Un escalar es un elemento de un campo que se usa para definir un espacio vectorial . Una cantidad descrita por múltiples escalares, como tener dirección y magnitud, se llama vector. [1]
En álgebra lineal , los números reales u otros elementos de un campo se denominan escalares y se relacionan con vectores en un espacio vectorial mediante la operación de multiplicación escalar , en la que un vector se puede multiplicar por un número para producir otro vector. [2] [3] [4] De manera más general, un espacio vectorial puede definirse utilizando cualquier campo en lugar de números reales, como números complejos . Entonces los escalares de ese espacio vectorial serán los elementos del campo asociado.
Una operación de producto escalar , que no debe confundirse con la multiplicación escalar, puede definirse en un espacio vectorial, lo que permite multiplicar dos vectores para producir un escalar. Un espacio vectorial equipado con un producto escalar se denomina espacio de producto interno .
El componente real de un cuaternión también se denomina parte escalar .
El término también se usa a veces de manera informal para significar un vector, matriz , tensor u otro valor, generalmente "compuesto", que en realidad se reduce a un solo componente. Así, por ejemplo, el producto de una matriz de 1 × n y una matriz de n × 1, que formalmente es una matriz de 1 × 1, a menudo se dice que es un escalar .
El término matriz escalar se usa para denotar una matriz de la forma kI donde k es un escalar e I es la matriz identidad .
Etimología
La palabra escalar deriva de la palabra latina scalaris , una forma adjetiva de scala (latín para "escalera"), de la cual también proviene la palabra inglesa scale . El uso primero registrado de la palabra "escalar" en matemáticas se produce en François Viète 's Art Analytic ( En artem analyticem isagoge ) (1591): [5] [ página necesaria ] [6]
- Las magnitudes que ascienden o descienden proporcionalmente de acuerdo con su naturaleza de un tipo a otro pueden denominarse términos escalares.
- (Latín: Magnitudines quae ex genere ad genus sua vi proporcionaliter adscendunt vel descenunt, vocentur Scalares. )
Según una cita en el Oxford English Dictionary, el primer uso registrado del término "escalar" en inglés llegó con WR Hamilton en 1846, refiriéndose a la parte real de un cuaternión:
- La parte algebraicamente real puede recibir, según la pregunta en la que se produzca, todos los valores contenidos en la única escala de progresión de números desde el infinito negativo al positivo; lo llamaremos, por tanto, la parte escalar.
Definiciones y propiedades
Escalares de espacios vectoriales
Un espacio vectorial se define como un conjunto de vectores, un conjunto de escalares y una operación de multiplicación escalar que lleva un escalar k y un vector v a otro vector k v . Por ejemplo, en un espacio de coordenadas , la multiplicación escalar rendimientos . En un espacio funcional (lineal) , kƒ es la función x ↦ k ( ƒ ( x )).
Los escalares se pueden tomar de cualquier campo, incluidos los números racionales , algebraicos , reales y complejos, así como los campos finitos .
Escalares como componentes vectoriales
Según un teorema fundamental del álgebra lineal, todo espacio vectorial tiene una base . De ello se desprende que cada espacio vectorial sobre un campo escalar K es isomorfo a un espacio vectorial de coordenadas donde las coordenadas son elementos de K . Por ejemplo, todo espacio vectorial real de dimensión n es isomorfo al espacio real n- dimensional R n .
Escalares en espacios vectoriales normativos
Alternativamente, un espacio vectorial V puede equiparse con una función norma que asigna a cada vector v en V un escalar || v ||. Por definición, multiplicar v por un escalar k también multiplica su norma por | k |. Si || v || se interpreta como la longitud de v , esta operación se puede describir como escalar la longitud de v por k . Un espacio vectorial equipado con una norma se denomina espacio vectorial normado (o espacio lineal normado ).
La norma generalmente se define como un elemento del campo escalar K de V , que restringe este último a campos que apoyan la noción de signo. Además, si V tiene dimensión 2 o más, K debe cerrarse bajo raíz cuadrada, así como las cuatro operaciones aritméticas; por tanto, se excluyen los números racionales Q , pero el campo surd es aceptable. Por esta razón, no todo espacio de producto escalar es un espacio vectorial normalizado.
Escalares en módulos
Cuando el requisito de que el conjunto de escalares forme un campo se relaja de modo que solo necesita formar un anillo (de modo que, por ejemplo, no es necesario definir la división de escalares, o los escalares no necesitan ser conmutativos ), el resultado más general La estructura algebraica se llama módulo .
En este caso, los "escalares" pueden ser objetos complicados. Por ejemplo, si R es un anillo, los vectores del espacio del producto R n se pueden convertir en un módulo con las matrices n × n con entradas de R como escalares. Otro ejemplo proviene de la teoría de la variedad , donde el espacio de las secciones del haz tangente forma un módulo sobre el álgebra de funciones reales en la variedad.
Transformación de escala
La multiplicación escalar de espacios vectoriales y módulos es un caso especial de escala , una especie de transformación lineal .
Operaciones escalares (informática)
Operaciones que se aplican a un solo valor a la vez.
- Procesador escalar frente a procesador vectorial o procesador superescalar
- Variable (informática) a veces también denominada "escalar"
Ver también
- Escalar (física)
- Álgebra lineal
Referencias
- ^ Mathwords.com - Escalar
- ^ Lay, David C. (2006). Álgebra lineal y sus aplicaciones (3ª ed.). Addison – Wesley . ISBN 0-321-28713-4.
- ^ Strang, Gilbert (2006). Álgebra lineal y sus aplicaciones (4ª ed.). Brooks Cole . ISBN 0-03-010567-6.
- ^ Axler, Sheldon (2002). Álgebra lineal bien hecha (2ª ed.). Springer . ISBN 0-387-98258-2.
- ^ Vieta, Franciscus (1591). En artem analyticem isagoge seorsim excussa ab Opere restitutae mathicae analyseos, seu Algebra noua [ Guía para el arte analítico [...] o álgebra nueva ] (en latín). Recorridos: apud Iametium Mettayer typographum regium . Consultado el 24 de junio de 2015 .
- ^ http://math.ucdenver.edu/~wcherowi/courses/m4010/s08/lcviete.pdf Lincoln Collins. Documento biográfico: Francois Viete
enlaces externos
- "Scalar" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Scalar" . MathWorld .
- Mathwords.com - Escalar