En la teoría de la probabilidad , el espacio muestral (también llamado espacio de descripción muestral [1] o espacio de posibilidad [2] ) de un experimento o ensayo aleatorio es el conjunto de todos los resultados posibles de ese experimento. [3] Un espacio muestral generalmente se denota usando notación de conjunto , y los posibles resultados ordenados se enumeran como elementos del conjunto. Es común hacer referencia a un espacio muestral mediante las etiquetas S , Ω o U (para " conjunto universal"). Los elementos de un espacio muestral pueden ser números, palabras, letras o símbolos. También pueden ser finitos, infinitos contables o infinitos incontables. [4]
Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar una moneda, el espacio muestral suele ser el conjunto {cara, cola}, comúnmente escrito {H, T}. [5] Para lanzar dos monedas, el espacio muestral correspondiente sería {(cabeza, cabeza), (cabeza, cola), (cola, cabeza), (cola, cola)}, comúnmente escrito {HH, HT, TH, TT }. [6] Si el espacio muestral no está ordenado, se convierte en {{head, head}, {head, tail}, {tail, tail}}.
Para lanzar un solo dado de seis lados , el espacio muestral típico es {1, 2, 3, 4, 5, 6} (en el que el resultado de interés es el número de pepitas hacia arriba). [7]
Un subconjunto del espacio muestral es un evento , denotado por E. Con referencia al experimento de lanzar la moneda, los eventos posibles incluyen E = {H} y E = {T}. [6]
Un espacio muestral bien definido es uno de los tres elementos básicos de un modelo probabilístico (un espacio de probabilidad ); los otros dos son un conjunto bien definido de posibles eventos (un sigma-álgebra ) y una probabilidad asignada a cada evento (una función de medida de probabilidad ).
Otra forma de ver un espacio muestral es visualmente. El espacio muestral suele estar representado por un rectángulo y los resultados del espacio muestral se indican mediante puntos dentro del rectángulo. Los eventos están representados por óvalos y los puntos encerrados dentro del óvalo conforman el evento. [8]
Condiciones de un espacio muestral
Un conjunto con resultados (es decir ) debe cumplir algunas condiciones para ser un espacio muestral: [9]
- Los resultados deben ser mutuamente excluyentes , es decir, si tiene lugar, entonces no otro tendrá lugar, . [4]
- Los resultados deben ser colectivamente exhaustivos , es decir, en cada experimento (o ensayo aleatorio) siempre tendrá lugar algún resultado. por . [4]
- El espacio muestral () debe tener la granularidad adecuada en función de lo que nos interese. Debemos eliminar la información irrelevante del espacio muestral. En otras palabras, debemos elegir la abstracción correcta (olvidar alguna información irrelevante).
Por ejemplo, en el intento de lanzar una moneda, podríamos tener como espacio muestral , dónde representa cabezas ypara las colas . Otro posible espacio muestral podría ser. Aquí,representa lluvias y no llueve . Obviamente, es una mejor opción que ya que no nos importa cómo el clima afecta el lanzamiento de una moneda.
Múltiples espacios muestrales
Para muchos experimentos, puede haber más de un espacio muestral plausible disponible, dependiendo del resultado que sea de interés para el experimentador. Por ejemplo, al robar una carta de una baraja estándar de cincuenta y dos cartas , una posibilidad para el espacio muestral podrían ser los distintos rangos (del as al rey), mientras que otra podrían ser los palos (tréboles, diamantes, corazones o espadas). ). [3] [10] Sin embargo, una descripción más completa de los resultados podría especificar tanto la denominación como el palo, y se puede construir un espacio muestral que describa cada carta individual como el producto cartesiano de los dos espacios muestrales mencionados anteriormente (este espacio sería contienen cincuenta y dos resultados igualmente probables). También son posibles otros espacios de muestra, como {el lado derecho hacia arriba, el revés hacia abajo} si algunas cartas se han volteado al barajar.
Resultados igualmente probables
Algunos tratamientos de probabilidad asumen que los diversos resultados de un experimento siempre se definen de manera que sean igualmente probables. [11] Para cualquier espacio muestral con N resultados igualmente probables, a cada resultado se le asigna la probabilidad 1 / N. [12] Sin embargo, hay experimentos que no se describen fácilmente con un espacio muestral de resultados igualmente probables; por ejemplo, si uno lanzara una tachuela muchas veces y observara si aterrizaba con la punta hacia arriba o hacia abajo, no hay simetría para sugerir que los dos resultados deberían ser igualmente probables. [13]
Aunque la mayoría de los fenómenos aleatorios no tienen resultados igualmente probables, puede ser útil definir un espacio muestral de tal manera que los resultados sean al menos aproximadamente igualmente probables, ya que esta condición simplifica significativamente el cálculo de probabilidades para eventos dentro del espacio muestral. Si cada resultado individual ocurre con la misma probabilidad, entonces la probabilidad de cualquier evento se vuelve simple: [14] : 346–347
Por ejemplo, si se lanzan dos dados para generar dos enteros distribuidos uniformemente, D 1 y D 2 , cada uno en el rango [1 ... 6], los 36 pares ordenados (D 1 , D 2 ) constituyen un espacio muestral de igualmente eventos probables. En este caso, se aplica la fórmula anterior, de modo que la probabilidad de una cierta suma, digamos D 1 + D 2 = 5, se muestra fácilmente como 4/36, ya que 4 de los 36 resultados producen 5 como una suma. Por otro lado, el espacio muestral de las 11 sumas posibles, {2,…, 12} no son resultados igualmente probables, por lo que la fórmula daría un resultado incorrecto (1/11).
Otro ejemplo es tener cuatro bolígrafos en una bolsa. Un bolígrafo es rojo, uno es verde, uno es azul y uno es violeta. Cada bolígrafo tiene las mismas posibilidades de ser sacado de la bolsa. El espacio muestral S = {rojo, verde, azul, violeta} consta de eventos igualmente probables. Aquí, P (rojo) = P (azul) = P (verde) = P (violeta) = 1/4. [15]
Muestra aleatoria simple
En estadística , se hacen inferencias sobre las características de una población mediante el estudio de una muestra de los individuos de esa población. Para llegar a una muestra que presente una estimación no sesgada de las verdaderas características de la población, los estadísticos a menudo buscan estudiar una muestra aleatoria simple , es decir, una muestra en la que todos los individuos de la población tienen la misma probabilidad de estar incluidos. [14] : 274-275 El resultado de esto es que cada combinación posible de individuos que podrían ser elegidos para la muestra tiene la misma probabilidad de ser la muestra seleccionada (es decir, el espacio de muestras aleatorias simples de un tamaño dado de una población determinada se compone de resultados igualmente probables). [dieciséis]
Espacios de muestra infinitamente grandes
En un enfoque elemental de la probabilidad , cualquier subconjunto del espacio muestral suele denominarse evento . [6] Sin embargo, esto da lugar a problemas cuando el espacio muestral es continuo, por lo que es necesaria una definición más precisa de un evento. Según esta definición, solo los subconjuntos medibles del espacio muestral, que constituyen un álgebra σ sobre el espacio muestral en sí, se consideran eventos.
Un ejemplo de un espacio muestral infinitamente grande es medir la vida útil de una bombilla. El espacio muestral correspondiente sería [0, ∞) . [6]
Ver también
- Espacio de parámetros
- Espacio de probabilidad
- Espacio (matemáticas)
- Set (matemáticas)
- Evento (teoría de la probabilidad)
- σ-álgebra
Referencias
- ^ Stark, Henry; Woods, John W. (2002). Probabilidad y procesos aleatorios con aplicaciones al procesamiento de señales (3ª ed.). Pearson. pag. 7. ISBN 9788177583564.
- ^ Forbes, Catherine; Evans, Merran; Hastings, Nicholas; Pavo real, Brian (2011). Distribuciones estadísticas (4ª ed.). Wiley. pag. 3 . ISBN 9780470390634.
- ^ a b Albert, Jim (21 de enero de 1998). "Listado de todos los resultados posibles (el espacio muestral)" . Universidad Estatal de Bowling Green . Consultado el 25 de junio de 2013 .
- ^ a b c "UOR_2.1" . web.mit.edu . Consultado el 21 de noviembre de 2019 .
- ^ Dekking, FM (Frederik Michel), 1946- (2005). Una introducción moderna a la probabilidad y la estadística: entender por qué y cómo . Saltador. ISBN 1-85233-896-2. OCLC 783259968 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ a b c d "Espacio muestral, eventos y probabilidad" (PDF) . Matemáticas en Illinois .
- ^ Larsen, RJ; Marx, ML (2001). Introducción a la estadística matemática y sus aplicaciones (3ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice Hall . pag. 22. ISBN 9780139223037.
- ^ "Espacios muestrales, eventos y sus probabilidades" . saylordotorg.github.io . Consultado el 21 de noviembre de 2019 .
- ^ Tsitsiklis, John (primavera de 2018). "Espacios de muestra" . Instituto de Tecnología de Massachusetts . Consultado el 9 de julio de 2018 .
- ^ Jones, James (1996). "Estadísticas: Introducción a la probabilidad - Espacios muestrales" . Colegio Comunitario de Richland . Consultado el 30 de noviembre de 2013 .
- ^ Foerster, Paul A. (2006). Álgebra y trigonometría: funciones y aplicaciones, edición del maestro (Classics ed.). Prentice Hall . pag. 633 . ISBN 0-13-165711-9.
- ^ "Resultados igualmente probables" (PDF) . Universidad de Notre Dame .
- ^ "Capítulo 3: Probabilidad" (PDF) . Colegio Comunitario Coconino .
- ^ a b Yates, Daniel S .; Moore, David S .; Starnes, Daren S. (2003). La práctica de la estadística (2ª ed.). Nueva York: Freeman . ISBN 978-0-7167-4773-4. Archivado desde el original el 9 de febrero de 2005.
- ^ "Probabilidad I" (PDF) . Universidad Queen Mary de Londres . 2005.
- ^ "Muestras aleatorias simples" . web.ma.utexas.edu . Consultado el 21 de noviembre de 2019 .
enlaces externos
- Medios relacionados con el espacio muestral en Wikimedia Commons