débil .
S-dualidad en la teoría cuántica de campos
Una simetría de las ecuaciones de Maxwell.
En física clásica , el comportamiento del campo eléctrico y magnético se describe mediante un sistema de ecuaciones conocido como ecuaciones de Maxwell . Trabajando en el lenguaje del cálculo vectorial y asumiendo que no hay cargas eléctricas o corrientes presentes, estas ecuaciones se pueden escribir [3]
Aquí es un vector (o más precisamente un campo vectorial cuya magnitud y dirección pueden variar de un punto a otro en el espacio) que representa el campo eléctrico, es un vector que representa el campo magnético, es el momento, y es la velocidad de la luz . Los otros símbolos de estas ecuaciones se refieren a la divergencia y el rizo , que son conceptos del cálculo vectorial.
Una propiedad importante de estas ecuaciones [4] es su invariancia bajo la transformación que reemplaza simultáneamente al campo eléctrico. por el campo magnético y reemplaza por :
En otras palabras, dado un par de campos eléctricos y magnéticos que resuelven las ecuaciones de Maxwell, es posible describir una nueva configuración física en la que estos campos eléctricos y magnéticos se intercambian esencialmente, y los nuevos campos volverán a dar una solución a las ecuaciones de Maxwell. Esta situación es la manifestación más básica de la dualidad S en la teoría cuántica de campos.
Dualidad Montonen-Olive
En la teoría cuántica de campos, los campos eléctrico y magnético se unifican en una sola entidad llamada campo electromagnético , y este campo se describe mediante un tipo especial de teoría cuántica de campos llamada teoría gauge o teoría de Yang-Mills . En una teoría de gauge, los campos físicos tienen un alto grado de simetría que puede entenderse matemáticamente usando la noción de grupo de Lie . Este grupo de Lie se conoce como grupo de calibre . El campo electromagnético se describe mediante una teoría de gauge muy simple que corresponde al grupo de gauge abeliano U (1) , pero existen otras teorías de gauge con grupos de gauge no abelianos más complicados . [5]
Es natural preguntarse si existe una analogía en la teoría de gauge de la simetría que intercambia los campos eléctrico y magnético en las ecuaciones de Maxwell. La respuesta fue dada a fines de la década de 1970 por Claus Montonen y David Olive , [6] basándose en trabajos anteriores de Peter Goddard , Jean Nuyts y Olive. [7] Su trabajo proporciona un ejemplo de dualidad S ahora conocida como dualidad Montonen-Olive . La dualidad Montonen-Olive se aplica a un tipo muy especial de teoría de gauge llamada teoría supersimétrica Yang-Mills de N = 4 , y dice que dos de esas teorías pueden ser equivalentes en cierto sentido preciso. [1] Si una de las teorías tiene un grupo indicador, entonces la teoría dual tiene un grupo de calibre dónde denota el grupo dual de Langlands que en general es diferente de. [8]
Una cantidad importante en la teoría cuántica de campos es la constante de acoplamiento compleja. Este es un número complejo definido por la fórmula [9]
dónde es el ángulo theta , una cantidad que aparece en el lagrangiano que define la teoría, [9] yes la constante de acoplamiento. Por ejemplo, en la teoría de Yang-Mills que describe el campo electromagnético, este númeroes simplemente la carga elemental transportado por un solo protón. [1] Además de intercambiar los grupos gauge de las dos teorías, la dualidad Montonen-Olive transforma una teoría con constante de acoplamiento compleja a una teoría con constante compleja . [9]
Relación con el programa Langlands
En matemáticas, la correspondencia clásica de Langlands es una colección de resultados y conjeturas que relacionan la teoría de números con la rama de las matemáticas conocida como teoría de la representación . [10] Formulado por Robert Langlands a fines de la década de 1960, la correspondencia de Langlands está relacionada con conjeturas importantes en la teoría de números, como la conjetura de Taniyama-Shimura , que incluye el último teorema de Fermat como un caso especial. [10]
A pesar de su importancia en la teoría de números, establecer la correspondencia de Langlands en el contexto de la teoría de números ha resultado extremadamente difícil. [10] Como resultado, algunos matemáticos han trabajado en una conjetura relacionada conocida como la correspondencia geométrica de Langlands . Se trata de una reformulación geométrica de la correspondencia clásica de Langlands que se obtiene sustituyendo los campos numéricos que aparecen en la versión original por campos funcionales y aplicando técnicas de geometría algebraica . [10]
En un artículo de 2007, Anton Kapustin y Edward Witten sugirieron que la correspondencia geométrica de Langlands puede verse como una declaración matemática de la dualidad Montonen-Olive. [11] Comenzando con dos teorías de Yang-Mills relacionadas por la dualidad S, Kapustin y Witten demostraron que se pueden construir un par de teorías de campos cuánticos en el espacio - tiempo bidimensional . Al analizar lo que esta reducción dimensional hace a ciertos objetos físicos llamados D-branas , demostraron que se pueden recuperar los ingredientes matemáticos de la correspondencia geométrica de Langlands. [12] Su trabajo muestra que la correspondencia de Langlands está estrechamente relacionada con la dualidad S en la teoría cuántica de campos, con posibles aplicaciones en ambos temas. [10]
Dualidad de Seiberg
Otra realización de la dualidad S en la teoría cuántica de campos es la dualidad de Seiberg , introducida por primera vez por Nathan Seiberg alrededor de 1995. [13] A diferencia de la dualidad Montonen-Olive, que relaciona dos versiones de la teoría del gauge máximamente supersimétrica en el espacio-tiempo tetradimensional, la dualidad de Seiberg se relaciona teorías menos simétricas llamadas teorías de calibre supersimétricas N = 1 . Las dos teorías N = 1 que aparecen en la dualidad de Seiberg no son idénticas, pero dan lugar a la misma física a grandes distancias. Al igual que la dualidad Montonen-Olive, la dualidad de Seiberg generaliza la simetría de las ecuaciones de Maxwell que intercambia campos eléctricos y magnéticos.
S-dualidad en la teoría de cuerdas
Hasta mediados de la década de 1990, los físicos que trabajaban en la teoría de cuerdas creían que había cinco versiones distintas de la teoría: tipo I , tipo IIA , tipo IIB y los dos sabores de la teoría de cuerdas heterótica ( SO (32) y E 8 × E 8 ). . Las diferentes teorías permiten diferentes tipos de cuerdas, y las partículas que surgen a bajas energías exhiben diferentes simetrías.
A mediados de la década de 1990, los físicos notaron que estas cinco teorías de cuerdas en realidad están relacionadas por dualidades no triviales. Una de estas dualidades es la S-dualidad. La existencia de la dualidad S en la teoría de cuerdas fue propuesta por primera vez por Ashoke Sen en 1994. [14] Se demostró que la teoría de cuerdas de tipo IIB con la constante de acoplamiento es equivalente a través de la dualidad S a la misma teoría de cuerdas con la constante de acoplamiento . De manera similar, la teoría de cuerdas de tipo I con el acoplamientoes equivalente a la teoría de cuerdas heterótica SO (32) con la constante de acoplamiento.
La existencia de estas dualidades mostró que las cinco teorías de cuerdas no eran, de hecho, todas teorías distintas. En 1995, en la conferencia de la teoría de cuerdas en la Universidad del Sur de California , Edward Witten hizo la sorprendente sugerencia de que los cinco de estas teorías eran sólo diferentes límites de una sola teoría ahora se conoce como la teoría-M . [15] La propuesta de Witten se basó en la observación de que las teorías de cuerdas heteróticas de tipo IIA y E 8 × E 8 están estrechamente relacionadas con una teoría gravitacional llamada supergravedad de once dimensiones . Su anuncio provocó una oleada de trabajo que ahora se conoce como la segunda revolución de supercuerdas .
Ver también
- Dualidad Montonen-Olive
- Vórtice de Nielsen-Olesen
- Gravitón dual
- T-dualidad
- Simetría de espejo
- Correspondencia AdS / CFT
Notas
- ↑ a b c Frenkel, 2009, p.2
- ↑ Zwiebach, 2009, p. 325
- ^ Griffiths 1999, p. 326
- ↑ Griffiths 1999, p. 327
- ^ Para obtener una introducción a la teoría cuántica de campos en general, incluidos los conceptos básicos de la teoría gauge, consulte Zee 2010.
- ^ Montonen y Olive 1977
- ^ Goddard, Nuyts y Olive 1977
- ^ Frenkel 2009, p.5
- ↑ a b c Frenkel, 2009, p.12
- ^ a b c d e Frenkel 2007
- ^ Kapustin y Witten 2007
- ^ Aspinwall y col. 2009, pág.415
- ^ Seiberg 1995
- ^ Sen 1994
- ^ Witten 1995
Referencias
- Aspinwall, Paul; Bridgeland, Tom; Craw, Alastair; Douglas, Michael; Gross, Mark; Kapustin, Anton; Moore, Gregory; Segal, Graeme; Szendröi, Balázs; Wilson, PMH, eds. (2009). Branes de Dirichlet y simetría especular . Monografías de Clay Mathematics . 4 . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-3848-8.
- Frenkel, Edward (2007). "Conferencias sobre el programa Langlands y teoría de campo conforme". Fronteras en teoría de números, física y geometría II . Springer: 387–533. arXiv : hep-th / 0512172 . Código Bibliográfico : 2005hep.th ... 12172F . doi : 10.1007 / 978-3-540-30308-4_11 . ISBN 978-3-540-30307-7. S2CID 119611071 .
- Frenkel, Edward (2009). "Teoría del calibre y dualidad de Langlands". Seminaire Bourbaki .
- Goddard, Peter; Nuyts, Jean; Olive, David (1977). "Teorías de calibre y carga magnética" (PDF) . Física B nuclear . 125 (1): 1–28. Código Bibliográfico : 1977NuPhB.125 .... 1G . doi : 10.1016 / 0550-3213 (77) 90221-8 .
- Griffiths, David (1999). Introducción a la electrodinámica . Nueva Jersey: Prentice-Hall.
- Kapustin, Anton; Witten, Edward (2007). "Dualidad eléctrico-magnética y el programa Langlands geométrico". Comunicaciones en Teoría y Física de Números . 1 (1): 1–236. arXiv : hep-th / 0604151 . Código bibliográfico : 2007CNTP .... 1 .... 1K . doi : 10.4310 / cntp.2007.v1.n1.a1 . S2CID 30505126 .
- Montonen, Claus; Olive, David (1977). "¿Los monopolos magnéticos como partículas de calibre?" . Physics Letters B . 72 (1): 117-120. Código Bibliográfico : 1977PhLB ... 72..117M . doi : 10.1016 / 0370-2693 (77) 90076-4 .
- Seiberg, Nathan (1995). "Dualidad eléctrico-magnética en teorías de gauge supersimétricas no abelianas". Física B nuclear . 435 (1): 129-146. arXiv : hep-th / 9411149 . Código Bibliográfico : 1995NuPhB.435..129S . doi : 10.1016 / 0550-3213 (94) 00023-8 . S2CID 18466754 .
- Sen, Ashoke (1994). "Dualidad de acoplamiento fuerte-débil en la teoría de cuerdas de cuatro dimensiones". International Journal of Modern Physics A . 9 (21): 3707–3750. arXiv : hep-th / 9402002 . Código bibliográfico : 1994IJMPA ... 9.3707S . doi : 10.1142 / S0217751X94001497 . S2CID 16706816 .
- Witten, Edward (13 al 18 de marzo de 1995). "Algunos problemas de acoplamiento fuerte y débil". Proceedings of Strings '95: Perspectivas futuras en la teoría de cuerdas . World Scientific.
- Witten, Edward (1995). "Dinámica de la teoría de cuerdas en varias dimensiones". Física B nuclear . 443 (1): 85-126. arXiv : hep-th / 9503124 . Código Bibliográfico : 1995NuPhB.443 ... 85W . doi : 10.1016 / 0550-3213 (95) 00158-O . S2CID 16790997 .
- Zee, Anthony (2010). Teoría cuántica de campos en pocas palabras (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-14034-6.
- Zwiebach, Barton (2009). Un primer curso de teoría de cuerdas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-88032-9.